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辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷


辽宁省沈阳市东北育才学校 2014-2015 学年高一上学期第一次段 考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 2.若一直线上有一点在已知平面外,则下列结论中正确的是() A.直线与平面平行 B. 直线与平面相交 C. 直线上至少有一个点在平面内 D.直线上有无数多个点都在平面外 3.如图,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动 点,且 PC⊥AC,则△ ABC 为()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定

4.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 () A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 5.正方体与其外接球的表面积之比为() A.
|x|

B.2:π
2

C.3:π

D.6:π

6.函数 f(x)=2 ﹣x 的图象为()

A.

B.

C.

D.

7.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得() A.a?α,b?α B.a?α,b∥α C.a⊥α,b⊥α

D.a?α,b⊥α

8.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 积为() A. B. C. 1

,则三棱锥 A1﹣B1BC 的体 D.

9.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AC⊥l,垂足为 C,BD⊥l,垂足为 D(点 C, D 不重合) ,若 AC>BD,则()

A.AD>BC,∠ABC>∠BAD C. AD<BC,∠ABC>∠BAD

B. AD>BC,∠ABC<∠BAD D.AD<BC,∠ABC<∠BAD

10.已知正三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在半径为 的球面上,M,N 分别为 PA,AB 的 中点.若 MN⊥CM,则球心到平面 ABC 的距离为() A. B. C. D.

11.如图,设平面 α∩平面 β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为 B,D,如果再增加一个条 件,就可以推出 BD⊥EF.现有:①AC⊥β;②AC∥EF;③AC 与 CD 在 β 内的射影 在同一条直线上.那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

12.若四面体的各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积不可能是() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图,平面 α∥β∥γ,直线 l、m 分别与 α、β、γ 相交于点 A、B、C 和点 D、E、F.若 ,DF=20,则 EF=.

14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个球,这个球与圆柱的侧 面及两个底面都相切, 相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是球 的体积的 m 倍,圆柱的表面积是球表面积的 n 倍,则 m 与 n 的大小关系是. 15. 水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2 的球, 且相邻的球都相切 (球心的连线构成正方形) . 在 这 4 个球的上面放一个半径为 1 的小球, 它和下面的 4 个球恰好相切, 则小球的球心到水平 桌面 α 的距离是.

16. 数 a 的取值范围是.

若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17.已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围. 18.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,PA⊥AD,且 PA=AD=2,E,F, G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点. (1)求证:BC∥平面 EFG; (2)求三棱锥 E﹣AFG 的体积.

19.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 AD 中点,F 为 B1C1 中点. (Ⅰ)求证:A1F∥平面 ECC1; (Ⅱ)在 CD 上是否存在一点 G,使 BG⊥平面 ECC1?若存在,请确定点 G 的位置,并证 明你的结论;若不存在,请说明理由.

20.已知 m 为常数,函数 f(x)=

为奇函数.

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 m>0,试判断 f(x)的单调性(不需证明) ; (Ⅲ)当 m>0 时,若存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)+f(2)≤0 能成立,求实数 k 的 最大值. 21.如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图 2. (1)求证:BC∥平面 A1DE; (2)求证:BC⊥平面 A1DC; (3)当 D 点在何处时,A1B 的长度最小,并求出最小值.
x

22.对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x)为“局 部奇函数”. x (Ⅰ)若 f(x)=2 +m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围; x x+1 2 (Ⅱ)若 f(x)=4 ﹣m2 +m ﹣3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. 注:函数 在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.

