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高考压轴题:导数题型及解题方法


高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考)红岩

一.切线问题
题型 1 求曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线方程。 方法: f ?( x0 ) 为在 x ? x0 处的切线的斜率。 题型 2 过点 ( a, b) 的直线与曲线 y ? f ( x) 的相切问题。 方法:设曲线 y ? f ( x) 的切点 ( x0 , f ( x0 )) ,由 ( x0 ? a) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? b 求出 x0 ,进而解 决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数 f(x)=x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点 x=2 处的切线方程; (答案: 9 x ? y ? 16 ? 0 ) (2)若过点 A A(1, m)(m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围、 (提示:设曲线 y ? f ( x) 上的切点( x0 , f ( x0 ) ) ;建立 x0 , f ( x0 ) 的等式关系。将问题转化为关 于 x0 , m 的方程有三个不同实数根问题。 (答案: m 的范围是 ?? 3,?2? )
3

练习

1. 已知曲线 y ? x ? 3x
3 3

3 (1)求过点(1,-3)与曲线 y ? x ? 3x 相切的直线方程。答案: ( 3x ? y ? 0 或 15x ? 4 y ? 27 ? 0 )

(2)证明:过点(-2,5)与曲线 y ? x ? 3x 相切的直线有三条。

2.若直线 e x ? y ? e ? 1 ? 0 与曲线 y ? 1 ? ae 相切,求 a 的值. (答案:1)
2 2 x

题型 3

求两个曲线 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) 的公切线。 方法:设曲线 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) 的切点分别为( x1 , f ( x1 ) ) 。 ( x2 , f ( x2 ) ) ;

建立 x1 , x2 的等式关系,( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ? y 2 ? y1 ,( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? y 2 ? y1 ; 求出 x1 , x2 , 进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线 y ? x 2 与曲线 y ? 2e ln x 的公切线方程。 (答案 2 e x ? y ? e ? 0 )

练习

1.求曲线 y ? x 2 与曲线 y ? ?( x ? 1) 2 的公切线方程。 (答案 2 x ? y ? 1 ? 0 或 y ? 0 )

2 .设函数 f ( x ) ? p ( x ?

1 ) ? 2 ln x, g ( x) ? x 2 ,直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相切,且与函数 x f ( x) 的图象相切于(1,0) ,求实数 p 的值。 (答案 p ? 1 或 3 )

二.单调性问题
题型 1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有: (1)在求极值点的过程中,未知 数的系数与 0 的关系不定而引起的分类; (2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到 二次方程问题时,△与 0 的关系不定) ;(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分

类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发,做到不重复,不遗漏。 例 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? (a ? 1) x 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间。 (利用极值点的大小关系分类)

(2)若 x ? ?2, e?,求函数 f ( x) 的单调区间。 (利用极值点与区间的关系分类)

练习

已知函数 f ( x) ? e x ? (k ? 1)e ?
x x

1 2 x ? kx ? 1 ,若 x ? ?? 1,2? ,求函数 f ( x) 的单调区间。 (利 2

用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)

题型 2

已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法 1:研究导函数讨论。

方法 2:转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立问题, 方法 3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增 或减区间的子集。 注意: “函数 f ( x) 在 ?m, n? 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 ?a, b ? ”的区别是前者是 后者的子集。 例 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x +
2

(答案 ?0,??? )

2 在 ?1,??? 上是单调函数,求实数 a 的取值范围. x

练习

已知函数 f ( x) ?

1 3 (k ? 1) 2 x ? x ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数.求实数 k 的取值范围。 3 2

(答案: k ? 1 ? 3 )

题型 3

已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法 1:正难则反,研究在某区间的不单调 方法 2:研究导函数是零点问题,再检验。 方法 3:直接研究不单调,分情况讨论。



设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1, a ? R 在区间 ? ,1? 内不单调,求实数 a 的取值范围。

(答案: a ? ? 2,? 3 ) )

?

?

?1 ? ?2 ?

