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向量加法的定义及运算法则优质课


1、什么是向量? 既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的表示: (1)用有向线段表示:如 AB 、AC 、BC 等; ? ? ? (2)用带箭头的字母表示:如 a 、 c 等。 b、 3、什么是平行向量?(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 记作:a ∥ b ∥ c 4、相等向量: 长度相等且方向相同的向量 ? ? 记作: a = b

【学习目标】
(1)掌握向量加法的定义,并会用三角形法则和平行四边形法 则作两个向量的和向量 ; (2)理解向量加法的运算律; (3)激情投入到课堂学习中,充分享受数学的乐趣!

【重点难点】
重点:向量加法的三角形法则和平行四边形法则 ;

难点:对向量加法法则的理解.

过去由于台北和上海没有直航,因此春节探亲, 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海, 则飞 机的位移是多少? 上海
? b
上海 香港 台北 香港

? c
台北

? a

? ? a+ b

=

? c

如图:若记 OA ? a, AB ? b 则向量 OB 叫做向量 a 与 b 的和,记为 a ? b ? OA ? AB ? OB 。
B

O A

问题1:如图所示的三个向量,你们能给出它们所满 O 足的等式吗?
A

B

AB ? BO ? AO ,即 AO 向量为向量

AB 与 BO 的和。

由此,我们能概括出一般的两个向量与和的定义吗?
a

C

b
A


讨论:(1)平移的目的是什么?
(2)平移后两个向量的终点与起点有何关系? (3)和向量又是什么?

B

一、向量加法的定义:
求两个向量和的运算叫向量的加法。 (注意:两个向量的和仍是一个向量)

二、求向量和的方法
1、三角形法则
? ? ??? ? ? ??? ? ? 已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A,作 AB ? a, BC ? b, ???? ? ? ? ? 则向量 AC叫做 a与b的和,记作 a ? b, 即 ? ? ??? ? ??? ? ???? a ? b ? AB ? BC ? AC 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

? ? ? ? 例1:已知向量 a 、b ,求作向量 a + b
b a

作法1: 三角形法则 作法:(1)在平面内任取一点O (2) OA =

? a ,OB

=

? b



a

A
b

(3)则 OB ? a ? b 。

B

? ? ? ? 练习1:如图:已知向量a 、b 用向量加法的三角形法则作出 a ? b
(1) (2)



? ? a?b
a
(3)

b

b
a

? ? a?b ? ? a?b
(4)

a

a

b

b

? ? a?b

练习2:如图,已知
(1)

? ? a 、b

? ? ,用向量加法的平行四边形法则作出 a ? b
(2)



b a

b

b
O●

? ? a?b

b

O●

? ? a?b

a a

a

1.向量加法的平行四边形法则 ? ? 作法: (1)在平面内任取一点O a b ? (2)作OA ? a a A OB ? b o
? b
a?b
B C

(3)作OC ? a ? b

OA ? OB ? OC

特点:共起点,连对角

o

? a
? b
B

A

a?b

? b
C

2.向量加法的三角形法则
? ? b a ? a o
a?b

作法: (1)在平面内任取一点O

A

? b
B

(2)作OA ? a AB ? b (3)作OB ? a ? b
OA ? AB ? OB

特点:首尾相连,首尾连.

【自主学习】
1、什么是向量的加法,向量加法的运算法则有哪些? 求两个向量和的运算叫做向量的加法;

三角形法则和平行四边形法则.
2、用两种方法作出 a ? b .

要求: 1.组长带领小组成员确认需要讲解的环节; 2.有展示任务的小组要先完成本组任务小展示; 3.所有小组由组长、副组长主讲,其他组员补充、 质疑; 讨论内容:合作探究1和2以及典型例题 注意:三角形法则和平行四边形法则以及运算律

展示内容
合作探究1 合作探究2 例1 例2 例3

展示小组
5组 3组 7组 2组 8组

地点
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板

展示同学:① 展示要有条理,书写要认真工整.
②其他同学讨论完毕巩固基础知识. ③请大家补充质疑! 非展示同学:①在同学展示和点评时注意聆听,积极思考,及时记录. ②在同学展示后要大胆质疑.

? ? ? ? ? ? 1、 判断 a ? b 与 a ? b , b ? a 的大小关系

共线

(1)同向

(2)反向

a

b
A B C B

a
C

b

A

? ? ? ? | a + b |= | a | + | b |

? ? ? ? | a + b |= | b | - | a |

? ? ? ? 当向量a , b是共线向量时,a + b 又如何 作出来?

