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直线、圆的位置关系复习


直线、圆的位置关系
一.课标要求: 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标; 2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离; 3.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系; 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 5.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。 二.要点精讲 1.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ①l1//l2 ? k1=k2;②l1 ? l2 ? k1k2=-1。 (2)若 l 1 :
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

若 A1、A2、B1、B2 都不为零。 ①l1//l2 ?
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2



②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; ③l1 与 l2 相交 ?
A1 A2 A1 A2 ? B1 B2 B1 B2 C1 C2



④l1 与 l2 重合 ?

?

?



注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。两条直线的交点:两条直 线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 2. 距离 (1)两点间距离:若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x 1 ? x 2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y 1 ? y 2 | 。 ( 2 ) 平 行 线 间 距 离 : 若 l 1 : Ax ? By ? C 1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 , 则: d ?
C1 ? C 2 A
2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。
2

? B

( 3 ) 点 到 直 线 的 距 离 : P ( x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 , 则 P 到 l 的 距 离 为 :
d ? Ax
?

? By A
2

?

?C
2

? B

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

-1-

(1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A
2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

? B

2

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。
? Ax ? By ? C ? 0 ?x
2

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的

个数来判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为 Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0; 相离 ? d>r ? Δ <0。 4.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O 1 O 2 ? d 。
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4 条公切线 d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3 条公切线

; ; ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2 条公切线
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线

; ;

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

外离

外切

-2-

相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。 三、典例解析 题型 1:直线间的位置关系 例 1. (1)若三点 A(2,2) B(a,0) C(0,b)(ab ? 0)共线,则, , , 于 。 (2)已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 ,则 a ? ___ 解析: (1)答案:
1 2 1 a ? 1 b

的值等

_。

; (2)2。

点评: (1)三点共线问题借助斜率来解决,只需保证 k AB ? k AC ; (2)对直线平行关系的 判断在一般式方程中注意系数为零的情况。 例 2. (1)已知两条直线 y ? a x ? 2 和 y ? ( a ? 2 ) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( )

A.2
4

B.1

C.0

D. ? 1 )

(2)若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为(

A. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0
4

解析: 答案为 D; (1) (2) 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , y ? x 即
3 4

在 某 一 点 的 导 数 为 4 , 而 y ? ? 4 x , 所 以 y ? x 在 (1 , 1) 处 导 数 为 4 , 此 点 的 切 线 为
4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A。

点评:直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系,同时兼顾到斜率为零和 不存在两种情况。 题型 2:距离问题 例 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0 解析:设到坐标轴距离相等的点为(x,y) ∴|x|=|y| ∴|x|-|y|=0。答案:D 点评:本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑, 通过不等式解等知识探索解题途径

-3-

例 4.已知点 P 到两个定点 M(-1,0) N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距 、 离为 1.求直线 PN 的方程。 解析:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有
| PM | | PN | ? 2,

即 ( x ? 1) ? y
2

2

?

2?

( x ? 1) ? y
2

2



整理得 x +y -6x+1=0 ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为±
3 3

2

2



直线 PM 的方程为 y=±

3 3

(x+1)



将②式代入①式整理得 x -4x+1=0。 解得 x=2+ 3 ,x=2- 3 。 代入②式得点 P 的坐标为 (2+ 3 , 1+ 3 ) (2- 3 , 或 -1+ 3 ) ; (2+ 3 , -1- 3 ) 或(2- 3 ,1- 3 ) 。 直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1。 点评:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科 知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能 力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维 的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高, 有较好的区分度。 题型 3:直线与圆的位置关系 例 5. (1)直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2 a y ? 0 ( a ? 0 ) 没有公共点,则 a 的取值范围是 ( )
2 2

2

A. (0 , 2 ? 1)
(2)圆 ( x
? 1)
2

B. ( 2 ? 1, 2 ? 1)
? (y ? 3)
2

C. ( ? 2 ? 1, 2 ? 1)


D. (0, 2 ? 1)

? 1 的切线方程中有一个是(

A.x-y=0

B.x+y=0
2 2

C.x=0

D.y=0

解析: (1)解析:由圆 x ? y ? 2 a y ? 0 ( a ? 0 ) 的圆心 ( 0 , a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且
a ? 0 ,选 A。