辽宁省沈阳市东北育才学校 2014-2015 学年高一上学期 第一次段考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A={0,1,2,3},B={1,2,4}, ∴A∩B={0,1,2,3}∩{1,2,4}={1,2}, 故选:C. 点评: 本题考查了交集及其运算,是基础的会考题型. 2.若一直线上有一点在已知平面外,则下列结论中正确的是() A.直线与平面平行 B. 直线与平面相交 C. 直线上至少有一个点在平面内 D.直线上有无数多个点都在平面外 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 若一直线上有一点在已知平面外,则直线与平面相交或平行. 解答: 解:若一直线上有一点在已知平面外, 则直线与平面相交或直线与平面平行, ∴直线上有无数多个点都在平面外. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 3.如图,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动 点,且 PC⊥AC,则△ ABC 为()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 通过证明 AC⊥平面 PBC,得出 AC⊥BC,即可得出△ ABC 是直角三角形. 解答: 解:△ ABC 是直角三角形,说明如下; ∵A∈α,C∈α,∴AC?α; 又∵PB⊥α,∴PB⊥AC; 又∵PC⊥AC, PB∩PC=B, ∴AC⊥平面 PBC; 又∵BC?平面 PBC, ∴AC⊥BC; ∴△ABC 是直角三角形. 故选:A. 点评: 本题考查了空间中的垂直关系的判断问题, 解题时应明确线线垂直和线面垂直的判 断与性质是什么,是基础题. 4.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 () A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 对于 A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理; 对于 B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理; 对于 C,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理; 对于 D,考虑面面垂直的判定定理. 解答: 解:选项 A 中,l 除平行 n 外,还有异面的位置关系,则 A 不正确. 选项 B 中,l 与 β 的位置关系有相交、平行、在 β 内三种,则 B 不正确. 选项 C 中,l 与 m 的位置关系还有相交和异面,故 C 不正确. 选项 D 中,由 l∥β,设经过 l 的平面与 β 相交,交线为 c,则 l∥c,又 l⊥α,故 c⊥α,又 c?β,所以 α⊥β,正确. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线位置关系问题及判定,及面面垂直、平行的判定与性质,要综合 判定定理与性质定理解决问题. 5.正方体与其外接球的表面积之比为() A. B.2:π C.3:π D.6:π

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小, 因此可得到外接球的直径, 进 而求得半径 R,再代入球的表面积公式可得球的表面积. 解答: 解:设正方体的棱长为 a,不妨设 a=1, 正方体外接球的半径为 R,

则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知: 2R= a,即 R= = ;
2

所以外接球的表面积为:S 球=4πR =3π. 则正方体的表面积与其外接球表面积的比为:6:3π=2:π. 故选 B. 点评: 本题考查正方体与球的知识, 正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的 直径之间的数量关系,球的表面积的计算. 6.函数 f(x)=2 ﹣x 的图象为()
|x| 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,∴排除 B,D. ∵f(0)=1﹣0=0>0, ∴排除 C, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断, 利用函数的对称性和函数取值符合是否对应 是解决函数图象的基本方法. 7.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得() A.a?α,b?α B.a?α,b∥α C.a⊥α,b⊥α

D.a?α,b⊥α

考点: 空间点、线、面的位置. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对两条不相交的空间直线 a 与 b,有 a∥b 或 a 与 b 是异面直线,从而得出结论. 解答: 解:∵两条不相交的空间直线 a 和 b,有 a∥b 或 a 与 b 是异面直线, ∴一定存在平面 α,使得:a?α,b∥α. 故选 B. 点评: 本题主要考查立体几何中线面关系问题,属于基础题. 8.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 积为() A. B. C. 1 ,则三棱锥 A1﹣B1BC 的体 D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 求出棱柱的体积,然后求解棱锥的体积即可. 解答: 解:正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 棱柱的底面面积为: 棱柱的体积为:SH= = . ,

=3.

由三棱锥的体积的推导过程可知:三棱锥 A1﹣B1BC 的体积为: V 三棱柱= ×3=1. 故选:C. 点评: 本题考查棱锥的体积的求法,三棱锥与三棱柱的体积关系,基本知识的考查. 9.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AC⊥l,垂足为 C,BD⊥l,垂足为 D(点 C, D 不重合) ,若 AC>BD,则()

A.AD>BC,∠ABC>∠BAD C. AD<BC,∠ABC>∠BAD

B. AD>BC,∠ABC<∠BAD D.AD<BC,∠ABC<∠BAD

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意得,在 Rt△ ACD 和 Rt△ BDC 中,由∠ACD=∠BDC=90°,CD=CD,AC> BD,从而 AD>BC.由已知得 sin ,sin∠ABC= ,从而∠ABC>∠BAD.

解答: 解:由题意得,在 Rt△ ACD 和 Rt△ BDC 中, ∵∠ACD=∠BDC=90°,CD=CD,AC>BD, ∴AD>BC. ∵平面 α⊥平面 β,α∩β=l,A∈α,B∈β, BD⊥l,垂足为 D, ∴BD⊥α,∴sin ∵AC⊥l,垂足为 C, ∴AC⊥β,∴sin∠ABC= , ,

∵AC>BD,∴sin∠ABC>sin∠BAD, ∵∠ABC 和∠BAD 都是锐角, ∴∠ABC>∠BAD. 故选:A.

