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四川省资阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(一模)


四川省资阳市 2015 届高三一诊数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试 时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将 本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.集合 M ? {x | ( x ? 2)( x ? 2) ? 0} , N ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 M N ? (A){ x|-1≤x<2} (C){ x|-2≤x<3} (B){ x|-1<x≤2} (D){ x|-2<x≤2}

2.在复平面内,复数 3-4i,i(2+i)对应的点分别为 A、B,则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 (A)-2+2i (B) 2-2i (C)-1+i (D) 1-i

3.已知 a,b ? R,下列命题正确的是 (A)若 a ? b ,则 | a |?| b | (C)若 | a |? b ,则 a 2 ? b 2 (B)若 a ? b ,则

1 1 ? a b

(D)若 a ? | b | ,则 a 2 ? b 2

4.已知向量 AB ? a ? 3b , BC ? 5a ? 3b , CD ? ?3a ? 3b ,则 (A) A、B、C 三点共线 (C) A、C、D 三点共线 (B) A、B、D 三点共线 (D) B、C、D 三点共线

2 ? ax0 ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 5.已知命题 p ? x0 ? R, x0

(A) [0, 4] (C) (??,0)
(4, ??)

(B) (0, 4) (D) (??,0] [4, ??)

6.将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得图象关于原点 O 对称,则 ? 的最小 3 值为 (A) (C)

?

2? 3

(B) (D)
·1 ·

? 3

? 6

?
12

7. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 问最小的一份为 (A) (C)

1 是较小的两份之和, 7

5 3 13 6

(B) (D)

11 6
10 3

8.若执行右面的程序框图,输出 S 的值为 (A) 2log 2 3 (B) log 2 7 (C)3 (D)2 9.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x ? sin x ( x ? R) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则下列不等 的是 (A)x1>x2 (C) x1+x2<0 (B) x1<x2 (D) x1+x2>0 式正确

?| 2 x ? 1|, x ? 1, 10. 已知 m ? R , 函数 f ( x) ? ? 若函数 y ? f ( g ( x)) ? m 有 6 个零点, g ( x) ? x2 ? 2x ? 2m ? 1 , log ( x ? 1), x ? 1, ? 2

则实数 m 的取值范围是

3 (A) (0, ) 5 3 (C) ( ,1) 4

3 3 (B) ( , ) 5 4
(D) (1,3)

·2 ·

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。 作图时可先用铅笔绘 出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.函数 f ( x) ? log 2 x ?1 的定义域为___________. 12.已知向量 a=(2, 1),b=(0,-1).若(a+λ b)⊥a,则实数 λ = .

? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? 13.已知点 A 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 所表示的平面区域内的一个动点,点 B(?1,1) ,O 为坐标原点, ?x ? 1 ?

则 OA ? OB 的取值范围是____________. 14. 若两个正实数 x,y 满足
2 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为________. x y

15.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图象连续不断,若存在常数 t (t ? R ) ,使得 f ( x ? t ) ? tf ( x) ? 0 对任 意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数,其回旋值为 t.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? 2 为回旋函数的充要条件是回旋值 t=-1; ②若 y ? a x (a>0,且 a≠1)为回旋函数,则回旋值 t>1; ③若 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 为回旋函数,则其最小正周期不大于 2; ④对任意一个回旋值为 t(t≥0)的回旋函数 f(x),方程 f ( x) ? 0 均有实数根. 其中为真命题的是__________. (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 2a1 , a 3 , 3a2 成等差数列. (Ⅰ) 求等比数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足 bn ? 11 ? 2log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值.

·3 ·

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1, 3cos ? ) ,n ? (1, 4 tan ? ) , ? ? (? , ) ,且 m·n=5. 2 2 (Ⅰ) 求|m+n|; (Ⅱ) 设向量 m 与 n 的夹角为 β ,求 tan(? ? ? ) 的值.

?

?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底 数. (Ⅰ) 求实数 a、b 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3m sin x cos x ? mcos 2 x ? n ( m ? 0 )在区间 [0, ] 上的值域为 [1, 2] . 4 (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; ) ? 1 ,sin B ? 4sin(? ? C ) , (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若 f (A △ABC 的面积为 3 ,求边长 a 的值.

?

