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2013年全国各地高三数学试题分类汇编-数列解答题


2012——2013 学年度全国各地高三数学月考试题分类汇编——数列
三、解答题 72.【2013 重庆八中第四次月考】设数列 ? a n ? 满足: a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na n ? 2 n ( n ? N * ) . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ? n 2 a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n . 解: (1)∵ a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na n ? 2 ①,∴ n ? 2 时,
n

a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 ? 2
n ?1

n ?1



①—②得 na n ? 2
? 2( n ? 1) ? ∴ an ? ? 2n ? 2 ( n ? 2) ? ? n

, an ?

2

n ?1

n

( n ? 2) ,在①中令 n ? 1 得 a1 ? 2 ,

? 2( n ? 1) (2)∵ bn ? ? n ?1 ? n ? 2 ( n ? 2)

则当 n ? 1 时, S 1 ? 2
2 n ?1

∴当 n ? 2 时, S n ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 则 2 S n ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
2 3 n ?1

? n?2

n

相减得 S n ? n ? 2 ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
n 2 3

n ?1

) ? ( n ? 1)2 ? 2( n ? 2)
n

又 S1 ? 2

∴ S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 2
n

(n ? N )
*

73.【2013 福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5, S15=225。 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= 2
an

+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

?a1 ? 2d ? 5 ? 解: (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得 ? 15 ? 14 d ? 225 ?15 a 1 ? 2 ?

,解得

1

?a1 ? 1 ? ?d ? 2

,∴an=2n-1 ;
? 2n ? 1 2 ? 4 ? 2n ,
n

(2) b n ? 2 ∴
4
n ?1

an

T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n

?

1 2

( 4 ? 4 ? ? ? 4 ) ? 2 (1 ? 2 ? ? ? n )
2 n

=

?4

?n ?n
2

6
? 2 3 ?4
n

?n

2

?n?

2 3

74.【2013· 北京石景山一模】在数列 { a n } 中, a1 ? 3 , a n ? ? a n ?1 ? 2 n ? 1 ( n ≥ 2 且 n ? N * ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值; ⑵证明:数列 { a n ? n} 是等比数列,并求 { a n } 的通项公式;⑶求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 解: ⑴∵ a1 ? 3 ,a n ? ? a n ?1 ? 2 n ? 1 ( n ≥ 2 , n ? N * ) , a 2 ? ? a1 ? 4 ? 1 ? ? 6 ,a 3 ? ? a 2 ? 6 ? 1 ? 1 . ∴ ⑵∵
an ? n a n ? 1 ? ( n ? 1)
n ?1

?

( ? a n ? 1 ? 2 n ? 1) ? n a n ?1 ? n ? 1

?

? a n ?1 ? n ? 1 a n ?1 ? n ? 1

? ? 1 ,∴数列 { a n ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,

公比为 ? 1 的等比数列.∴ a n ? n ? 4 ? ( ? 1) n ? 1 ,即 a n ? 4 ? (? 1)n ?1 ? n ,∴ { a n } 的通项公式为
a n ? 4 ? ( ? 1) ? n (n ? N ) .
*

⑶∵ { a n } 的通项公式为 a n ? 4 ? ( ? 1) n ?1 ? n ( n ? N * ) ,所以,
Sn ?
? 4?

?a
k ?1

n

k

?

? [4 ? ( ? 1)
k ?1
n

n

k ?1

? k] ?

? [4 ? ( ? 1)
k ?1

n

k ?1

]?

?k
k ?1

n

1 ? ( ? 1)

1 ? ( ? 1)

?

n ( n ? 1) 2

1 2 n ?n?4 n n ? 2 ?1 ? ( ? 1) ? ? ( n ? n ) ? ? ? 2( ? 1) . ? ? 2 2
2

75. 【2013· 云南省玉溪一中、 楚雄一中、 昆三中五月联考】 在等比数列 { a n } 中, n ? 0 ( n ? N *) , a 公比 q ? ( 0 ,1) ,且 a 3 ? a 5 ? 5 ,又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2 。 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ? 5 ? log (3)设 T n ? 解: (1)
1 S1 ?
2

a n ,数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 { S n } 的通项公式;
?? ? 1 Sn

1 S2

,求 T n . , 而

a n ? 0 ,? a 3 ? a 5 ? 5 ,又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2 ,? a 3 a 5 ? 4
1

q ? ( 0 ,1) , ? a 3 ? a 5 ,? a 3 ? 4 , a 5 ? 1 , ? q ?

1 n ?1 5? n , a 1 ? 16 , ? a n ? 16 ? ( ) ? 2 2 2

; (2) bn ? 5 ? log 2 a n ? 5 ? (5 ? n ) ? n ,? bn ?1 ? bn ? 1 ,? {b n } 是以 b1 ? 1 为首项,1 为
2

公差的等差数列? S n ? (3)由(2)知 1 ?
S
n

n ( n ? 1) 2



2 1 1 ? 2( ? ) n ( n ? 1) n n ?1

? Tn ?

1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

? 2[(1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

)]

? 2(1 ?

1 n ?1

)?

2n n ?1



76.【2013· 石家庄市教学质量检测(二) 】已知数列 { a n } 满足 S n ? S n ?1 ? ta n (t>0,n≥2) ,
2

且 a 1 ? 0 ,n≥2 时, a n >0.其中 S n 是数列 a n 的前 n 项和. (I)求数列 { a n } 的通项公式; (III)若对于 n≥2,n∈N *,不等式 范围.
2 ? S n ? S n ?1 ? ta n ; ( n ? 2 ) ? 解: (I)依题意, ? 2 ? S n ?1 ? S n ? 2 ? ta n ?1 . ?

1 a2a3

?

1 a3a4

?? ?

1 a n a n ?1

? 2 恒成立,求 t 的取值

(1) (2)



(1)-(2)得 a n ? a n ?1 ? t

1 2 2 ( a n ? a n ?1 ) (n≥3) ,由已知 a n ? a n ?1 ? 0 ,故 a n ? a n ?1 = t (n≥3) ,
a1 ? 0
2 , S 2 ? S 1 ? ta 2 ,得 a 2 ? ta 2 , ? a 2 ? 0 ( 舍 ) 或 a 2 ? 2

由 即 数 列

1 t

.,

1 1 { a n } 从第二项开始是首项为 ,公差为 的等差数列. t t n ?1 1?1 n ?1 * 所以 a n ? ( n ? 2) ,又当 n ? 1 时, a 1 ? ? 0 . ,所以 a n ? ( n ? N ). 。 t t t ( II ) 设
Tn ? 1 a2a3 ? 1 a3a4 ?? ? 1 a n a n ?1

?

t

2

1? 2
*

?

t

2

2?3

?

t

2

3? 4

?? ?

t

2

( n ? 1) ? n
2

? t (1 ?
2

1 n

)



使

T n ? 2 ,对于 n ? 2 , n ? N 恒成立,
0?t ? 2

只要 T n ? t (1 ?