点评: 本题考查线段大小的比较,考查角的大小的比较,是中档题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 10.已知正三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在半径为 的球面上,M,N 分别为 PA,AB 的 中点.若 MN⊥CM,则球心到平面 ABC 的距离为() A. B. C. D.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意, 可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分, 此正方体的体对角线为球 的直径,球心为正方体对角线的中点,球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ﹣ABC 在面 ABC 上的高,由此能求出球心到截面 ABC 的距离. 解答: 解:∵正三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在半径为 的球面上,∴PA,PB,PC 两 两垂直, ∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,如右图, 此正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点, 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P﹣ABC 在面 ABC 上的高, ∵球半径 r= ,∴正方体的棱长为 2, ∴正三棱锥 P﹣ABC 在面 ABC 上的高为 ∴球心到截面 ABC 的距离为 故选:C. , .

点评: 本题考查球心到平面的距离的求法, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 11.如图,设平面 α∩平面 β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为 B,D,如果再增加一个条 件,就可以推出 BD⊥EF.现有:①AC⊥β;②AC∥EF;③AC 与 CD 在 β 内的射影 在同一条直线上.那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:①因为 AC⊥β,且 EF?β,所以 AC⊥EF. 又 AB⊥α,且 EF?α,所以 EF⊥AB. 因为 AC∩AB=A,AC?平面 ACBD,AB?平面 ACBD,所以 EF⊥平面 ACBD, 因为 BD?平面 ACBD,所以 BD⊥EF. 所以①可以成为增加的条件. ②若 AC∥EF,则 AC∥平面 α, 所以 BD∥AC,所以 BD∥EF. 所以②不可以成为增加的条件. AC 与 α,β 所成的角相等,AC 与 EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直, 所以 EF 与平面 ACDB 不垂直,所以就推不出 EF 与 BD 垂直.所以②不可以成为增加的条 件. ③AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上 因为 CD⊥α 且 EF?α 所以 EF⊥CD. 所以 EF 与 CD 在 β 内的射影垂直, AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上 所以 EF⊥AC 因为 AC∩CD=C,AC?平面 ACBD,CD?平面 ACBD,所以 EF⊥平面 ACBD, 因为 BD?平面 ACBD 所以 BD⊥EF. 所以③可以成为增加的条件. 故选:C. 点评: 本题考查能成为增加条件的命题个数的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养. 12.若四面体的各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积不可能是() A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由于该四面体不是正四面体所以可以分成两种情况①侧棱长为 2,2,1,底边长 为 2,2,2②底边长为 2,2,1,侧棱长为 1,2,2,由于运算量较大,故用排除法求解. 解答: 解:由于四面体的各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体体,可以分成两种情 况

①侧棱长为 2,2,1,底边长为 2,2,2 ②底边长为 2,2,1,侧棱长为 1,2,2 进一步来求它们的体积相对较麻烦, 故使用排除法 求出当侧棱长为 2,2,2 时底边长为 1,1,1 时 利用锥体上顶点在下底面上的射影在中心位置,进一步求得 h= V= =

故选:C 点评: 本题考查的知识点:正四面体的定义,及体积的运算公式,排除法在实际问题中的 应用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图,平面 α∥β∥γ,直线 l、m 分别与 α、β、γ 相交于点 A、B、C 和点 D、E、F.若 ,DF=20,则 EF=15.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 分两种情况: (1)直线 l 和 m 在同一平面内(2)直线 l 和 m 不在同一平面内,即 l 和 m 异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行, 进一步利用平行线分线段成比例定 理得到结果.

解答: 解:分两种情况: (1)直线 l 和 m 在同一平面内, 连结 AD,BE,CF 平面 α∥β∥γ, AD∥BE∥CF, , DF=20, 求得:EF=15; (2)直线 l 和 m 不在同一平面内,即 l 和 m 异面, 过 D 作 DH∥AC, 平面 α∥β∥γ, ∴AB=DG,BC=GH, 进一步得 GE∥HF, 利用平行线分线段成比例得: ,

DF=20, 求得:EF=15, 故答案为:15. 点评: 本题考查的知识要点:面面平行的性质定理,直线的位置关系,平行线分线段成比 例定理. 14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个球,这个球与圆柱的侧 面及两个底面都相切, 相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是球 的体积的 m 倍,圆柱的表面积是球表面积的 n 倍,则 m 与 n 的大小关系是 m=n. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设球的半径为 R,利用圆柱的体积是球的体积的 m 倍,圆柱的表面积是球表面积 的 n 倍,可得 πR ?2R=m?
2

,2πR?2R+2πR =4πR ,即可得出结论.