点评:该题考察了直线与圆位置关系的判定。 (2)直线 ax+by=0 与 ( x ? 1) ? ( y ?
2

3 ) ? 1相 切 ,则
2

|a?b 3 | 2

? 1 ,由排除法,

选 C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。
-4-

点评:本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等 于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代 数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。 2 2 例 6.已知圆 M: x+cos?) +(y-sin?) =1,直线 l:y=kx,下面四个命题: ( (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切。 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 解析:圆心坐标为(-cos?,sin?) d=
| - k c o s ? - s in ? | 1+ k
2



1 + k | s in ? + ? ) ( |
2

1+ k

2

= | s in ? + ? )? 1 ( |

故选(B) (D) 点评:该题复合了三角参数的形式,考察了分类讨论的思想。 题型 4:直线与圆综合问题 例 7.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角为(
2 2



A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

解析:如图所示:
? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? 由? ?x2 ? y2 ? 4 ?

消 y 得:x -3x+2=0,∴x1=2,x2=1。 ∴A(2,0) B(1, 3 ) , ∴|AB|= ( 2 ? 1) ? ( 0 ?
2

2

3 ) =2

2



又|OB|=|OA|=2, ∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB=

?
3

,故选 C。

点评:本题考查直线与圆相交的基本知识,及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形 结合思想,同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120°,则 等腰△OAB 的底角为 60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。 例 8.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最 小时,直线 l 的斜率 k= 。 解析:过点 (1, 2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小
2 2

2

2

-5-

k ?

2 2
2 2

时,直线 l 的斜率

解析(数形结合)由图形可知点 A (1, 2 ) 在圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得
kl ? ? 1 kOA ? ? 1 ? 2 ? 2 2

劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l ? O A ,所以



点评:本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等。 题型 5:对称问题 2 2 例 9.一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上,被 x 轴反射到⊙C:x +y -4x-4y +7=0 上。 (Ⅰ) 求反射线通过圆心 C 时,光线 l 的方程; (Ⅱ) 求在 x 轴上,反射点 M 的范围. 解法一:已知圆的标准方程是 2 2 2 2 (x-2) +(y-2) =1,它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2) +(y+2) =1。设光线 L 所在的直线的 方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的 距离等于 1,即 d=
| 5k ? 5 | 1? k
2

=1。整理得 12k +25k+12=0,解得 k= -
4 3

2

3 4

或 k= -

4 3

。故所求

直线方程是 y-3=-

4 3

(x+3),或 y-3= -

(x+3),即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。

解法二:已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,设交线 L 所在的直线的方程是

2

2

y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题意知 k≠0,于是 L 的反射点的坐标是(-
因为光线的入射角等于反射角, 所以反射光线 L′所在直线的方程为 y= -k(x+

3 (1 ? k ) k 3 (1 ? k ) k

,0) , ), 即

y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d=

| 5k ? 5 | 1? k
2

=1。以

下同解法一。 点评:圆复合直线的对称问题,解题思路兼顾到直线对称性问题,重点关注对称圆的几

-6-

何要素,特别是圆心坐标和圆的半径。 2 例 10.已知函数 f(x)=x -1(x≥1)的图像为 C1,曲线 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称。 (1)求曲线 C2 的方程 y=g(x); (2)设函数 y=g(x)的定义域为 M,x1,x2∈M,且 x1≠x2,求证|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|; (3)设 A、B 为曲线 C2 上任意不同两点,证明直线 AB 与直线 y=x 必相交。 解析: (1)曲线 C1 和 C2 关于直线 y=x 对称,则 g(x)为 f(x)的反函数。 ∵y=x -1,x =y+1,又 x≥1,∴x=
2 2