1 n

)?t

2

? 2 成立, 所



3

77. 【2013· 银川一中二模】在数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? 4 a n ? 3 n ? 1 , n ? N * . (1)证明数列 ? a n ? n ? 是等比数列; (2)设数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ,求 S n ?1 ? 4 S n 的最大值。 解: (1)由题设 a n ?1 ? 4 a n ? 3 n ? 1 ,得 a n ?1 ? ( n ? 1) ? 4(a n ? n ) , n ? N * .又 a1 ? 1 ? 1 , 所以数列 ? a n ? n ? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (2) (Ⅰ) 由 可知 a n ? n ? 4 的前 n 项和 S n ?
4 ?1
n
n ?1

, 于是数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 4

n ?1

?n. 所以数列 ? a n ?

?

n ( n ? 1) 2


? 4 n ? 1 n ( n ? 1) ? 1 2 ? 4? ? ? = ? ( 3 n ? n ? 4 ) , 故 n=1, 2 2 ? 3 ?

3

S n ?1 ? 4 S n ?

4

n ?1

?1

?

( n ? 1)( n ? 2) 2

3

最大 0.

78. 【2013· 湖南师大附中第二次月考试卷】设数列 ?a n ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n , 已知对任意 n ? N * , S n 是 a n 和 a n 的等差中项.
2

(Ⅰ)证明数列 ?a n ? 为等差数列,并求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)证明
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 2;

(Ⅲ)设集合 M ? { m m ? 2 k , k ? Z ,且 1000 ? k ? 1500 } ,若存在 m ∈M,使对满足
n ? m 的一切正整数 n , 不等式 S n ? 1005 ?
an 2
2

恒成立, 求这样的正整数 m 共有多少

个?
2 解: (Ⅰ)由已知, 2 S n ? a n ? a n ,且 a n ? 0 .,当 n ? 1 时, 2 a 1 ? a 1 ? a 1 ,解得 a 1 ? 1 。
2

当 n ? 2 时 , 有 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 . 于 是 2 S n ? 2 S n ?1 ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 , 即
2 2 2

2 a n ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1
2 2

.




? n.

a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1
2 2





( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ) ? a n ? a n ?1 。因为 a n ? a n ?1 ? 0 ,所以 a n ? a n ?1 ? 1( n ? 2 ) .故数列

?a n ? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,且 a n

4

(Ⅱ)因为 a n ? n ,则 S n ?
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 2( [(1 ?
2

2 n ( n ? 1)

? 2(

1 n

?

1 n ?1

) .,所以

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n
n
2

?

1 n ?1

)] ? 2 (1 ?

1 n ?1

)? 2;

(Ⅲ)由 S n ? 1005 ?

an 2

,得

n ( n ? 1) 2

? 1005 ?

,即

n 2

2

? 1005 ,所以 n ? 2010 . ,由

题设, M ? { 2000 , 2002 ,…, 2008 , 2010 , 2012 ,…, 2998 } ,因为 m ∈M,所以
m ? 2010 , 2012 ,…, 2998 均满足条件,且这些数组成首项为 2010 ,公差为 2 的等差数

列.设这个等差数列共有 k 项,则 2010 ? 2 ( k ? 1) ? 2998 ,解得 k ? 495 .故集合 M 中满足 条件的正整数 m 共有 495 个。 79. 【2013 青岛市二摸】已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ( a ? 0 ) 的导函数 f ?( x ) ? ? 2 x ? 7 ,数列
2

?a n ? 的前 n 项和为 S n ,点 Pn ( n , S n )( n ? N ? ) 均在函数 y (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式及 S n 的最大值;
(Ⅱ)令 b n ?
2
an

? f ( x ) 的图象上.

,其中 n ? N ? ,求 { nbn } 的前 n 项和.

2 解: ? f ( x ) ? ax ? bx ( a ? 0 ) ,? f ?( x ) ? 2 ax ? b , f ?( x ) ? ? 2 x ? 7 得: a ? ? 1, b ? 7 , (Ⅰ) 由
2 所以 f ( x ) ? ? x ? 7 x ,又因为点 Pn ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图象上,所以有
?

Sn ? ?n ? 7n
2



当 n ? 1 时 , a1 ? S 1 ? 6
?



当 n ? 2 时 , a n ? S n ? S n ?1 ? ? 2 n ? 8 ,

? a n ? ? 2 n ? 8( n ? N ) -,令 a n ? ? 2 n ? 8 ?0 得 n ? 4 ,? 当 n ? 3 或 n ? 4 时, S n 取得最大值

1 2 ,综上, a n ? ? 2 n ? 8( n ? N ) ,当 n ? 3 或 n ? 4 时, S n 取得最大值 1 2 ;

?

(Ⅱ)由题意得 b1 ?
1 2

2 ? 8, bn ?
6

2

?2 n ? 8

? 2

?n? 4

,所以

bn ?1 bn

?

1 2

,即数列 ?b n ? 是首项为 8 ,公
?n?4

比是
1 2

的等比数列,故 { nbn } 的前 n 项和 T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2
3 2





Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
2

?n?4

? n?2

? n?3


3







?







1 2

Tn ? 2 ?

?? ? 2
2

?n?

? n2 ?

?4 ? n

, 2

3

5

1 n 16[1 ? ( ) ] 4?n 4?n 2 ? Tn ? ? n?2 ? 32 ? (2 ? n )2 1 1? 2 。

80. 【2013· 河北省石家庄市二模】各项都为正数的数列 { a n } ,满足 a1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? 2.
2 2

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明
1 a1
2

?

1 a2
2

?? ?

1 an

?

2 n ? 1 对一切 n ? N 恒成立.

?

解: (Ⅰ)∵ a n ?1 ? a n ? 2 ,∴ { a n } 为首项为 1,公差为 2 的等差数列,
2

∴ a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ,又 a n ? 0 ,则 a n ?
2

2 n ? 1.

(Ⅱ)只需证: 1 ?

1 3

?? ?

1 2n ? 1

?

2n ? 1 .

① 当 n =1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 n =2 时,左边<右边,所以命题成立 ②假设 n =k 时命题成立,即 1 ?
1 3 ?? ? 1 2k ? 1 ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ,

当 n=k+1 时,左边= 1 ?

