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导数习题分类学生


导数定义 1.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 2h h

利用导数证明不等式 1.求证下列不等式

2x ? x2 x2 (1) x ? x ? (0 , ) (相除) x ? (0 , ? ?) (相减) (2) sin x ? ? ln(1 ? x) ? x ? ? 2 2 2(1 ? x)
(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 ,

?
2

)

2 (理做)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F (x)=xf ' (x) ,讨论 F (x)在(0. +∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln x-2a ln x+1. 3 (全国卷 22) (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数 f(x)的最大值;(ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g(
a?b )<(b-a)ln2. 2
2


4 (2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In 2 4

5 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln( 1 ? x) , h ( x ) ? (1)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x); (2)当 x ? 0 时,不等式 g ( x ) ? 单调区间讨论 例 1.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x . 1? x

kx (k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x

x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间.
2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

2 (2009 安徽卷理) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 3. 设 函 数 f ( x) ? ax 在 x ? 0 处 取 得 极 值, 且 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)处 ) 的切线垂直于直线 ? bx ? k ( k ? 0)

ex x ? 2 y ? 1? 0. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)
4(2009 山东卷文)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 , 其中 a ? 0 (1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值?(2) 3

已知 a ? 0 , 且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增, 试用 a 表示出 b 的取值范围.

5( 2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不 . 单调 ,求 a 的取值范围. .. 分离常数 1 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 2 [广东省海珠区 2009 届高三综合测试二理科数学第 21 题](本小题满分 14 分) 已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ? ?0,???, 2 f ?x ? ? g ' ?x ? ? 2 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
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a ( a ? 0) , 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ )求函数 F ( x ) 的单调区间; x 1 (Ⅱ )若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; 2
3 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?
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4 设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ )求 a、b 的值; (Ⅱ )若对于任意的 x ? [0, 3] ,都 有 f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围.

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5 .设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 ; (Ⅰ)若 b ? ?12 ,求 f ( x ) 在 [1,3] 的最小值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; 求取值范围 1(2009 江西卷文)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; 2

(2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 2. ( 2009 天 津 卷 文 ) 设 函 数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 ( Ⅰ ) 当 m ? 1时, 曲线 3

y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) 处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零
点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。 3.设函数 f ( x) ? e ? e .
x ?x

(Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ;

(Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.
导数与解析几何 1. (2009 安徽卷理)已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

(

)

2 2 ( 2009 江西卷理)设函数 f ( x) ? g ( x)? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1))处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
2

(

) .

3 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

4. (2009 陕西卷理 )设曲线 y ? x n?1 (n ? N * ) 在点(1, 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n , 令 an ? lg xn ,则

a1 ? a2 ?

? a99 的值为

.

5. (2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不 . 单调 ,求 a 的取值范围. .. 零点 1 已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围. 2 已知函数. f ( x) ? 2 x3 ? ax 与 g ( x) ? bx2 ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线. (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程;

mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间. 8x 1 2 3.已知函数 f(x)=1n x,g(x)= x ? a (a 为常数),若直线 l 与 y=f(x)和 y=g(x)的图象都相切,且 l 与 y=f(x)的图象相切于定点 P 2
(2)设 F ( x) ? (1,f(1) ) . (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)当 k∈R 时,讨论关于 x 的方程 f(x2 +1)-g(x)=k 的实数解的个数. 导数与不等式综合

2 设二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 . (I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与
3 已知函数 f ( x) ? ln x

1 的大小.并说明理由. 16

(Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 的最大值; (Ⅱ)当 0 ? a ? b 时,求证 : f (b) ? f ( a ) ?

2a (b ? a ) a2 ? b2

4(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

5(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调 区间; (1)若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), (? , ??) 单调减少,证明 ? ? ? <6. 6.已知函数 f ( x) ? e x ? kx,x ? R . (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) 构造 1. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b (1) 若函数 y ? f ( x) 图象上任意不同两点连线的斜率都小于 1,则 ? 3 ? a ? 3 ; (2) 若 x ?[0,1],函数 y ? f ( x) 图象上任一点切线的斜率为 k ,求 k ? 1 时 a 的取值范围。 解答(1)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 是函数图象上任意不同两点,则

F (n) ? (e

n ?1

? 2) (n ? N? ) .

n 2

y1 ? y2 ? 1 ,显然 x1 ? x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2

y1 ? y2 ? x1 ? x2 , 即 y1 ? x1 ? y2 ? x, 2 构 造 函 数 g ( x) ? f ( x) ? x , 则 g ( x ) 在 R 上 是 减 函 数 , 则 g?( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 R 上恒成立,故 ? ? (2a)2 ?12 ? 0 ,解之得 ? 3 ? a ? 3
2 (2)当 x ?[0,1] 时, k ? f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ,即对任意的 x ? [0,1], k ? 1 ,即 ?3 x ? 2ax ? 1 在 x ? [0,1]

? ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 a ? ? ? 成立,由于 f ?(0) ? 0 ? 1,则必需满足 ?0 ? ? 1 或 ?a 或 ?a ,解 3 ? 1 ? 0 ? ? ? ?3 ?3 ? a a2 ? f ( ) ? ? 1 ? 3 3 ?
得1 ? a ? 3


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