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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线和圆


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线和圆
一.直线的倾斜角: 1.定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,如果把 x 轴绕着交点 按逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。 当直线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; 2.倾斜角的范围 ?0, ? ? 。如 (1)直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是____

? 5? (答: [0, ] [ ,? ) ) ; 6 6 ? 2? ( 2 ) 过点 P(? 3,1),Q(0, m) 的直线的倾斜角的范围 ? ? [ , ], 那么 m 值的范围是 3 3 ______ (答: m ? ?2或m ? 4 ) 二.直线的斜率: 1.定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k =tan ? ( ? ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; ( y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? ; 2.斜率公式:经过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k ? x1 ? x2 3.直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 4.应用:证明三点共线: kAB ? kBC 。如
(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 (答:既不充分也不必要) ; y (2)实数 x, y 满足 3x ? 2 y ? 5 ? 0 ( 1 ? x ? 3 ),则 的最大值、最小值分别为______ x 2 (答: , ?1 ) 3 三.直线的方程: 1.点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。 2.斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。 y ? y1 x ? x1 3. 两点式: 已知直线经过 P 则直线方程为 , P2 ( x2 , y2 ) 两点, ? 1 ( x1 , y1 ) 、 y 2 ? y1 x2 ? x1 它不包括垂直于坐标轴的直线。 4.截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为
x y ? ? 1 ,它不包 a b

括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5.一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。如 ? (1)经过点(2,1)且方向向量为 v =(-1, 3 )的直线的点斜式方程是___________ (答: y ?1 ? ? 3( x ? 2) ) ; (2)直线 (m ? 2) x ? (2m ?1) y ? (3m ? 4) ? 0 ,不管 m 怎样变化恒过点______ (答: (?1, ?2) ) ;

(3)若曲线 y ? a | x | 与 y ? x ? a(a ? 0) 有两个公共点,则 a 的取值范围是_______ (答: a ? 1 ) 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线, 还有截距式呢?) ;(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线的斜率为-1 或直线过原点; 直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点; 直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点。如过点 A(1, 4) ,且纵横截距的 绝对值相等的直线共有___条(答:3) 四.设直线方程的一些常用技巧: 1.知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; 2.知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); 3.知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率 k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ; 4.与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; 5.与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 五.点到直线的距离及两平行直线间的距离: Ax0 ? By0 ? C (1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ; A2 ? B 2 C ? C2 (2)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 1 。 A2 ? B 2 六.直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: 1.平行 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距) ; 2.相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ; 3.重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 。 A B C A B A B C 提醒: (1) 1 ? 1 ? 1 、 1 ? 1 、 1 ? 1 ? 1 仅是两直线平行、相交、重合 A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2 的充分不必要条件!为什么?(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能 这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; (3)直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 。 如(1)设直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 和 l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l2 ; 当 m =________时 l1 ? l2 ;当 m _________时 l1 与 l2 相交;当 m =_________时 l1 与 l2 重合 1 (答:-1; ; m ? 3且m ? ?1 ;3) ; 2 (2)已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则与 l 平行,且过点(—1,3)的直线方 程是______ (答: 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ) ; (3)两条直线 ax ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是 ____ (答: ?1 ? a ? 2 ) ; (4) 设 a, b, c 分别是△ABC 中∠A、 ∠B、 ∠C 所对边的边长, 则直线 sin A x ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B y ? sin C ? 0 的位置关系是____

(答:垂直) ; l (5)已知点 P 是直线 上一点, 是直线 外一点,则方程 l : f ( x , y ) ? 0 ( x , y ) P ( x , y ) 1 1 1 2 2 2 f ( x, y) ? f ( x1, y1 ) ? f ( x2 , y2 ) =0 所表示的直线与 l 的关系是____ (答:平行) ; (6)直线 l 过点(1,0) ,且被两平行直线 3x ? y ? 6 ? 0 和 3x ? y ? 3 ? 0 所截得的线 段长为 9,则直线 l 的方程是________ (答: 4x ? 3 y ? 4 ? 0和x ? 1 ) 七.到角和夹角公式: 1 . l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 ? ,

? ? ?0,? ? 且 tan ? =

k 2 ? k1 ( k1k2 ? ?1); 1 ? k1 k 2

k ? k1 ? (2)l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 ? , ? ? (0, ] 且 tan ? =︱ 2 ︱( k1k2 ? ?1)。 2 1 ? k1 k 2 提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如 已知点 M 是直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点, 把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°, 得到的直线方程是______ (答: 3x ? y ? 6 ? 0 ) 八.对称(中心对称和轴对称)问题——代入法:如 (1)已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称,点 P 与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与点 P 关于直线 x ? y ? 0 对称,则点 Q 的坐标为_______ (答: (b, a ) ) (2)已知直线 l1 与 l2 的夹角平分线为 y ? x ,若 l1 的方程为 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) ,那
么 l2 的方程是___________ (答: bx ? ay ? c ? 0 ) ; (3)点A(4,5)关于直线 l 的对称点为B(-2,7),则 l 的方程是_________ (答: y=3x+3 ) ; (4)已知一束光线通过点A(-3,5) ,经直线 l :3x-4y+4=0 反射。如果反射光 线通过点B(2,15) ,则反射光线所在直线的方程是_________ (答: 18x+y ? 51 ? 0 ) ; (5) 已知Δ ABC 顶点 A(3, -1), AB边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0, ∠B 的平分线所在的方程为 x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程 (答: 2x ? 9 y ? 65 ? 0 ) ; (6)直线 2x―y―4=0 上有一点P,它与两定点A(4,-1) 、B(3,4)的距离之差 最大,则P的坐标是______ (答: (5,6) ) ; (7)已知 A ? x 轴, B ? l : y ? x ,C(2,1) , ABC 周长的最小值为______ (答: 10 ) 。 提醒:在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 九.简单的线性规划: 1.二元一次不等式表示的平面区域:①法一:先把二元一次不等式改写成 y ? kx ? b 或 y ? kx ? b 的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域;法二:用特 殊点判断;②无等号时用虚线表示不包含直线 l ,有等号时用实线表示包含直线 l ;③设