2

2

解答: 解:设球的半径为 R,则 ∵圆柱的体积是球的体积的 m 倍,圆柱的表面积是球表面积的 n 倍, ∴πR ?2R=m?
2

,2πR?2R+2πR =4πR

2

2

∴m=n. 故答案为:m=n. 点评: 本题考查球的体积和表面积,考查学生的计算能力,比较基础. 15. 水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2 的球, 且相邻的球都相切 (球心的连线构成正方形) . 在 这 4 个球的上面放一个半径为 1 的小球, 它和下面的 4 个球恰好相切, 则小球的球心到水平 桌面 α 的距离是 3. 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知:球心的连线组成底面边长为 2,侧棱长为 3 的正四棱锥,求出顶点到 底面的距离,即可顶点小球的球心到水平桌面 α 的距离. 解答: 解:由题意,5 个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长 为 3,求得它的高为 1, 所以小球的球心到水平桌面 α 的距离是 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查点、线、 面间的距离计算,球的性质,考查空间想象能力,逻辑思维能力, 计算能力,是基础题.

16. 数 a 的取值范围是(﹣∞,2) . 考点: 特称命题. 专题: 函数的性质及应用.

若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实

分析: 若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则 f(x)不是单调函数,结合 二次函数和一次函数的图象和性质, 分类讨论不同情况下函数的单调性, 综合讨论结果可得 答案. 解答: 解:由题意得,即在定义域内,f(x)不是单调的. 分情况讨论: (1)若 x≤1 时,f(x)=﹣x +ax 不是单调的, 即对称轴在 x= 满足 <1, 解得:a<2 (2)x≤1 时,f(x)是单调的, 此时 a≥2,f(x)为单调递增. 最大值为 f(1)=a﹣1 故当 x>1 时,f(x)=ax﹣1 为单调递增,最小值为 f(1)=a﹣1, 因此 f(x)在 R 上单调增,不符条件.
2

综合得:a<2 故实数 a 的取值范围是(﹣∞,2) 故答案为: (﹣∞,2) 点评: 本题考查的知识点是函数的性质及应用,其中根据已知分析出函数 f(x)不是单 调函数,是解答的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;集合的包含关系判断及应用. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: (Ⅰ)直接把 a=1 代入 x ﹣2ax﹣8a ≤0,然后求解一元二次不等式化简 A,由补集 概念得答案; 2 2 (Ⅱ)求解不等式 x ﹣2ax﹣8a ≤0 化简 A,然后由(﹣1,1)?A 结合两集合端点值间的关 系列不等式组得答案. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,x ﹣2ax﹣8a ≤0 化为 x ﹣2x﹣8≤0, 解得:﹣2≤x≤4. ∴A={x|﹣2≤x≤4}. ?RA={x|x<﹣2 或 x>4}; 2 2 (Ⅱ)由|x ﹣2ax﹣8a ≤0,且 a>0,得﹣2a≤x≤4a. ∴A={x|﹣2a≤x≤4a}. 由(﹣1,1)?A,得 ,解得 a ∴实数 a 的取值范围是 . .
2 2 2 2 2

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法, 考查了集合包含关系的判断与应用, 是基础题. 18.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,PA⊥AD,且 PA=AD=2,E,F, G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点. (1)求证:BC∥平面 EFG; (2)求三棱锥 E﹣AFG 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 计算题. 分析: (1)由 E,F 分别是线段 PA、PD 的中点,得到 EF∥AD,由 ABCD 为正方形, 得到 BC∥AD,再由直线平行于平面的判定定理得到 BC∥平面 EFG. (2)由平面 PAD⊥平面 ABCD, CD⊥AD,得到 GD⊥平面 AEF,由此先证明 EF⊥AE, 再由题设条件求三棱锥 E﹣AFG 的体积. 解答: (1)证明:∵E,F 分别是线段 PA、PD 的中点, ∴EF∥AD.… 又∵ABCD 为正方形, ∴BC∥AD, ∴BC∥EF.… 又∵BC?平面 EFG,EF?平面 EFG, ∴BC∥平面 EFG … (2)解:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD,即 GD⊥平面 AEF.… 又∵EF∥AD,PA⊥AD, ∴EF⊥AE.… 又∵AE=EF= ∴ =1,GD= =1, . ×GD= .…

