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2017届北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={x|x(x﹣1)<0,x∈R},B={x| <x<2,x∈R},那么集合 A∩B=( A.? B. )

C.{x|﹣2<x<2,x∈R} D.{x|﹣2<x<1,x

∈R} 2.下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是( A.y=x﹣1 B.y=tanx C.y=x3 D. ) D. 或﹣ )



3.已知 sinx= ,则 sin2x 的值为( A. B. C. 或

4.设 x∈R 且 x≠0,则“x>1”是“x+ >2”成立的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题正确的是( A.若 m? α,n? β,m⊥n,则 α⊥βB.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n C.若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n D.若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥β 6.已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,且 + = ,| |=2| ? 等于( ) A. B. C. D.



|,则

7.已知函数 f(x)=

则函数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是(



A.4 B.3 C.2 D.1 8.5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.设平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y) ,若 ∥ ,则 y= . 10.已知角 A 为三角形的一个内角,且 cosA= ,sinA= .cos2A= . .

11.已知 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c 的大小关系是

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12.各项均为正数的等比数列{{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=2,S4=5S2,则 a1 的值为 S4 的值为 . 13.已知函数 f(x)=



在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,则实数 m

的取值范围 . 14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长 安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七 里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马 同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天 比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里.良马到齐后,立 刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第 天,两马相逢. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知数列{an}(n∈N*)是公差不为 0 的等差数列,若 a1=1,且 a2,a4,a8 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. cosx(a∈R)的图象经过点( ,0) .

16.已知函数 f(x)=asinx﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x∈[ ,

],求 f(x)的取值范围. .

17. B, C, D 四点共面, BC=2, AB=4, cos∠BDC= 如图, 已知 A, 且 CD=1, ∠ABC=120°, (Ⅰ)求 sin∠DBC; (Ⅱ)求 AD.

18.如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,DE∥PA. (Ⅰ)求证:BC⊥CE; (Ⅱ)若直线 m? 平面 PAB,试判断直线 m 与平面 CDE 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若 AB=PA=2DE=2,AD=3,求三棱锥 E﹣PCD 的体积.

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19.已知函数 f(x)=

,a∈R.

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处切线斜率为﹣2,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无极值,求 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=ax﹣ ﹣(a+1)lnx,a∈R. (I)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a≥1,且 f(x)>1 在区间[ ,e]上恒成立,求 a 的取值范围; (III)若 a> ,判断函数 g(x)=x[f(x)+a+1]的零点的个数.

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2016-2017 学年北京市朝阳区高三 (上) 期中数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={x|x(x﹣1)<0,x∈R},B={x| <x<2,x∈R},那么集合 A∩B=( A.? B. )

C.{x|﹣2<x<2,x∈R} D.{x|﹣2<x<1,x

∈R} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 A,根据交集的定义求出 A∩B 即可. 【解答】解:集合 A={x|x(x﹣1)<0,x∈R}={x|0<x<1,x∈R}, B={x| <x<2,x∈R}, 集合 A∩B={x| <x<1,x∈R}. 故选:B. 2.下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是( A.y=x﹣1 B.y=tanx C.y=x3 D. )

【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可. 【解答】解:A.f(x)=x﹣1 是非奇非偶函数,不满足条件. B.y=tanx 是奇函数,在定义域上函数不是单调函数,不满足条件. C.y=x3 是奇函数,在定义域上为增函数,满足条件. D. 故选:C 是奇函数,在定义域上不是单调函数,不满足条件.

3.已知 sinx= ,则 sin2x 的值为( A. B. C. 或

) D. 或﹣

【考点】二倍角的正弦. 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosx,进而利用二倍角的正弦函数公式 即可计算求值. 【解答】解:∵sinx= ,
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∴cosx=± ∴sin2x=2sinxcosx=2× 故选:D.

=± , (± )=± .

