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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-1-1 平面


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.1.1 平面

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第二章

2.1

2.1.1

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课前自主预习

第二章

2.1

2.1.1

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温故知新 1.在初中几何中学习的线可以看作是点运动形成的轨迹. 2.在平面几何中,通过实验、观察得到了点和线的基本性 质是什么? 连结两点的线中,线段最短;过两点有且只有一条直线. 3.在平面几何中,两条直线的位置关系有哪几种? 在平面几何中,两直线的位置关系有:相交和平行两种.

第二章

2.1

2.1.1

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4.几何中的点、直线都是抽象的概念,在现实世界中可 以说是不存在的.画出的点,我们不考虑它们的大小,画出 的直线也不考虑它们的粗细.基于这种抽象的思考,我们才 能总结出上述点与直线的性质.大家学完初中几何以后,已 经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用.

第二章

2.1

2.1.1

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新课引入 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们 以“平面”形象.如果想把一个木棍钉在墙上,至少需要几 个钉子?教室的门为什么可以随意开关?插上插销后为什么 不能开启?房顶和墙壁有多少公共点?通过本节课学习,我 们将从数学的角度解释以上现象.

第二章

2.1

2.1.1

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自主预习 阅读教材P40-43,完成下列问题: 1.平面

第二章

2.1

2.1.1

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描 述

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的,是 无限 延展 的 通常把水平的平面画成一个 平行四边形 ,并且其锐角画成

45° ,且横边长等于其邻边长的 2 倍,如图a所示,如果一个平 面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用 虚线 画 法 画出来,如图b所示

第二章

2.1

2.1.1

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用一个 希腊字母 α,β,γ等来表示,如图a中的平面记为平 (1) 面α 用两个大字的 英文字母 记 法 (3) (2) (表示平面的平行四边形的对角线

的顶点)来表示,如图a中的平面记为平面AC或平面BD 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶 点)来表示,如图a中的平面记为平面ABC或平面 BCD 等 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的 顶点 )来表

(4)

示,如图a中的平面可记作平面ABCD

第二章

2.1

2.1.1

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[破疑点]习惯上,用平行四边形表示平面,在一个具体的 图形中可以用三角形、圆或其他平面图形表示.

第二章

2.1

2.1.1

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下列命题: (1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠 起来厚;(3)有一个平面的长是50m,度是20m;(4)平面是绝对 的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命 题的个数为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

[答案] A

第二章

2.1

2.1.1

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[解析] 序号 (1) (2) (3) 正误 × × × 理由 因为平面是无限延展的,故(1)错 平面是无厚度的,故(2)错 平面是无限延展的,不可度量,故(3) 错 平面是平滑、无厚度、无限延展的, 故(4)正确

(4)



第二章

2.1

2.1.1

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2.点、线、面的位置关系的表示 A是点,l,m是直线,α,β是平面. 文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言
A∈l
A?l

图形语言

A∈α

A?α

第二章

2.1

2.1.1

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文字语言 l在α内 l在α外 l,m相交于A l,α相交于A α,β相交于l

符号语言

图形语言

l?α
l?α
l∩m=A

l∩α=A α∩β=l

第二章

2.1

2.1.1

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[破疑点]从集合的角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关 系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示; (2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与 集合的关系,用“∈”或“?”表示; (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与 集合的关系,故用“?”或“?”表示.

第二章

2.1

2.1.1

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如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面 β,根据图形填写:

第二章

2.1

2.1.1

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(1)A∈α,B________α,E________α,C________α, D________α; (2)α∩β=________; (3)A∈β,B________β,C________β,D________β, E________β,F________β; (4)AB________α,AB________β,CD________α, CD________β,BF________α,BF________β.

第二章

2.1

2.1.1

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[答案]

(1)∈ ∈ ? ? (2)AB (3)∈ ∈

∈ ? ?

(4)? ? ? ? ? ?

第二章

2.1

2.1.1

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3.公理1 文字 如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条 语言 直线在此平面内 图形 语言 符号 语言 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α? l?α

第二章

2.1

2.1.1

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判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面

第二章

2.1

2.1.1

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[破疑点]公理1的内容反映了直线与平面的位置关 系.“线上两点在平面内”是公理的条件,结论是“线上所 有点都在平面内”.从集合的角度看,这个公理就是说,如 果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集),那 么这条直线就是这个平面的真子集.这个结论阐述了两个观 点,一是整条直线在平面内;二是直线上的所有点都在平面 内.

