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江苏省阜宁明达中学2011届高三数学第一轮基础知识训练10


江苏省阜宁明达中学 2011 届高三数学第一轮基础知识训练(10)
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 P ? x x ( x ? 1) ≥ 0 , Q ? ?x | y ? ln(x ? 1)? ,则 P

?

?

Q=

.

2、若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

.

3、 已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为 F (10, 0) ,两条渐近线的方程为 y ? ? 曲线的标准方程为 .

4 x ,则该双 3

4、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是

.

5、在用二分法 求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下 ...
3

一步可断定该根所在的区间为

. (说明:写成闭区间也算对)

6 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足

m a? n ? b ,则 c (m ? 3)2 ? n2 的最大值为

.

7、对于滿足 0 ? a ? 4 实数 a ,使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围_
2

_

8、扇形 OAB 半径为 2 ,圆心角∠AOB=60°,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在线段 OA 上,且

OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为

9、已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ?

?

? ?? ) ,直线 x=t(t∈ ?0, 2 ? )与函数 f(x)、g(x) 6 ? ?


的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是

10、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整数” .在实数 轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x .这个函 数[

x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么

=_________ . [ l o 2g 1] ? [ l o 2g2] ? [ l o 2g3] ? [ l o 2g4] ? ? ? [ l o 2g 1 0 2]4

11、方程 2

sin ?

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数

? 2? 12、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最小

??

项为第 y 项,则 x+y 等于

13、 若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x) ,对于任意的 x, y ? R ,不等式 f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成立;且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则当 1 ? x ? 4 时, 围 .

y 的取值范 x

14、 已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 ,f ? x ? 1? ? 的值为 .

1? f ? x? , 则 f ?1? ?f ? 2? ?f 3? ? ? ? f 2 0 9? 1? f ? x?

?

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15. (本小题满分 14 分)

7 x ? 8 y ? 1 ? 0 和 l2: 2 x ? 17 y ? 9 ? 0 的交点,且垂直于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直 求经过直线 l1:
线方程

16. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc. (1)求角 A 的值; (2)在(1)的结论下,若 0 ? x ?

?
2

,求 y ? cos2 x ? sin A ? sin 2 x 的最值.

17. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角 B 的大小; (2)设 m ? ? sin A,cos 2A ?,n ? ? 4k, 1??k ? 1?, 且 m ?n 的最大值是 5,求 k 的值.
2 0

0

7

0

3

1

6

18. (本小题满分 16 分)为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如 图,要求 ?ACB ? 60 ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0 5 米
0

为了广告牌稳固,要

求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米? A

19. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 中a1 ? 2 ,前 n 项的和为 Sn,且

B

4tSn+1 ? (3t ? 8)S n ? 8t ,其中 t ? ?3, n ? N * ; (1)证明数列 {an } 为等比数列; (2) 判定 {an }

C

的单调性,并证明

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ?x ? ? (1)求 f ?x ? 的单调区间;

x2 , ? x ? R, 且 x ? 2 ? x?2

(2)若函数 g ?x ? ? x 2 ? 2ax 与函数 f ?x ? 在 x ? ?0,1? 时有相同的值域,求 a 的值; (3) 设 a ? 1, 函数 h?x ? ? x 3 ? 3a 2 x ? 5a, x ? ?0,1?, 若对于任意 x1 ? ?0,1?, 总存在 x0 ? ?0,1? , 使得 h?x0 ? ? f ?x1 ? 成立,求 a 的取值范围

参考答案: 1、 ?1, ?? ? 2、2

x2 y 2 ? ?1 3、 36 64
4、4 5、 ?

?3 ? , 2 ? (说明:写成闭区间也算对) ?2 ?

6、16 7、 (??,?1) ? (3,??) 8、 3 9、 3 10、8204 11、2 12、3 13、 [? ,1 ] 14、2

1 2

11 ? x?? ? ?2 x ? 17 y ? 9 ? 0 ? 27 ,所以交点坐标为 15.解:由方程组 ? ,解得 ? ?7 x ? 8 y ? 1 ? 0 ? y ? ? 13 ? 27 ?

(?

11 13 . , ? ) 27 27

……………7 分

又因为直线斜率为 k ? ? , 所以求得直线方程为 27x+54y+37=0

1 2

………………14 分

16.解:(1) (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2bc ? c 2 ? a 2 ? 3bc,2bc cos A ? bc, 所以 cos A ?

1 ? ,A? 2 3

………………7 分

(2) y ? 1 ? cos2 x ? sin A sin 2 x ? 1 ? 1 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ……10 分 2 2 2 2 2 6 因为 0 ? x ? 所以, 0 ?

?
2

,0 ? 2 x ? ? ,

?
6

? 2x ?

?

