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人教版高中数学必修3全册教案


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1.1 算法与程序框图(共 3 课时)

1.1.1 算法的概念(第 1 课时)
一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分, 也是计算机科学的重要基础. 在现代社会 里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打 字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎 样工作的呢?要想弄清楚这个问题, 算法的学习是一个开始. 同时, 算法有利于发展有条 理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了 大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系 列程序化的步骤,这就是算法的思想.

二、实例分析
例 1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例 2:给出求 1+2+3+4+5 的一个算法. 解: 算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; 第四步:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加,得到 15. 算法 2 可以运用公式 1+2+3+?+ n =

n( n ? 1) 直接计算 2

第一步:取 n =5; 第二步:计算

n( n ? 1) ; 2

第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例 3: (课本第 2 页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例 4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于 a , b , r 或 D , E , F 的方程组; 第三步:解出 a , b , r 或 D , E , F ,代入标准方程或一般方程.

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三、算法的概念
通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要 设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些

步骤称为解决这些问题的算法
在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 例 6: (课本第 4 页例 2) 练习 2:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法. 解:算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; ?? 第九十九步:将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加,得到 5050. 算法 2 可以运用公式 1+2+3+?+ n = 第一步:取 n =100; 第二步:计算

n( n ? 1) 直接计算 2

第三步:输出运算结果. 圆的面积.

n( n ? 1) ; 2

练习 3: (课本第 5 页练习 1)任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的 解:第一步:输入任意正实数 r ; 第二步:计算 S ? ?r ;
2

第三步:输出圆的面积 S .

五、课堂小结
1. 算法的特性:
①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能 是无限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果, 而不应当是模棱两可. ③可行性:算法中的每一步操作都必须是可执行的,也就是说算法中的每一步都 能通过手工和机器在有限时间内完成. ④输入:一个算法中有零个或多个输入..

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⑤输出:一个算法中有一个或多个输出.

2. 描述算法的一般步骤:
①输入数据.(若数据已知时,应用赋值;若数据为任意未知时,应用输入) ②数据处理. ③输出结果.

1.1.2 程序框图(第 2 课时)
二、程序框图的有关概念 1. 两道回顾练习的算法用程序框图来表达,引入程序框图概念. 2. 程序框图的概念 程序框图又称流程图,是一种规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算 法的图形. 3. 构成程序框图的图形符号及其作用(课本第 6 页) 4. 规范程序框图的表示: ①使用标准的框图符号. ②框图一般按从上到下、从左到右的方向画,流程线要规范. ③除判断框外,大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点. ④一种判断是“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果; 另一种是多分支判断,有几种不同的结果. ⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 三、顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 例 1: (课本第 9 页例 3) 输出 输入 语句

练习 1:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 解:算法如下: 第一步:输入 A,B 的值. 第二步:把 A 的值赋给 x. 第三步:把 B 的值赋给 A. 第四步:把 x 的值赋给 B. 第五步:输出 A,B 的值. 程序框图:

开始 输入 A,B x=A A=B B=x 输出 A,B 结束

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四、条件结构 根据条件判断,决定不同流向.

满足条件? 是 语句 1



语句 2

例 2: (课本第 10 页例 4) 练习 2:有三个整数 a , b , c ,由键盘输入,输出其中最大的数. 解:算法 1 第一步:输入 a , b , c ; 第二步:若 a ? b ,且 a ? c ;则输出 a ;否则,执行第三步; 第三步:若 b ? c ,则输出 b ;否则,输出 c . 算法 2 第一步:输入 a , b , c ; 第二步:若 a ? b ,则 t ? a ;否则, t ? b ; 第三步:若 t ? c ,则输出 t ;否则,输出 c . 练习 3:已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,求 f (3) ? f (?5) 的值. 设计出解决该问题的一个算法,并画出程序框图. 解:算法如下: 第一步: x ? 3 ; 第二步: y1 ? x ? 2 x ? 3 ;
2

第三步: x ? ?5 ; 第四步: y2 ? x ? 2x ? 3 ;
2

第五步: y ? y1 ? y 2 ; 第六步:输出 y . 练习 4:设计一个求任意数的绝对值的算法,并画出程序框图. 解:第一步:输入任意实数 x ; 第二步:若 x ? 0 ,则 y ? x ;否则 y ? ? x ;

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第三步:输出 y . 练习 5: (课本第 18 页例 6)设计一个算法,使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序 输出, 并画出程序框图. 练习 6: 五、课堂小结 1. 画程序框图的步骤:首先用自然语言描述解决问题的一个算法,再把自然语言转化为 程序框图; 2. 理解条件结构的逻辑以及框图的规范画法,条件结构主要用在判断、分类或分情况的 问题解决中.

1.1.2 程序框图(第 3 课时)
一、回顾练习 引例:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法. 解:算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; ?? 第九十九步:将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加,得到 5050.

简化描述: 第一步:sum=0; 第二步:sum=sum+1; sum=sum+i; 第三步:sum=sum+2; 第四步:sum=sum+3; ?? 第一百步:sum=sum+99; 第一百零一步:sum=sum+100 第一百零二步:输出 sum.

进一步简化: 第一步:sum=0,i=1; 第二步:依次 i 从 1 到 100,反复做 第三步:输出 sum.

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根据算法画出程序框图,引入循环结构.

二、循环结构 循环结构:在一些算法中,也经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某 一处理步骤的情况,这种结构称为循环结构. 循环体 满足条件? 是 是

循环体 满足条件? 否



循环体:反复执行的处理步骤称为循环体. 计数变量:在循环结构中,通常都有一个起到循环计数作用的变量,这个变量的取 值一般都含在执行或终止循环体的条件中. 当型循环:在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断,当条件满足时执行循环 体,不满足则停止. 直到循环:在执行了一次循环体之后,对控制循环体进行判断,当条件不满足时执 行循环体,满足则停止. 练习 1:画出引例直到型循环的程序框图. 当型循环与直到循环的区别:①当型循环可以不执行循环体,直到循环至少执行一 次循环体. ②当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说,当型循 环和直到循环的条件互为反条件. 练习 2:1.1.1 节例 1 的算法步骤的程序框图(如图) 说明:①为了减少难点,省去 flag 标记; ②解释赋值语句“ d ? 2 ”与“ d ? d ? 1 ” ,还有“ d ?? n ? 1 ; ③简单分析. 练习 3:画出 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 的程序框图. 小结:画循环结构程序框图前:①确定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的 部分,即循环体;③确定循环的转向位置;④确定循环的终止条件.

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三、条件结构与循环结构的区别与联系 区别:条件结构通过判断分支,只是执行一次;循环结构通过条件判断可以反复执行. 联系:循环结构是通过条件结构来实现. 例 1: (课本第 10 页的 《探究》 ) 画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根 (精确度为 0.005)
2

的程序框图,并指出哪些部分构成顺序结构、条件结构和循环结构? 练习 4:设计算法,求使 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2005 成立的最小自然数 n 的值,画出程序 框图. 练习 5:输入 50 个学生的考试成绩,若 60 分及以上的为及格,设计一个统计及格人数的 程序框图. 练习 6:指出下列程序框图的运行结果 五、课堂小结 1. 理解循环结构的逻辑,主要用在反复做某项工作的问题中; 2. 理解当型循环与直到循环的逻辑以及区别: ①当型循环可以不执行循环体,直到循环至少执行一次循环体. ②当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说,当型循环和直到循环的条件互为反条件. 3. 画循环结构程序框图前: ①确定循环变量和初始条件; ②确定算法中反复执行的部分,即循环体; ③确定循环的转向位置; ④确定循环的终止条件. 4. 条件结构与循环结构的区别与联系: 区别:条件结构通过判断分支,只是执行一次;循环结构通过条件判断可以反复执行. 联系:循环结构是通过条件结构来实现.

