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浙江省杭州市学军中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题


杭州学军中学 2012 学年第一学期期中考试 高一数学试卷
命题:顾侠 审题:李丽丽 一、选择题(本题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A= {x | 1 ? x ? 4}, ,集合 B = {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, 则 A∩(?RB)=( A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4). ( ) )

2.下列四组函数中,表示相同函数的一组是 A. f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2lg x C. f ( x) ? B. f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x2 ? 1
?1? ?2?
x

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1

D. f ( x) ? 2? x , g ( x) ? ? ? ( ) .

5 3.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 2 , f (?) ? m,则 f (5) ? f (?5) 的值为 且 A. 4 B. 0 C. 2m D. ? m ? 4

4.若函数 f (x) 、 g(x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f x?( ) e,则 () g ?x x 有 A. f2 f3 g (? ) ( ) ( ?0 ) C. f2 g ?3 ( ?0 f ) ) ( ) ( 5.函数 y ? y 1 O 1 x B. g ?3 f2 ( f) ( 0 (? ) ) D. g ?2 f3 ( f) ( 0 (? ) ) ( )

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y



) y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

6. 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 A.

m 的值为 M

(

)

1 4

B.

1 2
x

C.

2 2

D.

3 2

7. 已 知 函 数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 在 区 间 [ - 2 , 2] 上 的 值 不 大 于 2 , 则 函 数
第1页

g (a) ? log2 a 的值域是
A.[? ,0) ? (0, ] B.(??, ? ) ? (0, ]





1 2

1 2

1 2

1 2

C.[? , ]

1 1 2 2

D.[? ,0) ? [ , ??)

1 2

1 2

8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数

x 成立,则实数 a 的取值范围
A. ?1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?





1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2


9. 函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在区间[2, 4]上是增函数, 则实数 a 的取值范围是 ( A.

1 1 ? a ? 或a ?1 8 4
x

C.

1 1 ? a ? 1 或 a ? 1 C. 0 ? a ? 或 a ? 1 D. a ? 1 8 8
( x ? R) , 区 间 M = [a, b](a ? b),
集合 N= ( D. 无数多个 )

10 . 设 函 数 f ( x) ? ?

1? x

{ y y ? f ( x), x ? M }使 M=N 成立的实数对 ( a, b) 有 A.0 个 B. 1 个 C. 2 个

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.函数 f ( x) ? 12.把函数 y ? 2
1?x

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是________

? 3 的图象向左移 1 个单位,向下移 4 个单位后,再关于 x 轴对称,

所得函数的解析式为

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), ? ? 2 x ? 6, x ? 10. ?
则 abc 的取值范围为 14.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 2 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2x) 的 x 的范围____ ? 1, x ? 0
2x

15.若关于 x 的方程 2

? 2x ? a ? a ? 1 ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围为_________
2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 3
1 ? 4 ?1 1 ? 7 ? 3 ? ? ? ? ?3 ? ( ) 0 ? ? ?81?0.25 ? (3 ) 3 ? 8 ? 8 ? ? ? ? 1 2 1

三.解答题(本大题共 5 题,每题 10 分,共 50 分) 16. (1)求值: lg 5 ?
2

(2)求值: ?0.0081 ?

? 10 ? 0.027 3

第2页

17.已知集合 A={x|x2-2x-8≤0,x∈R},B={x|x2-(2m-3)x+m2-3m≤0,x∈R, m∈R }. (1) 若 A∩B=[2,4],求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A ?RB,求实数 m 的取值范围.

18.函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ?1 ( x ? M ). (1)求函数 f (x) 的值域; (2)当 x ? M 时,关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) 有两不等实数根,求 b 的取值 范围.

19.已知 a ? 0, 且a ? 1 , f ?loga x ? ? ?

1? ? a ?? ?? x ? ?. 2 x? ? a ? 1 ??

(1)求 f ( x ) 的表达式,并判断其单调性;
2 (2 )当 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) 时,解关于 m 的不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 ;

(3)若 y= f ( x) ? 4 在 (??, 2) 上恒为负值,求 a 的取值范围.

第3页

20.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) ; (2)求 f ( x ) 的解析式; 立. (3) 求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时, 就有 f ( x ? t ) ? x 成

附加题 (10 分) 21. 设函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b ,设常数 b ? 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? [0,1], f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

第4页

杭州学军中学 2012 学年第一学期期中考试 高一数学答案
一、选择题(本题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11 14.

??1,

1 (? ,1) 3

12. y ? 1 ? ( )

2 ?1

?

