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指数函数PPT


问题一:

§2.1 指数函数
细胞分裂: 分裂次数 细胞个数 0 1=20 1 2=21 2 4=22 3 8=23 …… x y=2x

某种细胞分裂时。由1个 分裂成2个,2个分裂成

4个……,1个这样的细
胞分裂x次后,会得到细

胞个数y与x的函数关系
式是什么 ?

问题二:
某种放射性物质不断变 物理现象: 放射性元素残留量

化为其他物质,每经过 经过n年
1年剩留的这种物质是 1 2 3
……

剩留量 1×84%=0.84 0.84×0.84=0.842 0.842×0.84=0.843 y=0.84x

原来的84%,则经过x
年后,这种物质的剩留 量y与x的函数关系式是 什么?

x

指数函数定义:

说明: ① 如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,02=0,当 x≤0时,0-2无意义。 如果a<0,当x取1/2、1/4 …时 ax在实数范围 内无意义,如 y=(-2)x 如果a=1,y=1x=1是常量,没有研究的必要。 ②X的取值范围:定义域为R ③指数函数必须满足y=1×ax(a>0且a?1) 指出下列函数哪些是指数函数:
(1)y=4 x (2) y=x4 (3) y=-4x (4)y=(-4)x x (5)y=4x2 (6)y=πx (7)y=4x+1 (8) x

函数y=ax(a>0且a?1)叫做指数函数, 其中x是自变量,函数的定义域是R。

画 y=2x 与 y=(1/2)x的图象 列表: x … -2 -1.5 -1 0 y=2x … 0.25 0.35 0.5 1 y=(1/2)x … 4 2.83 2 1
1 x y?( ) 2

1
2

1.5
2.83

0.5 0.35

… … 0.25 … 2 4

y

y?2
1
-3 -2 -1

x

o

1

2

3

x

画 y=3x与y=(1/3)x 的图象 列表: x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=3x … 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 … y=(1/3)x … 5.20 3 1.73 1 0.58 0.33 0.19 …

y=(1/3)x

y

y=3x

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

观察右边图象,谈谈图象的 性质:

1x y?( ) 1x 3 y?( ) 2

y=3X

Y

y = 2x

y ? a x (a ? 0且a ? 1)
Y=1

(1) (2)

a>1 时? 0 <a<1 时?

O

X

4.2 指数函数
y = ax
1 y ? ( )x 10 y 1 y ? ( )x 2

一般性质:
(1)图像沿 x 轴 向左右方向无限延伸, ( a < 0, 且 a ≠0 ) 函数的 定义域为 R 。 (2)图像都在 x 轴上方,函数的值域是R+, (3)图像都经过 点(0 ,1 ), 即 f (0 ) = 1 (4)当 a >1 时, 在 (-∞,+ ∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,在 (-∞,+ ∞)上是减函数; (5)当 a >1 时,若 x > 0 , 则 y >1

y=10x y=2x

1 0

y=x x

(a 越大,图像上方越较靠近 y 轴 )

若 x < 0 , 则 0<y<1
当 0<a<1时, 若 x > 0 , 则 0<y<1 若 x < 0 , 则 y >1 (a 越小,图像上方越较靠近 y 轴 )

指数函数的图象和性质
a >1
y = ax y = ax

0<a<1
y
(0,1) y =1

图 象 性 质

y =1 (0,1)

O

x

O

x

1. 定义域:R 2. 值域:(0,+∞) 3. 过点(0,1),即x=0时,y=1 4. 在R上是增函数 当 x > 0,y>1 x<0 ,0<y<1 4. 在R上是减函数 当x > 0,0<y<1 x<0 , y>1

图中的曲线是指数函数 y ? a 的图象, 1 4 3 已知a的值取 3, , , 四个值, 则相 10 3 5 ? A? 应的曲线c1 , c2 , c3 , c4的a的值依次为
x