1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句(第 1 课时)
一、回顾知识 顺序结构及其框图 二、输入语句、输出语句和赋值语句 例 1: (课本第 21 页例 1) 分析:首先画出解决该问题算法的程序框图,并解析 BASIC 语言中的数学运算符号 表示. 如: 2 ? 3 写成 2*3, 5 写成 5^3, 5 ? 3 写成 5/3,5 除以 3 的余数为“5 MOD 3” ,
3

5 除以 3 的商为“5\3” , 2 写成“SQR(2) ” , x 写成“ABS( x ) ”等等.

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1. 输入语句的一般格式 INPUT “提示内容” ;变量 说明:①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入什 么样的信息,用双引号.③提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变 量与变量之间用逗号“, ”隔开,如“INPUT “a=,b=,c=”;a,b,c”.④变量是指程序 在运行是其值是可以变化的量,如③中的 a,b,c 都是变量,通俗把一个变量比喻成一 个盒子,盒子内可以存放数据,可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了 1,2, 3 程序在运行时把输入的值依次赋给 a,b,c,即 a=1,b=2,c=3. 例如,输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩: INPUT “Maths,Chines,English” ;a,b,c 输入任意整数 n: INPUT “n=” ;n 2. 输出语句的一般格式 PRINT “提示内容” ;表达式 说明:①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能,可以在计算机的屏幕上输出 常量、变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息,用双引号.③ 提示内容与表达式之间用分号“; ”隔开. ④要输出表达式中的字符,需要用双引号“” , 如:PRINT “提示内容: ” ; “a+2” ,这时屏幕上将显示:提示内容:a+2. 例如,下面的语句可以输出斐波那契数列: PRINT“The Fibonacci Progression is:”;1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?” 这时屏幕上将显示: The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ? 例 2: (课本第 23 页例 2) 分析:补充写出屏幕上显示的结果. 3.赋值语句的一般格式 变量=表达式 说明:①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做 赋值号,它和数学中的等号不完全一样;赋值号的左右两边不能对换,赋值语句是将赋 值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,如 a=b 表示用 b 的值代替变量 a 原先的 值.③格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式,如果“表达式”是一个算式 时,赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值,然后将该值赋给“=”左边的变 量,如若 a=1,b=2,c=a+b 是指先计算 a+b 的值 3 赋给 c,而不是将 a+b 赋给 c. 例 3: (课本第 25 页例 3)

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分析:先画出程序框图,重点分析“A=A+15”. 例 4: (课本第 15 页例 4) 分析:先画出程序框图. 4. 输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别 (1)输入语句和赋值语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;赋值语句 是程序内部运行时给变量赋值,先计算右边的表达式,得到的值赋给左边的变量. (2)输入语句和输出语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;输出语句 是程序运行的结果输出到外部,先计算表达式,得到结果输出. 三、课堂练习 1. (课本第 24 页练习 1) (要求:先画出程序框图) 2. (课本第 24 页练习 2) (要求:先画出程序框图) 3. (课本第 24 页练习 3) 4. (课本第 24 页练习 4) (要求:先画出程序框图) 5. (课本第 33 页习题 1.2A 组第 1 题) 6. 四、课堂小结 1. 理解输入语句、输出语句和赋值语句的一般格式,注意标点符号的使用以及数学符号 的表示和数学式子的表示; 2. 赋值语句与数学中等号的区别. 3. 编写一个程序的步骤:首先用自然语言描述问题的一个算法,然后把自然语言转化为 程序框图,最后把程序框图转化为程序语句. 4. 输入语句和赋值语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;赋值语句是程 序内部运行时给变量赋值,先计算右边的表达式,得到的值赋给左边的变量. 5. 输入语句和输出语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;输出语句是程 序运行的结果输出到外部,先计算表达式,得到结果输出. 1.2 基本算法语句(共 3 课时) (有条件在电脑室上)

1.2.2 条件语句(第 2 课时)
一、回顾知识 1. 什么是条件结构?画出其程序框图. 2.练习:写出解不等式 ax ? b (a ? 0) 的一个算法,并画出程序框图. 二、条件语句 1. 把回顾练习中的程序框图转化为程序语句. INPUT “a=” ;a

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INPUT “b=” ;b IF a>0 ELSE PRINT “不等式的解为: x ? ” ;a/b END IF END 2. 条件语句的一般格式 (1)IF—THEN—LESE 形式 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 说明:①当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就 执行 THEN 后的语句,否则执行 ELSE 后的语句.②书写时一个条件语句中的 IF 与 END IF 要对齐. 否 满足条件? 是 语句 1 语句 2 否 THEN PRINT “不等式的解为: x ? ” ;a/b

满足条件? (2)IF—THEN 形式 IF 条件 THEN 语句 END IF 是 语句

说明:当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执 行 THEN 后的语句,否则直接结束该条件语句. 三、知识应用 练习 1: 已知函数 f ( x) ? 都得到相应的函数值. 例 1: (课本第 25 页例 6)编写程序,输入一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的系数,输出
2

x2 ? x ?1 ( x ? 2 ) x ?1 ( x ? 2) 编写一个程序, 对每输入的一个 x 值,

它的实数根. 分析:首先画出程序框图,再转化为程序语句;解释平方根与绝对值 BASIC 语言

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的表示;注意两重条件的表示方法. 例 2: (课本第 27 页例 7)编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从大小的顺序输出. 分析:首先画出程序框图,再转化为程序语句. 四、课堂练习 1. (课本第 29 页练习 1) 2. (课本第 29 页练习 2) 3. (课本第 29 页练习 3) (要求:先画出程序框图) 4. (课本第 29 页练习 4) (要求:先画出程序框图) 5. 五、课堂小结 1.理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式 1、何时用格式 2. 2.注意多个条件的语句表达方法:如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b). 3.条件语句的嵌套,注意 END IF 是和最接近的匹配,要一层套一层,不能交叉. 3.编写一个程序的步骤: 首先用自然语言描述问题的一个算法, 然后把自然语言转化 为程序框图,最后把程序框图转化为程序语句. 六、作业 1.(课本第 23 页习题 1.2A 组第 3 题) 2.(课本第 24 页习题 1.2B 组第 2 题) 3. 某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通话费 0.2 元;如果通话 超过 3 分钟,则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问:设计一个计算通话 费用的算法,并且画出程序框图以及编出程序. 4. 编写一个程序,任意输入一个整数,判断它是否是 5 的倍数. 5. 基本工资大于或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元,则增加 工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基本工资, 计算出增加后的工资. 1.2 基本算法语句(共 3 课时) (有条件在电脑室上) 6.