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0 , an?1 ? Sn ? n . (Ⅰ) 求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; x y 1 (Ⅱ) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn?1 , Tn ) 在直线 ? ? 上,在(Ⅰ)的条件下, n ?1 n 2 bn b1 b2 * 2 ? ? ? ? t ? 3t 对于 n ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围. 若不等式 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax (a∈R) . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; x 1 (Ⅱ) 设 g ( x) ? x ,若对于任意给定的 x0 ? (0,e] ,方程 f ( x) ? ? g ( x0 ) 在 (0,e] 内有两个不同的 e e 实数根,求 a 的取值范围. (其中 e 是自然对数的底数)

·4 ·

资阳市高中 2012 级第一次诊断性考试 (数学学科)参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题:BDDBA,CACDA. 二、填空题:11. [2, ??) ;12. 5;13. [?1,1] ;14. 8;15. ①③④. 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q, an ? 0 因为 2a1 , a 3 , 3a2 成等差数列,所以 2a1 ? 3a2 ? 2a3 ,则 2a1 ? 3a1q ? 2a1q 2 ,

1 所以 2q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ? (舍去), ············ 4 分 2
又 a1 ? 2 ,所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n . ·············· 6 分 (Ⅱ) bn ? 11 ? 2log2 an ? 11 ? 2n , ··················· 8 分 则 b1 ? 9 , bn ?1 ? bn ? ?2 ,故数列 {bn } 是首项为 9,公差为-2 的等差数列, 所以 Tn ?

n(9 ? 11 ? 2n) ? ?n2 ? 10n ? ?(n ? 5)2 ? 25 , ············ 10 分 2

所以当 n ? 5 时, Tn 的最大值为 25. ·················· 12 分 17.

1 (Ⅰ)由 m·n ? 1 ? 12 cos ? tan ? ? 5 ,解得 sin ? ? , ··········· 2 分 3
2 2 2 ? ? 因为 ? ? (? , ) ,所以 cos ? ? , tan ? ? . ··········· 4 分 4 3 2 2

则 m ? (1, 2 2) , n ? (1, 2) ,所以 m+n ? (2,3 2) , 所以|m+n| ? 22 . ························· 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? (1, 2 2) , n ? (1, 2) ,则 cos ? ? cos ? m, n ??
5 3? 3 ? 5 3 , 8分 9

sin ? ? 1 ? (

2 5 3 2 6 ) ? ,所以 tan ? ? , ·············· 10 分 5 9 9

2 2 ? 2 4 5 ? 所以 tan(? ? ? ) ? . ·················· 12 分 2 2 2 1? ? 4 5

18.

(Ⅰ) 由 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e x ,得 f ?( x) ? [ x2 ? (a ? 2) x ? a ? b]e x , 因为函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 1 ,

·5 ·

? f (0) ? 1, ?b ? 1, 所以 ? 即? ? f ?(0) ? ?2, ? a ? b ? ?2,

解得 a ? ?3 , b ? 1 . ························· 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 1)e x , f ?( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? ( x ? 1)( x ? 2)e x , · 8 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 或 x2 ? 2 . 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;当 ?1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, 故当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 取得极大值, f ( x) 极大值= f (?1) ?

5 ;当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得极小 e

值, f ( x) 极小值= f (2) ? ?e2 . ························ 12 分 19. (Ⅰ) f ( x) ? 3m sin x cos x ? m cos2 x ? n ?
3m m sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? n 2 2

?

m m ? m ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? n ? m sin(2 x ? ) ? ? n , ·········· 3 分 2 2 6 2

? ? ? 2? 1 ? 当 x ?[0, ] 时, 2 x ? ?[ , ] ,则 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 4 6 6 3 2 6
?m m ? ? n ? 1, ? ? ? 由 m ? 0 ,则 ? 2 2 解得 m ? 2 , n ? ?1 ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , · 5 分 m 6 ? m ? ? n ? 2, ? ? 2

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ),

故函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

?

, k? ? ] , k ? Z . ········· 7 分 3 6

?

? ? 1 ? (Ⅱ)由 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? ,所以 A ? . ····· 8 分 6 6 2 3
因为 sin B ? 4sin(? ? C ) ,所以 sin B ? 4 sin C ,则 b ? 4c , ········· 9 分

1 ? 又△ABC 面积为 3 , 所以 S ? bc sin ? 3 ,即 bc ? 4 , ········· 10 分 2 3
所以 b ? 4 , c ? 1 ,则 a2 ? 42 ? 12 ? 2 ? 4 ?1? cos 20.