(1)同向
a

(2)反向
a

b
A

b
B C B

???? ? ? AC = a + b
2.零向量和任一向量

???? ? ? AC = a + b

C

A

a

的和是什么?

0 ?a ? a

不共线
a

b



?? a

A

? ? a+ b

? b
B

? ? ? ? a?b ? a ? b

? ? ? ? a?b ? a ? b

思考:实数的加法满足交换律和结合律,向量的加法是 否也满足类似的性质?类比猜想其具体形式是什么?

实数的加法

向量的加法
? ? ? ? a?b ? b?a

探 究

性 质

a ?b ? b?a

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? b
A

D

a a?b

D C

? b
B

a?b?c
A

c
b?c

a?b a
B

? ? ? ? a?b ? b?a

a

? b

C

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).

E
C D
d
O

e

c b
B

g

f
a

a
A

A

D d c C
b

B

练习3:根据图示填空:

练习4.根据图示填空:

(1)
(2)

a ? d ? DA
c?b ?




(1 ) a ? b ?

c
f
f

CB

(2 )c ? d ?

(3 ) a ? b ? d ?
(4 )c ? d ? e ?

g

已知平行四边形ABCD,完成下列各题:

AB ? AD ? AC
AC ? CD ? DO ? AO
( BC ? CD) ? DA ? BA
BC ? (CD ? DA) ? BA

D
O

C

A

B

应 用
(1)

例2.化简:

C A

? (2) DB ? CD ? BC ? DB ? BC ? CD ? 0
(3)AB ? DF

BC ? AB ?

AB ? BC ? AC

B

? ? AB ? BC ? CD ? DF ? FA ? 0

? CD ? BC ? FA

和 的运算,叫做向量的加法。 1、求两个向量____ 三角形法则 或_____________ 平行四边形法则 2、 向量的加法可由__________ 求得。 “首尾相接” 3、利用三角形法则求向量和要__________ ,
向量的起点放在一起。 利用平行四边形求向量和要将_______________

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? AC 1.向量( AB ? MB) ? ( BO ? BC ) ? OM ? ______ ??? ? 2.在矩形ABCD中, AC等于( D )
A. BC ? BA C. AD ? CD

巩固练习

B. AB ? DA
D. AD ? DC

??? ? ? ??? ? ? ???? ? 3.已知正方形ABCD的边长为1, AB ? a, BC ? b, AC ? c, ? ? ? 则a ? b ? c的模为( C )
A. 0 B. 3 C. 2 2 D.
2

4.下列说法:
? ①在△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ;

? ②若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则A、B、C为一个三角形的
三个顶点; ③若 a、b均为非零向量,则 a ? b 与 相等. 其中正确的个数为( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

a?b

一定

自主小结
1.向量加法的定义及运算法则;

2.向量加法的交换律、结合律.

上海

过去由于台北和上海没有 直航,因此春节探亲,乘 飞机要先从台北到香港, 再从香港到上海, 则飞机的 位移是多少?

台北
香港

? ? ? ? (1)向量加法的交换律: a ? b ? b ? a
AD ? b ,以AB、AD为邻边作 ABCD, 证明:(1)如图,作 AB ? a ,

因为

BC ? b , DC ? a

AC ? AB ? BC ? a ? b



D

? a
a?b b

C

? ? ? ? 所以 a ? b ? b ? a

AC ? BC ? AB ? b ? a
A

b

? a

B

? ? ? ? ? ? (2)向量加法的结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
D

BC ? b , CD ? c (2) 证明:如图:使 AB ? a ,



(a ? b) ? c ? AC ? CD ? AD



a?b?c
b?c
A

c
C

a ? (b ? c) ? AC ? CD ? AD
所以

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).

a?b

a
B

b

求两个向量和的运算叫向量的加法。

(要点:两向量首尾相接)

(要点:两向量起点放在一起,组成平行四边形两邻边)

如图(a),表示橡皮条在两 个力的作用下,沿着GC的 方向伸长了EO;图(b)表示 撤去F1和F2,用一个力F作 用在橡皮条上,使橡皮条 沿着相同的方向伸长相同 的长度。 改变力F1与F2的大小和方向, 重复以上的实验,你 能发现F与F1、F2之间的关 系吗?

解:

F1+F2=F


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