4.设 x∈R 且 x≠0,则“x>1”是“x+ >2”成立的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据基本不等式的性质,结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:当 x<0 时,不等式 x+ >2 不成立, 当 x>0 时,x+ ≥2 =2,当且仅当 x= ,即 x=1 时,取等号,

当 x>1 时,不等式 x+ >2 成立,反之不一定成立,是充分不必要条件, 故选:A 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题正确的是( A.若 m? α,n? β,m⊥n,则 α⊥βB.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n C.若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n D.若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥β )

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在 A 中,α 与 β 相交或平行;在 B 中,推导出 m⊥β,所以 m⊥n;在 C 中,m 与 n 相交、平行或异面;在 D 中,n 与 β 相交、平行或 n? β. 【解答】解:由 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,知: 在 A 中,若 m? α,n? β,m⊥n,则 α 与 β 相交或平行,故 A 错误; 在 B 中,若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥β,所以 m⊥n,故 B 正确; 在 C 中,若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 C 错误; 在 D 中,若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n 与 β 相交、平行或 n? β,故 D 错误. 故选:B. 6.已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,且 ? 等于( ) A. B. C. D. + = ,| |=2| |,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得三角形是以角 A 为直角的直角三角形,解直角三角形求出相应的边和 角,代入数量积公式得答案. 【解答】解:三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,且 + = , ∴O 为 BC 的中点,故△ABC 是直角三角形,∠A 为直角. 又| |=2| |,

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∴| ∴|

|= ,| |= ,

|=2,

∴cosC=

=

=





?

=﹣

?

=﹣

×2×

=﹣

故选:A.

7.已知函数 f(x)= A.4 B.3 C.2 D.1

则函数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是(



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】作出函数的图象,先求出 f(x)= 的根,然后利用数形结合转化为两个函数的交 点个数即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: 当 x≤0 时,由 f(x)= 得 x+1= ,即 x= ﹣1=﹣ , 当 x>0 时,由 f(x)= 得 log2x= ,即 x= = ,

由 g(x)=f(f(x) )﹣ =0 得 f(f(x) )= , 则 f(x)=﹣ 或 f(x)= ,

若 f(x)=﹣ ,此时方程 f(x)=﹣ 有两个交点, 若 f(x)= ,此时方程 f(x)= 只有一个交点,

则数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是 3 个, 故选:B

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8.5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个



【考点】进行简单的合情推理. 【分析】5 个黑球和 4 个白球,5 为奇数,4 为偶数,分析即可得到答案. 【解答】解:5 为奇数,4 为偶数,故总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多, 故选:A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.设平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y) ,若 ∥ ,则 y= ﹣4 . 【考点】平行向量与共线向量. 【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算 【解答】解:∵ =(1,2) , =(﹣2,y) , ∥ , ∴1×y=2×(﹣2) ∴y=﹣4 故答案为:﹣4

10.已知角 A 为三角形的一个内角,且 cosA= ,sinA=

.cos2A= ﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式,求得 sinA 和 cos2A 的值. 【解答】解:∵角 A 为三角形的一个内角,且 cosA= ,∴sinA= cos2A=2cos2A﹣1=2? 故答案为: ﹣1=﹣ . , = ,

11.已知 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c 的大小关系是 b>c>a . 【考点】对数值大小的比较. 【分析】直接利用中间量“0”,“1”判断三个数的大小即可. 【解答】解:a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1 ∴b>c>a, 故答案为:b>c>a.

12.各项均为正数的等比数列{{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=2,S4=5S2,则 a1 的值为 S4 的值为 .



【考点】等比数列的前 n 项和.

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【分析】经分析等比数列为非常数列,设出等比数列的公比,有给出的条件列方程组求出 a1 和 q 的值,则 S4 的值可求. 【解答】解:若等比数列的公比等于 1,由 a3=2,则 S4=4a3=4×2=8,5S2=5×2S3=5×2× 2=20,与题意不符. 设等比数列的公比为 q(q≠1) ,

由 a3=2,S4=5S2,得:



整理得

,解得

,q=±2.因为数列{an}的各项均为正数,所以 q=2.





故答案为 ;



13.已知函数 f(x)=

在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,则实数 m

的取值范围 (1, ] . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,需要对 m 分类讨论,当 m>1,m< ﹣1,m=±1、0,﹣1<m<0,0<m<1 分别判断分段函数的单调性. 【解答】解:令 h(x)=mx2+1,x≥0;g(x)=(m2﹣1)2x,x<0; ①当 m>1 时,要使得 f(x)在(﹣∞,+∞)上是具有单调性, 即要满足 m2﹣1≤1? ﹣ ≤m≤ 故:1<m≤ ; ②当 m<﹣1 时,h(x)在 x≥0 上递减,g(x)在 x<0 上递增, 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ③当 m=±1 时,g(x)=0;当 m=0 时,h(x)=1; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ④当﹣1<m<0 时,h(x)在 x≥0 上递减,g(x)在 x<0 上递减, 对于任意的 x≥0,g(x)<0;当 x→0 时,h(x)>0; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ⑤当 0<m<1 时,h(x)在 x≥0 上递增,g(x)在 x<0 上递减; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; 故答案为: (1, ] 14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长 安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七 里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马 同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天
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比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里.良马到齐后,立 刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第 20 天,两马相逢. 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出. 【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{an},其中 a1=103,d=13; 驽马每日行的距离成等差数列, 记为{bn},其中 b1=97,d=﹣0.5; 设第 m 天相逢,则 a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m+ =200m+ +97m+ ×12.5≥2×3000,

