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2013年数学高考总复习重点精品课件:3-3导数的实际应用 59张


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章

导 及 应 用 数 其

第三章

导数及其应用

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第三章
第三节 导 的 际 用 数 实 应

第三章

导数及其应用

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第三章

第三节

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基础梳理导学

第三章

第三节

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重点难点

引领方向

重点:利用导数解决实际问题中的优化问题. 难点:如何建立数学模型,借助导数求最值.

第三章

第三节

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夯实基础

稳固根基

利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 () 分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数 1 学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); () 求函数的导数 f ′(x),解方程 f ′(x)=0; 2 () 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小, 3 最大(小) 者为最大(小)值.

第三章

第三节

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疑难误区

点拨警示

() 在求实际问题的最大(小)值 , 定 注 考 实 问 1 时一 要 意 虑 际 题的意义,不符合实际意义的值应舍去. () 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点 2 使 f ′(x)=0 的 形 如 函 在 点 极 情,果数这有大 (小)值,那么不

与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.

第三章

第三节

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() 生活中,经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 3 等 题这 问 通 称 优 问 .解 实 优 问 中 问 ,些 题 常 为 化 题在 决 际 化 题 , 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示, 还应确定函数关系式中自变量的定义区间.

第三章

第三节

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思想方法技巧

第三章

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1. 用 数 以 曲 的 线 斜 、 线 程 研 运导可求线切的率切方,究 函数的单调性,确定函数的极值与最值.讨论方程根的分布, 证明不等式等等.其中讨论参数的取值范围,确定根的个数、 证明不等式等问题, 其实质都是要转化成函数的单调性、 极(最) 值,其关键环节都是“求导→解不等式→找出单调区间”.

第三章

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2.注意极值与最值的区别,极值是局部性质,最值是整 个定义域上的性质,最值点通常是极值点、区间端点和不可 导点;极大值不一定是最大值,极大值也不一定比极小值 大. 3.实际问题中,若存在极值点,一般都是最值点.

第三章

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考点典例讲练

第三章

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用料、费用最省问题

[例 1]

某厂计 工设

一 密 容 ,部 圆 体 , 个 闭 器下 是 柱 形上

部是半球形,容积为常数 V,当圆柱的底半径 r 与高 h 为何 值时,制造这个容器的用料最省? 分析:“用料最省”, 在 积 即容 V不 的 件 , 容 变条下使 S

器的表面积最小,故问题变为当 r 和 h 取 值 , 面 何时表积 取最小值.

第三章

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2 3 解 : πr +πr2h=V① 析 3 4 2 2V 5 r2 2V π ∴3πr +2 rh= r ,S= 3 + r , π 3 3V 1π r 2V 0 由 S′= 3 - r2 =0 得 r= 5 , π 3 3V 3 3V 代 ①中 h=r= 5 ,∴当 h=r= 5 时 料 省 入 得 π π 用最.

第三章

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某位 单 用 26 万 购 一 空 , 划 该 块 建 一 10 元得块地计在地上造 栋少 1 层每 至 0 , 层 20 平 米 楼 . 测 , 果 楼 建 00 方的房经算如将房 为x(x≥1) 层 则 平 米 平 建 费 为 0 ,每方的均筑用 元). 50 +4 x(单 : 6 8 位

第三章

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() 写出楼房每平方米平均综合费用y关于建造层数x的函数 1 关系式; () 该楼房建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费 2 用最少?最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均 购地总费用 购地费用= ) 建筑总面积

第三章

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26 ×100 10 00 解 : () 依 意 析 1 题 得 y=(6 +4 x)+ 50 8 20 x 00 180 00 4 x+ x 8 (x≥1 ,x∈N*). 0

=50 + 6

() 解 1:∵x>0, 2 法 180 00 ∴4 x+ 8 x ≥2 4 ×180 8 00 =14 , 40

180 00 当仅 且 当 4 x= x 8

, x=1 时 到 “=”, 即 5 取 50 +14 6 40

∴当x=1 时 平 综 费 最 , 小 为 5 ,均合用少最值 =20 元 00 .