y ? 1 ,则曲线 C2 的方程为 g(x)=

x ? 1 (x≥0)。

(2)设 x1,x2∈M,且 x1≠x2,则 x1-x2≠0。又 x1≥0, x2≥0, ∴|g(x1)-g(x2)|=|
x1 ? 1 - x 2 ? 1 |=
x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x2 ? 1



x1 ? x 2 2

<|x1-x2|。

(3)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为曲线 C2 上任意不同两点,x1,x2∈M,且 x1≠x2, 由(2)知,|kAB|=|
y1 ? y 2 x1 ? x 2

|=

| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) | | x1 ? x 2 |

<1

∴直线 AB 的斜率|kAB|≠1,又直线 y=x 的斜率为 1,∴直线 AB 与直线 y=x 必相交。 点评:曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系 B 手来处理,最终转化为点的坐标之间的对应关系。 题型 6:轨迹问题 y
A



例 11 . 已 知 动 圆 过 定 点 ?
x ? ? p 2

? p

? ,0 ? ,且与直线 ? 2 ?

N
o

M
x
? p ? F ? ,0 ? ? 2 ?

相切,其中 p ? 0 。

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, 线 O A 和 O B 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且

x ? ?

p 2



? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 A B 恒过定点,并求出该定点的坐标。
? p
p ? , 0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线, 2 ? 2 ? p 2

解析: (I)如图,设 M 为动圆圆心,?

垂足为 N ,由题意知: M F ? M N 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?
? p

的距离相等,由抛

物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? 程为 y ? 2 p x ( P ? 0 ) ;
2

p ? , 0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹方 2 ? 2 ?

(II)如图,设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,由题意得 x1 ? x 2 (否则 ? ? ? ? ? )且 x1 , x 2 ? 0

-7-

所以直线 A B 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b ,显然 x1 ?
y ? 2 px( P ? 0)
2

y1

2

2p

, x2 ?

y2

2

,将 y ? kx ? b 与

2p

联 立 消 去 x
2 pb
2

, 得 k y? 2
2

p? y 2

? 0b 韦 达 定 理 知 p由

y1 ? y ? 2

2p k

, y ? y1 ?


?
2

k

(1)当 ? ?

?
2

时,即 ? ? ? ?

时, ta n ? ? ta n ? ? 1 所以

y1 x1

?

y2 x2

? 1, x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,

y1 y 2 4p
2

2

2

? y 1 y 2 ? 0 所以 y 1 y 2 ? 4 p 由①知:
2

2 pb k

? 4 p 所以。因此直线 A B 的方程可表示为
2

y ? kx ? 2 P k ,即 k ( x ? 2 P ) ? y ? 0 ,所以直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p , 0 ? 。

(2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

得 tan ? ? tan (? ? ? ) =

=

2 p ( y1 ? y 2 ) y1 y 2 ? 4 p
2



将①式代入上式整理化简可得: ta n ? ?

2p b ? 2 pk

,所以 b ?

2p ta n ?

? 2 pk ,

此时,直线 A B 的方程可表示为 y ? kx ?

2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p ) ? ? y ? ?? 0, ta n ? ? ta n ? ?

2p

所以直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p ,
?

?

2p ? ?。 ta n ? ?

所以由(1) (2)知,当 ? ?
? ? 2p ? ?。 ta n ? ?

?
2

时,直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p , 0 ? ,当 ? ?

?
2

时直线 A B 恒

过定点 ? ? 2 p ,

点评:该题是圆与圆锥曲线交汇题目,考察了轨迹问题,属于难度较大的综合题目。 O 例 12. 如图, O 1 与圆 O 2 的半径都是 1, 1 O 2 ? 4 . 圆 P N 过动点 P 分别作圆 O 2 、 O 2 的切线 P M , N ( M , 圆 分别为切点) ,使得 P M
? 2PN

. 试建立适当的坐标

系,并求动点 P 的轨迹方程。 解析:以 O 1 O 2 的中点 O 为原点, O 1 O 2 所在直线 为
x

轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 。
-8-

O1(?2, ) , O 2 (2, ) 0 0

由已知 P M

?

