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高考数学 考前15天专题突破系列——立体几何解题方法技巧


高考系列数学 ——立体几何解题方法技巧 立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面, 证明位置关系、 求距离和求角; 具体内容见下表: 提 要 位 置 关系 主 要 内 容 两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线 与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、 两个平面相互垂直 两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到 平面的距离、两个平面的距离 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、 二面角 重 点 内 容 两条异面直线相互垂直、直线 与平面平行、直线与平面垂 直、两个平面相互垂直 两条异面直线的距离、点到平 面的距离 两条异面直线所成的角、直线 和平面所成的角、二面角 立 体 几 何 距 离 角 度 二、主要解题方法: (一)位置关系 1、两条异面直线相互垂直 证明方法:○ 1 证明两条异面直线所成角为 90?;○ 2 证明两条异面直线的方向量相互垂直 2、直线和平面相互平行 证明方法:○ 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○ 2 证明这条直线的方向量和这 个平面内的一个向量相互平行;○ 3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 3、直线和平面垂直 证明方法:○ 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直,○ 2 证明直线的方向量与这个平面内 不共线的两个向量都垂直;○ 3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 4、平面和平面相互垂直 证明方法:○ 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?;○ 2 证明一个平面内的一条直线垂直 于另外一个平面;○ 3 证明两个平面的法向量相互垂直。 (二)求距离 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 1、两条异面直线的距离 -1- 求法:○ 1 如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度,线段长度的求 法也可以用向量来帮助解决,求线段 AB 的长度,可以利用 AB ? ( AM ? MN ? NB ) 2 来 帮 助 解 决 , 但 是 前 提 条 件 是 我 们 要 知 道 2 AM , MN, NB 的模和每两个向量所成的角。○ 2 利用公式 d ? 分别为两条异面直线上的一点, n 为这两条异面直线的法向量) 2、点到平面的距离 | AB · n| |n| (其中 A、B 求法:○ 1 “一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 等体积法。○ 3 向量法,利用公 式d ? | AB · n| |n| (其中 A 为已知点,B 为这个平面内的任意一点, n 这个平面的法向量) (三)求角 1、两条异面直线所成的角 求法:○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通 过解三角形去求得;○ 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面 直线所成角得范围是 (0, 转化成相应的锐角。 2、直线和平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 向量法,先求直线的方向量于 平面的法向量所成的角 α ,那么所要求的角为 3、平面与平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个角 是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。○ 2 通过射影面积来求 ? 2 ] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意 ? 2 ? ? 或? ? ? 2

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