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河北省石家庄市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


石家庄市 2013-2014 学年度第一学期期末考试试卷 高一数学
一、选择题 1. sin 390? ? A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.若集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , S ? {1, 4,5} , T ? {2,3, 4} ,则 S A. {1, 4,5, 6} B. {1,5} C. {4} D. {1, 2,3, 4,5}

(?U T ) ?

3.下列各组函数表示同一函数的是 A. f ( x ) ?

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2

B. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 C. y ? x, y ? log4 4x

x2 ?1 D. f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ?1
4.已知 m ? 50.6 , n ? 0.65 , p ? log0.6 5 ,则 m, n, p 的大小关系为 A. m ? n ? p
x

B. m ? p ? n

C. n ? m ? p

D. n ? p ? m

5.方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 必有一个根的区间是 A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, 4)

6.在 ?ABC 中,角 A 满足关系式 sin A ? cos A ? A.锐角三角形 B.直角三角形

2 ,则 ?ABC 的形状为 3
D.以上三种情况都有可能

C.钝角三角形

7.函数 y ? mx ? n (mn ? 1, m ? 0 且 m ? 1) 的大致图象为
y
1 -1 1

y
1

y
1 1

y
1 1

x

-1

x

-1

x

-1

1

x

A

B

C

D

8.在平面四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则该平面四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C.5 D.10
1

9.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 A.

3? 4

B.

? 4

C.0

D. ?

?
4

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为 8

10.向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c ? ? a ? ? b (? , ? ? R) ,则 ? ? ? ? A. ?

7 2

B. ?

5 2

C. ?

9 2

D.

5 2

b a

c

11 .若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” ,那么函数解析式为

f ( x) ? x2 ? 2 ,值域为 {6,11} 的“孪生函数”共有
A.4 个 B.8 个 C.9 个 D.12 个

12. [普通高中]若 f ( x ) 是偶函数,其在 [0, ??) 上是减函数,且 f (2 x ? 1) ? f (1) ,则 x 的取值范围是 A. (0,1) B. (??, 0) C. (??,1) D. (??,0)

(1, ??)

[示范高中]设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x, y 有 A. [? x] ? ?[ x] B. [2 x] ? 2[ x] C. [ x ? y] ? [ x] ? [ y] D. [ x ? y] ? [ x] ? [ y]

第二卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若向量 a ? (2, ? x) 与 b ? ( x, ?8) 方向相反,则 x ? _____ . 14.已知 tan ? ? 3 ,则

3sin ? ? cos ? ? _____ . sin ? ? 2 cos ?

15.定义在 R 上的函数 f ( x ) 是周期为 ? 的偶函数,且 x ? [0, 16. [普通高中]已知函数 f ( x) ? ?

?
2

] 时, f ( x) ?

?
2

? x ,则 f (

5? ) ? _____ . 3

? 1 ?log 4 x , x ? 0 ,则满足 f ( x ) ? 的 x 取值范围是 _____. x 2 ? ?4 , x ? 0

[示范高中]设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ? 数 f ( x) ? 2
?| x|

? f ( x), f ( x) ? K .取函 ? K , f ( x) ? K

,当 K ?

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间是 _____. 2
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,求函数 f ( x) 的解析式.

y
1
O 5π 12 11π 12

x

18. (本小题满分 12 分) 已知 e1 、 e2 是夹角为 120? 的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 . (I)求 a ? b 的值; (II)求 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 ,求函数 f ( x ) 的最小正周期及其单调区间.

3

20. (本小题满分 12 分) 大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素,治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务,其中某钢铁厂在处理工 业废气的过程中,每经过一次处理可将有害气体减少 20% ,那么要让有害气体减少到原来的 5%,求至少要经过几次 处理?(注: lg 2 ? 0.3010 )

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图象与 g ( x) ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象关于 x 轴对称,且 g ( x) 的图象过 (9, 2) 点. (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)若 f (3x ? 1) ? f (? x ? 5) ,求 x 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax2 ? bx (a ? 0, b ? R) ,且 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,方程 f ( x) ? x 有两个相等的实数根. (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)是否存在区间 [m, n] (m, n) ,使得 f ( x ) 在区间 [m, n] 上的值域为 [3m,3n] ?若存在,求 m, n 的值;若不存在, 请说明理由.

