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山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2014届高三第四次四校联考 数学文 Word版含答案


山西省忻州一中

长治二中

临汾一中

康杰中学 2013-2014 学年高三第

四次四校联考数 学 试 题 ( 文 科 ) A 卷
命题:长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中
考试时间 120 分钟,满分 150 分

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题 目要求的) 1.复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ( i 为虚数单位),则 z = A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? 3i D. 1 ? 2i

2.已知全集 I ? ? 1, 2, 3, 4, 5,6?,集合 M ? ?3, 4, 5? , N ? ? 1 , 2, 3,4? ,则右图中阴影部分表示的集合为 A. ? 1, 2? C. ? 1, 2,3, 4, 5?
2

B. ? 1, 2,6? D. ? 1, 2,3, 4, 6?

3.命题“ ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是 A. “ ?x0 ? R 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ” B. “ ?x0 ? R 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ” C. “ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”
2

2

2

D. “ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 >0”
2

4.设公比 q ?

1 S 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a3
B.

A.

15 2

15 4

C.

7 2

D.

7 4

频率 组距

5. 某一个班全体学生参加历史测试, 成绩的频率分布直方 图如图,则该班的平均分估计是 A.70 C.66 B.75 D.68

0.02 0.015 0.01 0.005 20 40 60 80 100
成绩/分

-1-

开始

6.将函数 所得函数图象

i ?1
S ?0


y ? sin 2 x 的图象向右平移
对应的解析式为 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? 2 sin 2 x
输出 S
结束

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 4
B. y ? 2 cos2 x D. y ? ? cos 2 x

?
4

) ?1

7. 一个算法的 结果为
5 ,则 6
S?S?


1 i (i ? 1)

程序框图如图所示,若该程序输出的 判断框中应填入的条件是 B. i ? 6 ? D. i ? 6 ? 的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

A. i ? 5 ? C. i ? 5 ? 8. 一个几何体 A. 64 ? 8? C. 64 ? 16?

i ? i ?1

(第 7 题图)

B.

160 ? 8? 3 160 ? 16? D. 3

4 正视图 2 4 侧视图

4 俯视图

2

9.函数 f ( x) ?

2 x ? 2? x 的图像大致为 2 x ? 2? x

x y y x O O X x

y x O A
10.已知双曲线

y x O B

C

D

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线将第一象限三等 ( a ? 0, b ? 0) 以及双曲线 a 2 b2 a2 b2 x2 y2 分,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a b
-2-

A. 2 或 3 C. 3 或 6

2 3 3 2 3 D. 2 或 3
B. 6 或

11.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , y ? f ( x ? 2) 关于 y 轴对称, 当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? log 2 x2 ,则下列结论中正确的是 A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) 12.已知曲线 y ? B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

2 ? x 2 与 x 轴的交点为 A, B ,分别由 A, B 两点向直线 y ? x 作垂线,垂足为 C , D ,沿

直线 y ? x 将平面 ACD 折起,使 平面ACD ? 平面BCD ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 A. 2? B. 4? C. 6? D. 8?

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
log x, x ? 0, ? ? 1 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0,

则不等式 f ( x) ? 0 的解集为



?x ? y ? 5 ? 0 ? 14.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? ( x ? 1)2 ? y 2 的最小值是 ?x ? 3 ?
→ → → → → → 15.在 ?ABC 中, AB+AC=2AM,|AM|=1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM, → → → 则PA?(PB+PC)= .



16.已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, an ? 0 , (an?1 ? Sn )2 ? Sn?1 ? Sn 且 a1 ? 2 ,则 an ? 三、解答题(本大题共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且满足



cos 2 A ? 2sin 2 (? ? B) ? 2cos2 ( ? C) ? 1 ? 2sin B sin C . 2 (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 b ? 4, c ? 5 ,求 sin B .
18.(本小题满分 12 分) 太原市启动重污染天气Ⅱ级应急响应,大力发展公共交通.为了调查市民乘公交车 的候车情况,交通部门从在某站台等车的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,按照他们的候车时间(单位: 分钟)作为样本分成 6 组,如下表所示:
-3-

?