三.极值、最值问题。
题型 1 求函数极值、最值。 基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。 例 已知函数 f ( x) ? e x ? (k ? 1)e ?
x x

1 2 x ? kx ? 1 ,求在 x ? ?? 1,2? 的极小值。 2

(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)

练习

已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点 (?1, ?6) ,且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象关于 y 轴对称.若 a ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在区间 (a ? 1, a ? 1) 内的极值. 极大值;当 a ? 1 或 a ? 3 时, f ( x ) 无极值.)

(答案:当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 有极大值 ?2 ,无极小值;当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 有极小值 ?6 ,无

题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。 方法 2.转化为函数单调性问题。 函数 f ( x) ?



1 4 1 1 x ? (1 ? p) x 3 ? px 2 ? p(1 ? p) x ? 1 。0 是函数 f ( x) 的极值点。求实数 p 值。 4 3 2

(答案:1)

练习

已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ln x, a ? R. 若函数 f ( x) 存在极值,且所有极值之和大
2

1 (答案: ?4,??? ) 5 ? ln ,求 a 的取值范围。 2

题型 3 已知最值,求系数值或范围。 方法:1.求直接求最值;2.转化恒成立,求出范围,再检验。 例 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 .若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大

值,求 a 的取值范围. (答案: ? ? ?, ? ) 5

? ?

6? ?

练习

求实数 a 的取值范围。 (答案: ?1,??? )

2 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x , 当 a ? 0 时, 函数 f ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值是 ? 2 ,

四.不等式恒成立(或存在性)问题。
一些方法 1.若函数 f ( x)值域?m, n? , a > f ( x) 恒成立, ,则 a ? n 2.对任意 x1 ? ?m, n?, x2 ? ?m, n? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立。则 f ( x1 ) min ? g ( x2 ) max 。 3.对 ?x1 ? ?m, n?, ?x2 ? ?m, n? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max ? g ( x2 ) min 。 4.对 x1 ? ?m, n ?, ,恒成立 f ( x1 ) ? g ( x1 ) 。转化 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0 恒成立

4. 对 ?x1 ? ?m, n?, ?x2 ? ?m, n? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) min ? g ( x2 ) min 。 5. 对 ?x1 ? ?m, n?, ?x2 ? ?m, n? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max ? g ( x2 ) max 6. 对 x1 ? ?m, n?, x2 ? ?m, n? , 在 ?m, n? 是增函数。 题型 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则构造函数 t ( x) ? f ( x) ? ax 。 转化证明 t ( x) ? a 成立。 x1 ? x2

已知不等式恒成立,求系数范围。 方法:(1)分离法:求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。 (2)讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中, 未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0 的关系不定) ;极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必 须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。 (3)数形结合: (4)变更主元 解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法(用讨论法时,或构造新函数) 。

方法:分离法。 求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。 例 法,多次求导答案: ?0,??? )

函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ln x) ? a 。在 x ? ?1, e? f ( x) ? e 恒成立,求实数 a 取值范围。 (方法:分离

练习

用罗比达法则答案: ?? ?,1? )

设函数 f ( x) ? x(e x ? 1) ? ax2 ,若当 x ≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围。 (方法: 分离法,

方法:讨论法。 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中,未知数的系数与 0 的 关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0 的关系不定) ;极值 点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发, 做到不重复,不遗漏。 例 设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax .若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
x 2

(答案: a 的取值范围为 ? ??, ? ) 2

? ?

1? ?

练习

1.设函数 f ( x) ? 1 ? e

?x

, x ? 0 时, f ( x ) ?

x ,求实数 a 的取值范围 ax ? 1

(答案: ?0, ? ) 2

? 1? ? ?

2.函数 f ( x) ? a ln x ?

1 ,当 a ? 0. 对 ?x >0, ax(2 ? ln x) ? 1 ,求实数 a 取值范围。 x

(多种方法求解。 (答案: 0, e )

?

?1

?)

3.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?

1? a , (a ? R). 若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 x

? e2 ? 1 ? ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.(答案: ?? ?,?2? ? ? , ?? ? e ?1 ?) ? ?