4

石家庄市 2013~2014 学年度第一学期期末考试试卷

高一数学答案
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题 1-5 ABCAB 二、填空题 6-10 CDCBB 11 C 12 【普通高中】A【示范高中】D

13.-4 14.10 15. 三、解答题

? 6

(-?, - )(0,2) (-?, -1] 16. 【普通高中】 【示范高中】 11? 5? 2? ? ) ? ?,?? ? ? 2 .?????3 分 12 12 T

1 2

17.解:依题意知,周期 T ? 2( 因为点 (

5? , 0) 在函数图象上, 12 5? 5? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 所以 A sin(2 ? 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即 ? = .??????6 分 2 6 6 3 6 6
又点 在函数图象上, (0,1) 所以 A sin

?
6

? 1, A ? 2 ,??????????8 分

故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

). ????????10 分

18. 解:(Ⅰ) a ? b ? (3e1 ? 2e2 ) ? (2e1 ? 3e2 )

? 6e12 ?13e1 ? e2 ? 6e22
? 6 ? 13cos1200 ? 6 ??????3 分

37 ????????????????????????6 分 2 (Ⅱ)设 a ? b 与 a ? b 的夹角为 ? ,则 ?

cos ? ?

(a ? b) ? (a ? b) a ?b a ?b

????????8 分

?

(5e1 ? 5e2 ) ? (e1 ? e2 ) ?0 5e1 ? 5e2 e1 ? e2

???????10 分

0 所以, ? ? 90 ,即 a ? b 与 a ? b 的夹角为 900. ??????12 分

19.解: f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3
5

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ???????3 分
? 2sin(2 x ? ) ??????6 分 3 2? ? ? ?????8 分 所以函数 f ( x ) 的最小正周期是 2
当?

?

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3
?

?

?
2

+2k? , k ? Z

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 单调递增; 3 时,

?



?

2 3 5? 11? +k? ? x ? +k? , k ? z 即 12 12
所 以 函 数

+2k? ? 2 x ?

?

3? ? +2k? , k ? Z 时, f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 单调递减; 2 3

5? ? ? ? 单 调 减 区 间 为 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 12 ? 12 ? ;

11? ? 5? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ???????12 分 ? 12 ? 12 ?
20. 解:设工业废气在未处理前为 a,经过 x 次处理后变为 y,
x 则 y ? a(1? 20%)x ? a(80%) .??????3 分

由题意得

y ? 5% a

即 (80%) x ? 5% ,??????6 分 所以 x lg 0.8 ? lg 0.05 ,即 x ? lg 0.05 ? 13.4 ,??????10 分
lg 0.8

因而需要 14 次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的 5%.??????12 分 21. 解: (Ⅰ)∵ g( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象过点(9,2) ∴ loga 9 ? 2, a ? 3 ,即 g( x) ? log3 x .??????2 分 ∵函数 y ? f ( x) 的图象与 g( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象关于 x 轴对称, ∴ f ( x) ? log 1 x .??????5 分
3

(Ⅱ) ∵ f (3x ? 1) ? f (? x ? 5) ∴ log 1 (3x ? 1) ? log 1 (? x ? 5)
3 3

?3 x ? 1 ? 0 ? 即 ?? x ? 5 ? 0 ,??????10 分 ?3 x ? 1 ? ? x ? 5 ?
6

解得

1 3 ? 1 3? ? x ? ,即 x 的取值范围为 ? x ? x ? ? ??????12 分 3 2 2? ? 3

22.解: (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b 为偶函数, ∴ 2a ? b ? 0 ??????①???????2 分 ∵方程 f ( x) ? x ,即 ax2 ? (b ?1) x ? 0 有两个相等的实数根. ∴ b ? 1 ? 0 ??????②???????4 分 由①②得 a ? ? ∴ f ( x) ? ?

1 ,b ? 1 2

1 2 x ? x ??????????????????5 分 2 1 2 1 1 1 2 (Ⅱ)∵ f ( x) ? ? x ? x ? ? ( x ? 1) ? ? ??????7 分 2 2 2 2
又 f ( x ) 在区间 ?m, n? 上的值域为 ?3m,3n? ,

1 1 ,即 n ? 2 6 1 ∴m ? n ? , 6
∴ 3n ? ∴ f ( x ) 在区间 ?m, n? 上是增函数,??????9 分

? 1 2 ? m ? m ? 3m ? ? f (m) ? 3m ? 2 ∴? ,即 ? ? f (n) ? 3n ? ? 1 n 2 ? n ? 3n ? ? 2
∴ m, n 是方程 ? 由?

1 2 x ? x ? 3x 的两根, 2

1 2 x ? x ? 3x ,解得 x ? 0 或 x ? ?4 2 ∴ m ? ?4 , n ? 0 ??????????????????12 分.

7


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