深圳市高级中学 2011—2012 学年高一上学期期中考试 数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分, 第Ⅱ卷为 9-20 题,共 110 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、 答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、 考试结束,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(本卷共 40 分)
一.选择题: (本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 1.若 A ? ? 0,1, 2, 3? , B ? ? x | x ? 3 a , a ? A ? ,则 A ? B ? A. ?1, 2? 2.函数 y ? x A.
1 4
?1? 3.设 a ? lo g 1 3 ,b ? ? ? ?3? 2
0 .2
( D. ? 3? (
)
B. ? 0,1?
?2
C. ? 0 , 3?
在区间 [ , 2 ] 上的最大值是
2
1
)
B. ? 1
1
C. 4
D. ? 4
,c ? 2 3 ,则 C. c ? a ? b D. b ? a ? c
(
)
A. a ? b ? c
B. c ? b ? a
x
4.若 a ? 0 ,则函数 y ? ( 1 ? a ) ? 1 的图象必过点 A. (0,1) B.(0,0) C. ? 0 , ? 1 ? D. ? 1, ? 1 ?
(
)
5.若 f ? x ? 1 ? ? 2 f ? x ? ,则 f ? x ? 等于 A.
2x
( C.
x?2
)
B. 2
x
D. lo g 2 x
1 2
6.已知 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 ,那么不等式 f ( x ) ? 的解集是 A. ? x 0 ? x ?
? ? ? ? 5? ? 2? 5? ? 2?
( B. ? x ?
? ? ? ? ? ? x ? 0? 2 ? 3 3 2 5? ? 2?
)
C. ? x ?
3 2
? x ? 0, 或 0 ? x ?
D. ? x x ? ?
,或 0 ? x ?
1
7. 某商场在国庆促销期间规定,商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商场 内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的范围 获得奖券的金额(元) [200,400) [400,500) 30 60 [500,700) 100 [700,900 ) … 130 …
根据上述促销方法, 顾客在该商场购物可以获得双重优惠, 例如, 购买标价为 400 元的商品, 则消费金额为 320 元, 获得的优惠额为: 400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为 1000 元的商品,则所能得到的优惠额为 A.130 元 B.330 元 C.360 元 ( D.800 元 ( C . x1 x 2 ? 1 ) )
8.设方程
2
?x
? lg x 的两个根为 x 1 , x 2 ,则
A. x 1 x 2 ? 0
B . x1 x 2 ? 1
D. 0 ? x 1 x 2 ? 1
第Ⅱ卷(本卷共计 110 分)
二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9.函数 y ?
lo g 2 ? x ? 1 ?
的定义域为
10.已知函数 f ( x ) ? ?
? x ? 1, x ? 0 ?x ,x ? 0
2
,则 f [ f ( ? 2 )] 的值为
.
2 11.若函数 f ? x ? ? ? k ? 2 ? x ? ? k ? 1 ? x ? 3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是
。
12.对于函数 f ( x ) ,定义域为 D, 若存在 x 0 ? D 使 f ( x 0 ) ? x 0 , 则称 ( x 0 , x 0 ) 为 f ( x ) 的图象上 的不动点. 由此,函数 f ( x ) ?
9x ? 5 x?3
的图象上不动点的坐标为
.
2 2 * 13. 若 f ? n ? 为 n ? 1 ? n ? N ? 的 各 位 数 字 之 和 , 如 1 4 ? 1 ? 1 9 7 ,1 ? 9 ? 7 ? 1 7 , 则
f (1 4 ) ?
1 ;记 f 1 ( n ) ? f ( n ) , f 2 ( n ) ? f ( f 1 ( n )) ,…, f k ? 1 ( n ) ? f ( f k ( n )) , k ? N ,则 7
*
f 2 0 1 1 (8) ?
。
1
x
14. 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) 的 图 象 与 函 数 g ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 令
2
h ( x ) ? g (1 ? | x |), 则关于函数 h ( x ) 有下列命题
(
)
① h ( x ) 的图象关于原点对称; ② h ( x ) 为偶函数; ③ h ( x ) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为
2
④ h ( x ) 在(0,1)上为减函数.