4.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax .若对于任意的 a ? [?3, 0] , x1 , x2 ?[0, 2] ,不等式
3 2

m ? am2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.
(答案: ?5,??? )

方法:数形结合。 数形结合解不等式恒成立问题的步骤: (1)不等式等价变形(2)把不等式两端的式子分别看成两 个函数(其中一个函数的图像为直线, ) 。 (3)利用导数研究函数的单调性,极值、最值,图像的凹凸 性。 (4)画出两个函数图像。 (5)根据不等式关系和图形的位置关系,列式求解。 例 (2012 新课标全国卷理科 21 题第二问) 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ?(1)e 值。 解 :
x ?1

? f (0) x ?

1 2 1 2 x ; 若 f ( x) ? x ? ax ? b , 求 (a ? 1)b 的最大 2 2
?1 e x ? ? f 1 ( ? x) , 令 ( 1x)


f ( x ?) f ?

e x? (1 ?1f ) x ?

1 2 ? x) ? f ? x ? ( f0 2

( 0 :

)

1 1 2 1 f x ?(1 ?1 e ?) ? x ?x ? ?( f? 0 ? ) ? f ?( 得: e 1 ) f ( x) ? 1 fex ? x ? ( e 1 x 2) , 2 2 x 1 2 C: g ( x) ? e (变形)又 f ( x) ? x ? ax ? b ? e x ? (a ? 1) x ? b , 2 x y (设函数)设 g ( x) ? e , h( x) ? (a ? 1) x ? b 。 ( x0 , y0 ) x ?M (画函数图像) g ( x) ? e 的图像是过(0,1) L: h( x) ? (a ? 1) x ? b 1 x 的曲线 C,曲线 C 随着 x 的增大 y 值增大且图像下凹。 0 h( x) ? (a ? 1) x ? b 的图像是过点(0,b)且斜率为 a ? 1 的直线 L,如图一。 (列式求解)由 e x ? (a ? 1) x ? b ,则曲线 C 必在直线 L 的上方或曲线 C 与直线 L 相切。 设 曲 线 C 与 直 线 L 的 切 点 为 M ( x0 , y0 ) , 曲 线 C 在 点 M ( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为
?) f( 0 ? )f ( x 1?
L: y ? e 0 x ? e 0 (1 ? x0 ) , 切线的斜率为 e 0 , 在 y 轴上的截距为 e 0 (1 ? x0 ) 。 又直线 L 的斜率为 a ? 1 ,
x x
x

x

在 y 轴上的截距为 b ,则有 e 所 以 (a ? 1)b ? e
x0

x0

? (a ? 1) , e x0 (1 ? x0 ) ? b ,
x 2 x0

(1 ? x0 ) , 设 t ( x0 ) ? e 2 x0 (1 ? x0 ) , x0 ? R , 1? ? ?1 ? t ?( x0 ) ? e 2 x0 (1 ? 2 x0 ) ,当 x0 ? ? ? ?, ? , t ?( x0 ) >0 当 x0 ? ? ,?? ? , t ?( x0 ) <0,故 t ( x0 ) 有最大 2? ? ?2 ? 1 e e 值 t ( ) ? ,所以, (a ? 1)b 的最大值为 。 2 2 2
× e 0 (1 ? x0 ) = e 练习(2011 浙江卷理科 22 题第二问)
2 设函数 f ( x ) = ( x ? a) ln x , a ∈R,求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ],恒有 f ( x ) ≤

4 e 成立.。 (答案: a 的取值范围为 ?3e ?
2

? ?