1 3

?? ?

1 2k ? 1

?

2k ? 1 ?

1 2k ? 1 2 2k ? 1 ?

.

?

2k ? 1 ?

2k ? 1
2k ? 1)

= 2k ? 1 ?

2( 2k ? 1 ? 2

?

2k ? 1 ?

2 ( k ? 1) ? 1 .命题成立

由①②可知,对一切 n ? N 都有 1 ?
*

1 3

?? ?

1 2n ? 1

?

2 n ? 1 成立

6

17. (湖北省黄冈中学 2013 届高三 9 月月考数学试题理科) (12 分)数列 { a n } 中, a n S n ? 63 , (1)若数列 { a n } 为公差为 11 的等差数列,求 a1 ; (2)若数列 { a n } 为以 a1
? 1 为首项的等比数列,求数列 { a m } 的前
2

? 32



m 项和 S m ? .

? a1 ? ( n ? 1) ? 11 ? 32, ? 解: (1)依题意,得 ? n ( n ? 1) ? 11 ? 63. ? na1 ? ? 2

解得: ?

?n ? 3 ? a1 ? 10

?1 ? q n ? 1 ? 32, ? (2) ? 1 ? q n ? 63. ? ? 1? q
2 从而 a m

解得: q

? 2.

?q

2 ( m ? 1)

?4

m ?1

,∴ S m ?

?

1? 4

m

1? 4

?

1 3

(4 ? 1).
m

18. (湖北省黄冈中学 2013 届高三 9 月月考数学试题理科) (12 分)已知数列 ? a n ? 的各项均 是正数,其前 n 项和为 S n ,满足 ( p ? 1) S n ? p 2 ? a n ,其中 p 为正常数,且 p ? 1. (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ?
1 2 ? log p a n (n ? N )
?

,数列 ? b n b n ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T n ?

3 4

.

解: (1)由题设知 ( p ? 1) a1 ? p 2 ? a1 ,解得 a1 ? p 。 由?
? ( p ? 1) S n ? p 2 ? a n , ? ? ( p ? 1) S n ? 1 ? p ? a n ? 1 , ?
2

两式作差得 ( p ? 1)( S n ?1 ? S n ) ? a n ? a n ?1.
1 p an ,

所以 ( p ? 1) a n ?1 ? a n ? a n ?1 ,即 a n ? 1 ?

7

可见,数列 ? a n ? 是首项为 p ,公比为
an ? p ( 1 p
1 2 ? lo g p p
2?n

1 p

的等比数列。

)

n ?1

?(

1 p

)

n?2

.

(2) b n ?

?

1 2 ? (2 ? n )

?

1 n

b n bb ? 2 ?

1 n ( n ? 2)

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n?2

Tn ? b1b3 ? b2 b4 ? b3 b5 ? ? bn bn ? 2
? ? 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 2 4 3 5 4 6 n n?2 (1 ? 1 2 ? 1 n ?1 ? 1 n?2 )? 3 4



19. ( 江 西 师 大 附 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 数 列 { a n } 满 足 : .
?1 ? a n ? n , n为 奇 数 ? ?2 ? a ? 2 n , n为 偶 数 ? n

a1 ? 1, a n ? 1

,且 b n ? a 2 n ? 2 , n ? N

*

(1)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)求证数列 {b n } 为等比数列并求其通项公式; (3)求和 S2n+1= a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ? a 2 n ?1 . 解: (1) a 2 ?
3 2 , a3 ? ?
1 2

5 2

, a4 ?

7 4

(2) a 2 n ? 2 ?

a 2 n ? 1 ? 2 n ? 1, a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 4 n

∴ bn ?1 ? a 2 n ? 2 ? 2 ? ∴ {bn } 是以 ?
1 2
1
n

1 2

( a 2 n ? 2) ? 1 2

1 2

b n , b1 ? a 2 ? 2 ? ?

1 2 1 2

为首项,

为公比的等比数列,∴ bn ? ? ( ) n
1

(3) a 2 n ? 2 ? bn ? 2 ? ∴ S 2 n ?1

? 4n n 2 2 ? a1 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a 2 n 1 2 ? 1 2
2

, a 2 n ?1 ? 2 ?

? 1 ? 2n ? (
2

? ??? ?

1 2
n

) ? 4(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 2 n ? (

1 2

?

1 2
2

? ??? ?

1 2
n

)

? ?2n ? 2n ? 1 ? 2

1
n ?1

8

20. (湖南师大附中 2013 届高三月考试题一) 为了保护三峡库区的生态环境, 凡是坡度在 25° 以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计,到 2004 年底库区的绿化率只有 30%。计划 从 2005 年开始加大绿化造林的力度,每年原来坡度在 25°以上的坡荒面积的 16%将被 造林绿化,但同时原有绿化面积的 4%还是会被荒化。设该地区的面积为 1,2004 年绿 化面积为 a 1 ?
3 10

,经过一年绿化面积为 a2,?,经过 n 年绿化面积为 a n ?1 .
4 5 } 是等比数列;

(1)试写出 a n ?1 与 a n 的关系式,并证明数列 { a n ? 1 ?

(2)问至少需要经过多少年努力,才能使库区的绿化面积超过 60%? 解:(1)设 2004 年坡度在 25°以上的坡荒地面积为 b1,经过 n 年绿化造林后坡荒地面 积为 b n ?1 , 则 a n ? b n ? 1 .
故 a n ? 1 ? 96 % a n ? 16 % b n ? 96 % a n ? 16 %( 1 ? a n ) ? 80 % a n ? 16 % ? 4 5 an ? 4 25 .? ? ? ? 4 分

). ?? 25 5 5 5 4 4 1 4 所以数列 { a n ? 1 ? }是以 a 1 ? ? ? 为首项 , 为公比的等比数列 5 5 2 5 4 1 4 n (2)由(I)可知 a n ? 1 ? ? ? ( ) . ????8 分 5 2 5 4 1 4 n 4 n 2 若 ? ? ( ) ? 60 %, 则 ( ) ? . ????9 分 5 2 5 5 5 5
因为 4 5 ? 4 2 16 10 2 4 3 64 2 ,( ) ? ? ? ,( ) ? ? , 5 5 25 25 5 5 125 5 2

由 a n ?1 ?

4

an ?

4

, 得 a n ?1 ?

4

?

4

(a n ?

4

.