化为 m2+31m﹣960≥0, 解得 m 故答案为:20. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知数列{an}(n∈N*)是公差不为 0 的等差数列,若 a1=1,且 a2,a4,a8 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ,取 m=20.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)a2,a4,a8 成等比数列,可得 可得出. (Ⅱ)bn= = ,利用“裂项求和方法”即可得出. .再利用等差数列的通项公式即

【解答】解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d, 因为 a2,a4,a8 成等比数列,所以 即 ,即 d2=a1d. .

又 a1=1,且 d≠0,解得 d=1. 所以有 an=a1+(n﹣1)d=1=(n﹣1)=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 则 即 . . .

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16.已知函数 f(x)=asinx﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x∈[ ,

cosx(a∈R)的图象经过点(

,0) .

],求 f(x)的取值范围.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)根据函数 f(x)的图象过点 ,代入函数解析式求出 a 的值,从而

写出函数解析式并求出最小正周期; (Ⅱ)根据 x 的取值范围,计算 f(x)的最值,从而求出它的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为函数 所以 解得 a=1; 所以 所以 f(x)最小正周期为 T=2π; (Ⅱ)因为 所以当 当 ,即 ,即 ,所以 … ; … , , 的图象经过点 ,

时,f(x)取得最大值,最大值是 2; 时,f(x)取得最小值,最小值是﹣1; …

所以 f(x)的取值范围是[﹣1,2].

17. B, C, D 四点共面, BC=2, AB=4, cos∠BDC= 如图, 已知 A, 且 CD=1, ∠ABC=120°, (Ⅰ)求 sin∠DBC; (Ⅱ)求 AD.



【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用已知及同角三角函数基本关系式可求 理即可求得 sin∠DBC 的值. ,进而利用正弦定

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(Ⅱ)在△BDC 中,由余弦定理可求 DB 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 ,进而利用两角差的余弦函数公式可求 cos∠ABD 的值,在△ABD 中,由 余弦定理可求 AD 的值. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△BDC 中,因为 所以 由正弦定理 . 得, . … ,

(Ⅱ)在△BDC 中,由 BC2=DC2+DB2﹣2DC?DBcos∠BDC, 得, 所以 解得 或 . . (舍) . ,

由已知得∠DBC 是锐角,又 所以 .

所以 cos∠ABD=cos=cos120°?cos∠DBC+sin120°?sin∠DBC= = .

在△ABD 中,因为 AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcos∠ ABD= 所以 . … ,

18.如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,DE∥PA. (Ⅰ)求证:BC⊥CE; (Ⅱ)若直线 m? 平面 PAB,试判断直线 m 与平面 CDE 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若 AB=PA=2DE=2,AD=3,求三棱锥 E﹣PCD 的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)推导出 DE⊥BC. ,BC⊥CD,由此能证明 BC⊥CE. DE PAB CD (Ⅱ)推导出 ∥平面 , ∥平面 PAB,从而平面 PAB∥平面 CDE,从而得到 m∥ 平面 CDE. (Ⅲ)三棱锥 E﹣PCD 的体积等于三棱锥 P﹣CDE 的体积,由此能求出三棱锥 E﹣PCD 的 体积. 【解答】 (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 PA⊥底面 ABCD,PA∥DE 所以 DE⊥底面 ABCD. 所以 DE⊥BC. 又因为底面 ABCD 为矩形, 所以 BC⊥CD. 又因为 CD∩DE=D, … 所以 BC⊥平面 CDE.所以 BC⊥CE. 解: (Ⅱ)若直线 m? 平面 PAB,则直线 m∥平面 CDE.证明如下, 因为 PA∥DE,且 PA? 平面 PAB,DE?平面 PAB, 所以 DE∥平面 PAB. 在矩形 ABCD 中,CD∥BA,且 BA? 平面 PAB,CD?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. 又因为 CD∩DE=D,所以平面 PAB∥平面 CDE. … 又因为直线 m? 平面 PAB,所以直线 m∥平面 CDE. (Ⅲ)由题意知,三棱锥 E﹣PCD 的体积等于三棱锥 P﹣CDE 的体积. 由(Ⅰ)可知,BC⊥平面 CDE. 又因为 AD∥BC, 所以 AD⊥平面 CDE. 易证 PA∥平面 CDE,所以点 P 到平面 CDE 的距离等于 AD 的长. 因为 AB=PA=2DE=2,AD=3,所以 所以三棱锥 E﹣PCD 的体积 . … .

