深圳市高级中学2011—2012学年高一上学期期中考试(数学)

深圳市高级中学 2011—2012 学年高一上学期期中考试 数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为 1-8 题，共 40 分， 第Ⅱ卷为 9-20 题，共 110 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项： 1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再涂其它答案，不能答在试题卷上。 3、 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（本卷共 40 分）
一．选择题： （本大题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．若 A ? ? 0,1, 2, 3? , B ? ? x | x ? 3 a , a ? A ? ，则 A ? B ? A. ?1, 2? 2．函数 y ? x A．
1 4
?1? 3．设 a ? lo g 1 3 ，b ? ? ? ?3? 2
0 .2

( D. ? 3? （

)

B. ? 0,1?
?2

C. ? 0 , 3?

在区间 [ , 2 ] 上的最大值是
2

1

）

B． ? 1
1

C． 4

D． ? 4

，c ? 2 3 ，则 C． c ? a ? b D. b ? a ? c

（

）

A． a ? b ? c

B. c ? b ? a
x

4．若 a ? 0 ，则函数 y ? ( 1 ? a ) ? 1 的图象必过点 A． （0，1） B.（0，0） C. ? 0 , ? 1 ? D. ? 1, ? 1 ?

（

）

5．若 f ? x ? 1 ? ? 2 f ? x ? ，则 f ? x ? 等于 A．
2x

（ C.
x?2

）

B. 2

x

D. lo g 2 x
1 2

6．已知 y＝f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x ) ? x ? 2 ，那么不等式 f ( x ) ? 的解集是 A. ? x 0 ? x ?
? ? ? ? 5? ? 2? 5? ? 2?

（ B. ? x ?
? ? ? ? ? ? x ? 0? 2 ? 3 3 2 5? ? 2?

）

C. ? x ?

3 2

? x ? 0, 或 0 ? x ?

D. ? x x ? ?

,或 0 ? x ?

1

7. 某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场 内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 获得奖券的金额（元） [200,400） [400,500) 30 60 [500,700) 100 [700,900 ) … 130 …

根据上述促销方法， 顾客在该商场购物可以获得双重优惠， 例如， 购买标价为 400 元的商品， 则消费金额为 320 元， 获得的优惠额为： 400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为 1000 元的商品，则所能得到的优惠额为 A．130 元 B.330 元 C.360 元 （ D.800 元 （ C . x1 x 2 ? 1 ） ）

8.设方程

2

?x

? lg x 的两个根为 x 1 , x 2 ，则

A. x 1 x 2 ? 0

B . x1 x 2 ? 1

D. 0 ? x 1 x 2 ? 1

第Ⅱ卷（本卷共计 110 分）
二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．函数 y ?
lo g 2 ? x ? 1 ?

的定义域为

10．已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1, x ? 0 ?x ,x ? 0
2

，则 f [ f ( ? 2 )] 的值为

．

2 11.若函数 f ? x ? ? ? k ? 2 ? x ? ? k ? 1 ? x ? 3 是偶函数，则 f(x)的递减区间是

。

12．对于函数 f ( x ) ,定义域为 D, 若存在 x 0 ? D 使 f ( x 0 ) ? x 0 , 则称 ( x 0 , x 0 ) 为 f ( x ) 的图象上 的不动点. 由此，函数 f ( x ) ?
9x ? 5 x?3

的图象上不动点的坐标为

．

2 2 * 13. 若 f ? n ? 为 n ? 1 ? n ? N ? 的 各 位 数 字 之 和 ， 如 1 4 ? 1 ? 1 9 7 ,1 ? 9 ? 7 ? 1 7 ， 则

f (1 4 ) ?

1 ；记 f 1 ( n ) ? f ( n ) ， f 2 ( n ) ? f ( f 1 ( n )) ，…， f k ? 1 ( n ) ? f ( f k ( n )) ， k ? N ，则 7
*

f 2 0 1 1 (8) ?

。
1
x

14. 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) 的 图 象 与 函 数 g （ x ） 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 ， 令
2
h ( x ) ? g (1 ? | x |), 则关于函数 h ( x ) 有下列命题

（

）

① h ( x ) 的图象关于原点对称； ② h ( x ) 为偶函数； ③ h ( x ) 的最小值为 0； 其中正确命题的序号为
2

④ h ( x ) 在（0，1）上为减函数.