组别 候车时间 人数













?0,3?
2

?3,6?
5

?6,9?
3

?9,12?
2

?12,15?
2

?15,18?
1

(Ⅰ)为了线路合理设置,估计这 60 名乘客中候车时间不少于 12 分钟的人数. (Ⅱ)若从上表第三、四组的 5 人中随机抽取 2 人做进一步的问卷调查,求抽到的 2 人恰好来自不同组的 概率. 19.(本小题满分 12 分) 试题类型:A , F 为 线 段 AB 的 中 点 , ABC

如 图 , 在 几 何 体 ABCDE 中 , CA ? CB? 2, CA? CB , CD ?平面

EF / /CD, EF ? CD ? 2 .
(Ⅰ)求证: 平面ABE ? 平面ADE . (II)求几何体 ABCDE 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 设点 F (1,0) ,动圆 P 经过点 F 且和直线 x ? ?1 相切.记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W . (Ⅰ)求曲线 W 的方程; (II) 过点 M (0, 2) 的直线 l 与曲线 W 交于 A 、 B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C , 设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,求证: ? ? ? 为定值.

21. (本小题满分 12 分)

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ,其中 a ? R . 2 (Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (II) 若 ?x ? 0 , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? x ?

-4-

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B, C , ?APC 的平分线分别交

AB, AC 于点 D, E ,
(Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求 C

A E D O B P

PC 的值. PA

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 已知直线 l 的参数方程是 ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ? ) . (t为参数), 4 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? b ? 1 , c ? d ? 1
2 2 2 2

(Ⅰ)求证: ab ? cd ? 1 (Ⅱ)求 a ? 3b 的取值范围.

2013-2014 学年四校四联数学(文科)参考答案 A
一、选择题(本大题共 60 分) 1-5 BACAD 5-10 CBBBD 11-12 AC 二、填空题(本大题共 20 分) 13 {x | x ? ?2 或 x ? 1}

4
14. 5 15.

?

4 9

16. an ? ?6 ? 4n?2 ?

?

2

n ?1 n?2

三、解答题(本大题共 70 分) 17. (Ⅰ)解: ? ∵cos2A+2sin2(?+B)+2cos2( +C)-1=2sinBsinC 2
-5-

∴sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC 2 2 2 由正弦定理得 b +c -a =bc, 1 由余弦定理得 cosA= 2 ? ∵0<A<?, A= 3 1 2 2 2 (Ⅱ)∵a = b +c -2bccosA=16+25-2×4×5× =21,∵a= 21 2 由 a b 2 7 = ,得 sinB= sinA sinB 7

????2 分

????4 分 ????6 分

????12 分

18.解: (Ⅰ)从 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,每人被抽到的概率为 则 60 名乘客中候车时间不少于 12 分钟的人数为 3?

1 , 4

1 =12 人。 4

?????4 分。

(Ⅱ)记第三组的 3 个人为 A, B, C ,第四组的 2 个人为 a , b ,则从这五个人中随机抽取 2 人的基本事件

(A, B) (A, C) (B, C) (B, a) (C , a) (C , b) (a, b) 共 10 , , , , , , , (A, a) (A, b) (B, b)
种, ??7 分

设事件”从五个人中随机抽取 2 人,这两个人恰好来自不同组”为事件 E ,包含六个基本事件: , (A, a)

(B, a) (C , a) (C , b) , , , ??10 分 (A, b) (B, b)
? 则抽到的 2 人恰好来自不同组的概率 P(M) 6 3 ? 10 5
??12 分

19.解: (Ⅰ)

CA ? CB, F为AB中点?CF ? AB.

又 CD ? 平面ABC, CD / / EF ,? EF ? 平面ABC, CF ? 平面ABC ? EF ? CF EF ? AB ? F , EF , AB ? 平面ABE,?CF ? 平面ABE.
????3 分

EF / /CD, EF ? CD ?四边形EFCD为平行四边形.
? DE / /CF ? DE ? 平面ABE 又 DE ? 平面ADE ? 平面ADE ? 平面ABE.