1.2.3 循环语句(第 3 课时)
【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本 思想 【教学目标】1.理解、掌握循环语句; 2.能运用循环语句表达解决具体问题的过程;

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3.培养学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想. 【教学重点】循环语句的表示方法、结构和用法 【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,当型循环和直到型循环的 格式与逻辑的区别与联系. 【教学过程】 一、回顾知识 1. 什么是循环结构?画出其程序框图. 2. 引例: (课本第 13 页例 6)设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图. 分析:由程序框图转化为程序语句,引入循环语句. 二、循环语句 1. 当型(WHILE 型)语句的一般格式: WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件? 否 循环体



说明: 当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这 个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句.因此,当型循环有时也称为“前测试型” 循环. 循环体 2. 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 说明:当计算机遇到 UNTIL 语句时,先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体,然后 判断条件是否成立,如果不成立,执行循环体.这个过程反复执行,直到某一次符合条件 为止,这时不再执行循环体,跳出循环体执行 LOOP UNTIL 后面的语句. 因此,直到型 循环有时也称为“后测试型”循环. 3.当型循环与直到型循环的区别: ①当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ②当型循环用 WHILE 语句,直到型循环用 UNTIL 语句. 满足条件? 是



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③对同一算法来说,当型循环和直到循环的条件互为反条件. 三、知识应用 练习 1:编写程序,计算函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 5 当 x ? 1,2,3,?,20 时的函数值. 例 1:设计一个算法,求 1 ? 序框图并编程.

1 1 1 ? ??? 的和(其中 n 的值由键盘输入) ,画出程 3 5 2n ? 1

例 2:把课本第 7 页的程序框图转化为程序语句. 练习 2: (课本第 32 页练习 1) 练习 3: (课本第 32 页练习 2) 练习 4:某玩具厂 2004 年的生产总值为 200 万元,如果年生产增长率为 5%,试编一个程 序,计算最早在哪一年生产总值超过 300 万元. 练习 5: 练习 6:

算法初步复习课(1 课时)
【教学目标】1.回顾算法的概念以及三种基本逻辑结构; 2.掌握三种基本逻辑结构的应用; 3.掌握条件结构与循环结构互相嵌套的应用. 【教学重点】三种基本逻辑结构的应用 【教学难点】条件结构与循环结构互相嵌套的应用 【教学过程】 一、算法的基本概念 1. 算法定义描述:在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某 一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内 完成. 2. 算法的特性: ①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能是无 限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不 应当是模棱两可. ③可行性:算法中的每一步操作都必须是可执行的,也就是说算法中的每一步都能通 过手工和机器在有限时间内完成. ④输入:一个算法中有零个或多个输入..

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⑤输出:一个算法中有一个或多个输出.

P3 例 1:任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判
定. 解:算法如下: 第一步:判断 n 是否等于 2. 若 n ? 2 ,则 n 是质数;若 n ? 2 ,则执行第二步. 第二步:依次从 2~( n ? 1 )检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数.若有这样的数, 则 n 不是质数;若没有这样的数,则 n 是质数. 二、三种基本逻辑结构 1. 顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 输入语句:INPUT “提示内容” ;变量 输入 语句 输出 输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句:变量=表达式

P15 例 4:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值.
解:算法如下: 第一步:输入 A,B 的值. 第二步:把 A 的值赋给 x. 第三步:把 B 的值赋给 A. 第四步:把 x 的值赋给 B. 第五步:输出 A,B 的值. 程序如下: INPUT “A=,B=” ;A,B x=A A=B B=x PRINT A,B END 2. 条件结构 满足条件? 是 语句 2 否 结束 A=B B=x 输出 A,B 程序框图: 开始 输入 A,B x=A

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根据条件判断,决定不同流向. (1)IF—THEN—LESE 形式 IF 条件 LESE 语句 2 END IF (2)IF—THEN 形式 IF 条件 语句 END IF THEN THEN 否 语句 1 满足条件? 是 语句

P19 例 6:编写程序,使得任意输入的 3 个整数按大到小的顺序输出.

3. 循环结构 从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤. (1)当型(WHILE 型)循环: WHILE WEND 条件 循环体 满足条件? 否 是 循环体

(2)直到型(UNTIL 型)循环: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

循环体 满足条件? 是



P9 例 5:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图
三、基本方法 1. 编写一个程序的三个步骤: 第一步:算法分析:根据提供的问题,利用数学及相关学科的知识,设计出解决问题 的算法;

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第二步:画出程序框图:依据算法分析,画出对应的程序框图; 第三步:写出程序:耕具程序框图中的算法步骤,逐步把算法用相应的程序语句表达 出来.

P15 例 4:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值.
2. 何时应用条件结构? 当问题设计到一些判断,进行分类或分情况,或者比较大小时,应用条件结构;分成 三种类型以上(包括三种)时,由边界开始逐一分类,应用多重条件结构.注意条件的边 界值. 如: (题目条件有明显的提示) (1)编写一个程序,任意输入一个整数,判断它是否是 5 的倍数. (2)编写求一个数是偶数还是奇数的程序,从键盘上输入一个整数,输出该数的奇 偶性. (3)编写一个程序,输入两个整数 a,b,判断 a 是否能被 b 整除. (4)某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通 话费 0.2 元;如果通话 超过 3 分钟,则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问:设计一个 计算通话费用的算法,并且画出程序框图以及编出程序. (5)基本工资大雨或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元, 则增加工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基 本工资,计算出增加后的工资. (6)闰年是指年份能被 4 整除但不能被 100 整除,或者能被 400 整除的年份. 如: (题目隐藏着需要判断、分类或比较大小的过程等) (7) (课本第 11 页例 5)编写程序,输入一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的系数,输
2

出它的实数根. (8) (课本第 27 页例 7)编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出. 3. 何时应用循环结构? 当反复执行某一步骤或过程时, 应用循环结构.当型循环是先判断条件, 条件满足十执 行循环体,不满足退出循环;直到型循环是先执行循环体,再判断条件,不满足条件时 执行循环体,满足时退出循环.当循环体涉及到条件是否有意义时,只能用当型循环(如 图 1) ;当条件用到循环体初始值时,只能用直到型循环(如图 2).

i ? i ?1

1

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s ? i2

i ? i ?1
s ? 2005
是 否

应用循环结构前:①确定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的部分,即 循环体;③确定循环的终止条件. 如: (题目条件有明显的提示) (1)设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图. (2)设计一个算法,计算函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 5 当 x ? 1,2,3,?,20 时的函数值,并画 出程序框图. (3)如果我国工农业产值每年以 9%的增长率增长,问几年后我国产值翻一翻,试用程 序框图描述其算法. (4)设计一个算法,输出 1000 以内(包括 1000)能被 3 和 5 整除的所有正整数,并画 出算法的程序框图以及编程. (5)全班一共 40 个学生,设计算法流程图,统计班上数学成绩优秀(100 ? 分数 ? 85) 的学生人数,计算出全班同学的平均分. 如: (题目隐藏着需要反复执行的过程等) (6)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. (7)画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根(精确度为 0.005)的程序框图,并写出
2

程序. 四、几个难点 1.条件结构中嵌套着条件结构

2 x ? 1 ( 1 ? x ? 10 ) 3 x ? 11 ( x ? 10)

x ( x ? 1)