4 4 256 250 2 4 5 1024 625 ? 2 2 ( ) ? ? ? ,( ) ? ? ? , 5 5 5 625 625 5 5 5 5 5 4 x 4 n 2 又 y ? ( ) 是减函数 , 所以当 n ? 5时 , ( ) ? .? ? ? ? ? 12 分 5 5 5

故至少需要 5 年才能使库区的绿化面积超过 60%。 21. (广东省广州市 2013 届第二次调研数学试题 (理科) 等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n , 已 知对任意的 n ? N
?

,点 ( n, S n) ,均在函数 y ? b ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b , r 均为常数)的图
x

像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求 r 的值;

9

(2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 4an

(n ? N )

?

求数列 {b n } 的前 n 项和 T n

解:因为对任意的 n ? N ? ,点 ( n , S n ) , 均在函数 y ? b x ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b , r 均为常数)的图 像上.所以得 S n ? b ? r ,
n

当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? b ? r , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? b ? r ? ( b
n n ?1

? r) ? b ? b
n

n ?1

? ( b ? 1) b

n ?1

,
n ?1

又因为{ a n }为等比数列, 所以 r ? ? 1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, a n ? ( b ? 1) b 则 Tn ?
1 2 Tn ? 1 2 2
2
n ?1

所以 a n ? ( b ? 1) b
? n ?1 4?2
n ?1

?2

n ?1

,

bn ?

n ?1 4an

?

n ?1 2
n ?1

?

3 2 2
3

? ? 2 2
2

4 2 3
4

?? ? ? 1 2
3

n ?1 2
n ?1

4 2
5

2 2

3

2

4

?? ? 1 2
4

n
n ?1

?

n ?1 2
n?2

相减,得 Tn ?

?

?

?

2 1 2
5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? n ?1 2 1 2
n ?1 n?2

?? ? 2

1
n ?1

1 1 2
3 2 1 2
n

? 2

3

? (1 ? 2 1? 1 2

1
n ?1

) ?

n ?1 2
n?2

?

3 4

?

?

n ?1 2
n?2

所以 T n ?

?

?

n ?1 2
n ?1

?

3 2

?

n?3 2
n ?1

22. (湖北省黄冈中学 2013 届高三 9 月月考数学试题理科) (本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 4, S n ? na n ? 2 ? (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设数列 ? b n ? 满足: b1 ? 4 ,且 bn ? 1 ? bn2 ? ( n ? 1) bn ? 2, ( n ? N ? ) , 求证: bn ? a n , ( n ? 2, n ? N ? ) ; (3)求证: (1 ?
1 b 2 b3 )(1 ? 1 b3 b 4 )(1 ? 1 b 4 b5 ) ? ? (1 ? 1 bn bn ?1 )?
?

n ( n ? 1) 2

, ( n ? 2, n ? N )

?

e



10

解: (1)当 n ? 3 时, S n ? na n ? 2 ?
S n ? 1 ? ( n ? 1) a n ? 1 ? 2 ? ( n ? 1)( n ? 2) 2
?

n ( n ? 1) 2


n ?1 2 ?2

,可得: a n ? na n ? ( n ? 1) a n ? 1 ?

? a n ? a n ? 1 ? 1( n ? 3, n ? N ) .? a1 ? a 2 ? 2 a 2 ? 2 ? 1, ? a 2 ? 3.
? 4, ( n ? 1) ? n ? 1.( n ? 2, n ? N )
?

可得, a n ? ?

(2) 1? 当 n ? 2 时, b2 ? b12 ? 2 ? 14 ? 3 ? a 2 ,不等式成立.
2 ? 假设当 n ? k ( k ? 2, k ? N ? ) 时,不等式成立,即 bk ? k ? 1. 那么,当 n ? k ? 1 时,
b k ? 1 ? b k ? ( k ? 1) b k ? 2 ? b k ( b k ? k ? 1) ? 2 ? 2 b k ? 2 ? 2( k ? 1) ? 2 ? 2 k ? k ? 2,
2

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。 根据( 1? )( 2? )可知,当 n ? 2, n ? N ? 时, bn ? a n . , (3)设 f ( x ) ? 1n (1 ? x ) ? x , f ?( x ) ?
1 1? x ?1 ? ?x 1? x ? 0,

? f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减,? f ( x ) ? f (0),? 1n (1 ? x ) ? x .

∵当 n ? 2, n ? N ? 时,
? ln(1 ? ? ln(1 ? ? (1 ? 1 b 2 b3 1 bn bn ? 1 1 b 2 b3 )(1 ? 1 b3 b 4 )? 1 bn bn ? 1

1 bn ? 1

?

1 an

? 1

1 n ?1

, ? 1 n ?1 1 bn bn ? 1 ? 1 n?2
1 3 ? 1 4

( n ? 1)( n ? 2) ) ? ? ? ln(1 ? 1 bn bn ? 1 )?
3


?? ? 1 n ?1 ? 1 n?2 ? 1 3 ? 1 n?2 ? 1 3

) ? 1n (1 ?

) ?

b3 b 4 ) ? (1 ? e.

23.(湖南省师大附中 2013 届高三第二次月考数学理试题)已知数列 { a m } 是首项为,公差 为 b 的等差数列, {b n } 是首项为 b ,公比为的等比数列,且满足 a1 ? b1 ? a 2 ? b 2 ? a 3 ,其 中 a、 b、 m、 n ? N * . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若数列 {1 ? a m } 与数列 {b n } 有公共项,将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列
{ c n } ,求数列 { c n } 的通项公式;

(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列 { c n } 的前项之和为 S n ,求证:
9 S1S 2 ? 9 S2S3 ? 9 S3S4 ?? ? 9 S n S n ?1 ? 19 42
11

( n ? 3) .

【解】 (Ⅰ)由题设 a m ? a ? ( m ? 1) b , b n ? b ? a

n ?1

.
b b ?1

由已知 a ? b ? a ? b ? ab ? a ? 2 b ,所以 ab ? a ? 2 b ? 3b .又 b>0,所以 a<3. 因为 ab ? a ? b , b ? a ,则 ab ? 2 a .又 a>0,所以 b>2,从而有 a ? 因为 a ? N * ,故 a ? 2 . (Ⅱ)设 1 ? a m ? b n ,即 1 ? a ? ( m ? 1) b ? b ? a n ?1 . 因为 a ? 2 ,则 3 ? ( m ? 1) b ? b ? 2 n ?1 ,所以 b ?
2 3
n ?1

? 1.

? ( m ? 1)

.