2PN

,得 P M

2

? 2 PN

2


2

因为两圆半径均为 1,所以 P O 12 设 P ( x ,y ) ,则 ( x 即(x
? 6) ? y
2 2

? 1 ? 2 ( P O 2 ? 1)
2 2

。 ,

? 2) ? y

2

2

? 1 ? 2[( x ? 2 ) ? y

? 1]

? 33

(或 x 2

? y

2

? 12 x ? 3 ? 0

)。

点评:本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。 题型 7:课标创新题 例 13.已知实数 x、y 满足 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 ,求 z ?
2 2

y ?1 x

的最大值与最小值。

解析:
2

y ?1 x
2

表示过点 A(0,-1)和圆
? 1 上的动点 x, ) ( y 的直线的斜率。

( x ? 2 ) ? ( y ? 1)

如下图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分 得最大值和最小值。 设切线方程为 y ? kx ? 1 ,即 kx ? y ? 1 ? 0 ,则
| 2k ? 2 | k
2

别 取

? 1 ,解得 k ?

4? 3

7


4? 3

?1
4? 3 7

因此, z max ?

, z min ?

7

点评:直线知识是解析几何的基础知识,灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等 特点,对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。 例 14.设双曲线 xy ? 1 的两支分别为 C1 、 C 2 ,正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上。 若 P ? , 1 在 C 2 上,Q、R 在 C 1 上,求顶点 Q、R 的坐标。 ? 1 ??

Q R R 分析:正三角形 PQR 中,有 P ?P ?Q , 则以 P ? , 1 为圆心,P R 为半径 ? 1 ??

的圆与双曲线交于 R、Q 两点。 根据两曲线方程可求出交点 Q、R 坐标。
x 1 ? ?? r 解析:设以 P 为圆心, P R ? r ( r ? 0 ) 为半径的圆的方程为: ? ?? ?y 1 ? ,
2 2 2

由?

??x ?1 ??y ?1 ? r2 ? ? ?
2 2

?xy ? 1 ?

1 1 ?? 。 得: x ? ? r ? x 1 0
2 2

?

?

(其中,可令 t ? x ?

1 x

-9-

进行换元解之) 设 Q、R 两点的坐标分别为 ? 1 y ,, ,则 ? x 1 ? 2 y? , ? x 2
2 2

?x ? x ? ? 1 2 ?x1 x2 ? 1 ?

r ?1 ?1
2



x x ? x 42 ?? 即 ? ? ? ? ?x r 1 , ? x 2 x ? ?1 4 ? 1 1 2 1
2

? ?

?
2

2

y y? 11 4 同理可得: ? 1?2 ? r ? ? ? , 且因为△PQR 是正三角形,则
2 2
2 即 r?1 x ?1 y ? r? 1 4 x 2 y 2 ? ? ?? ? ?? 2 2 1 ? ,得 r ? 24 。 ? ? 2 2
2

?

2

? ?
?

?

? ?

代入方程 x ? ? r ? x 1 0 1 1 ?? ,即 x ? x 1 0 4?? 。
2 2
2
2 ? x1 ? 2 ? ?x ? 4x ? 1 ? 0 ? 由方程组 ? ,得: ? ? ? xy ? 1 ? y1 ? 2 ?

?

?

3 3

或?

? x2 ? 2 ? ? ? ? y2 ? 2 ?

3 3



所以,所求 Q、R 的坐标分别为 2 ?

?

3, 2 ?

3 , 2?

? ?

3, 2 ?

3

?