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的计算.解题时要认真审题, 仔细解答,注意合理地化立体问题为平面问题. 19.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 AD 中点,F 为 B1C1 中点. (Ⅰ)求证:A1F∥平面 ECC1; (Ⅱ)在 CD 上是否存在一点 G,使 BG⊥平面 ECC1?若存在,请确定点 G 的位置,并证 明你的结论;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (I)利用平行四边形和四棱柱的性质,证出 FM∥A1A 且 FM=A1A,得四边形 AA1FM 是平行四边形,从而 FA1∥AM.再根据平行四边形 ABCD 中,E、M 分别为 AD、 BC 中点,得四边形 AMCE 是平行四边形,所以 CE∥AM.由此可得 CE∥A1F,结合线面 平行判定定理,得到 A1F∥平面 ECC1. (II) 取 CD 中点 G, 连接 BG, 利用正方形的性质结合三角形全等, 可得 BG⊥EC. 由 CC1⊥ 平面 ABCD,得 CC1⊥BG,结合线面垂直判定定理,得 BG⊥平面 ECC1.说明在 CD 上存 在中点 G,使得 BG⊥平面 ECC1. 解答: 解: (Ⅰ)在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,取 BC 中点 M,连接 AM,FM. ∵平行四边形 BB1C1C 中,F、M 分别是 B1C1、BC 的中点, ∴FM∥B1B 且 FM=B1B.… ∵正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1∥B1B 且 AA1=B1B ∴FM∥A1A 且 FM=A1A,得四边形 AA1FM 是平行四边形. ∴FA1∥AM. ∵平行四边形 ABCD 中,E 为 AD 中点,M 为 BC 中点, ∴AE∥MC 且 AE=MC.得四边形 AMCE 是平行四边形.… ∴CE∥AM,可得 CE∥A1F. ∵A1F?平面 ECC1,EC?平面 ECC1, ∴A1F∥平面 ECC1.… (Ⅱ)结论:在 CD 上存在一点 G,使 BG⊥平面 ECC1 取 CD 中点 G,连接 BG… 在正方形 ABCD 中,DE=GC,CD=BC,∠ADC=∠BCD, ∴△CDE≌△BCG,得∠ECD=∠GBC.… ∵∠CGB+∠GBC=90°,所以∠CGB+∠DCE=90°,得 BG⊥EC.… ∵CC1⊥平面 ABCD,BG?平面 ABCD,∴CC1⊥BG, 又∵EC∩CC1=C.EC、CC1?平面 ECC1. ∴BG⊥平面 ECC1. 故在 CD 上存在中点 G,使得 BG⊥平面 ECC1.…

点评: 本题给出正四棱柱,求证线面平行并探索线面垂直,着重考查了空间线面垂直、平 行的判定与性质等知识,属于中档题.

20.已知 m 为常数,函数 f(x)=

为奇函数.

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 m>0,试判断 f(x)的单调性(不需证明) ; x (Ⅲ)当 m>0 时,若存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)+f(2)≤0 能成立,求实数 k 的 最大值. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 x 分析: (Ⅰ)直接由 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立整理得到(m ﹣1) (2 +1)=0 恒成立,由 此求得 m 的值; (Ⅱ)当 m>0 时有 m=1,代入原函数借助于指数函数的单调性判断 f(x)的单调性; x (Ⅲ)判断出函数 f(x)的奇偶性,结合单调性把存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)+f (2)≤0 能成立, x x 转化为存在 x∈[﹣2,2],使得 k≤e +x+2 能成立.利用导数求出函数 g(x)=e +x+2 在[﹣2, 2]上的最大值得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)= 为奇函数,

∴对于其定义域内的任意 x 有 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 ,整理得: (m ﹣1) (2 +1)=0 恒成立. ∴m =1,m=±1; (Ⅱ)若 m>0,则 m=1,函数 f(x)= ∵2 为增函数, ∴f(x)= = 为减函数;
x 2 2 x