因为 b ? a ? 2 ,且 b∈N*,所以 2 n ?1 ? ( m ? 1) ? 1 ,即 m ? 2 n ?1 ,且 b=3. 故 c n ? bn ? 3 ? 2
n

n ?1

.
n ?1

(Ⅲ)由题设, S n ? 3 (1 ? 2 ? ? ? 2 当 n ? 3 时, 2 ? 1 ? C n ? C n ? L ? C n
0 1

) ? 3 ( 2 ? 1) .
n
n 0 1 n ?1

n ?1

? Cn ? 1 ? Cn ? Cn ? Cn

? C n ? 1 ? 2 n ? 1 ,当且
n

仅当 n ? 3 时等号成立,所以 S n ? 3(2 n ? 1) . 于是
9 S n s n ?1 ? 1 ( 2 ? 1)( 2
n n ?1

? 1)

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

?

1

2 2n ? 1

[

1

?

1 2n ? 3

]( n ? 3 ) .

因为 S1=3,S2=9,S3=21,则
9 S1S 2 ? 9 S2S3 ? 9 S3S4 ?? ? 9 S n S n ?1

?

1 3

?

1 21

?

1 1 1 1 1 1 1 [ ? ? ? ?? ? ] 2 7 9 9 11 2n ? 1 2n ? 3

?

1 3

?

1 21

?

1 1 1 1 1 1 19 . ( ? ) ? ? ? ? 3 21 14 42 2 7 2n ? 3

24.(河北省正定中学 2013 届高三第二次考试数学理试题) . 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 有 2 f ( x ) ? f ( ) ? 2 x ?
x
?

1

1 x

? 3.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x ) ?
y ? g ( x ), y ? g
?1

f ( x ) ? 2 x ( x ? 0 ) ,直线 y ?
2

2 n ? x ( n ? N * )分别与函数

( . ( x ) 交于 A n 、 B n 两点 n ? N * ) 设 a n ? A n B n ,S n 为数列 { a n }

的前项和。 1 ○求 a n ,并证明 S n ?1 ? S n ?
2 2

2S n n S2 2

?

1 n
2

(n ? 2) ;

2 ○求证:当 n ? 2 时, S n ? 2 (
1 1 解.⑴ 2 f ( x ) ? f ( ) ? 2 x ? ? 3 x x

2

?

S3 3

?? ?

Sn n

)。

12

故 2 f ( ) ? f ( x) ?
x

1

2 x

? x ? 3 两式联立可得 f ( x ) ? x ? 1
( x ? 1) ? 2 x ?
2

⑵①由(1)可得 g ( x ) ?
?y ? ? 联立 ? ?y ? ? x ?1
2

x ? 1,
2

? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? ,由此得 B n ? ?, 得交点 A n ? , , ? ? ? ? 2 2n ? 2 2n ? 2n ? x ? 2 2n ? 2 2n
? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2n ? 2 2n ? ? 2 2n ? 2 2n
2 2

2

2

所以 a n ? | A n B n |?

?

1 n

? Sn ?

1 n
2

? S n ?1 ? S n ?1 ? S n ?

2S n n

?

1 n
2 2

,②? 当 n ? 2时 , S n ? S n ?1 ?
2 2

2S n n

?

1 n
2

,

S n ?1 ? S n ? 2 ?
2

2 S n ?1 n ?1
S2 2

?

1 ( n ? 1)
S3 3
2

, ?? S 2 ? S 1 ?
2

2S 2 n 1 3
2

?

1 2
2

,

累加得: S n ? 2 (
2

?

?? ?

Sn n

) ?1? (

1 2
2

?

?? ?

1 n
2

)

又? 1 ? (

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

) ?1?[

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 n ( n ? 1)

]

? 1 ? (1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n ?1

?

1 n

)?

1 n

?0

? S n 2 ? 2(

S2 S3 S ? ?? ? n ) 2 3 n

13

26、 (2010 年皖北协作区联考理科 18)(本小题满分 12 分) 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列, n}是公比不为 1 的等比数列,且每一项均为 {c 正整数,如果数列{an}的子数列 a c , a c , a c ,… a c ,…也是等比数列,求{an}的前 n 项
1 2 3 n

的和。 解:由题意得 an=a1+(n—1)d=n+a1—1,∴ a c ? c n ? a 1 ? 1 …………………………3 分
n

设{cn}的公比为 q(q≠1,q≠0),则
a c n ?1 a cn ? c n ? 1 ? a1 ? 1 c n ? a1 ? 1 ? qc n ? a1 ? 1 c n ? a1 ? 1 ? t (t 为非零常数)……………………………6 分

即:

( q ? t ) c n ? ( a1 ? 1)(1 ? t ) ? 0 ( n ? N ),? q ? 1, q ? 0,
*

?q ? t ? 0 ∵cn 不是一个常数,因此 ? ? ( a1 ? 1)(1 ? t ) ? 0

解得 a1=1, ………………………10 分

∴ an ? n, S n ?

n ( n ? 1) 2

……………………………………………………………12 分

解法二:由题意得 an=a1+(n—1)d=n+a1—1,∴ a c ? c n ? a 1 ? 1 ……………………3 分
n

设{cn}的首项为 c1,公比为 q (q≠1,q≠0), 则当 n≥2 时 c n ? c n ?1 c n ? 1 ,
2

∴由 a c ? a c a c
2
n n ?1

n ?1

得(cn+a1-1)2=(cn-1+a1-1)( cn+1+a1-1)……………6 分

展开整理得:cn-1 (a1-1) (q-1)2=0 ∵ cn-1≠0,q-1≠0 ∴a1=1, …………………………………………………………………………10 分 ∴ an ? n, S n ?
n ( n ? 1) 2

………………………………………………………12 分

27 (2010 年安徽宿州第二次质量检测文 17) (本题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 为等比数列, a 3 ? 4 , a 2 ? a 4 ? 10 ,求数列 ?a n ? 的通项公式 解:设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,则 q ? 0
a2 ? a3 q ? 4 q

, a 4 ? a3q ? 4q ,

?

4 q

? 4 q ? 10 ,? 2 q ? 5 q ? 2 ? 0 ,
2

14

? q ? 2 或q ?

1 2

???6 分
n ?1

当 q ? 2 时, a 1 ? 1 ,? a n ? 2 当q ?
1 2

;
1

时, a 1 ? 16 , ? a n ? 16 ? ( ) n ?1 ? 2 5 ? n
2

???12 分

28.(2010 届安徽皖南八校高三数学第二次联考 22)(本小题满分 13 分) (理)已知 A1 , A 2 ? ? A n ? ? 依次在 x 轴上 , A1 (1, 0 ), A 2 ( 5 , 0 ), A n A n ? 1 ?
A n ?1 A n , ( n ? 2 , 3 ? ? ) 、点 B1、B2??Bn??依次在射线 y ? x ( x ? 0 )

1 2

上,且 B1(3,3)

| OB

n

|? | OB

n ?1

| ? 2 2 ( n ? 2 ,3 ? ? )

(1)用 n 表示 A n 与 B n 的坐标; (2)设直线 A n B n 斜率为 K,求 lim K n 的值;
n? ?