? ,3e? ) ln 3e ? 2e

方法:变更主元 例:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若在区间 D 上 , g ( x ) ? 0恒 成 立 , 则 称 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ,已知实数 m 是常数,

x 4 mx3 3x 2 f ( x) ? ? ? ,若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函 12 6 2 数” ,求 b ? a 的最大值. (答案: 2 )

练习

x 设函数 f ( x) ? x ln x 。证明:当 a >3 时,对任意 x ? 0 , f (a ? x) ? f (a) ? e 成立。 x

(提示 f (a ? x) ? f (a) ? e 化为

f (a ? x) f (a) f (a) ?? a ) ,研究 g (a ) ? 的单调性。 ) x?a e e ea

五.函数零点问题
题型 1:判断函数零点的个数。 方法:方程法;函数图象法;转化法;存在性定理

3 例.设 a ? R, f ( x) ? ? x ? ax ? (1 ? a )ln x .若函数 y ? f ( x) 有零点,求 a 的取值范围.

1 3

(提示:当 a ? 1 时, f (1) ? 0 , f ( 3a) ? 0 ,所以成立,答案 ? ,?? ? )

?1 ?3

? ?

练习.求过点(1,0)作函数 y ? x ? ln x 图象的切线的个数。 (答案:两条)

题型 2:已知函数零点,求系数。 方法:图象法(研究函数图象与 x 轴交点的个数);方程法;转化法(由函数转化方程,再转化 函数,研究函数的单调性。 ) 例.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? a( x ? 1) 3 在(1,3)有极值,求实数 a 的取值范围。 (答案 ? ? ?,?

? ?

1? ?) 18 ?

练习:1.证明:函数 f ( x) ? ln x 的图象与函数 g ( x) ?

1 2 ? 的图象无公共点。 x ex e

3 2 2. 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? x ? 2 .设函数 g ( x) ? x ? (1 ? 2e) x ? (m ? 1) x ? 2 , ( m? R ) ,试讨论函数 f ( x) 与 g ( x) 图象交点的个数.

(答案: 当 m ? e ? 时, 两个函数图象没有公共点;当 m ? e ? 时,两个函数图象有一个公共点;
2 2

1 e

1 e

当 m ? e ? 时,两个函数图象有两个公共点.
2

1 e

六.不等式证明问题
方法 1:构造函数,研究单调性,最值,得出不等关系,有的涉及不等式放缩。 方法 2:讨论法。 方法 2.研究两个函数的最值。如证 f ( x) ? g ( x) ,需证 f ( x) 的最小值大于 g ( x) 的最大值即可。 方法:讨论法

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。证明: x ?1 x ln x 当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 。 x ?1
例:已知函数 f ( x) ?

练习:.已知函数 f ( x) ? ax ? e x (a ? 0) .当 1 ? a ? e ? 1 时,.试讨论 f ( x) 与 x 的大小关系。

方法:构造函数

f ( x) ? ax2 ? kbx( x ? 0) 与函数 g ( x) ? ax ? b ln x, a、b、k 为常数, (1) 若 g ( x) 图 x ? 2 y ? 2ln 2 ? 2 ? 0 , 象上一点 p(2, g (2)) 处的切线方程为: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),( x1 ? x2 ) 是 y2 ? y1 函数 y ? g ( x) 的图象上两点, g ?( x0 ) ? ,证明: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1
例: 已知函数

x 练习:1.设函数 f ( x) ? x ln x 。证明:当 a >3 时,对任意 x ? 0 , f (a ? x) ? f (a) ? e 成立。

2.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? e x ,用多种方法证明: f ( x) ? g ( x) ? 2 (提示:方法一:函数 t ( x) ? e x ? ln x ,方法二,利用 m( x) ? e x ? x ) , n( x) ? ln x ? x ,方法三:

ln x ex 利用 m( x ) ? ) , n( x ) ? 求解) x x

3 设函数 f ( x) ? ln x ?

3 x ? 1 证明:当 x >1 时, f ( x) < ( x ? 1) 2

方法:构造函数,不等式放缩 例.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx2 (m ? R) (I);若 m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数 f(x)图象上不同的两点.且 a>b>0, f ?( x) 为 f(x)的

f (a) ? f (b) a?b )? ? f ?(b) 2 a?b 2 2 2 2 1 1 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ... ? (n ? N *) (II)求证 : ? ? ? ... ? 3 5 7 2n ? 1 2 3 n
导函数,求证: f ?(


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