1 2

x

13. (10,12)

15. a ? 2 ? 2 2

三、解答题(本大题共 5 题,每题 10 分,共 50 分) 16.(1).2lg5+2lg2+lg5(1+lg2)+ (lg 2) =2+lg5+lg2(lg5+lg2)=3 (2).
2

10 1 1 2 ? 2 ? ( ? ) ? 10 ? 0.3 =0 3 3 3 3
A ? B ? [2,4] 可知 m=5

1

17.(1). A:[-2,4];B:[m-3,m]

(2) B 的补集为 (??, m ? 3) ? (m,??) ;A:[-2,4] 因为 A 是 B 补集的真子集,所以 m-3>4 或者 m<-2 即 m>7 或 m<-2
2 18. (1). 3 ? 4 x ? x ? 0 解得 x ? 3或x ? 1

M={ x ? 3或x ? 1};

f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ;令 2 x ? t f (t ) ? t 2 ? 2t , t ? 8或0 ? t ? 2
所以值域为 (48,??) ? [?1,0) (2). 4 ? 2
x x ?1

? b(b ? R) 有两不等实数根,数形结合 b ? (?1,0)

第5页

19.(1) f ( x) ? 当 a ? 1时,

a (a x ? a ? x ) a ?1
2

a ? 0, a x ? a ? x 递增, f ( x)递增 a ?1 a ? 0, a x ? a ? x 递减, f ( x)递增 当 0 ? a ? 1时, 2 a ?1
2

(2) f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0

1 ? m ? 1 ? m2
函数是奇函数, f (1 ? m) ? f (m 2 ? 1) , ? 1 ? m ? 1 ? 1 ,解得 1 ? m ?

2

?1 ? m ?1 ? 1
2

(3) f ( x) ?

a (a x ? a ? x ) , f ( x) ? 4 a ?1
2

因为函数是单调递增函数,所以 f ( 2) = 解得 2 ? 3 ? a ? 2 ? 3 而且 a ? 1

a a2 ?1 (a 2 ? a ? 2 ) ? 4 , ?4 a2 ?1 a

20.(1)当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立

x ? 1,1 ? f (1) ? 1 ,所以 f (1) ? 1
(2) f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R)
2

当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立
2 所以 f ( x) ? ax ? 2ax ? c 而且 4a ? 4ac ? 0
2

因为 f (1) ? 1 , 3a ? c ? 0 解得 a ?

1 1 1 1 ? c ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ? 4 4 2 4

(3)只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立

f (1 ? t ) ? 1并且f (m ? t ) ? m
f (1 ? t ) ? 1 解得 ? 4 ? t ? 0
1 f (m ? t ) ? m 解得 ( m ? t ? 1) 2 ? m 4
所以: ? 2 m ? m ? t ? 1 ? 2 m 等价于 m ? 2 m ? (?1 ? t ) max ; m ? 2 m ? (?1 ? t ) min
第6页

所以 m=9 附加题 (10 分) 21 本题解法如下:? b ? 2 2 ? 3 ? 0,?当x ? 0时, a 取任意实数不等式恒成立,故

时 考虑 x ? ?0,1? , 原不等式变为 | x ? a |? ?

b b b ,即x ? ? a ? x ? . x x x

b ? ?a ? ( x ? x ) max , ? ? 只需对x ? ?0,1?, 满足? ?a ? ( x ? b ) . min ? x ?

(1) (2)
b 为增函数, x

对(1)式,由 b < 0 时,在 ?0,1?上, f ( x) ? x ?

b ? ( x ? ) max ? f (1) ? 1 ? b. ? a ? 1 ? b. x
(3)对(2)式,当 ? 1 ? b ? 0时, 在?0,1?上, x ? 当x ?

b ?b ? x? ? 2 ? b. x x

? b时, x ?

b b ? 2 ? b ,? ( x ? ) min ? 2 ? b . x x
(4)

? a ? 2 ? b.
由(3)(4) 、 ,要使 a 存在,必须有 ?

?1 ? b ? 2 ? b , 即 ? 1 ? b ? ?3 ? 2 2 . ?? 1 ? b ? 0.

∴当 ? 1 ? b ? ?3 ? 2 2时,1 ? b ? a ? 2 ? b. 当 b ? ?1时, 在?0,1?上, f ( x) ? x ?

b 为减函数, (证明略) x

b ? ( x ? ) min ? f (1) ? 1 ? b. x ?当b ? ?1时,1 ? b ? a ? 1 ? b.
综上所述,当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3时, a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) ; 当 b ? ?1时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b).

第7页


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