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤)
15. (本小题 12 分)已知集合 A ? { x | x ? ? 1或 x ? 2 },函数 g ( x ) ? 合B . (Ⅰ)求 A ? B 和 A ? B ; (Ⅱ)若 C ? ?x | 4 x ? p ? 0 ?, C ? A , 求实数 p 的取值范围.
9 ? x 的定义域为集
2
16.(本小题满分 12 分) (1)计算:
1 2 ?1
b
? (
9 ? 0 .5 0 ) ? ( ) ? 5 4
3
4
(
2 ? e)
4
;
(2)已知 2 ? 5 ? 1 0 0 ,求
a
1 a
?
1 b
的值。
17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知 f ( x ) ?
2 3 ?1
x
? k 是奇函数,求常数 k 的值。 ;
? 2 ? 已知函数 f ? x ? ?
f
x x?m
? x ? R ? 且 f ? 4 ? ? 0 。 ? 1 ? 求实数 m 的取值。 ? 2 ? 作出函数
? x ? 的图象并写出函数 f ? x ? 的单调区间。
18.(本小题满分 14 分)函数 f ? x ? 的定义域 D ? ? x | x ? 0 ? ,且满足对任意 x1 , x 2 ? D . 有: f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ?
? 1 ? 求 f ? 1 ? , f ? ? 1 ? 的值。 ? 2 ? 判断 f ? x ? 的奇偶性并证明 ? 3 ? 如果 f ? 4 ? ? 1 , f ? 3 x ? 1 ? ?
取值范围。
3
f
? 2 x ? 6 ? ? 3 ,且 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数,求 x 的
19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? t ? ? lo g 2 t , t ? ? 2 , 8 ? . ? ? (1)求 f ? t ? 的值域 G; (2) 若对于 G 内的所有实数 x , 不等式 ? x ? 2 m x ? m ? 2 m ? 1 恒成立, 求实数 m 的
2 2
取值范围.
20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax
2
?2
4 ? 2 b ? b x , g ? x ? ? ? 1 ? ? x ? a ? , ?a , b ? R ?
2
2
(Ⅰ)当 b ? 0 时,若 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对 ? a , b ? :当 a 是整数时,存在 x 0 ,使得 f ? x 0 ? 是 f ? x ? 的最大值, g ? x 0 ? 是 g ? x ? 的最小值;
4
参考答案
一.选择题: (本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D
二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. x ? ? 2 , ? ? ? 10。5 11. ? 0 . ? ? ? 12。 ? 1,1 ? , ? 5, 5 ? 13. 11 14。②③
15.解:(Ⅰ)依题意,得
? B ? {x | ? 3 ? x ? 3 }
B ? ? x | 9 ? x ? 0? 得 ? 3 ? x ? 3
2
-------2 分 A∪B=R
?? p 4 ? ?1
∴A∩B= { x | ? 3 ? x ? ? 1 或 2 ? x ? 3} , (Ⅱ)由 4 x ? p ? 0 得 x ? ? 得P ? 4
p 4
------6 分 -----12 分
而C ? A
? 实数 p 的取值范围是 ? P | P ? 4 ? -----12 分
16.解:(1) 原式=
2 +1-1+
2 3
+e- 2 =e+
2 3
;
-----------6 分
(2) 由已知,a =
2 lg 2
,b=
2 lg 5
,∴
1 1 1 1 + = (lg2 + lg5) = -------12 分 a b 2 2
2 3 ?1
x
17.解:1.定义域:x ? 0 若 f (x)为奇函数,则 (
1 3 ?1
x
? k) ? ( 3
2
?x
?1
? k) ? 0
∴k ? ?
? 3
1
?x
?1
? ?
1 3 ?1
x
?