第二章

2.1

2.1.1

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已知直线m?平面α,P?m,Q∈m,则( A.P?α,Q∈α C.P?α,Q?α B.P∈α,Q?α D.Q∈α

)

[答案] D

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

∵Q∈m,m?α,∴Q∈α.

∵P?m,∴有可能P∈α,也可能有P?α.

第二章

2.1

2.1.1

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4.公理2
文字语言 过 不在 一条直线上的三点,有且只有一个平面

图形语言 A,B,C三点 不共线 ?有且只有一个平面

符号语言

α,使A∈α,B∈α,C∈α 确定平面 证明点共面

作用

第二章

2.1

2.1.1

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[破疑点](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三 点”,结论是“有且只有一个平面”. (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的 “有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的 是存在和唯一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地 使用,不能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存 在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义 词,也是指存在性和唯一性这两方面,这个术语今后也会常 常出现.
第二章 2.1 2.1.1

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三点可确定平面的个数是( A.0 C.2 B.1

)

D.1或无数个

[答案] D

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点

不共线时,可确定一个平面.

第二章

2.1

2.1.1

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5.公理3
文字 语言 图形 语言 符号 语言 P∈α∩β?α∩β=l且 P∈l (1) 作用 (2) (3) 判定平面相交 证明点共线 证明线共点 如果两个不重合的平面有一个 公共点 ,那么它们有且只有 一条过该点的公共 直线

第二章

2.1

2.1.1

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[破疑点]公理3反映了两个平面的位置关系,条件可简记 为“两面共一点”,结论是“两面共一线,且线过点,线唯 一”. 公理3强调的是两个不重合的平面,只要它们有公共点, 其交集就是一条直线.以后若无特别说明,“两个平面”是 指不重合的两个平面.

第二章

2.1

2.1.1

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如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( A.没有其他公共点 C.仅有两个公共点 B.仅有这一个公共点 D.有无数个公共点

)

[答案] D

第二章

2.1

2.1.1

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思路方法技巧

第二章

2.1

2.1.1

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关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言) 的互译问题.
学法指导 三种语言的转换方法:

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察 图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着 用文字语言表示,再用符号语言表示.

第二章

2.1

2.1.1

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(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能 用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或 “?”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线 和虚线的区别.

第二章

2.1

2.1.1

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[例1]

根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间

的位置关系,并画出相应的图形: (1)A∈α,B?α; (2)l?α,m∩α=A,A?l; (3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α. [分析] 正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关

系的符号“∈”,“?”,“?”,“?”,“∩”的意义, 在此基础上,实现三种语言间的互译.

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图(1);

(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不 在直线l上,如图(2); (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图(3).

第二章

2.1

2.1.1

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规律总结:三种语言的相互转换是一种基本技能,要注 意符号语言的意义;由符号语言画相应图形时,要注意实、 虚线.

第二章

2.1

2.1.1

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文字语言叙述“平面内有一条直线,则这条直线上一点 必在这个平面内”用符号表述是( a?α ? ? ??A?α A. A?a? ? a∈α ? ? ??A∈α C. A?a? ? )

a?α ? ? ??A∈α B. A∈a? ? a∈α ? ? ??A?α D. A∈a? ?

[答案] B

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

点与线或面之间的关系是元素与集合的关系,用

“∈”表示,线与面之间的关系是集合与集合之间的关系, 用“?”表示.故本题答案为B. [点评] 注意集合符号在立体几何中的正确应用.

第二章

2.1

2.1.1

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三个公理的理解
学法指导 三个公理的用途:

(1)判断某些元素是否可确定一个平面. (2)计算某些元素所确定的平面的个数.

第二章

2.1

2.1.1

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[例2]

判断下列说法是否正确,并说明理由:

(1)一点和一条直线确定一个平面; (2)经过一点的两条直线确定一个平面; (3)两两相交的三条直线确定一个平面; (4)首尾依次相接的四 条线段在同一平面内.