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(1)编写一个程序,对于函数 f ( x) ? 输入 x 的值,输出相应的函数值. (2)基本工资大于或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元,则增 加工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基本工 资,计算出增加后的工资. 2. 循环结构中嵌套着条件结构 (1)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. (2)全班一共 40 个学生,设计算法流程图,统计班上数学成绩优秀(100 ? 分数 ? 85) 的学生人数,计算出全班同学的平均分. (3)画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根(精确度为 0.005)的程序框图,并写出
2

程序. 3. 条件结构中嵌套着循环结构 (1)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. 4. 循环结构中嵌套着循环结构 (1)编写一个程序,求 T= 1!+2!+3!+?+20!的值. 五、知识应用 1.一城市在法定工作时间内,每小时的工资为 8 元,加班工资每小时 10 元,一人一周内 工作 60 小时,其中加班 20 小时,税金是 10%,写出这个人净得的工资数的一个算法, 并画出程序框图.

x2 ? x ?1 ( x ? 2 ) 2. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 编写一个程序,对每输入的一个 x 值,都 ( x ? 2) 得到相应的函数值.
3. 2000 年我国人口为 13 亿,如果人口每年的自然增长率为 7%,那么多少年后我国人口 将达到 15 亿?请设计一个算法,画出程序框图,并写出程序.

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4. 某超市为里促销,规定:一次性购物 50 元以下(含 50 元)的,按原价付款;超过 50 元但在 100 元以下(含 100 元)的,超过部分按九折付款;超过 100 元的,超过部分按 八折付款.设计一个算法程序框图,完成超市的自动计费的工作,要求输入消费金额,输 出应付款.并编写程序.

5. 编写一个程序,任意输入两个正整数 m,n,输出它们所有的公因数.

6. 设计算法的程序框图,输出 2005 以内除以 3 余 1 的正整数,并写出程序.

7. 设计算法的程序框图,求方程 x ? 4 x ? 10 ? 0 在区间 [0,2] 内的解.(精确到 0.0005)
3

第二章

课题:§2.0
一.教学任务分析:

随机抽样

(1)通过对具体实例的分析,使学生了解学习统计的意义,能够通过具体实例从实际问 题中提出统计问题.理解随机抽样的必要性和重要性. (2 通过对著名案例的分析,理解样本的代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系. 二.教学重点与难点: 教学重点:使学生初步学会从实际问题中提出统计问题, 理解随机抽样的必要性和 重要性,以及样本代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系. 教学难点:对什么是“有一定价值的统计问题”的理解. 三.教学基本流程: 阅读章节引言,了解本章学习的内容 ↓ 通过具体实例引导学生应用统计的思想看问题,对具体问题提出统计问题 ↓ 了解样本估计总体的必要性,样本代表性与统计推断结论的可靠性之间的 关系 ↓

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巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 介绍章头图,了解“本章学习的内容是什么” 2.从统计的角度看问题 问题 1:如何刻画一批袋装牛奶的质量是否合格? (引导学生思考,交流,讨论,教师总结) 刻画一批袋装牛奶的质量是否合格?可以用下面的变量作为衡量产品质量的指标: (1)袋装牛奶的细菌含量; (2)袋装牛奶的重量; (3)袋装牛奶的蛋白质含量; (4)袋装牛奶的脂肪含量; (5)袋装牛奶的钙含量; ????? 问题 2: “一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这一问题中蕴涵的总体是什么? (个体是一袋袋装牛奶,总体是这批袋装牛奶) 问题 3: “一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这一问题是通过什么变量来表达的? (袋装牛奶的细菌含量) 类似于“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这样的问题称为统计问题. 3.统计问题的特点 为了检验一批袋装牛奶的质量是否合格,我们从细菌含量的角度提出了统计问题: “一 批袋装牛奶的细菌含量是否超标”? 你认为统计问题有什么特点? (1)明确的总体.如上述问题中的“一批袋装牛奶” ; (2)问题由所要研究的变量 构成。如上述问题中研究的变量是“袋装牛奶的细菌含量”. 问题 4:在检验一批袋装牛奶的质量是否合格的问题中,你能够用其他的变量提出统 计问题吗? (袋装牛奶的重量是否达标;袋装牛奶的蛋白质含量是否达标;袋装牛奶的脂肪含量 是否达标;袋装牛奶的钙含量是否超标;袋装牛奶的重量,蛋白质含量,,脂肪含量,钙含量 是否都达标等) 4.抽样的意义 问题 5:通过普查和抽样调查来了解“一批袋装牛奶的细菌含量”各有什么优缺点? 应该采用哪种方法?

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普查的优点:在不出错的情况下,可以得到这批袋装牛奶的细菌含量的真实数据。 弊病: (1)需要打开每一袋牛奶进行检验,结果使得这批牛奶不能够出售,失去了 调查这批袋装牛奶的质量的意义。 (2)普查需要大量的人力,物力和财力。 (3)当普查的过程中出现数据测量,录入等错误时,也会产生错误的结论。 抽样调查的优点:容易操作,节省人力,物力和财力。 缺点:估计结论有误差。 所以,一般采用抽样调查来了解产品质量指标。 问题 6:为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查?你能举出用样本估计总 体的例子吗? 引导学生应用前面的实例说明。 问题 7:要对一批袋装牛奶的细菌含量作出正确判断,对样本的要求是什么? 样本数据能够很好的代表总体数据,即样本应该具有很好的代表性。 问题 8: “做一锅汤,放完所有的调料后,要品尝汤的味道” ,你如何通过一小勺汤 来正确判断 一锅汤的味道? 先搅拌均匀,然后取一小勺汤品尝。 汤中的所有原料相当于总体,这里关心的是“平均味道” (味道相当于变量,统计问 题关心的是变量的平均数) ,每个个体具有特定原料的味道(相当个体变量值) ,小勺中 的原料相当于取出的样本,搅拌均匀的目的是要保证样本中具有的各种味道的原料之比 与总体中的这种比基本相同。即样本和总体含有基本相同的信息。 问题 9:阅读“一个著名的案例” (P57) ,你认为预测结果出错的原因是什么? 用于统计推断的样本来自少数富人,只能代表富人的观点,不能代表全体选民 的观点。 样本不具有很好的代表性。 5.小结: (1)如何提出统计问题? (2)抽样调查和普查各有什么优缺点? (3)样本的代表性和统计推断结论之间的关系是什么? 6.课后作业: 作业本相应习题

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课题:§2.1
一.教学任务分析:

简单随机抽样

(1)以探究具体问题为导向,引入简单随机抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学 科中提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样 的方法从总体中抽取样本. (2 正确理解简单随机抽样的概念, 掌握抽签法及随机数法的步骤, 并能灵活应用相关知 识从总体中抽取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行简单随机抽样, 感知应用数学知识解决实际问题的方 法. 二.教学重点与难点: 教学重点:简单随机抽样的概念,抽签法及随机数法的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入简单随机抽样的概念 ↓ 抽签法 ↓ 随机数法 ↓

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巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 问题 1:假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼 干进行卫生达标检验,你准备怎样做? 教师引导学生交流讨论,提出检验的方法: (1) 采用普查方法如何? (2) 采用抽查方法如何?你如何获取有代表性的样本. 问题 2: 假设你作为一名食品卫生工作人员, 要对某食品店内的大包装箱内的小包装 饼干进行卫生达标检验,你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的小包装饼干作为检验的样本.那么,应当怎样获 取样本呢? 2.简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n ≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法 叫做简单随机抽样(simpie random sampling).这样抽取的样本,叫做简单随机 样本. 思考 1:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本. (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中, 从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子. 思考 2:概括简单随机抽样的特点 (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的. (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N. (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的. (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样. (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N. 3.抽签法 (1)把总体中的所有 N 个个体编号(从 0~N-1); (2)准备 N 个号签把号码分别写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签,不放回地连续抽取 n 次; (3)将取出的 n 个号签上的号码所对应的 n 个个体作为样本.