3
x
x
3 ?1
?1
2.图像如图;-----3 分
1 2
…………4? k ? ? (1) m ? 4 ----2 分
…………6 图象
增区间: ? ? ? , 2 ? , ? 4 , ? ? ? 减区间: ? 2 , 4 ? -------3 分
18.解: ? 1 ? 令 x1 ? x 2 ? 1 . 有 f ? 1 ? 1 ? ? f ? 1 ? ? f ? 1 ? 解得: f ? 1 ? ? 0
5
令 x1 ? x 2 ? ? 1 . 有 f ? ? 1 ? ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ? f ? ? 1 ? 解得: f ? ? 1 ? ? 0 ----3 分
?2?
f
? x ? 为偶函数,证明如下:
令 x1 ? ? 1, x 2 ? x , 有 f ? ? x ? ? f ? ? 1 ? ? f ? x ? ,? f ? ? x ? ? f ? x ? 即 f ? x ? 为偶函数。-6 分
?3?
f
? 4 ? ? 1 ,?
f ? 64 ? ? 3 f
?4? ? 3
由 f ? 3 x ? 1 ? ? f ? 2 x ? 6 ? ? 3 得: f ? 3 x ? 1 ? ? f ? 2 x ? 6 ? ? f ? 6 4 ?
? f
? x ? 为偶函数,又 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数
7 3 ? x ? 5且x ? ? 1 3 ,x ? 3
? ? 3 x ? 1 ? ? 2 x ? 6 ? ? 6 4 且 3 x ? 1 ? 0, 2 x ? 6 ? 0 解得: ?
? x 的取值范围为{ x | ?
7 3
? x ? 5且x ? ?
1 3
, x ? 3 }----14 分
19.解:(Ⅰ)∵f(t)=log2t 在 t∈[ 即
1 2
2
,8]上是单调递增的,∴log2
1 2
1 2
2
≤log2t≤log28.
≤f(t)≤3.∴f(t)的值域 G 为[
,3
].
-------4
分
x
2
(Ⅱ)由题知-x2+2mx-m2+2m≤1 在 x∈[ [
1 2 ,3
, 3
]上恒成立 ?
-2mx+m2-2m+1≥0 在 x∈
]上恒成立.-----6 分 令 g(x)=x2-2mx+m2-2m+1,x∈[ 而 g(x)=(x-m)2-2m+1,x∈[
1 2 ,3 1 2 ,3
].只需 gmin(x)≥0 即可.
].
5 2
(1)当 m≤ .∴m≤ (2)当
1 2 1 2 .
1 2
时,gmin(x)=g( ------8
1 2
)=
1 4
-3m+m2+1≥0.∴4m2-12m+5≥0.解得 m≥
或 m≤
1 2
<m<3 时,gmin(x)=g(m)= -2m+1≥0.解得 m≤
1 2
. 这与
1 2
<m<3 矛盾.----10
6
1 2
(3)当 m≥3 时,gmin(x)=g(3)=10+m2-8m≥0.解得 m≥4+ ∴m≥4+
6
6
或 m≤4-
.而 m≥3,
6
.
----12 分 综 上,实 数 m 的取值 范围是 (-∞,
)∪ [4+
,+∞ ].
---14 分
20.解: (Ⅰ)当 b ? 0 时, f ? x ? ? ax
2
? 4x ,
若 a ? 0 , f ? x ? ? ? 4 x ,则 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递减,不符题意。---2 分
6
故 a ? 0 ,要使 f ? x ? 在 ?2 , ?? ? 上单调递增,必须满足 ? 4
? a ? 0 ? ,∴ a ? 1 。---6 分 ? 2 ? 2a ?
2 (Ⅱ)若 a ? 0 , f ? x ? ? ? 2 4 ? 2 b ? b x ,则 f ? x ? 无最大值,故 a ? 0 ,∴ f ? x ? 为
二次函数, 要使 f ? x ? 有最大值,必须满足 ? ? 此时, x
? x0 ? 4 ? 2b ? b a
2
a ? 0
2
,即 a ? 0 且 1 ?
? 0
5 ? b ?1?
5 ,
?4 ? 2b ? b
时, f ? x ? 有最大值。----8 分
4 ? 2b ? b a
2
又 g ? x ? 取最小值时, x ? x 0 ? a ,依题意,有 则a
2
? a ? Z ,----10 分
?
4 ? 2b ? b
2
?
5 ? ?b ? 1 ? ,
2
∵ a ? 0 且1 ? 或b ? 3 。
5 ? b ?1?
5 ,∴ 0 ? a
2
?
5 ? a ? Z ? ,得 a ? ? 1 ,此时 b ? ? 1
∴满足条件的实数对 ? a , b ? 是 ? ? 1, ? 1 ?, ? ? 1, 3 ? 。---14 分
7