三、解答题： （本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
15． （本小题 12 分）已知集合 A ? { x | x ? ? 1或 x ? 2 }，函数 g ( x ) ? 合B . (Ⅰ)求 A ? B 和 A ? B ； (Ⅱ)若 C ? ?x | 4 x ? p ? 0 ?, C ? A ， 求实数 p 的取值范围.
9 ? x 的定义域为集
2

16.(本小题满分 12 分) （1）计算：
1 2 ?1
b

? (

9 ? 0 .5 0 ) ? ( ) ? 5 4

3

4

(

2 ? e)

4

；

（2）已知 2 ? 5 ? 1 0 0 ，求
a

1 a

?

1 b

的值。

17．(本小题满分 14 分) （Ⅰ）已知 f ( x ) ?
2 3 ?1
x

? k 是奇函数，求常数 k 的值。 ；

? 2 ? 已知函数 f ? x ? ?
f

x x?m

? x ? R ? 且 f ? 4 ? ? 0 。 ? 1 ? 求实数 m 的取值。 ? 2 ? 作出函数

? x ? 的图象并写出函数 f ? x ? 的单调区间。

18．(本小题满分 14 分)函数 f ? x ? 的定义域 D ? ? x | x ? 0 ? ，且满足对任意 x1 , x 2 ? D . 有： f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ?

? 1 ? 求 f ? 1 ? ， f ? ? 1 ? 的值。 ? 2 ? 判断 f ? x ? 的奇偶性并证明 ? 3 ? 如果 f ? 4 ? ? 1 ， f ? 3 x ? 1 ? ?
取值范围。
3

f

? 2 x ? 6 ? ? 3 ，且 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数，求 x 的

19． （本小题满分 14 分）已知函数 f ? t ? ? lo g 2 t , t ? ? 2 , 8 ? . ? ? （1）求 f ? t ? 的值域 G； （2） 若对于 G 内的所有实数 x ， 不等式 ? x ? 2 m x ? m ? 2 m ? 1 恒成立， 求实数 m 的
2 2

取值范围.

20．(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax
2

?2

4 ? 2 b ? b x ， g ? x ? ? ? 1 ? ? x ? a ? ， ?a , b ? R ?
2
2

（Ⅰ）当 b ? 0 时，若 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递增，求 a 的取值范围； （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对 ? a , b ? ：当 a 是整数时，存在 x 0 ，使得 f ? x 0 ? 是 f ? x ? 的最大值， g ? x 0 ? 是 g ? x ? 的最小值；

4

参考答案
一．选择题： （本大题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D

二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9． x ? ? 2 , ? ? ? 10。5 11． ? 0 . ? ? ? 12。 ? 1,1 ? , ? 5, 5 ? 13． 11 14。②③

15．解：(Ⅰ)依题意，得
? B ? {x | ? 3 ? x ? 3 }

B ? ? x | 9 ? x ? 0? 得 ? 3 ? x ? 3
2

-------2 分 A∪B=R
?? p 4 ? ?1

∴A∩B= { x | ? 3 ? x ? ? 1 或 2 ? x ? 3} ， (Ⅱ)由 4 x ? p ? 0 得 x ? ? 得P ? 4
p 4

------6 分 -----12 分

而C ? A

? 实数 p 的取值范围是 ? P | P ? 4 ? -----12 分

16．解：(1) 原式=

2 +1-1+

2 3

+e- 2 =e+

2 3

;

-----------6 分

(2) 由已知，a =

2 lg 2

,b=

2 lg 5

,∴

1 1 1 1 + = （lg2 + lg5） = -------12 分 a b 2 2
2 3 ?1
x

17.解：1．定义域：x ? 0 若 f (x)为奇函数，则 (
1 3 ?1
x

? k) ? ( 3

2
?x

?1

? k) ? 0

∴k ? ?

? 3

1
?x

?1

? ?

1 3 ?1
x

?