第 12 页(共 15 页)

19.已知函数 f(x)=

,a∈R.

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处切线斜率为﹣2,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无极值,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)先求出函数的导函数令 x 的值为 0 代入其中得到 f'(0)=﹣2 即切线方程的 斜率为﹣2,即可求出 a 的值,再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值, (Ⅱ)求出函数的导函数,f(x)在区间(0,1)上无极值,则函数 f(x)在(0,1)单调, 分类讨论,求出函数的单调性即可求出 a 的取值范围 【解答】解: (Ⅰ)因为 依题意,f′(0)=﹣2,解得 a=﹣1. 所以 , . ,所以 .

当 x>2 时,f'(x)>0,函数 f(x)为增函数; 当 x<2 时,f'(x)<0,函数 f(x)为减函数; 所以函数 f(x)的最小值是 .

(Ⅱ)因为

,所以



(1)若 a=0,则 (2)若 a≠0,令 f'(x)=0 得 (ⅰ)若

.此时 f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件. .

,即 0<a≤1,则 f'(x)<0 在(0,1)上恒成立.

此时 f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件. (ⅱ)若 由 f'(x)<0 得 ,即 a>1 时,由 f'(x)>0 得 .
第 13 页(共 15 页)



此时 f(x)在 (ⅲ)若

上为增函数,在

上为减,不满足条件.

即 a<0.则 f'(x)<0 在(0,1)上恒成立.

此时 f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件. 综上,a≤1.

20.已知函数 f(x)=ax﹣ ﹣(a+1)lnx,a∈R. (I)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a≥1,且 f(x)>1 在区间[ ,e]上恒成立,求 a 的取值范围; (III)若 a> ,判断函数 g(x)=x[f(x)+a+1]的零点的个数. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)当 a=﹣2 时,对 f(x)求导,求出导函数的零点,即可判断单调区间; (2)若 a≥1,且 f(x)>1 在区间[ ,e]上恒成立,即:f(x)在[ ,e]上的最小值大 于 1;利用导数求判断函数 f(x)的最小值. (3)分类讨论判断 g'(x)的单调性与函数的最小值,从而验证 g(x)在区间(0,+∞)上 单调递增.再构造新函数 h(a)=e3a﹣(2lna+6) ,证明 h(a)>0,进而判断函数 g(x) 是否穿过 x 轴即可. 【解答】解: (Ⅰ)若 a=﹣2,则 ,x∈(0,+∞)

由 f'(x)>0 得,0<x<1;由 f'(x)<0 得,x>1. 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,1) ;单调减区间为(1,+∞) . (Ⅱ)依题意,在区间 上 f(x)min> ,a≥1.

1.

令 f'(x)=0 得,x=1 或

. .

若 a≥e,则由 f'(x)>0 得,1<x≤e;由 f'(x)<0 得, 所以 f(x)min=f(1)=a﹣1>1,满足条件; 若 1<a<e,则由 f'(x)>0 得, .

或 1<x≤e;由 f'(x)<0 得, ,

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依题意

,即

,所以 2<a<e.

若 a=1,则 f'(x)≥0. 所以 f(x)在区间 上单调递增, ,不满足条件;

综上,a>2. ( III)x∈(0,+∞) ,g(x)=ax2﹣(a+1)xlnx+(a+1)x﹣1. =2ax﹣ lnx. =2ax﹣ lnx, 所以 g' (x) (a+1) 设m (x) (a+1) 令 m'(x)=0 得 当 所以 g'(x)在 所以 g'(x)的最小值为 因为 ,所以 . . . 时,m'(x)>0. 上单调递增. . .

时,m'(x)<0;当 上单调递减,在

所以 g'(x)的最小值 从而,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 又 设 h(a)=e3a﹣(2lna+6) . 则 由 h'(a)>0,得 递增. 所以 . . .令 h'(a)=0 得 .所以 h(a)在 ,

.由 h'(a)<0,得 上单调递减,在

; 上单调

所以 h(a)>0 恒成立.所以 e3a>2lna+6, 所以 又 g(1)=2a>0,所以当

. 时,函数 g(x)恰有 1 个零点.

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