(3)若四边形 AnAn+1Bn+1Bn 面积为 S,求 S 的取值范围. 解:设 A n ( a n , 0 ) 则由 A n A n ? 1 ? 得 a n ?1 ? a n ?
1 1 2 A n ?1 A n

( a n ? a n ?1 ), n ? 2 2 1 n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ( ) ( a 2 ? a 1 ) 2 8 ② ? a n ? a n ?1 ? n ?1 2 ? ? 8 a 2 ? a1 ? 1 n ?1 2 ①+②+??+ n ? 1



得 a n ? a1 ?

8 2
n ?1

? 2

8
n?2

? ?? ?

8 2
1

n ?1 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? ? ? ? 8? 1 1? 2

? an ? 9 ?

16 2
n

15

? A n 坐标为 ( 9 ?

16 2
n

, 0 ), n ? N ????????4 分
*

设 B n (b n 、 b n ) 则 OB n ?
? 2bn ?
2bn

2bn ? 1 ? 2 2

b n ? b n ?1 ? 2 ? b n ? b1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 ? B n 坐标为 ( 2 n ? 1, 2 n ? 1) n ? N ??????????????6 分
*

(2) lim k n ? lim
n? ?

2n ? 1 16 ? ? 2n ? 1 ? ? 9 ? n ? 2 ? ?

n? ?

? lim

2n ? 1 2n ? 8 ? 16 2
n

n? ?

? 1 ??????8 分

(3) S ? S ? OAn ? 1 B n ? 1 ? S ? OAnBn ?
2 ( 2 n ? 1) ? sin 45 ? 9 ?
?

1 ? 8 ? ??9 ? n ? ? 2 ? 2 ?

2 ( 2 n ? 3 ) ? sin 45 ?
?

1? 16 ? ?9 ? n ? 2? 2 ?

8n ? 4 2
n

??????????10 分

记 g (n) ?

8n ? 4 2
n

则 g ( n ? 1) ? g ( n ) ?

8n ? 4 2
n ?1

?

8n ? 4 2
n

?

6 ? 4n 2
n

? n ? 1时 , g ( 2 ) ? g (1), n ? 2时 g ( n ? 1) ? g ( n ), ? g (1) ? g ( 2 ) ? g ( 3 ) ? ? ? , 故 g ( n ) max ? g ( 2 ) ? 又 8 n ? 4 ? 8 ? 1 ? 4 ? 0 故 g ( n ) ? 0 , 且 lim ? 0 ? g (n) ? 3 12 ? 8 n 2
2

8? 2 ? 4 2 ? 0
2

? 3 ?????12 分

n?8

则 S 的取值范围为(9,12)??????13 分 29(2010 届安徽皖南八校高三数学第二次联考 22)(文)设定义在 R 的函数 f ( x ) 满足:①对
16

任意的实数 x、y ? R 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ). ②当 x>0 时, x) 数列 { a n }满足 a 1 ? f ( 0 ), 且 f ( a n ? 1 ) ? f ( >1、
1 f (?1 ? a n ) , ( n ? N *)

(1)求 f ( 0 ), 并判断 f ( x ) 的单调性; (2)求数列 { a n } 的通项公式 an (3)令 bn 是最接近 a n 的正整数 , 即 |
a n ? b n |? 1 2 , b n ? N *, 设 T n ? 1 b1 ? 1 b2 ?

?

1 bn

( n ? N *), 求 T1000 .

解: (Ⅰ)令 y ? 0 , x ? 1, 得 f (1) ? f (1) ? f ( 0 ), 即 f (1) ? [ f ( 0 ) ? 1] ? 0
? x ? 0时 f ( x ) ? 1故 f (1) ? 1 ? 0

? f (0) ? 1

由①可知 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( 0 ) ? 1
? x ? 0 时, f ( x ) ? 1
? x ? 0 时, 0 ? f ( x ) ? 1 ? x ? R 时, f ( x ) ? 0

设 x 1 ? x 2 , 则 f ( x 2 ) ? f [ x 1 ? ( x 2 ? x 1 )] ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ? x 1 ) ? x 2 ? x1 ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ) ? 1 又 f ( x1 ) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 )
? f ( x ) 在 R 为增函数

????????????????????4 分

17

(Ⅱ)? a 1 ? f ( 0 )
? a1 ? 1

由(Ⅰ)得 f (1 ? a n ) ?
? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 1)
? f ( x )为 R 上单调函数

1 f (?1 ? a n )

? a n ?1 ? a n ? 1 ? a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n

即 { a n } 的通项公式为 a n ? n , n ? N ??????????????8 分 (Ⅲ)令 b n ? k , ( k ? N *) 是最接近
则k ? 则k
2

an ?

n的正整数

1 2

?

n ? k ? 1 4

1 2 1 4
2

?k ?

? n? k

2

?k ?

由于 k , n 均为正整数 ?k
2

? k ?1? n ? k

?k
2

? 满足 b n ? k 的正整数 n 有 k ? 31
2

? k ? (k

2

? k ? 1) ? 1 ? 2 k 个????????10 分

2

? 1000 ? 32

2

32 ? 32 ? 1 ? 993
? T1000 ? 1 b1 1 2 ? 62 1 4 ? 1 b2 ? ?? ? 1 b1000 1 31 ? 8? 1 32

? 2 ?1? 4 ?

? ? ? ? 62 ?

????????????14 分

30、(安徽省“江南十校”2010 年高三素质测试理科)(本大题满分 12 分)已知数列
18

{ a n }中 , a1 ? t , ( t ? 0 且 t ? 1), a 2 ? t , 当 x=t 时,函数
2

f ( x) ?

1 2

( a n ? a n ?1 ) x ? ( a n ? 1 ? a n ) x ( n ? 2) 取得极值
2

①求证:数列 a n ?1 ? a n ( n ? N ) 是等比数列;
*

②记 bn ? a n ln a n ( n ? N ), 当 t ? ?
*

7 10

时,数列 {b n } 中是否存在最大项。若存在,

是第几项;若不存在,请说明理由。

解: x ? t 时,函数 f ( x ) ?
?t ? a n ?1 ? a n a n ? a n ?1

1 2

( a n ? a n ?1 ) x ? ( a n ?1 ? a n ) x ( n ? 2) 取得极值,
2

,即数列 ? a n ?1 ? a n ( n ? N * ) 是等比数列…………………………(4 分)

错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。知: a 2 ? a1 ? t 2 ? t
? a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ... ? ( a 2 ? a1 ) ? a1

? (t ? t
n

n ?1

) ? (t

n ?1

?t

n?2

) ? ... ? ( t ? t ) ? r
2

?t

n

? bn ? t ln t
n

n

? nt ln t ………………………(6 分)
n

?t ? ?