3
x

x

3 ?1

?1

2.图像如图；-----3 分
1 2

…………4? k ? ? (1) m ? 4 ----2 分

…………6 图象

增区间： ? ? ? , 2 ? , ? 4 , ? ? ? 减区间： ? 2 , 4 ? -------3 分

18．解： ? 1 ? 令 x1 ? x 2 ? 1 . 有 f ? 1 ? 1 ? ? f ? 1 ? ? f ? 1 ? 解得： f ? 1 ? ? 0
5

令 x1 ? x 2 ? ? 1 . 有 f ? ? 1 ? ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ? f ? ? 1 ? 解得： f ? ? 1 ? ? 0 ----3 分

?2?

f

? x ? 为偶函数，证明如下：

令 x1 ? ? 1, x 2 ? x , 有 f ? ? x ? ? f ? ? 1 ? ? f ? x ? ，? f ? ? x ? ? f ? x ? 即 f ? x ? 为偶函数。-6 分

?3?

f

? 4 ? ? 1 ，?

f ? 64 ? ? 3 f

?4? ? 3

由 f ? 3 x ? 1 ? ? f ? 2 x ? 6 ? ? 3 得： f ? 3 x ? 1 ? ? f ? 2 x ? 6 ? ? f ? 6 4 ?
? f

? x ? 为偶函数，又 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数
7 3 ? x ? 5且x ? ? 1 3 ,x ? 3

? ? 3 x ? 1 ? ? 2 x ? 6 ? ? 6 4 且 3 x ? 1 ? 0, 2 x ? 6 ? 0 解得： ?

? x 的取值范围为{ x | ?

7 3

? x ? 5且x ? ?

1 3

, x ? 3 }----14 分

19．解：(Ⅰ)∵f(t)=log2t 在 t∈[ 即
1 2

2

,8]上是单调递增的，∴log2
1 2
1 2

2

≤log2t≤log28.

≤f(t)≤3.∴f(t)的值域 G 为[

,3

].

-------4

分
x
2

(Ⅱ)由题知－x2+2mx－m2+2m≤1 在 x∈[ [
1 2 ,3

， 3

]上恒成立 ?

－2mx+m2－2m+1≥0 在 x∈

]上恒成立.-----6 分 令 g(x)=x2－2mx+m2－2m+1,x∈[ 而 g(x)=(x－m)2－2m+1,x∈[
1 2 ,3 1 2 ,3

].只需 gmin(x)≥0 即可.

].
5 2

(1)当 m≤ .∴m≤ (2)当
1 2 1 2 .

1 2

时，gmin(x)=g( ------8

1 2

)=

1 4

－3m+m2+1≥0.∴4m2－12m+5≥0.解得 m≥

或 m≤

1 2

＜m＜3 时，gmin(x)=g(m)= －2m+1≥0.解得 m≤

1 2

. 这与

1 2

＜m＜3 矛盾.----10
6
1 2

(3)当 m≥3 时，gmin(x)=g(3)=10+m2－8m≥0.解得 m≥4+ ∴m≥4＋
6

6

或 m≤4－

.而 m≥3,
6

.

----12 分 综 上，实 数 m 的取值 范围是 (－∞，

)∪ [4+

，+∞ ].

---14 分

20.解： （Ⅰ）当 b ? 0 时， f ? x ? ? ax

2

? 4x ，

若 a ? 0 ， f ? x ? ? ? 4 x ，则 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递减，不符题意。---2 分
6

故 a ? 0 ，要使 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递增，必须满足 ? 4

? a ? 0 ? ，∴ a ? 1 。---6 分 ? 2 ? 2a ?

2 （Ⅱ）若 a ? 0 ， f ? x ? ? ? 2 4 ? 2 b ? b x ，则 f ? x ? 无最大值，故 a ? 0 ，∴ f ? x ? 为

二次函数， 要使 f ? x ? 有最大值，必须满足 ? ? 此时， x
? x0 ? 4 ? 2b ? b a
2

a ? 0
2

，即 a ? 0 且 1 ?
? 0

5 ? b ?1?

5 ，

?4 ? 2b ? b

时， f ? x ? 有最大值。----8 分
4 ? 2b ? b a
2

又 g ? x ? 取最小值时， x ? x 0 ? a ，依题意，有 则a
2

? a ? Z ，----10 分

?

4 ? 2b ? b

2

?

5 ? ?b ? 1 ? ，
2

∵ a ? 0 且1 ? 或b ? 3 。

5 ? b ?1?

5 ，∴ 0 ? a

2

?

5 ? a ? Z ? ，得 a ? ? 1 ，此时 b ? ? 1

∴满足条件的实数对 ? a , b ? 是 ? ? 1, ? 1 ?, ? ? 1, 3 ? 。---14 分

7