7 1 ? ? ? ,? ? sin( 2 x ? ) ? 1, ……12 分 6 6 2 6
……………14 分

1 ? 3 3 ? sin( 2 x ? ) ? , 即 y min ? 0, y max ? 2 6 2 2

17.解: (1)∵ (2a-c)cosB=bcosC, ∴ (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ………………5 分 ∵ A+B+C=π,∴ 2sinAcosB=sinA∵ 0<A<π,∴ sinA≠0. ∴ cosB=

1 2

∵ 0<B<π,∴ B=

? 3

………………7 分

(2) m ? n =4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1,A∈ (0,

22 )………………10 分 3

(0,1] . 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈
∵ k>1,∴ t=1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴ k=

3 2

………………14 分

18.解:设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0 5)米 在△ ABC 中,依余弦定理得: -------(4 分)

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos?ACB
即 ( y ? 0.5) ? y ? x ? 2 yx ?
2 2 2

1 1 2 ,化简,得 y ( x ? 1) ? x ? 2 4
-----------(8 分)

1 4 x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0 因此 y ? ∵ x ?1 x2 ?
方法一: y ?
x2 ? 1 3 4 ? ( x ? 1) ? ?2? 3?2 x ?1 4( x ? 1)

-------------- (12 分) ----(16 分)

当且仅当 x ? 1 ?

3 时,取“=”号,即 3 时,y 有最小值 2 ? 3 x ? 1? 4( x ? 1) 2

1 1 2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? ) x 2 ? 2 x ? / 4 ? 4 方法二: y x ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

------------(10 分)

x ?1 ? 3 解? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ? 2 ? 4 ?
/ / ∵ 当 1 ? x ? 1 ? 3 时, y x ? 0 ;当 x ? 1 ? 3 时, y x ?0 2 2

------------------(13 分)

∴ 当 x ? 1?

3 时,y 有最小值 2 ? 3 2

----------(16 分)

19.解(1)证明:∵ 4tS n?1 ? (3t ? 8)S n ? 8t 当 n=1 时,4t(a1+a2)-(3t+8)a1=8t 而 a1=2 又∵ 4tS n ? (3t ? 8)S n?1 ? 8t ② (n≥2)



? a2 ?

8 ? 3t …………………… 2 分 2t

由① ② 得 4tan?1 ? (3t ? 8)an ? 0 即

an?1 3t ? 8 ? (n ? 2,? t ? ?3) ………………… 4 分 an 4t



a 3t ? 8 8 ? 3t ∴ {an}是等比数列………………………………………8 分 ? 0又 2 ? 4t a1 4t
3t ? 8 n ?1 ) ? 0(? t ? ?3) 4t

(2)∵ an=2(

a n ?1 3t ? 8 3 2 ? ? ? an 4t 4 t

………………… 12 分

∵ t<-3 ∴

a n ?1 1 3 ?( , ) an 12 4

…………………………………………… 14 分



an?1 {an}为递减数列…………………………………… 16 分 ? 1 ? an?1 ? an ∴ an

??x ? 2? ? 2? ? ?x ? 2? ? 4 ? 4 , x2 20.解: (1) f ?x ? ? ? x?2 x?2 x?2
2

易得 f ?x ? 的单调递增区间为 ? ??,0?, ? 4, ??? ;单调递减区间为 ? 0, 2?, ? 2, 4? 。…5 分 (2)∵f ?x ? 在 x ? ?0,1? 上单调递减,∴ 其值域为 ?? 1,0? ,即 x ? ?0,1? , g ?x ? ? ?? 1,0? 。 ∵ 最小值只能为 g ?1? 或 g ?a ? , g ?0? ? 0 为最大值,∴

?1 ?a ? 1 ? ? a ?1 若 g ?1? ? ?1 ? ? ? a ? 1。 ? a ? 1 ;若 g ?a ? ? ?1 ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? ?1 ?? a ? ?1 ?
综上得 a ? 1 ; ……………10 分

( 3 ) 设 h?x ? 的 值 域 为 A , 由 题 意 知 , ?? 1,0? ? A 。 以 下 先 证 h?x ? 的 单 调 性 : 设

0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
∵ h?x1 ? ? h?x2 ? ? x1 ? x2 ? 3a 2 ?x1 ? x2 ? ? ?x1 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3a 2 ? 0 ,
3 3 2 2
2 ( a ? 1 ? 3a ? 3 , x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3) ,

?

?

2

2

∴ h?x ? 在 ?0,1? 上单调递减。 ∴ ?

?hmax ? h?0? ? 5a ? 0

2 ?hmin ? h?1? ? 1 ? 3a ? 5a ? ?1

? a ? 2,
…………16 分

∴ a 的取值范围是 ?2,???


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