7 10

? bn ? n (

7 10
*

) .ln

n

7 10

? b 2 k ? 0, b 2 k ? 1 ? 0( k ? N )

假设 b 2 n ?1 是数列 {bn } 中的最大项,则
17 ? 7 ? ? 10 (2 k ? 1) ? 2 k ? 1 ?k ? 6 ? (2 k ? 1) ? t ? 2 k ? 1 11 17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ?k ? 2 6 6 ? 2 k ? 1 ? (2 k ? 3) t ? ? 2 k ? 1 ? 7 (2 k ? 3) ? k ? 17 ? ? 10 6 ? ?
2

? b 2 k ? 1 ? b 2 k ?1 ? ? b2 k ?1 ? b2 k ? 3

又? k ? N *

? k ? 2,

则 b 5最 大 。

………………………(12 分)
ax
2

31. (安徽省三市 2010 年第二次联合质量检测 4 月理科 22)设 f ? x ? =
19

? bx ? 1 x?c

(a>0)为奇函数,

且 f ?x ?

min= 2

2

, 数列{an}与{bn}满足如下关系: 1=2, a

a n ?1 ?
1 n ( ) 3

f (a n ) ? a n 2

b ,n

?

an ?1 an ?1



(1)求 f(x)的解析表达式;(2) 证明:当 n∈N+时, 有 bn ?



解:由 f(x)是奇函数,得 b=c=0, 由|f(x)min|= 2
2

(3 分)
2x
2

,得 a=2,故 f(x)=
2a n ? 1
2

?1

x

(6 分)

(2)

a n ?1 ?

f (a n ) ? a n 2

=

an 2

? an ?

an ?1 2a n

2



an ?1 b n ?1 ? a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 ? 2a n
2 an

2

?1 ? ?1

a n ? 2a n ? 1
2 an

2

?1

? 2a n ? 1

=? ?

? an ?1? ? ? ? an ?1?

2

= b n2

(8 分)

2a n

∴ b n = b n2?1 = b n4? 2 =…= b 12 ∴ bn = (
1 3 1
2
n ?1

n ?1

,而 b1=

1 3

)

(10 分) (12 分)

当 n=1 时, b1= ,命题成立,
3

当 n≥2 时 ∵2 ∴(
n-1

=(1+1) <(
1 3

n-1

1 =1+ C n ?1

? C n ?1 ? ? ? C n ?1

2

n ?1

1 ≥1+ C n ?1 =n

1 3

)

2

n ?1

)

n

,即 bn≤ (

1 3

)

n



(14 分)

注:不讨论 n=1 的情况扣 2 分.

32.(安徽省淮南市部分重点中学 2010 年高三数学素质测试理 18) x ? 已知函数 f ( x ) ? , 数列 { a n }满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? f ( a n )( n ? N ) 3x ? 1 (1)求证:数列 {
1 an
20

} 是等差数列;

(2)记 S n ( x ) ?

x a1

?

x

2

?? ?
an
1 an

x

n

a2
,

an

, 求 S n ( x) .
1 ? 3a n ? 1 an ? 3? 1 an

解: (1)由已知得: a n ? 1 ?
? 1 an ? 1 ? 1 an 1 an
2

3a n ? 1 a n ? 1

?3

?{

} 是首项为 1,公差 d=3 的等差数列????4 分

(2)由(1)得

? 1 ? ( n ? 1) 3 ? 3 n ? 2
3 n ?1

? S n ( x ) ? x ? 4 x ? 7 x ? ? ? (3 n ? 5 ) x 当 x ? 1, S n (1) ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? ( 3 n ? 2 )

? (3n ? 2 ) x

n

?

1 ? 3n ? 2 2

?n ?

n ( 3 n ? 1) 2

????7 分
当 x ? 1, 0时 , S n ( x ) ? x ? 4 x ? 7 x ? ? ? ( 3 n ? 5 ) x
2 3 2 3 4 n n ?1

? (3 n ? 2 ) x
n ?1

n

xS n ( x ) ? x ? 4 x ? 7 x ? ? ? ( 3 n ? 5 ) x ? ( 3 n ? 2 ) x (1 ? x ) S n ( x ) ? x ? ( 3 x ? 3 x ? ? ? 3 x ) ? ( 3 n ? 2 ) x
2 3 n n ?1

n ?1

? x?

3 x (1 ? x
2

)

1? x

? (3 n ? 2 ) x
n ?1

n ?1

? S n ( x) ?

x ? (3 n ? 2 ) x 1? x
n ?1

?

3 x (1 ? x
2

n ?1 2

)
n ?1

(1 ? x )
2

? ? ?

x (1 ? x ) ? ( 3 n ? 2 ) x (3 n ? 2 ) x (3 n ? 2 ) x
n?2

(1 ? x ) ? 3 x (1 ? x
2 n ?1

)
n ?1

(1 ? x ) ? (3 n ? 2 ) x ? ( 3 n ? 1) x (1 ? x )
2

? x ? x ? 3x ? 3x
2 2 2 2

(1 ? x )
n?2 n ?1

? 2x ? x

当 x ? 0时 , S n ( 0 ) ? 0 也适合 . 综上所述 , x ? 1, S n (1) ? n ( 3 n ? 1) 2

x ? 1, S n ( x ) ?

(3 n ? 2 ) x

n?2

? ( 3 n ? 1) x (1 ? x )
2

n ?1

? 2x ? x
2

.

????12 分

33 ((安徽省淮南市部分重点中学 2010 年高三数学素质测试)文 18) 已知正项数列{an}的前项

n

的 和 为

Sn , Sn=
n ?1

1 4

an ?
2

1 2

an ?

3 4

, 数 列 {

bn

} 满 足 :

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2

( 2 n ? 1) ? 2 对 n∈N*成立.
21

(1)求数列{an}的通项公式;
2 19 ? 18 、1 ? 当 n = 1时 , a 1 ? a1 ? a1 ? ? a1 ? 3 4 2 4 解

(2)求数列{bn}的通项公式;
3

1

1

由 Sn =

1 4

an+ 1 4
2 n

2

1

2
2 n ?1

an? 1 4

3

4

得 S n+1 =
2 n

1

4

a n+1 + 1 2 an

2

1

2

a n+1 -

3

? 2 ? 当 n = 1 时 , a 1b1

? 2 ? 1 ? 2 ? 6, b1 ? 2
2 n ?1

4

a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2

? 2 n ? 1? ? 2
n

? a n ?1 ? ?a
2 n ?1

a

a ?