点评:圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一 些数学问题,若能作一个辅助圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到 铺路搭桥的作用。 四.思维总结 1.关于直线对称问题: (1)关于 l :Ax +By +C =0 对称问题:不论点,直线与曲线关于 l 对称问题总可以 转化为点关于 l 对称问题,因为对称是由平分与垂直两部分组成,如求 P(x0 ,y0)关于 l :

Ax +By +C =0 对称点 Q(x1 ,y1) .有 C =0。

y 0 ? y1 x 0 ? x1

=-

A B

(1)与 A?

x 0 ? x1 2

+B?

y 0 ? y1 2



(2)解出 x1 与 y1 ;若求 C1 :曲线 f(x ,y)=0(包括直线)关于 l :Ax +By +

C1 =0 对称的曲线 C2 ,由上面的(1)(2)中求出 x0 =g1(x1 ,y1)与 y0 =g2(x1 ,y1) 、 ,
然后代入 C1 :f [g1(x1 ,y1) g2(x2 ,y2)]=0,就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程:f [g1 , (x ,y) g2(x ,y)]=0。 , (3)若 l :Ax +By +C =0 中的 x ,y 项系数|A|=1,|B |=1.就可以用直接代入 解之,尤其是选择填空题。 如曲线 C1 :y =4 x -2 关于 l : -y -4=0 对称的曲线 l2 的 x 方程为:(x -4)
2 2

=4(y +4)-2.即 y 用 x -4 代,x 用 y +4 代,这样就比较简单了。

(4)解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。 点与圆位置关系:P(x0 ,y0)和圆 C :(x -a)
2

+(y -b)

2

=r 。

2

- 10 -

①点 P 在圆 C 外有(x0 -a) ②点 P 在圆上:(x0 -a) ③点 P 在圆内:(x0 -a)
2

2

+(y0 -b)
2

2

>r ;
2

2

+(y0 -b) +(y0 -b)

=r ; <r 。
2

2

2

3.直线与圆的位置关系:l :f1(x ,y)=0.圆 C :f2(x ,y)=0 消 y 得 F(x2) =0。 (1)直线与圆相交:F(x ,y)=0 中? >0;或圆心到直线距离 d <r 。 直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 : ① 弦 长 |AB| =
1? k
2

1? k

2

?|x1 ,

- x2| =
y1 ? y 2 2

? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ,或|AB|=2 r ? d
2

2

2

;②弦中点坐标(

x1 ? x 2 2

) ;

③弦中点轨迹方程。 (2)直线与圆相切:F(x)=0 中? =0, d =r .其相关问题是切线方程. P(x0 , 或 如

y0)是圆 x2 +y2 =r2 上的点,过 P 的切线方程为 x0x +y0y =r2 ,其二是圆外点 P(x0 ,
2 2 2 2 y0) 向圆到两条切线的切线长为 ( x 0 ? a ) ? ( y 0 ? b ) ? r 或 x 0 ? y 0 ? r ; 其三是 P x0 , (
2 2

y0)为圆 x2 +y2 =r2 外一点引两条切线,有两个切点 A ,B ,过 A ,B 的直线方程为 x0x + y0y =r2 。
(3)直线与圆相离:F(x)=0 中? <0;或 d <r ;主要是圆上的点到直线距离 d 的 最大值与最小值,设 Q 为圆 C :(x -a)
2

+(y -b)

2

=r 上任一点,|PQ|max =|PC|+r ;

2

|PQ|min =|PQ|-r ,是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值. 4.圆与圆的位置关系:依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径 r1 ,r2 的和差关系判定. (1)设⊙O1 圆心 O1 ,半径 r1 ,⊙O2 圆心 O2 ,半径 r2 则: ①当 r1 +r2 =|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切;②当|r1 -r2|=|O1O2|时,两圆相切;③当|r1 -r2|<|O1O2|<r1 +r2 时两圆相交; ④当|r1 -r2|>|O1O2|时两圆内含; ⑤当 r1 +r2 <|O1O2| 时两圆外离。 (2)设⊙O1 :x +y +D1x +E1y +F1 =0,⊙O2 :x +y +D2x +E2y +F2 =0。 ①两圆相交 A 、B 两点,其公共弦所在直线方程为(D1 -D2)x +(E1 -E2)y +F1 -
2 2 2 2

F2 =0;
②经过两圆的交点的圆系方程为 x +y +D1x +E1y +F1 +?(x +y +D2x +E2y + F2)=0(不包括⊙O2 方程) 。
2 2 2 2

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