4 A. 3 3 3 1 B. 5 10 1 3 C. 10 5 4 D. 3 3

1 10

3 5

c3
c4
1
O Y

3 1 5 10

4 3 3 4 3 3

c2 c1
X

例题1 某种物质不断变化为其他物质,每经1年剩留的这 种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留随时间 变化的图象,并从图象上求出经过多少年剩留是原 来的一半 (结果保留一位有效数字)。 物理现象: 放射性元素残留量 经过n年 1
1 2 3 4

y
1 0.5 0

剩余量 1×84%=84%
84%×84%=84%2 84%2×84%=84%3 y=84%x

x


x

2 3

例题2

函数y ? (2a ? 1) x 为指数函数 , 求a满足的范围

解 : 根据指数函数的定义 ,得 0 ? 2a ? 1且2a ? 1 ? 1 1 即a ? 且a ? 1 2

★ ★ ★此题考察的是对指数函数定义的 理解,注意指数函数中对底数范围的要求

例3 比较下列数值的大小
(1)(1.7 ) 2.5 , (1.7 ) 3 ( 2)(0.8) ? 0.1 , (0.8) ? 0.2 (3)(1.7 )
0 .3

.0<a<1

y

(a>1)

, ( 0 .9 )

3.1

1
0 x

分析:同底数指数幂比较大小,可通过考 察底数所对应的指数函数的单调性来解 决,并且在考察时,注意底数的范围.

解: (1)对于指数函数 y ? (1.7) x ?1.7 ? 1 ?函数在R上为增函数 又 ? 2.5 ? 3 ? (1.7) ? (1.7)
2.5 3

(2) (0.8)-0.1 和(0.8)-0.2 的大小

对于指数函数y=(0.8)x ∵0<0.8<1 ∵指数函数在R上为减函数 ∴ -0.1>-0.2 ∴( 0.8)-0.1 < (0.8)-0.2 (3) (1.7)0.3 和 0.93.1 的大小

根据指数函数的性质得: ∵(1.7)0.3 >(1.7)0 =1 ∴(0.9)3.1 <(0.9)0 =1 ∴(1.7)0.3 >1>(0.9)3.1

此题两数底数不同,无法直接 比较大小,因此我们想到找一 个中间变量,通过与中间变量 比较,最后得出两数的情况.

1.若(0.7) ? (0.7) , 则m和n的关系
m n

2.若2

x2 ?1

?2

2 x?1

, 求x应满足的范围 .

比较下列各组中数的大小:

4 2 3 3 (1).( ) ,2 , (? ) , ( ) 3 3 4 1 1 2 ?1 3 2 (2)2 , ( ) ,3 3

1 3

2 3

1 2

例4.(1)函数y ? a ? 1(a ? 0, 且a ? 1)
x

的定义域为 ____________
2.函数f(x)的定义域是(0,1),则函数

f (2 ) 的定义域是
3.函数

?x

y?a

x ?3

?4

恒过定点

4.指数函数y ? f ( x)的图象经过点 (? , e), 则f (0), f (1), f (?? )的值

例题5 求下列函数的值域:
⑴f(x)=(2)x (0≤x≤2) ⑵f(x)=( 1/2)x (0≤x≤2) ⑶f(x)=ax (0<a,a≠1,0≤x≤2)
分析: (1).(2) 可由函数

图象分析得 出,(3)分
情况讨论。

y 4 1 o 2 (1) x
0.25

y 1 o 2 x

解 : (1)值域为[1,4] 1 ( 2)值域为[ ,1] 4

(2)

(3) f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1,0 ? x ? 2)
x

y

y

x 2 a>1 解:(一)由函数图象得出. o (二)利用函数单调性.

o

2 0<a<1

x

①若 a>1, 则f(x)在[0,2]为增函数 函数值域为[1,a2] ②若0<a<1, 则f(x)在[0,2]为减函数 值域为[a2 ,1]

总结:指数函数求值域
(1)图象法

(2)函数的单调性

例6.求下列函数的值域

(1) y ? 2

1 x?4

2 ?x (2) y ? ( ) 3
x ?1

(3) y ? 4 ? 2
x

?1

?1? (4) y ? ? ? ?2?

1? 2 x ? x 2

归纳小结:

1. 本节课的主要内容是:指数函数的定义, 图象与性质;
2. 本节课的重点是:掌握指数函数的图 象与性质; 3. 本节课的关键是:弄清底数A的变化 对于函数值的变化的影响。


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