第三章

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10800 解法2:先考虑函数y=560+48x+ (x≥10,x∈ x R). 10800 10800 y′=48- .令y′=0,即48- =0,解得x= x2 x2 15, 当0<x<5 时,y′<0;当x>5 时,y′>. 又15∈N*, 1 1 0 ∴当x=15时,y取 最 值 得小, ym =2000元. n i

第三章

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利润最大问题
[例 2] (02 21 · 台 拟 )某 场 售 种 品 经 表 烟 模 商 销 某 商 的 验 y(单位:kg)与 售 格 销价 x(单 : 位元

明该 品 日 销 量 ,商 每 的 售

a k) 满足关系式 y= /g +10(x-6)2, 中 3<x<6,a 为常数, 其 x-3 已知销售价格为 5 元/g 时,每日可售出该商品 1k. k 1g () 求 a 的值. 1 () 若该商品的成本为 3 元/g , 确 销 价 2 k 试定售格 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
第三章 第三节

x 的值,

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解析:() ∵x=5 时,y=11, 1 a ∴2+10=11,∴a=2. () 由() 可 , 商 每 的 售 2 1 知该品日销量 2 y= +10(x-6)2, x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)=(x-3 ) [ +10(x-6)2] x-3 =2+10(x-3 x-6)2,3<x<6, ) (

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从而 f ′(x)=1[ x-6)2 +2(x-3 x-6 =3( x-4 x- 0 ( ) ( ) ] 0 ) ( 6), 于, 是当 x变 时 化 , f ′(x),f(x)的 化 况 表 变情如: x f ′(x) f(x) (4 3) , + ↗ 4 0 42 (6 4) , - ↘

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由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(6 3) , 也 最 值 ;以当 是 大 点所 , 大值等于 42. x=4 时 函 ,数

内极值, 的大点

f(x)取 最 值 且 得 大 ,最

即当销售价格为 4 元/g 时,商场每日销售该商品所获得 k 的利润最大.

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(文)某 锁 店 售 种 品 每 商 的 本 连分销某商,件品成为 且件品向店 每商需总交

4元 并 ,

a(1≤a≤3 元 管 费 预 当 件 品 ) 的理,计每商 (0 -x)2万 . 1 件 x的

的价 售 为 x(8≤x≤9 元 , 年 销 量 ) 时一的售为 () 求 连 分 一 的 润 1 该锁店年利 函关式 数系

L(万 )与 件 品 售 元 每商的价 l=x-(a+4 ; )

L(x)(销 一 商 获 的 润 售件品得利

() 当 件 品 2 每商 最?求 大并出

的价多元,连分一的润 售为少时该锁店年利

L

L的 大 最 值 M(a).

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解析:() 由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x 1 的函数关系式为L(x)=(x-4-a)0 -x)2,x∈[9 ( 1 8] , () L′(x)=[(x-4-a)(x2-20x+10 2 0) ] =(0 -x)8 +2a-3x), 1 ( 1 2 令L′(x)=0,得x=6+3a或x=10(舍去). 20 2 ∵1≤a≤3,∴ ≤6+ a≤8. 3 3 ′ .

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∴L(x)在x∈[9 8] , a)0 ( 1 ·

上调减故 单递,

L(x)max=L() =(8-4- 8

-8)2=16-4a,即M(a)=16-4a. 答:当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润

L最大,最大值为16-4a万元.

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(理)02 ( 1· 2

安 合质 徽 肥 检

)某 微 业 均 工 数 小 企 日 用 人

a(人)

与日营业利润 f(x)(元)、 人 用 成 日均工本 1 3 为 f(x)=-3x +5x2+30ax-500(x≥0).

x(元)之间的函数关系

() 若日均用工人数 a=20,求日营业利润 f(x)的最大值; 1

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() 由于政府的减税、降费等一系列惠及 微 业 政 2 小 企 的 策 的 持该 业 日 均 工 本 扶 ,企 的 人 用 成 x 的值在区间[00 12] , 内求 ,

该企业在确保日营业利润 f(x)不低于 24000 元 情 下 该 的况,企 业平均每天至少可供多少人就业.