点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,若 Ax1 ? By1 ? C 与 Ax2 ? By2 ? C 同号,则 P,Q 在直线 l 的同侧, 异号则在直线 l 的异侧。如 已知点 A(—2,4) ,B(4,2) ,且直线 l : y ? kx ? 2 与线段 AB 恒相交,则 k 的取值 范围是__________ (答: ?-?,-3? ?1,+?? ) 2.线性规划问题中的有关概念: ①满足关于 x, y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量 x, y 的解析式叫目标函数, 关于变量 x, y 一次式的目标函数叫线性目标函 数; ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题; ④满足线性约束条件的解( x, y )叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域; ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解; 3.求解线性规划问题的步骤是什么?①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作 出可行域,写出目标函数;③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。如 |? 1 (1)线性目标函数 z=2x-y 在线性约束条件 || x y |? 1 下,取最小值的最优解是____

?

(答: (-1,1) ) ; (2)点(-2, t )在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是_________ 2 (答: t ? ) ; 3 (3)不等式 | x ? 1 | ? | y ? 1 |? 2 表示的平面区域的面积是_________ (答:8) ; ? ?x ? y ? 2 ? 0 (4)如果实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ?| x ? 2 y ? 4 | 的最大值_________ ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 (答:21) 4.在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时 注意作图规范。 十.圆的方程: 1.圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 。
2 2

2 .圆的一般方程: x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) , 特别提醒 :只有当 D E D2+E 2-4F ? 0 时 , 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才 表 示 圆 心 为 (? , ? ) , 半 径 为 2 2 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆(二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件 2 是什么? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ) ) ; x ? a ? r cos ? 3.圆的参数方程: y ? b ? r sin ? ( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。圆的

?

参数方程的主要应用是三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ; x2 ? y 2 ? t

? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。 4. A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 如
(1)圆 C 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为____________ (答: x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ) ;

(2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (答: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) ; ? r cos ? ? (3)已知 P(?1, 3) 是圆 x y ? r sin ? ( 为参数, 0 ? ? ? 2? ) 上的点,则圆的普通方 程为________,P 点对应的 ? 值为_______,过 P 点的圆的切线方程是___________ 2? (答: x2 ? y 2=4 ; ; x ? 3y ? 4 ? 0 ) ; 3 (4)如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值 范围是__ (答:[0,2]) ; 2 2 (5)方程 x +y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为____ 1 (答: k ? ) ; 2 x ? 3cos ? (6)若 M ? {( x, y ) | y ? 3sin ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )} , N ? ?( x, y) | y ? x ? b?,若

?

?

M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是_________

十一.点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ?
2

2

(答: -3,3 2 ? ?) ? r 2 ? r ? 0? ,

?

(1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 。如
2 2

点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______(答: | a |? 十二。直线与圆的位置关系:
2 2

1 ) 13

直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0? 有相交、相离、相切。可从 代数和几何两个方面来判断: (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d , 则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。提醒:判断直线与圆的位置关系一般用 几何方法较简捷。如 ? (1)圆 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R ,? ? ? k? , k ? z ) 的位置关系为 2 ____ (答:相离) ; 2 2 (2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4x ?1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值____ (答:2) ; 2 2 (3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于 (答: 4 5 ) ; (4)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 (答:4) ; 2 2 2 (5) 已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点, 现有以 M 为中点的弦所在直线
2 2

m 和直线 l : ax ? by ? r 2 ,则 A. m // l ,且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离
2 2

B. l ? m ,且 l 与圆相交 D. l ? m ,且 l 与圆相离

(答:C) ; (6)已知圆 C: x ? ( y ?1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R ,直 线 L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 ③最长: y ? 1 ,最短: x ? 1 ) 十三.圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分 别为 O1,O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则 (1)当 |O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆外离; (2)当 |O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆外切; (3)当 r1 ? r2 <|O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆相交; (4)当 |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内切; (5)当 0 ? |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内含。如
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则 a 2 b2 分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 (答:内切) 十四.圆的切线与弦长: (1) 切线:① 过圆 x2 ? y 2 ? R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程 是: xx0 ? yy0 ? R2 ,过圆

双曲线

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: ( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2 ,

一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ;②从圆外一点引圆 的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到 直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点弦” )方程的求法:先求出以 已知圆的圆心和这点为直径端点的圆, 该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程; 2 2 ③切线长:过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 )外一点 P( x0 , y0 ) 所引圆的 切线的长为 x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b)2 ? R 2 ) ;如 设 A 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 __________ (答: ( x ?1)2 ? y 2 ? 2 ) ; 1 (2)弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半 a 及圆的半径 r 所构 2 1 成的直角三角形来解:r 2 ? d 2 ? ( a ) 2 ; ②过两圆 C1 : f ( x, y) ? 0 、C2 : g ( x, y) ? 0 交点的圆(公 2 共弦)系为 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 , 当 ? ? ?1 时, 方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直 线方程.。 十五.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、 半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!


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