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即:抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一 个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一 个容量为 n 的样本. 抽签法的操作步骤概括为:个体编号,搅拌均匀,逐个抽取. 思考 3:你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 优点:每个个体入选样本的机会都相等. 缺点: (1)当总体中的个体数很多时,制作号签的成本将会增加,使抽签法的成本 高(费时,费力) 。 (2)号签很多时,把它们“搅拌均匀”就比较困难,结果 很难保证每个个体入选样本的可能性都相等,从而使产生坏样本(代表性差 的样本)的可能性增加. 探究: “抽签法为什么能保证每个个体入选样本的机会都相等?” 教师准备道具:让学生通过抽签实验来验证:即通过特定的数的入选频率来体会这个 结论. 4.随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数法.这里仅 介绍随机数表法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明. 假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中 抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799. 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明, 下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行).
16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 17 37 93 23 78 87 35 20 77 04 74 47 67 21 76 33 98 10 50 71 75 12 86 73 52 42 07 44 38 15 51 00 49 17 46 09 62 90 52 84 96 50 58 13 77 43 25 07 42 27 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) , 得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读, 得到 916, 由于 916>799, 将它去掉, 按照这种方法继续向右读, 又取出 567, 199, 507, ?, 依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本. 随机数表法操作的步骤:个体编号,任选一数,依次取号. 5.应用举例 例 1:人们打牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,

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对任何一家来说, 都是从 52 张牌中抽取 13 张牌, 问这种抽样方法是否是简单随机抽样? 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起 始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽 样. 例 2:某班有 60 名学生,要从中随机抽取 10 人参加某项活动,如何采用简单随机抽 样的方法抽取样本?写出抽样过程. 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法. 解法 1: (抽签法)将 60 名学生编号为 01,02,?,60,并做好大小、形状相同的 号签,分别写上这 60 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续不放回地抽 取 10 个号签,这 10 个号签对应的人为所选. 解法 2: (随机数表法)将 60 名学生编号为 00,01,?60,在随机数表中选定一个 起始位置,如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 34,30,13,55,40,44,22, 26, 04, 33. 这 10 个号签对应的人为所选.. 6.课堂练习 P57 练习 7.课堂小结 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.常用的简单随机抽样方法有抽签法和 随机数法. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如 果标号的签搅拌得不均匀,有可能产生坏样本.随机数表法的优点与抽签法相同,缺点是 当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体 容量较少的抽样类型. 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等. 8.课后作业: 作业本 B. P13—— P14

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课题:§2.1.2
一.教学任务分析:

系统抽样

(1)以探究具体问题为导向,引入系统抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学科中 提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用系统抽样的方法从 总体中抽取样本. (2 正确理解系统抽样的概念,掌握系统抽样的步骤,并能灵活应用相关知识从总体中抽 取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行系统抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法. 二.教学重点与难点: 教学重点:系统抽样的概念,系统抽样的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入系统抽样的概念 ↓ 系统抽样法 ↓ 系统抽样应用 ↓

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巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中 抽取 50 名进行调查, 除了用简单随机抽样获取样本外, 你能否设计其他抽取样本的方法? 方法:可以将这 500 名学生从 1 开始进行编号,然后按号码顺序以一定的间隔进行抽 取. 由于

个号码,假若抽到的是 6 号,然后从第 6 号开始,每隔 10 个抽取一个,得到 6,16,26,36,?,496. 这样得到一个容量为 50 的样本,这种抽样方法是一种系统抽样. 2.系统抽样

500 ? 10 ,这个间隔可以定为 10,即从号码为 1~10 的第一个间隔中随机地抽取一 50

一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽 样: (1) 先将总体的 N 个个体编号,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号,准考证号, 门牌号等; (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当
N N N (n 是样本容量)是整数时,取 k ? ;(当 n n n

不是整数时,应先从总体中随机剔除几个个体,以获得整数间隔 k.) (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 L(L≤k);

(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(L+k),在加 k 得到第 3 个个体编号(L+2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 系统抽样的操作步骤是:个体编号,确定间隔,随机选一,等距抽取. 3.应用举例 例 1.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学 习情况,要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生, 依次下去,59 组是编号为 291~295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名 学 生 中 抽 出 一 名 学 生 , 不 妨 设 编 号 为 k(1 ≤ k ≤ 5) , 那 么 抽 取 的 学 生 编 号 为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8, 13,??,288,293.

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例 2.从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实 验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能 是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B.3,13,23,33,43 D.2,4,6,16,32

[ 分 析 ] 用 系 统 抽 样 的 方 法 抽 取 至 的 导 弹 编 号 应 该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d, 其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故 选 B.

4.课堂练习
P59. 练习 1. 2. 3

5.小结
1.在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽 样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2.在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应先从总体 中随机剔除几个个体,以获得整数间隔 k. 6.课后作业: 1.作业本. 2.阅读与思考:广告中的数据的可靠性.
N

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课题:§2.1.3
一.教学任务分析:

分层抽样

(1)以探究具体问题为导向,引入分层抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学科中 提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用分层抽样的方法从 总体中抽取样本. (2 正确理解分层抽样的概念,掌握分层抽样的步骤,并能灵活应用相关知识从总体中抽 取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法. 二.教学重点与难点: 教学重点:分层抽样的概念,分层抽样的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入分层抽样的概念 ↓ 分层抽样法 ↓ 分层抽样应用 ↓

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简单随机抽样,系统抽样,分层抽样优,缺点比较 ↓ 巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 探究: 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地区 教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽 取 1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 教师引导学生思考,交流,讨论.----(1)哪些因素可能影响学生的视力?设计抽样方法时需要考虑这些因素吗? (2)要想样本有好的代表性 ,就应该在样本中使各年级段的学生都有代表 ,层中的个 体多,就应该在样本中的个体数目多,如何合理分配各层所取样本数? (3)各层中的样本如何抽取? (4)叙述抽样过程. 教师指出上述实际问题解决的方法就是分层抽样方法. 2.分层抽样 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层 独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方 法叫分层抽样(stratified sampling). 分层抽样的操作步骤:总体分层 ,按照比例, 独立抽取,组成样本 总体分层:按某种特征将总体分成若干部分. 按照比例: 按比例确定每层抽取个体的个数. 独立抽取: 各层分别按简单随机抽样的方法抽取. 综合每层抽样,组成样本.

3. 分层抽样应用举例
例 1:某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数 分别为( D ) A.15,5,25 C.10,5,30 B.15,15,15 D15,10,20

例 2:某班有男生 36 人,女生 24 人,从全班抽取一个容量为 10 的样本,分析某种身体素 质指标,已知这种身体素质指标与性别有关. 问应采取什么样抽样方法?并写出抽 样过程.