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1 3 解析:() a=20 时,f(x)=- x +5x2+600x-500(x≥0), 1 3 f ′(x)=-x2+10x+60 =-(x2-10x-600) 0 =-(x+2) x-30), 0 ( ∵x≥0,∴当 x∈[3) 00 , 时,f ′(x)0 ;当 x∈(0 ,+∞) > 3

时,f ′(x)0 ,∴x=30 时,f(x)m =13000(元). < x a

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1 3 () 由- x +5x2+30ax-500≥24000, 2 3 73500 得 90a≥x -15x+ x ,
2

73500 73500 令 h(x)=x -15x+ ,则 h′(x)=2x-15- 2 , x x
2

73500 ∵h′(x)=2x-15- x2 在[00 12] ,

上单调递增,

73500 73500 ∴h′(x)=2x-15- 2 ≤h′(0 =40-15- 2) <. 0 x 400

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73500 ∴h(x)=x -15x- 在[0] 1,0 2 x
2

上单调递减,

∴h(x)m =h(0 =100-150+7350=7300, 1) x a 730 ∴90a≥7300,即 a≥ ,∴am =82. n i 9 ∴企业平均每天至少可供 82 人就业.

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面积、体积(容积)最大问题

[例 3]

用 为 90, 为 48 的长方形铁皮做一个无盖的 长 宽 90°

容 ,在 角 别 去 个 正 形然 把 边 转 器先 四 分 截 一 小 方 ,后 四 翻 角 再接成 ,焊 而 (如图), 该 器 高 多 时 容 的 问容 的为少,器 容

积最大?最大容积是多少?

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解析:设容器的高为 x,容器的体积为 V, 则 V=(0 -2x)8 -2x)x(< x<4 9 ( 4 0 2) =4x3-276x2+4320 由 V′=12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36(舍) ∵x<0 时,V′>1< 1 00 , x<4 时,V′<0, 2

所以,当 x=10,V 有极大值 V(0 =1960 1) 又 V() =0,V(4 =0, 0 2) 所以当 x=10 时,V 有最大值 V(0 =1960. 1)

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如图所示,将一矩形花坛AC 扩建成一个更大的矩形花 BD 坛A P ,要求M在AB的延长线上,N在AD的延长线上,且对 MN 角线MN过C点.已知AB=3m,AD=2 . m

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() 设AN=x(单位:m),要使花坛A P 的面积大于 1 MN 32m2,求x的 值 围 取范; () 若x∈[4 2 3) ,( 单位:m),则当AM,AN的长度分别是多

少时,花坛A P 的面积最大?并求出最大面积. MN

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DN DC 3x 解: 由 析 于 = , AM= 则 , AN AM x-2 故S矩 形
AP M N

3x2 =AN· AM= . x-2
AP M N

() 由 S 矩 1 形

3x2 >2 得 3 >2 , 3 x-2

因 x>2, 以 3x2-3 x+6> , 为 所 2 40 即(3x-8 x-80 , ) ( ) > 8 从 2 x< 或 x>8, 而 < 3 即x的 值 围 取范是 8 (2, )∪(8, ∞). + 3
第三章 第三节

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6x?x-2?-3x2 3x?x-4? 3x2 () 令 y= 2 , y′= 则 = , x-2 ?x-2?2 ?x-2?2 因 当 x∈[4 为 3) , 单递函, 调减数 3x2 从 当 x=3 时 而 ,y= 取 最 值即 坛 得 大 ,花 x-2 积大 最为 2m 2, 时 AN=3 ,AM=9 . 7 此 m m AP MN 的 面 时 y′<0, 以 数 , 所函 3x2 y= 在[4 3) , x-2 上 为

第三章

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用时最短问题

[例 4]

(理)一 渔 停 在 岸 艘艇泊距

9km 处 今 派 送 ,需 人 信

给距渔艇 3 34km 处 海 渔 , 果 信 步 速 的 岸 站 如 送 人 行 度 5m kh / ,行 度 船速 4m kh / ,应 何 登 再 行 以 抵 问在处岸步可使达

渔站的时间最省?