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平

面;如果点不在直线上,在已知直线上任取两个不同的点, 由公理2知,有唯一一个平面. (2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,由公理2, 有唯一一个平面.

第二章

2.1

2.1.1

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(3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不 同交点,如图1(1)、(2)所示.前者,由公理2的知,可以确定1 个或3个平面;后者,由公理2及公理1知,能确定唯一一个平 面.

第二章

2.1

2.1.1

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(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不 一定在此平面内,如图2.因此,这四条线段不一定在同一平面 内. 规律总结:公理2是确定平面的依据,对涉及这方面的 应用,务必分清它们的条件;立体几何研究的对象是空间 点、线、面的位置关系,要有一定的空间想象能力.对于问 题中的点、线,要注意它们可能存在的不同的位置关系,以 及由此产生的不同结果.

第二章

2.1

2.1.1

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已知△ABC的边AB、BC在平面α内,判断AC是否在平面α 内.

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

∵AB在平面α内,

∴A点一定在平面α内. ∵BC在平面α内,∴C点一定在平面α内. ∴点A、点C都在平面α内. ∴直线AC在平面α内(公理1).

第二章

2.1

2.1.1

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规律总结:将上述证明过程用符号表示为:∵AB?α, ∴A∈α,∵BC?α,∴C∈α,∴AC?α. 可见符号语言比文字语言简捷得多,因此,应加强符号 语言的应用,熟练地将三种语言相互转化.

第二章

2.1

2.1.1

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探索延拓创新

第二章

2.1

2.1.1

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点线共面问题
学法指导 证明点线共面的常用方法:

(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元 素也在这个平面内,其中第一步要应用公理2,第二步要应 用公理1. (2)重合法:应用公理1,先由部分元素分别确定平面, 然后应用公理2证明这几个平面重合.

第二章

2.1

2.1.1

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[例3] 内.

证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.

求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证法1:(归一法) ∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2?α,∴B∈α.同理可证C∈α. 又∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α.. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内.

第二章

2.1

2.1.1

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证法2:(重合法) ∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2?α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2?β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β 内. ∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
第二章 2.1 2.1.1

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规律总结:证明文字叙述的证明题时,要写出已知、求 证、证明,并且画出图形以便找到解题思路.

第二章

2.1

2.1.1

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证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. [分析] 根据公理2及三个推论,可先证明其中两条直线

确定一个平面α,然后证明其他直线也在平面α内.

第二章

2.1

2.1.1

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[解析] 点.

已知:如图,直线l1,l2,l3,l4两两相交且不共

求证:直线l1,l2,l3,l4在同一平面内.

第二章

2.1

2.1.1

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证明:因为直线l1和l2相交, 所以l1与l2可确定一个平面α. 又直线l3与l1,l2都相交, 不妨设l1∩l3=C,l2∩l3=D, 则C∈α,D∈α. 因为C∈l3,D∈l3, 所以l3?α.同理,直线l4?α. 所以直线l1,l2,l3,l4在同一平面内.

第二章

2.1

2.1.1

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规律总结:本题着重考查了平面的基本性质和证明直线 共面的常用方法.对于这类确定诸线共面的问题,优先定平 面,然后再证明其他点或线在该平面内.

第二章

2.1

2.1.1

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点共线与线共点的问题
学法指导 点共线或线共点的证明方法:

(1)证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的 唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面 的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他 点也在其上.

第二章

2.1

2.1.1

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(2)证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条 直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线 上,此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证 明该交线与另两条直线分别交于两点,再证这点重合,从而 得三线共点.

第二章

2.1

2.1.1

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[例4]

已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,

BC∩α=Q,如图.求证:P、Q、R三点共线.

第二章

2.1

2.1.1

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[分析]

由题目可获取以下主要信息:

①三线AB、AC、BC在平面α外; ②三线均与面α相交. 解答本题可先证明P、Q、R三点在面ABC内,又在面α 内,再利用公理3从而证得三点共线.

第二章

2.1

2.1.1

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[证明]

方法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.

又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知: 点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P、Q、R三点共线.

第二章

2.1

2.1.1

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方法二:∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈面APR,C∈面APR,∴BC?面APR. 又∵Q∈面APR,Q∈α, ∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.