=



(Ⅲ)当 m>0 时,函数 f(x)为减函数,

又 f(﹣x)=



∴f(x)为奇函数. 由存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)+f(2)≤0 能成立,得 x 存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)≤﹣f(2)=f(﹣2)能成立. x x 即 e +x﹣k≥﹣2,也就是 k≤e +x+2 能成立. x 令 g(x)=e +x+2. x 则 g′(x)=e +1>1. x ∴g(x)=e +x+2 在[﹣2,2]上为增函数. . ∴若存在 x∈[﹣2,2],使得 f(e +x﹣k)+f(2)≤0 能成立,则实数 k 的最大值为 e +4. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了函数的性质,考查了数学转化思想方法,训练 了利用导数求函数的最值,解答此题(Ⅲ)的关键在于对题意的理解,是中档题. 21.如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图 2. (1)求证:BC∥平面 A1DE; (2)求证:BC⊥平面 A1DC; (3)当 D 点在何处时,A1B 的长度最小,并求出最小值.
x 2 x

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线线平行?线面平行证明(1) ;根据线面垂直?线线垂直可证(2) ; 设 AD=x 或设 DC=x,利用垂直关系判定△ ,△ A1CB,△ A1DC 的形状,构造以 A1B 为变 量,x 为自变量的函数,求函数的最小值即可. 解答: 解: (本小题共 14 分) (1)证明:∵DE∥BC,DE?面 A1DE,BC?面 A1DE ∴BC∥面 A1DE… (2)证明:在△ ABC 中,∠C=90°,DE∥BC,

∴AD⊥DE∴A1D⊥DE. 又 A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面 BCDE. 由 BC?面 BCDE, ∴A1D⊥BC.BC⊥CD,A1D∩CD=D, ∴BC⊥面 A1DC.… (3)设 DC=x 则 A1D=6﹣x 由(Ⅱ)知,△ A1CB,△ A1DC 均为直角三角形. ,即 = = …

当 x=3 时,A1B 的最小值是 . 即当 D 为 AC 中点时,A1B 的长度最小,最小值为

.…

点评: 本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题.设出变量,构造 函数利用求函数最值的方法求解,是此类题的常用方法. 22.对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x)为“局 部奇函数”. (Ⅰ)若 f(x)=2 +m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围; x x+1 2 (Ⅱ)若 f(x)=4 ﹣m2 +m ﹣3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. 注:函数 在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
x

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由局部奇函数的定义:存在 x∈[﹣1,1],f(﹣x)=﹣f(x) ,这样求出 m= ,所以要求 m 的取值范围,只要求函数 的值域,而该函数的值

域,根据利用导数求函数最值的方法求解,即先求该函数在[﹣1,1]上的极值,比较端点值, 从而求出最值; (Ⅱ)根据局部奇函数的定义:f(x)+f(﹣x)=0,得到 4 +4 ﹣2m(2 +2 )+2m ﹣6=0, x ﹣x 2 2 令 2 +2 =n(n≥2) ,带入上式得 n ﹣2mn+2m ﹣8=0,关于 n 的方程有解,所以求出 n=m ,所以需要 m+ ≥2,即 ,
x
﹣x

x

﹣x

2

同过讨论 m 和 2 的关系解该不等式便得实数 m 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)根据局部奇函数的定义,存在 x∈[﹣1,1],使 f(﹣x)=2 +m=﹣2 ﹣ m; ∴ ∴﹣1≤x<0 时, 0<x≤1 时, ,令 g(x)= ,则 g′(x)= ,∴ ,∴ ,g′(x)<0; ,g′(x)>0; ;

﹣x

x

∴g(0)=2 是 g(x)在[﹣1,1]上的最小值,又 g(﹣1)=g(1)= ,所以 g(x)的最大 值是 ; ∴2 ,∴ ; ,∴ ;

即实数 m 的取值范围为

(Ⅱ)根据局部奇函数的定义知,存在 x∈R,使 f(x)+f(﹣x)=0; ∴4 +4 ﹣2m(2 +2 )+2m ﹣6=0; x ﹣x 2 2 令 2 +2 =n(n≥2) ,则:n ﹣2mn+2m ﹣8=0,可将该式看成关于 n 的方程,n 在[2,+∞) 有解; ∴ ∴ ①当 2≤m≤ ②当 ,m∈ (1) ; ,时(1)式恒成立; 时, ,将该不等式整理成 m ﹣2m﹣2≤0,解得
2 x
﹣x

x

﹣x

2



; ∴ ; 综上得 m 的取值范围为[1﹣ ,2 ]. 点评: 考查函数导数符号和函数单调性的关系, 函数极值的概念, 利用导数求函数最值的 过程,以及解一元二次不等式.


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