第三章

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分析:如图,设 BC 为 岸 , 海线

A 为渔艇停泊处,设 D

为海岸线上一点,CD=x,只需将时间 T 表示为 x 的函数, 即可确定登岸的位置.

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解析:∵AB=9,AC=3 34,BC= AC2-AB2=15,设 CD=x,由 A 到 C 所 时 为 需间 1 1 T,则 T=5x+4 ?15-x?2+81

15-x 1 (0≤x≤15),T′=5- . 2 4 ?15-x? +81 令 T′=0, 得 x=3.在 x=3 附近,T′由 到 , 此 解 负正因 在 x=3 处取得极小值. 3 34 21 87 又 T() = 4 , 1) = 4 , 3 =20, 较 知 0 T(5 T() 比可 T() 最小. 3

答:在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省.
第三章 第三节

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(理)某 市 发 过 中交 状 逐 受 有 部 更 城 在 展 程 ,通 况 渐 到 关 门 多 的注据关计据示从午 关,有统数显,上 通该某路的时 过市一段用 间关可似用下数出 的系近地如函给: 69 2 ? 13 32 6 ?6≤t<9?, ?-8t -4t +3 t- 4 ? 9 y=? t 5 0 ?8+ 4 ?9≤t≤1 ?, ? -3t2+6 t-35 6 4 ?1 <t≤1 ?. 0 2 ? 求上 从午 6点 中 到午 1 点通该段时多时. 2 ,过路用最的刻
第三章 第三节

6点 中 到午 与辆入路的刻 车进该段时

1 点车 2 ,辆 t 之

y( n m) i

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解析:() 当 6≤t<9 时, 1 32 3 3 y′=-8t -2t+36=-8(t+1) t-8). 2 ( 令 y′=0 得,t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0, ∴t=8 时,y 有最大值 ym =17( n 85 i) .m x a .

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1 59 () 当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 2 8 4 ∴当 t=10 时,ym =1( n 6 i) m x a .

() 当 10<t≤12 时,y=-3(t-1) 2+18, 3 1 ∴t=11 时,ym =1( n 8 i) m x a .

综上所述,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点.

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.函数 f(x)=excs x 的 象 点 o 图在 角的余弦值为( 5 A.- 5 2 C. 2
[答案] C

(0,f() 处 切 的 斜 0 的线倾

) 5 B. 5 D.1

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[解析]

f ′(x)=excs x-exs x,∴f ′() =1. o n i 0 α,则 a α=1, tn

设 f(x)在点(0,f() 处 线 倾 角 0 切的斜为 π 2 ∵α∈(0,π),∴α=4,∴cs α= 2 . o

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二、填空题 2. 积 面为 S 的 形 ,周 最 的 形 长 矩 中其 长 小 矩 边 是 ______.

[答案]

S

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[解析]

设形一边为 矩的边长

S x,则另一边边长为 , x

2S 2S 其周长为 l=2x+ x ,x>0,l′=2- x2 , 令 l′=0, 得 x= S, 知 当 解 易, x= S时 其 长 小 ,周 最 .

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三、解答题 3. 一 容 有个积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知 3 倍问何计总价 ,如设使造最

单面铝金价是的 位积合的格铁 小? [分析]

桶总价根铁铝金用来,于 的造要据与合的量定由

二者单位面积的价格不同, 在保持铁桶容积不变的前提下, 使 总 价 小问 转 为 造 最 .题 化 V 一定求总造价 y 的 小 , 取 最 值选 恰

当变量(圆柱高 h 或底半径 r)来表示 y 即变为函数极值问题.