?
3

? 13 ,所以 a ? 13 . ··· 12 分

(Ⅰ)由 an?1 ? Sn ? n ,得 an ? Sn ?1 ? n ? 1 ( n ? 2 ), 两式相减得 an?1 ? an ? (Sn ? Sn?1 ) ? 1 ,即 an?1 ? 2an ? 1 , ·········· 2 分 所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? 2 ), ···················· 4 分
·6 ·

又 a1 ? 0 , a2 ? 1 ,则 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) ,所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 对任意 n ? N* 成立, 所以数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以,数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ?1 ? 1 . ················ 6 分 (Ⅱ)因为点 (Tn?1 , Tn ) 在直线 公差的等差数列,则

T T 1 T x y 1 1 ?T ? ? ? 上,所以 n ?1 ? n ? ,故 ? n ? 是以 1 ? 1 为首项, 为 n n ?1 n 2 n ?1 n 2 2 1 ? ?

Tn 1 n(n ? 1) , ? 1 ? (n ? 1) ,所以 Tn ? n 2 2 n(n ? 1) (n ? 1)n ? ? n , b1 ? 1 满足该式,所以 bn ? n . 2 2
bn 2 3 ? t 2 ? 3t ,即为 1 ? ? 2 ? an ? 1 2 2

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 不等式
b1 b ? 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1

8分

?

?

n ? t 2 ? 3t , 2n?1

令 Rn ? 1 ?

2 3 ? ? 2 22

?

n 1 1 2 3 ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? 2n?1 2 2 2 2 ?

?

n ,两式相减得 2n

1 1 1 1 (1 ? ) Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2
所以 Rn ? 4 ?

1 n n?2 n?2 ? n ? 2 ? n ,所以 Rn ? 4 ? n ?1 . ·· 10 分 n ?1 2 2 2 2

n?2 ? 4 . ························ 11 分 2n?1

由 Rn ? t 2 ? 3t 恒成立,即 t 2 ? 3t ? 4 ,解得 t ? ?1 或 t ? 4 . ········· 13 分 21. (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ?2x2 ? ax ? 1 , ················ 1 分 ? 2x ? a ? x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 ,该方程的判别式△= a 2 ? 8 ? 0 , 可知方程 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 有两个实数根 当 x ? (0,
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ,又 x ? 0 ,故取 x ? , 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 4 4

函数 f ( x) 单调递减. 则函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, (Ⅱ) g ?( x) ?
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ;递减区间是 ( , ??) . 4 4

4分

1? x ,当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;当 x ? (1,e) 时, g ?( x) ? 0 , ex 1 ,也为该区间上的最大值,于是 e

函数 g ( x) 单调递减,知函数 g ( x) 在区间 (0,e) 上的极大值为 g (1) ?

1 函数 g ( x) 在区间 (0,e] 的值域为 (0, ] . ··················· 6 分 e
·7 ·

1 ?2x2 ? ax ? 1 令 F ( x) ? f ( x) ? ,则 F ?( x) ? f ?( x) ? , e x
由 F ?( x) ? 0 , 结合(Ⅰ)可知, 方程 F ?( x) ? 0 在 (0, ? ) 上有一个实数根 x3 , 若 x3 ? e , 则 F ( x) 在 (0,e] 上单调递增, 不合题意, 可知 F ?( x) ? 0 在 (0,e] 有唯一的解 x3 ? 上单调递增;在 (
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) , 且 F ( x) 在 (0, 4 4

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递减.················ 8 分 4

1 (0,e] 内 有两 个不 同的 实数 根, 所以 F (e)? 0 , 且 因 为 ?x0 ? ( 0, e ], 方程 f ( x) ? ? g ( x 0 )在 e 1 F ( x)m a x ? . ······························ 10 分 e 1 e3 ? e ? 1 由 F (e) ? 0 ,即 ln e ? e2 ? ae ? ? 0 ,解得 a ? . e e2
由 F ( x)max ? f ( x3 ) ?

1 1 2 ? ax3 ? 0 , ? ,即 f ( x3 ) ? 0 , ln x3 ? x3 e e
1 2 2 ,代入 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 ,得 ln x3 ? x3 ?1 ? 0 , x3

2 因为 ?2 x3 ? ax3 ? 1 ? 0 ,所以 a ? 2 x3 ?

令 h( x) ? ln x ? x2 ? 1 ,知函数 h( x) 在 (0,e] 上单调递增,而 h(1) ? 0 ,则 h( x3 ) ? h(1) ? 0 , 所以 1 ? x3 ? e ,而 a ? 2 x3 ?
1 1 在 1 ? x3 ? e 时单调递增,可得 1 ? a ? 2e ? , x3 e

综上所述,实数 a 的取值范围是 (1,

e3 ? e ? 1 ] . ·············· 14 分 e2

·8 ·


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