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2015高考数学专题复习:直线和圆


高考复习内部资料(1—4)

2015 高考数学专题复习:直线与圆
三.基础知识:
1.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 2..两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,①

l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2 k2 ? k1 | .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1

3.夹角公式 (1) tan ? ?|

直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 4. l1 到 l2 的角公式

? . 2

k2 ? k1 .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2
(1) tan ? ? 5.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2 2

6. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 7.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

高考复习内部资料(2—4)

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

8.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C . d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中 d ? A2 ? B 2
9.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
10.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 当 ( x0 , y0 ) 圆外时 , x0 x ? y0 y ?

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 2 2

的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这 时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切 线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .

四.基本方法和数学思想
1.设三角形的三个顶点是 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC 的重心 G 为 (
x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ) ; , 3 3

2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0; 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ?
C1 ? C 2 A2 ? B 2



4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 :A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2- 4AF>0; 5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 6.以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式; (2)作出可行域,写出目标函数;

高考复习内部资料(3—4)

(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;

五.高考题回顾 一、相切问题:
1. (辽宁卷.13)若经过点 P(?1, 0) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上的截距是 . 2. (北京卷)从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧 长为( ) (A)π (B)2π (C)4π (D)6π

3. (天津卷)将直线 2x-y+λ =0,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x
-4y=0 相切,则实数λ 的值为 A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11

二、公共点问题:
4.(北京卷.理 12)曲线 C:

?

x ? cos? ( ? 为参数)的普通方程是________,如果曲线 y ? ?1 ? sin ?

C 与直线 x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是_______.

( ? 2, 0) 5.(全国卷 I)已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k
的取值范围是( )

(? 2 2, 2 2) (B) (? 2,2) (A) (C) (?

1 1 2 2 ( ? ,) (D) , ) 8 8 4 4

6( 福 建 卷 . 文 理 13 ) 直 线 x ? 2 y ? 0 被 曲 线 x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 15 ? 0 所 截 得 的 弦 长 等 于 .

三、方程问题:
6. (上海卷.文理 8) 圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) , 则 圆 C 的方程为 .

7. (湖南卷)设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、
B,则弦 AB 的垂直平分线方程是 .

四、对称问题:
8.(全国卷二.文理 4)已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ?x 对称,则圆 C 的方程 为( ). 2 A. ( x ? 1) ? y 2 ? 1B. x2 ? y 2 ? 1 C. x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D. x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 9.(上海)直线 y=

1 x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 2

x+2y-2=0



五、最值问题:
10.(全国卷三. 文 16)设 P 为圆 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距

高考复习内部资料(4—4)

离的最小值为

.

六、线性规划问题:
y ? x ?1 11. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上,不等式组 ? ? y ? ?3 x ? 1 所表示的平面区域的面积为(C) ?
(A) 2 (B)

3 2

(C)

3 2 2

(D)2

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 12. (江西卷)设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?

.

七.与向量相结合
14.(湖南卷)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3 , 则 OA ? OB = .


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