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[解析]

解设 柱 高 :圆 体 为

h, 面 径 底半为

r, 设 位 又单面

积铁的造价为 m, 总 价 桶造为
2

y,则 y=3mπr2+m(πr2+2πrh).

V 2mV 2 由于 V=πr h,得 h=πr2,所以 y=4mπr + r (r>) . 0 2mV 所以,y′=8mπr- 2 . r 令 y′=0,得
? V ?1 r=?4π?3 ? ? ? V ?1 V ,此时,h=πr2=4?4π?3 . ? ?

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该函数在(0,+∞)内 续 导 且 有 个 函 的 连 可 , 只一使 数 导 数 零 点问 中 造 的 小 显 存 , 为 的 ,题 总 价 最 值 然 在当 y 有最小值,即 h:r=4 时,总造价最小.
? V ?1 r=?4π?3 ? ?

时,

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4.(文)02 ( 1· 2 工每斤菇成 ,公蘑的本 元(t 为 数 且 常,

山 苍 县 拟 东 山 模

)某 品 进 蘑 的 加 食 厂 行 菇 深 t

2 元并每斤菇加费 0 ,且公蘑的工为

2≤t≤5 , 该 品 每 斤 菇 出 价 ) 设食厂公蘑的厂为 q 与 ex 成 比 当 反, 10g 0k. ( )). x元 的 每利= 日润

x 元(5 ≤x≤4) , 据 场 查 日 售 2 0 根 市 调 ,销 量 每斤菇出价 公蘑的厂为 3 元 ,售 为 0 时销 量

日售 销 量 ×(每 斤 厂 - 本 - 工 公出价成价加费 () 求 工 的 日 润 1 该厂每利 函关式 数系; () 若 t=5, 每 斤 菇 出 价 2 当公蘑的厂 厂利 的润 y最 , 大并 求大. 最值

y元 每 斤 菇 出 价 与公蘑的厂

x为少时该 多元,工

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[解析]

k k () 设日销售量 q= x,则 30=100,∴k=100e30, 1 e e

100e30 ∴日销售量 q= ex , 100e30?x-20-t? ∴y= (5 ≤x≤40). 2 ex

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100e30?x-25? () 当 t=5 时,y= 2 , ex 100e30?26-x? y′= . ex 由 y′≥0 得 x≤26,由 y′≤0 得 x≥26, ∴y 在[56 22] , 上调增在 单递,
4

[60 24] , .

上调减 单递,

∴当 x=26 时,ym =10 0e x a

当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大, 最大值为 100e4 元.

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(理)

如图示扇 右所,形 OA 的 长 上 一 点 延线有动 且过 与点

AB 中 半 O ,径

π OA=1,∠A B = ,在 O 2 E,

︵ C, 点 C 作 CD 与AB相 于 过 切点 D,当 问点

B 所 的 OB 的 线 于 作 垂交点 OD CB 的积小 面最.

C在 么 置 什位

时直梯 ,角形

第三章

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[分析]

要直梯 求角形

O D 的面积的最小值,需先求出 CB

梯形面积,可设OC=x,进而用x表示BD, 后 用 数 然利导的 方法求最小值.

第三章

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[解析] △OC E

如图示过 上所,

D 作 DF⊥OA 于 F,可知

△DC ,所以 OC=CD,设 OC=x(x>1), F

在 Rt△C F 中,CD2=CF2+DF2,即 x2=(x-BD)2+1, D 所以 BD=x- x2-1, 所以梯形的面积为 1 1 S= (BD+OC)· OB= (2x- x2-1), 2 2 1 x S′=2(2- 2 ). x -1 2 2 令 S′=0,解得 x1= ,x2=- (舍去). 3 3
第三章 第三节

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2 2 当 x> 时,S′>0;当 1<x< 时,S′<0. 3 3 2 3 所以当 x= 3 时,S 取最小值. 2 3 即当 OC= 3 时,直角梯形 O D CB 的面积最小.

第三章

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