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3.4 基本不等式课件第一课时最后更新


§3.4基本不等式:
第一课时

a?b ab ? 2

问题引入(一)
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图 案?

探究图形中的不等关系 ?

a
a 2 ? b2

b

赵爽弦图

D

D

b
G A H F E

a 2 ? b2

a

C

a
A E(FGH)

b

C

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有

B

B

a ? b ? 2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立。

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab 2

(a ? 0, b ? 0)

你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2 分 a?b 证明:要证 ≥ ab 析 2 法 ① 只要证 a ? b≥ _______ 2 ab ② 要证①,只要证 a ? b ? _____ 2 ab ≥0

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
2 2

要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式:
特别地,若a>0,b>0,则 ≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;

文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述
“=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a=b

a=b

注意从不同角度认识基本不等式

应用一:利用基本不等式判断代数式的大小关系

a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , 1 a?b Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则( B ) 2 2 A、R ? P ? Q B、P ? Q ? R C、R ? P ? Q D、P ? Q ? R
引例1:若

题型一:不等式的证明
1、已知a、b、c都是正数,

求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥ 8abc。

题型一:不等式的证明 变式1、已知a、b、c、d都是正数,
求证:(ab+cd)(ac+bd)≥ 4abcd。

题型一:不等式的证明 变式2、已知x、y都是正数,
求证:(x+y)(x2+y2) (x3+y3) ≥ 8x3y3

题型一:不等式的证明
变式3:已知a、b、c都是正数,求证:

bc ac ab ? ?? ? a?b?c a b c

题型一:不等式的证明
变式 4 已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:( -1)( -1)( -1)≥8. a b c
证明:∵a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1, 1-a b+c 2 bc 1 ∴ -1= = ≥ , a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理 -1≥ , -1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正,分别相乘 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( -1)( -1)( -1)≥ · · =8. a b c a b c 1 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3
思路点拨: 不等式右边数字为 8, 使我们联想到左边因式分别使用基本不等式, 1-a b+c 2 bc 1 可得三个“2”连乘,又 -1= = ≥ ,可由此变形入手. a a a a


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