????4 分

????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

CF ? AB, EF ? 平面ABC. EF ? AB, 又 EF ? CF ? F , EF , CF ? 平面EFCD ? AB ? 平面EFCD.
??8 分

1 1 4 ?VABCDE ? VA? EFCD ? VB ? EFCD ? ? S EFCD ? AB ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2. ??12 分 3 3 3
20. (I)解:设动圆圆心 P( x, y) ,由抛物线定义得: P 点轨迹 W 是以 F (1,0) 为焦
-6-

点以 x ? ?1 为准线的抛物线,方程为 y ? 4 x
2

4分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0) , 联立方程可得 ?

? y ? kx ? 2 得: k 2 x2 ? (4k ? 4) x ? 4 ? 0 2 y ? 4 x ?



设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( ? 则 x1 ? x2 ? ?

2 , 0) , k
② ????8 分

4 4k ? 4 , x1 ? x2 ? 2 2 k k

由 MA ? ? AC , MB ? ? BC 得,

2 2 ( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? 2) ? ? (? x2 ? , ? y2 ) k k
即得: ?

???10 分

?

?kx1 ?kx2 ,? ? , kx1 ? 2 kx2 ? 2

?2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) 则? ? ? ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
代入得 ?

? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1
1 x

??12 分 ??2 分, ??3 分, ??4 分,

/ 21.解: (I) f ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ?

因为 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,所以 f / (2) ? 0

1 1 ? 0得a ? 2 2 1 2 (Ⅱ)依题意 x ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 , 2 2 x?0 a ( x ? 1) ? 2( x ? 1 ? ln x)
解 1 ? a ( 2 ? 1) ?
2

??5 分

x ? 1 时, a ( x ? 1) ? 2( x ? 1 ? ln x) 恒成立 ??6 分 x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 2 得a ? ??7 分 ( x ? 1 ? ln x) ( x ? 1) 2 1 / 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g ( x ) ? 1 ? ??8 分, x / / 当 0 ? x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 g ( x) ? 0 所以 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ??10 分 2 所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时, ( x ? 1 ? ln x) ? 0 ,从而 a ? 0 ??11 分, ( x ? 1) 2 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] ??12 分.
22.解: (I)∵PA 是切线,AB 是弦,∴∠BAP=∠C
-7-

又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE. ∴∠ADE=∠AED ?????5 分

PC AC (Ⅱ)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, = , PA AB ∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC, 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180?, ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90?,∴∠C+∠APC+∠BAP=90?, ∴∠C=∠APC=∠BAP=30?, 在 Rt?ABC 中, AC PC = 3,∴ = 3 AB PA ?????10 分

? 23.解: (I)∵ρ =2cos(θ + ) 4 ∴ρ = 2 cosθ - 2sinθ ,∴ρ = 2ρ cosθ - 2ρ sinθ ∴圆 C 的直角坐标方程为 x +y - 2x+ 2y=0 ∴圆心 C 的直角坐标为( 2 2 ,) 2 2
2 2 2

????(2 分) ????(3 分) ????(5 分)

(Ⅱ)法一: 由直线 l 上的点向圆 C 引切线长为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 t- ) +( t+ +4 2) -1= t +8t+40= (t+4) +24≥2 6, 2 2 2 2 ????(10 分) ????(6 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 2 6 法二:直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

????(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 24.解: (I)∵a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd ∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当 a=b=c=d= 又∵a2+b2=1, c2+d2=1 ∴2(ab+cd)≤2 ∴ab+cd≤1 → → (Ⅱ)设 m =(a,b), n =(1, 3), →→ → → ∵| m ? n |≤| m |?| n |, 2 时取“=” 2

????(10 分)

????(2 分)

????(4 分) ????(5 分)

????(8 分)
-8-

∴|a+ 3b|≤2 a2+b2=2 ∴-2≤a+ 3b≤2 ∴a+ 3b 的取值范围为-2,2

????(10 分)

-9-


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