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2015年高考文科数列练习题


2015 年高考文科数列练习题 1.(2014 课标Ⅱ ,16,5 分)数列{an}满足 an+1=1- ,a8=2,则 a1=


1

.

答案

1 2

2.(2014 湖南,16,12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2 +(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 解析 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=
2 +n ( -1)2 +(n-1) 2

2 +n 2

,n∈N*.

-

2

=n.

故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记 A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则 A= B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2. 3.(2014 大纲全国,17,10 分)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解析 (1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得, an+2-an+1=aa+1-an+2,即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(5 分) (2)由(1)得 bn=1+2(n-1),即 an+1-an=2n-1.(8 分) 于是 ∑ ( +1 - ) = ∑ (2-1), 所以 an+1-a1=n ,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.(10 分) 4.(2014 天津,5,5 分)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1=( ) A.2 B.-2 C.2 D.-2 答案 D
1 1 =1
2

2(1-22 ) 1-2

=22n+1-2,





=1

5.(2014 课标Ⅱ ,5,5 分)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( )

A.n(n+1) C.
( +1) 2

B.n(n-1)
( -1) 2

D.

答案

A

6.(2014 江西,13,5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围为 . 答案 -1,- 8
7

7.(2014 重庆,16,13 分)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式 及其前 n 项和 Tn. 解析 (1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 故 Sn=1+3+…+(2n-1)=
( 1 + ) (1+2 -1) 2

=

2

=n2.

(2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, 所以 bn=b1qn-1=2× 4n-1=22n-1. 从而{bn}的前 n 项和 Tn=
1 (1- ) 2 1-

=3(4n-1).

8.(2014 广东,13,5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 答案 5

9.(2014 大纲全国,8,5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 答案 C

10.(2014 课标Ⅰ ,17,12 分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列
2

的前 n 项和.

解析 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d=2,从而 a1=2. 所以{an}的通项公式为 an=2n+1.
1 1 3

(2)设
3

2 4

的前 n 项和为 Sn,由(1)知2 =2 +1 ,则



+2

Sn=22 +23 +…+ 2 +2 +1 ,
1 2

+1 +2 +1

Sn=23 +24 +…+2 +1 +2 +2 .
1 3 1 23

3

4

+2

两式相减得2Sn=4+ =4+4 13 1 1 2 -1

+ … + 2 +1 -2 +2

1

+2

-2 +2 .

+2

所以 Sn=2-2 +1 .

+4

11.(2014 安徽,18,12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (1)证明:数列


是等差数列;

(2)设 bn=3n· ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
+1 +1 解析 (1)证明:由已知可得 +1 = +1,即 +1 - =1.









所以



是以 11 =1 为首项,1 为公差的等差数列.




(2)由(1)得 =1+(n-1)·1=n,所以 an=n2. 从而 bn=n·3n. Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,① 3Sn=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.② ① -② 得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1 =
3·(1-3 ) 1-3

-n·3n+1=
4

(1-2 )·3 +1 -3 2

.

所以 Sn=

(2 -1)·3 +1 +3

.

12.(2014 湖北,19,12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 解析 (1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有 (2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)·4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.

(2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. 当 an=4n-2 时,Sn=
[2+(4 -2)] 2

=2n2.

令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41.
13.(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))已知等差数列 ?an ? 的公 差不为零,a1=25,且 a1,a11,a1 3 成等比数列.
(Ⅰ)求

?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求 a1 ? a4

? a7 ?

? a3n?2 .

14.(2013 年高考浙江卷(文))在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .

15.(2013 年高考大纲卷(文))等差数列 (I)求 an 的通项公式;

? ?

?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,

(II)设 bn

?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

16. (2013 年高考江西卷(文))正项数列{an}满足 an
(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn

2

? (2n ?1)an ? 2n ? 0 .
,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

?

1 (n ? 1)an

17. (2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

? 0 , S5 ? ?5 .

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1


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