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解:因为这种身体素质指标与性别有关,所以男生,女生身体素质指标差异明显,因 而采用分层抽样的方法.具体过程如下: (1)将 60 人分为 2 层,其中男,女生各为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各层应抽取的样本. 36×1/6=6(人) ,24×1/6=4(人) 因此男,女生各抽取人数分别为 6 人和 4 人. (3)利用简单随机抽样方法分别在 36 名男生中抽取 6 人, 24 名女生中抽取 4 人. (4)将这 10 人组到一起,即得到一个样本. 4. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 探究: 简单随机抽样、 系统抽样、 分层抽样各有其特点和使用范围,请对这三种抽样 方法进行比较,说说它们的优点和缺点. 教师引导学生交流,讨论,归纳总结.

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 (1) 抽样过程中每个 个体被抽到的可 能性相等 (2) 每次抽出个体后 系 统 抽 样 不再将它放回, 即不放回抽样 将总体分成几层,
分 层 抽 样

各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部 分,按预先制定的规 则在各部分抽取





适 用 范 围 总体个 数较少

在起始部分 样时采用简 随机抽样

总体个 数较多 总体由

分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样

差异明 显的几 部分组 成

分层进行抽取

5.课堂练习 P62.练习 6.课后作业: 1.作业本配套练习.

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2.阅读与思考:广告中的数据的可靠性.

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时)
一、三维目标: 1、知识与技能
(1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折 线图和茎叶图。 (3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当 地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计。

2、过程与方法
通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结 合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到 数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。

二、重点与难点
重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。

三、教学设想
【创设情境】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下

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﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要 内容——用样本的频率分布估计总体分布(板出课题) 。 【探究新知】 〖探究〗 :P55 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节 约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标 准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部 分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为,为了了较 为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况, 比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采 用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。 (如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的 排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信 息。表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占 比例大小的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据 的频率分布情况。 〈一〉频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率 分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为: (1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2) 决定组距与组数 (3) 将数据分组 (4) 列频率分布表 (5) 画频率分布直方图 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例, 经过以上几个步骤画出频率分布直 方图。 (让学生自己动手作图) 频率分布直方图的特征: (1) 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 (2) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图 后,原有的具体数据信息就被抹掉了。 〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也 会不同。不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的

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判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分 成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织同学们对所作图不同的看 法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题: 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分 布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量标准提 出建议吗?(让学生仔细观察表和图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 2.总体密度曲线的定义: 在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内 取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。 (见课本 P60) 〖思考〗 : 1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2.对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象 那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本 容量越大,这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部 分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) 2.茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据, 两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 【例题精析】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高 (单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔

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(2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

(2)其频率分布直方图如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.036 0.032 134 138 0.028 (3)由样本频率分布表可知身高小 o 122 126 130 142 146 150 154 158 身高(cm) 频率/组距

于 134cm 的 男 孩 出 现 的 频 率 为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计 身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗 : 为了了解高一学生的体能

0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 次数

90

100

110

120

130

140

150

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情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试,将所得数据整理后,画出频率分布 直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小组频 数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2) 若次数在 110 以上 (含 110 次) 为达标, 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由。 分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与 频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 【课堂精练】

P71

练习 1. 2. 3

【课堂小结】 1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律, 由于总体分布不易知道, 因此我们往往用样 本的频率分布去估计总体的分布。 2.总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总 体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方 法是用频率分布表或频率分布直方图。 【课后作业】 1.作业本配套练习 1.P81 习题 2.2 A 组 1、 2

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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时)
一、三维目标: 1、知识与技能
(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。 (2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差) ,并做出合理的解释。 (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

2、过程与方法
在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形 结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认 识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

二、重点与难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学设想
【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更 好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。— —用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。 【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 :P62

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(1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知 识,思考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为 我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问 题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的 矩形的中点) (图略见课本第 62 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数 比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗 :请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根 据众数的定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是 由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。 〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于 中位数。因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等。 由此可以估计出中位数的值为 2.02。 (图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原 因吗?(原因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) 课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少 数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极 端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总 体的片面判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的 印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十万名中 学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区 所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪 位选手去参加正式比赛? 我们知道, x甲 ? 7,

x乙 ? 7 。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察P66 图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,

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因此我们从另外的角度来考察这两组数据。 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平 均数的一种平均距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: (1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) (3) 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出: s

都等于样本平均数。 (在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差 的方法。 ) 2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量样 本数据分散程度的工具:
2

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般 多采用标准差。 【例题精析】 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7

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(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算 公式即可算出每一组数据的标准差。 解: (图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。 他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。 〖例 2〗 : (见课本P77) 分析: 比较两个人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体 的平均数与标准差的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分 别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两 个总体之间的差异的估计值。 【课堂精练】

P79

练习 1. 2. 3

【课堂小结】 1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: a) 用样本平均数估计总体平均数。 b) 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 2. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 【课后作业】 1.作业本配套练习 1.P81 习题 2.2 A 组 3、5、6、7

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课 题 : § 2 . 3 . 1 变 量 之 间 的 相 关关 系
一.教学任务分析:
(1)通过具体示例引导学生考察变量之间的关系,在讨论的过程中认识现实世界中存在 着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变 量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解统计的作用.

二.教学重点与难点:
教学重点:利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点:理解变量间的相关关系.

三.教学基本流程:
通过具体实例说明变量之间的相关关系 ↓ 利用散点图认识变量间的相关性 ↓ 对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断 ↓ 巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非 因果关系.比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数 学是“因” ,物理是“果” ,或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果” ,而真正的 “因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但 还存在着另一种非确定性关系——相关关系.

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生活中存在着许多相关关系的问题: 问题 1:商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题 2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题 3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道 ,两个变量之间的关系 ,可能是确定关系或非确定关系.当自变 量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时 ,两个变量之间的关系称为相关关系 . 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系.

2.两个变量的线性相关 问题 4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 年 龄 脂 肪 23 9.5 90 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2 53 29.6 54 30.2 56 31.4 57 30.8 58 33.5 60 35.2 61 34.5

根据上述数据 ,人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关系? 80 学生活动:为了了解人体的脂肪含量和年龄大致关系,我们以横坐标 x 表示年龄,纵坐标

y 表示人体的脂肪含量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 14 个数对所表示的点在坐
70

标系内标出,得到下图,今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
50

60

40

30

20

10

-20

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-10

从散点图可以看出. 各散点在从左下角到右上角的区域 ,表明年龄越大, 体内脂肪含量 -20 越高, 图中点的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种关系称为正相关. 问题 5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出 热茶的杯数与当天气温的对照表: 气温/ C 杯数
0

26 20

18 24

13 34

10 38

4 50

?1
64

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根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系,我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表 示热茶销量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 6 个数对所表示的点在坐标系内标出, 得到下图,
180

160

140

120

100

80

60

40

20

-20

20

40

60

80

100

120

140

160

-20

-40

从散点图可以看出,各散点在从左上角到右下角的区域里 ,因此,随着气温的升高 , 热茶 销售量逐步减少,图中点的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种相关关系称为负 相关. 3. 两个变量的线性相关性的判断 例题 1: 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料, 请判断机动车辆数 与交通事故数之间是否有线性相关关系,说明理由. 机 动 车 辆 数 95 110 112 120 129 135 150 180

x

/ 千 台 交 通 事 故 数 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13

y



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千 件 解:在直角坐标系中画出数据的散点图,直观判断散点在一条直线附近,故具有线 性相关关系.正相关. 4.练习: (1)下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 (2)给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥量 x 15 20 25 30 35 水稻产量 y 330 345 365 405 445 请判断施化肥量对水稻产量是否有影响,说明理由.
王新敞
奎屯 新疆

40 450

45 455

5. 课外作业: 作业本配套练习

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课题:§2.3.1 线性回归方程(1)
一.教学任务分析:
(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变 量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程. (3)在两个变量具有线性相关关系时,会在散点图中作出线性回归直线,会用线性回归方 程进行预测.