第二章

2.1

2.1.1

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规律总结:证明多点共线的方法是利用公理3,只需说 明这些点都是两个平面的公共点,则必在这两个面的交线 上.方法二的思想为点P、R确定一条直线,Q也在这条直线 上,这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.

第二章

2.1

2.1.1

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三个平面α、β、γ两两相交,交于三条直线,即α∩β=c, β∩γ=a,γ∩α=b,已知直线a和b不平行. 求证:a、b、c三条直线必过同一点. [分析] 证三条直线共点时,应先找出其中两条直线的交

点P,而第三条直线是两个平面的交线,P是这两个平面的公 共点,据公理3得出P在第三条直线上.

第二章

2.1

2.1.1

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[证明]

∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ

∵a、b不平行 ∴a、b必相交,设a∩b=P ∵P∈a,a?β, ∴P∈β,同理P∈α 而α∩β=c,∴P∈c ∴a、b、c相交于一点P 即a、b、c三条直线过同一点.

第二章

2.1

2.1.1

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名师辨误做答

第二章

2.1

2.1.1

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易错点 [例5]

对于条件所给的点的位置关系考虑不全面 空间中四点,如果任意三点都不共线,那么由这四

个点可以确定多少个平面? [错解] 因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条

件中的四点可确定四个平面.

第二章

2.1

2.1.1

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[错因分析] 忽略了四个点在同一个平面上的可能. [思路分析] 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置 关系:一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点, 此时,这四个点只能确定一个平面;另一种是任意不共面的 三点所确定的平面不过第四个点,此时,这四个点可确定四 个平面.

[正解]

一个或者是四个.

第二章

2.1

2.1.1

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基础巩固训练

第二章

2.1

2.1.1

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1.下列命题中正确命题的个数是( ①三角形是平面图形; ②四边形是平面图形; ③四边相等的四边形是平面图形; ④圆是平面图形 A.1个 C.3个
[答案]
[解析]

)

B.2个 D.4个
B
①④正确,故选B.

第二章

2.1

2.1.1

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2.如下图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( ) A.平面MN C.平面α B.平面NQP D.平面MNPQ

[答案]

A

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角

线,所以不能记作平面MN.

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3.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的 是( ) A.A∈l,l?α C.A?l,l?α
[答案] B

B.A∈l,l?α D.A?l,l?α

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4.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线, α,β表示平面): (1)∵A∈α,B∈α,∴AB∈α; (2)∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A; (3)∵A?α,a?α,∴A?a; (4)∵A∈a,a?α,∴A?α. 其中命题和叙述方法都正确的个数是( A.0 B.1
[答案] B
第二章 2.1 2.1.1

)

C.2 D.3

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[解析] (3)正确.(1)错,其中的AB∈α应为AB?α.(2)错, 其中α,β应该交于一条过A点的直线.(4)错,因为点A可能是 直线a与平面α的交点.

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5.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和 一个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直 线.其中,能确定一个平面的条件有( A.0个 C.2个
[答案] A

)

B.1个 D.3个

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6.看图填空: (1)AC∩BD=________; (2)平面AB1∩平面A1C1=________; (3)平面A1C1CA∩平面AC=________; (4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________; (5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=________; (6)A1B1∩B1B∩B1C1=________.
[答案] (1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1 (5)B1(6)B1

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7.用文字语言和符号语言表示下图.

[分析]

根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关

系,再用文字语言、符号语言表示出来.

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[解析]

文字语言:平面α内两直线m和n相交于点A.

符号语言:m?α,n?α,且m∩n=A.

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[反思]

用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔

细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位 置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且 在哪条直线或哪个平面上,试着用文字语言表示,再用符号 语言表示. 本题易误解:符号语言为m∩n=A,A∈α.此时还表示图 a,b,c三种情形.

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8.区分下列概念,线段AB与直线AB,△ABC与平面 ABC,平行四边形ABCD与平面ABCD.
直线AB无限延伸,而线段AB在端点AB之间;平

[解析]

面ABCD、平面ABC向各个方向无限延伸的面,具有无限延展 性,而△ABC和平行四边形ABCD,仅指三条线段或四条线段 首尾相连相成的图形.

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能力强化提升(点此链接)

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