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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第1讲 函数的概念及其表示


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第1讲
[考纲]

函数的概念及其表示

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析 法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

知 识 梳 理
1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应; 那么就称: f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. (3)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法. (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上, 因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表 示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的值域的 并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 2.函数定义域的求法 类型 2n f?x?,n∈N* x 满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0
-1-

1 与[f(x)]0 f?x? logaf(x)

宜宾市优学堂培训学校 四则运算组成的函数 实际问题 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义

3.函数值域的求法

方法 配方法 性质法 单调性法 换元法

示例 y=x2+x-2 y=ex y=x+ x-2 y=sin2 x+sin x+1 x y= x+1

示例答案 ? 9 ? y∈?-4,+∞? ? ? y∈(0,+∞) y∈[2,+∞) ?3 ? y∈?4,3? ? ? y∈(-∞,1)∪ (1,+∞)

分离常数法

辨 析 感 悟
1.对函数概念的理解. (1)如图:

以 x 为自变量的函数的图象为②④.( ) (2)函数 y=1 与 y=x0 是同一函数.( ) 2.函数的定义域、值域的求法 (3 函数 y= xln(1-x)的定义域为(0,1).( ) (4)函数 f(x)= 1 的值域为(0,1].( ) 1+x2

3.分段函数求值 x2+1,x≤1, ? ? (5)设函数 f(x)=?2 ,x>1, ? ?x 13 则 f(f(3))= 9 .( )

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宜宾市优学堂培训学校 3 ? ?x2-x+ ,x≥0, 4 (6)函数 f(x)=? + ? ?2x 1,x<0 4.函数解析式的求法 (7)已知 f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+5x+2.( ) (8)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2.( ) 1 1 若 f(a)=2,则实数 a 的值为2或-2.( )

[感悟· 提升] 1.一个方法 判断两个函数是否为相同函数.一是定义域是否相同,二是对应

关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简),如(2). 2. 三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义, 如(3);

二是分段函数求值时, 一定要分段讨论,注意验证结果是否在自变量的取值范围 内,如(6); 三是用换元法求函数解析式时,一定要注意换元后的范围,如(8).

考点一

求函数的定义域与值域 1 的定义域为( x+3 ).

【例 1】 (1)(函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪(-3,0] (2)函数 y=

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

x-3 的值域为________. x+1

规律方法 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不 等式或不等式组,然后求出它们的解集即可. (2)求函数的值域:①当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考 虑用分离常数法; ②若与二次函数有关, 可用配方法; ③当函数的图象易画出时, 可以借助于图象求解. 1? ? 【训练 1】 (1)函数 y=ln?1+x?+ 1-x2的定义域为________. ? ?

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宜宾市优学堂培训学校 1 ? ?log x,x≥1, (2)函数 f(x)=? 2 ? ?2x,x<1

的值域为________.

考点二

分段函数及其应用

?log2?4-x?,x≤0 【例 2】 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ,则 f(3) ?f?x-1?-f?x-2?,x>0 的值为( ).

A.-1 B.-2 C.1 D.2 ?2x+a,x<1, (2)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1. ________.

规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间, 然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足 相应段自变量的取值范围. πx ? ?2cos ,x≤2 000, 3 【训练 2】已知函数 f(x)=? - ? ?2x 2 008,x>2 000, A. 3 B.- 3 C.1 D.-1

则 f[f(2 013)]=(

).

考点三

求函数的解析式

?2 ? 【例 3】 (1)已知 f?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式. ? ? (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x)的解析式.
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宜宾市优学堂培训学校 (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式.

规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值 范围; ?1? (3)方程法:已知关于 f(x)与 f?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另 ? ? 外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 【训练 3】 (1)若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________.

1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质 的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法,三者之间是可以互相转 化的; 求函数解析式比较常见的方法有凑配法、 换元法、 待定系数法和方程法等, 特别要注意将实际问题转化为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明 确定义域.

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分段函数中求参数范围问题 ?-x2+2x,x≤0, 【典例】已知函数 f(x)=? ? 若 |f(x)|≥ax? ,则 a 的取值范围 ?ln?x+1?,x>0. 是( ). B.(-∞,1]

A.(-∞,0] C.[-2,1]

D.[-2,0]
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宜宾市优学堂培训学校

【自主体验】 ?lg x,x>0, 已知函数 f(x)=? 则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+3,x≤0, A.-3 B.-1 或 3 C.1 D.-3 或 1 ).

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基础巩固题组 一、选择题 1.下列各组函数表示相同函数的是( A.f(x)= x2,g(x)=( x)2 B.f(x)=1,g(x)=x2 ?x,x≥0, C.f(x)=? g(t)=|t| ?-x,x<0, D.f(x)=x+1,g(x)= 2.函数 f(x)=ln A.(0,+∞) C.(0,1) x2-1 x-1 ). ).

1 x + x 2 的定义域为( x-1

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

3.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N, 则 f(x)的图象可以是( ).

x ?2 ,x<1, 4.已知函数 f(x)=? 则 f(log27)=( ?f?x-1?,x≥1,

).

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宜宾市优学堂培训学校 7 A.16 7 B.8 7 C.4 7 D.2 ).

5.函数 f(x)=

cx 3 (x≠-2)满足 f(f(x))=x,则常数 c 等于( 2x+3

A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3 二、填空题 6.函数 f(x)=ln x-2 的定义域是________. x+1

x ?2 +1,x<1, 7.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=________. ?x +ax,x≥1,

?1-x? 1-x2 ?= 8.已知 f? 2,则 f(x)的解析式为________. ?1+x? 1+x 三、解答题 9.设二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)=0 的两个实根的平方和为 10, f(x)的图象过点(0,3),求 f(x)的解析式.

10.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 s(km)表 示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.

能力提升题组 一、选择题 1.设 f(x)=lg 2+x ? x? ?2? ,则 f?2?+f?x?的定义域为( ? ? ? ? 2-x B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4) ).

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)

2.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)

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宜宾市优学堂培训学校 1 =x,则当 x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为( 1 A.f(x)=- x C.f(x)= 1 x+2 B.f(x)=- 1 x-2 1 x+2 ).

D.f(x)=-

二、填空题
-x ?2 ,x∈?-∞,1], 1 3.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)=4的 x 值为________. ?log81x,x∈?1,+∞?,

三、解答题 1 4.若函数 f(x)=2x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值.

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