二.教学重点与难点:
教学重点:回归直线方程的求解方法. 教学难点:回归直线方程的求解方法.

三.教学基本流程:
通过具体实例说明变量之间的相关关系 ↓ 利用散点图认识变量间的相关性 ↓ 对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断 ↓ 巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题
在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系. 0 26 18 13 10 气温/ C 杯数 20 24 34 38 4 50

?1
64

我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表示热茶销量,建立直角坐标系,将表中数据构 成的 6 个数对所表示的点在坐标系内标出,得到散点图. 从散点图可以看出 .这些点大致分布在通过散点图中心 的一条直线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的
180 160

140

120

100

80

60

40

20

-20

20

40

60

80

100

120

140

160

-20

-40

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附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之 间的关系.

2.最小二乘法
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取 (4,50),(18, 24) 这两点的直线; (2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同; (3)多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求 直线的斜率、截距; ??????

怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小. ? ? bx ? a 的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的点最接 即: 用方程为 y
? ? bx ? a 与图中六个点的接近程度呢? 近.那么,怎样衡量直线 y
? 的值: 我们将表中给出的自变量 x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个 y 26b ? a,18b ? a,13b ? a,10b ? a, 4b ? a, ?b ? a . 这六个值与表中相应的实际值应该越 接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:
Q(a, b) ? (26b ? a ? 20) 2 ? (18b ? a ? 24) 2 ? (13b ? a ? 34) 2 ? (10b ? a ? 38) 2 ? (4b ? a ? 50) 2 ? (?b ? a ? 64) 2 ? 1286b 2 ? 6a 2 ? 140ab ? 3820b ? 460a ? 10172

? ? bx ? a 与各散点在垂直方向 (纵轴方向)上的距离的平方和 ,可以用来 Q(a, b) 是直线 y ? ? bx ? a 与图中六个点的接近程度,所以,设法取 a , b 的值,使 Q(a, b) 达到最小 衡量直线 y
值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .

140a ? 3820 时, Q 取得最 2 ?1286 140b ? 460 小值.同理, 把 b 看作常数,那么 Q 是关于 a 的二次函数.当 a ? ? 时, Q 取得 12
先把 a 看作常数,那么 Q 是关于 b 的二次函数.易知,当 b ? ?
? 最小值.因此,当 ? 140a ? 3820 ? b?? Q 取得最小值, 由此解得 b ? ?1.6477, a ? 57.5568 . 2 ?1286 时, ? ? a ? ? 140b ? 460 ? ? 12
0

? ? ?1.6477x ? 57.5568.当 x ? ?5 时 , y ? ? 66 ,故当气温为 ?5 C 时 , 所求直线方程为 y
热茶销量约为 66 杯.

3.线性回归方程的求解方法
一般地,设有 n 个观察数据如下:

x
y

x1

x2 y2

x3 y3

? ?

xn yn

y1

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当 a , b 使 Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ... ? ( yn ? bxn ? a)2 取得最小值时,

? ? bx ? a 为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直 就称 y 线.
上述式子展开后,是一个关于 a , b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小 值时的 a , b 的值.即
n n ? ? ? ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? xi yi ? n x y i ?1 ? ? i ?1n ?b ? n ? ?2 1 n 1 n 2 ? ( x ? x ) x ? n x , ( * ) , x ? x y ? ? i ? yi ? ? i i ? n i ?1 n i ?1 i ?1 i ?1 ? ? ? ? a ? y ? b x ?

线性回归方程是

? ? bx ? a ,其中 b 是回归方程的斜率,a 是截距.系数 y

4.求线性回归方程的步骤: (1)计算平均数 x , y ;
(2)计算 xi 与yi 的积,求 (3)计算

?x

?x y
i
i i

i



2 i


b?

(4)将结果代入公式

?x y
i ?1 n

n

?nx y ?nx
?2

? ?

,求 b;

?x
i ?1

2 i

(5)用 a ? y ? bx ,求 a; (6)写出回归方程
王新敞
奎屯 新疆

5. 线性回归方程的应用
例题:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量 x 水稻产量 y

15 330
王新敞
奎屯 新疆

20 345

25 365

30 405

35 445

40 450

45 455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线方程

解:(1)散点图(略) . (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格 i 1 2 3 4 xi 15 20 25 30 yi 330 345 365 405 xiyi 4950 6900 9125 12150
x ? 30, y ? 399.3 ,
7 7 7 i ?1 i ?1 i ?1

5 35 445 15575

6 40 450 18000

7 45 455 20475

? xi2 ? 7000,? yi2 ? 1132725, ? xi yi ? 87175

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故可得到

b?

87175? 7 ? 30 ? 399.3 ? 4.75, 7000? 7 ? 302 a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257

^ 从而得回归直线方程是 y ? 4.75 x ? 257 .

6.小结:
对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系 数 a , b 的计算公式,算出 a , b .写出回归方程 7.课外作业:
王新敞
奎屯 新疆

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3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标:
1、知识与技能: (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的意义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A) 与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实 际问题. 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结 试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中 的“掷币” , “游戏的公平性” , 、 “彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学 问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观: (1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学 知识与现实世界的联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.

二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系;
(2)教学难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题.

三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分
为三类事件:必然事件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生 无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计 算机及多媒体教学.

四、教学设想:
1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么 时间起床?7: 20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等 等。 2、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4) 随机事件: 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件, 叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次

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试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事 n

件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率

fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增 n

多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映 了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事 件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 3、例题分析: 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1) 、 ( 4) 、 (6)是必然事件;事件(2) 、 (9) 、 (10)是不可能 事件;事件(3) 、 (5) 、 (7) 、 (8)是随机事件. 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的 频率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。

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练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2)由表中的已知数据及公式 fn(A)= 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在 n

常数 0.518 上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次 中 8 环,有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率 约为多大?中 10 环的概率约为多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 10

0.9. 解: 此人中靶的概率约为 0.9; 此人射击 1 次, 中靶的概率为 0.9; 中 10 环的概率约为 0.2. 例 4 如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的 1000

意义解释。 分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果 都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中 奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。 例 5 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释 其公平性。 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发 球权的概率是 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任 何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 4、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的 意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意 识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( )

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A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。

每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率

2 2

5 4

10 9

70 60

130 116

700 282

1500 639

2000 1339

3000 2715

(1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。

投篮次数 进球次数 m 进球频率
m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一 点雨都没下,天气预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 6、评价标准: 1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1,0.8,0.9, 0.857,0 .892,0 .910,0.913, 0.893,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。 4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述 频率接近 0.80,因此,进球的概率约为 0.80。 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件 发生的概率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天 没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。 7、作业:根据情况安排

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3.1.3 概率的基本性质(第三课时)
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事
件、对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A) ≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生
的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学
知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。

二、重点与难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 三、学法与教学用具:1、讨论法,师生共同讨论,从而使加深学生对概率基本性质的
理解和认识;2、教学用具:投灯片

四、教学设计:
1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С {2,3,4,5} 等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算 吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对 立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析: 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事

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件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中 一个不发生,另一个必发生。 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) ,B 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至 少一个发生). 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点” ,B 为“出现偶数点” ,已 知 P(A)=

1 1 ,P(B)= ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2 2

分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的 加法公式求解. 解: 记 “出现奇数点或偶数点” 为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、 B 是互斥事件, 所以 P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 + =1 2 2

答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概 率是

1 1 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问: 4 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公 式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解: (1)P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 (2)P(D)=1—P(C)= 2 2

例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概 率为

1 5 5 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、 3 12 12

得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球” 、 “摸到黑球” 、 “摸到黄球” 、 “摸到绿球”为 A、

5 5 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= ; P(B ∪ C ∪ 12 12 1 1 1 2 1 D)=1-P(A)=1- = ,解的 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 3 3 6 4 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4
B 、 C 、 D , 则 有 P(B ∪ C)=P(B)+P(C)= 4、 课堂小结: 概率的基本性质: 1) 必然事件概率为 1, 不可能事件概率为 0, 因此 0≤P(A) ≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会 同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A

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不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与 事 件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生 事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 5、自我评价与课堂练习: 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数, 判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P (A)=

1 1 ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。 2 6

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25, 0.28,计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 4.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都 是黑子的概率是

1 12 , 从中取出 2 粒都是白子的概率是 , 现从中任意取出 2 粒恰好是同 7 35

一色的概率是多少? 6、评价标准: 1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1) 恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们 的并不是必然事件,所以它们不是对立事件,同理可以判断: (2)中的 2 个事件不是互 斥事件,也不是对立事件。 (3)中的 2 个事件既是互斥事件也是对立事件。 2.解: “出现奇数点”的概率是事件 A, “出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点”的概率之和为 P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 + = 2 6 3

3.解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的 和,即为 0.21+0.23=0.44。 (2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环 的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环 的事件为对立事件,所以射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。 4.解:从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的 概率的和,即为

1 12 17 + = 7 35 35

7、作业:根据情况安排

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3.2 古典概型(第四、五课时)
3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本
事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

(3)了解随机数的概念; (4)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。

2、过程与方法: (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问
题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的
辩证唯物主义观点.

二、重点与难点:1、正确理解掌握古典概型及其概率公式;2、正确理解随机数的概
念,并能应用计算机产生随机数.

三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试
验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.

四、教学设想:
1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝 上” ,它们都是随机事件。 (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球, 只有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3?,10。 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本 P121~126; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 3、例题分析: 课本例题略

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

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例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点) 、 (出现 2 点)??、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

m 3 1 = = =0.5 n 6 2

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不 放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内 左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的 两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)] 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能, 所以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事 件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3 3

83 =0.512. 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 (x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10 ×9×8=720 种. 设事件 B 为 “3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467.

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能, 但 (x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B

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包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是 无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导 致错误. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。 解:具体操作如下:键入 PRB

RAND RANDI
STAT DEC

ENTER

RANDI(1,100) STAT DEG

ENTER

RAND (1,100) 3.
STAT DEC

反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应用。 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次 投篮中,恰有两次投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古 典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%。 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之 间的取整数值的随机数。 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中 的概率是 40%。因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表 示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三 次投篮中恰有两次投中的概率近似为

5 =25%。 20

小结: (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问 题。 (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计

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算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。 (3) 随机函数 RANDBETWEEN (a,b) 产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。 例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 解: (1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任 何一个数的可能性是相同的。 (2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法。Scilab 中 用 rand()函数来产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一个随机 数,如果要产生 a~b 之间的随机数,可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到. 4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

(3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我 们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分 配到各个考场中。 5、自我评价与课堂练习: 1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的 纤维的概率是( ) A.

30 40

B.

12 40

C.

12 30

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉 的概率是 A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个 球中至少有一个红球的概率是 。 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。 6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。 6、评价标准: 1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们 是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此选 B.] 40

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订 (记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = .(方法 2)本题 10 5

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还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A) 与取到不合格品(记为事件 B) 恰为对立事件,因此, P(A) =1-P(B) =1- 3.

2 4 = .] 10 5

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: 10 7 .本题还可以利用 “对 10

(红 1,红 2) , (红 1,白 1) , (红 1,白 2) (红 1,白 3) , (红 2,白 3) ,共 10 个,其中至 少有一个红球的事件包括 7 个基本事件, 所以, 所求事件的概率为

立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至少”等事件的概率头问题,常采用间 接法,即求其对立事件的概率 P(A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求解]。 4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,?,6 点 6 种不同的结 果,我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两 颗骰子的结果共有 6×6=36 种, 在上面的所有结果中, 向上的点数之和为 8 的结果有 (2, 6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2)5 种,所以,所求事件的概率为 5.解:具体操作如下 键入 PRB

5 . 36

PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG
PANDI(1,20)
3.

ENTER

ENTER

STAT DEG

反复按

ENTER

键 10 次即可得到。

6.解:具体操作如下: 键入 PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(0,1) STAT DEG
PANDI(0,1)
0

ENTER

ENTER

STAT DEG

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7、作业:根据情况安排

3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念;
(2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概 型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应 用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2) 通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观: 本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学 习习惯。

二、重点与难点:
1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.

三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题
的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体 教学.

四、教学设想:
1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结 果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的 时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能 落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;

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(2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属 于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” , 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概 型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时 间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟 之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型 的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个 时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有 关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 时间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是 等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概 率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率.

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1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子, 从中随机取出 10 毫升, 则取出 的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件 的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且 每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对 应[0,3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在 [1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3] 内个数之比就是事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

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小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随 机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试 验次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动 统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律 性有更深刻的认识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方 形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析: 正方形的面积只与边长有关, 此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的 近似值为 fn(A)=

N1 . N

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式 时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均 匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感 兴趣的量(如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来 确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现 草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则 恰好选中学生甲主机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一 个区域 A, 直线 x=1、 直线 y=1、 x 轴围成一个正方形, 向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这 个试验,并统计出落在区域 A 内的芝麻数与落在正方 形中的芝麻数。 6、评价标准:

M

2a

r o

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1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样中有草履虫”的概 率等于水样的体积与总体积之比

2 =0.004) 500

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由 硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度 (记作 OM)的取值范围就是[o,a],只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求 事件 A 的概率就是 P(A)=

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表 试验 次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050

1 出现 的频数 1 出现 的频率 (4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐 标。如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列 相应地就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 ? 0.947386 0.117618

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 ? 0.902127 0.305673

计数 0 1 0 1 1 1 ? 0 1

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0.516465 0.596393

0.222907 0.969695

1 0

7、作业:根据情况安排


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