1 2

a n ?1 ?

? a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n ?1b n ?1 ? 2 ? a n bn ? 2
n

? 2n ? 3? ? 2 ? n ? 2 ?
n

? 2 n ? 1? ? n ? 2 ? ?
n

bn ? 2

?n ? 2?

? a ? 2 a n ?1 ? 2 a n ? 0 ? a n ?1 ? a n ? 2

又 当 n = 1 时 也 适 合 ,? b n ? 2

? a n ? 3 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 1

34.(安徽省合肥市 2010 年第三次教学质量检测数学 21)(本小题满分 12 分) 数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a 2 ?
3 2 , a n?2 ? 3 2 a n ?1 ? 1 2 a n ( n ? N *).

(1)记 d n ? a n ?1 ? a n ,求证:{dn}是等比数列; (2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)令 b n ? 3 n ? 2 ,求数列 { a n ? b n } 的前 n 项和 Sn。 (1) a 1 ? 1, a 2 ?
3 2 ,? a 2 ? a 1 ? 1 2
1 2

3 2

?1 ?

1 2

又 a n ? 2 ? a n ?1 ?
? a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ?

a n ?1 ?

1 2

a n ??????????????????2 分
1 2

, 即 d n ?1 ?

dn

故数列 { d n }是以 (2)由(1)得

1 2

为首项,公比为

1 2

的等比数列.

1 n d n ? a n ? 1 ? a n ? ( ) ??????????????????????6 分 2
? a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ... ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 1 n ?1 1 n?2 1 1 ? ( ) ?( ) ? ... ? ( ) ? 1 2 2 2 1 n ?1 ? 2?( ) 2
22

??????8 分

(3)? b n ? 3 n ? 2 令 c n ? a n ? b n ? ( 3 n ? 2 ) ? [ 2 ? ( ) n ?1 ] ? ( 6 n ? 4 ) ? ( 3 n ? 2 ) ? ( ) n ?1
2 2

1

1

? S n ? 2 ? [1 ? 4 ? 7 ? ... ? ( 3 n ? 2 )] ? [1 ? ? ( 3 n ? 1) n ? [1 ? 4 ? 1 2
1

1 2
0

? 4?

1 2 1

? 4? ]

1 2
2

? ... ? ( 3 n ? 2 ) ? 2

1
n ?1

]

? 7?

1 2
2

? ... ? ( 3 n ? 2 ) ? 2

n ?1

??????????????????????????????????10 分 令Tn ? 1 ? 4 ?
1 2 Tn ? 1 ? 1 2 1 2 1 2
2

? 7?

1 2
2

? ... ? ( 3 n ? 2 ) ? 2 1 2
3

1
n ?1


1 2
n ?1

? 4?

? 7?

? ... ? ( 3 n ? 5 ) ?

? (3n ? 2 ) ?

1 2
n



①-②得
? 1 2 T n ? 1 ? 3( 1 2 ? 1 2
2

?

1 2
3

? ... ? 2

1
n ?1

) ? (3 n ? 2 )

1 2
n

? Tn ? 8 ?
2

3n ? 4 2
n ?1

????????12 分
3n ? 4 2
n ?1

? S n ? 3n ? n ? 8 ?

35.(安徽淮南 2010 年一模 18)(本小题满分 12 分) ﹡ 若数列{an}对于任意的 n∈N ,都有 Sn=2 an-n . (1)求通项公式 an; (2)令函数 f (x)=a1 x+a2x2+?+ anxn ,它的导函数为 f ’ (x),求 f ’ (1) . 解: (1)an=2n-1 (2)f ’ (1)=2+(n-1)·2 n+1-n(n+1)/2 36.(安徽巢湖 2010 届 3 月联考 20)(本小题满分 13 分) 设 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) 是 函 数 f ( x ) ?
??? ? 1 ???? ???? 1 O P ? ( O P1 ? O P2 ) ,点 P 的横坐标为 . 2 2
2 2 ?
x x

图 象 上 的 两 点 , 且
2

(1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; (2)若 S n ?

?

n

i ?1

i * f ( ), n ? N ,求 S n ; n
23

(3)记 Tn 为数列 {

1 (Sn ? 2 )( S n ? 1 ? 2)

} 的前 n 项和,若 Tn ? a ( S n ?1 ?

2 ) 对一切

n ? N 都成立,试求 a 的取值范围.
*

解: (1)? O P ?

??? ?

1 ???? ???? ( O P1 ? O P2 ) ,∴P 是 P1P2 的中点 ? x1 ? x 2 ? 1 2
2 2
x1 x1

∴ y1 ? y 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
x1

?

? 2 2

2
x2

x2

?
x1

? 2 2

2
x1

x1

?

? 2 2

2
1 ? x1

1 ? x1

?

2


1 2

2
x1

2 ?

? 2
1 2

2 2? 2?2
x1

? 2

2
x1

?

? 2 2

2
x1

?

?1 2

∴ yp ?

( y1 ? y 2 ) ?

(4 分)
2,

(2)由(1)知 x1 ? x 2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? y1 ? y 2 ? 1 , f (1) ? 2 ?

1 2 n ?1 n n n ?1 2 1 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) , Sn ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? f ( ) n n n n n n n n 1 n? 1 2 n? 2 n? 1 1 相 加 得 2 S n ? f ( 1 ? f[ ( ? )f ) ( ? ) f] [ ? (f ) ? (? ?) ] f [ ? f( ) f ? n n n n n n
? 2 f (1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 3 ? 2 2

(

)

(n-1 个 1) ∴ Sn ? (3)
n?3?2 2 2

(8 分)
? 1 ? 4 ? 4( 1 ? 1 n?4

1 (Sn ? 2 )( S n ? 1 ? 2)

n?3 n?4 ( n ? 3)( n ? 4) n?3 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 n T n ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 4 5 5 6 n?3 n?4 n?4 Tn 2n 2 Tn ? a ( S n ?1 ? 2 ) ? a ? ? ? 2 16 ( n ? 4) S n ?1 ? 2 n? ?8 n 16 ? n? ? 8 ,当且仅当 n=4 时,取“=” n 2 2 1 1 ∴ (13 分) ? ? ,因此, a ? 16 8?8 8 8 n? ?8 n
24

)

(10 分)

37.(安徽合肥工大附中 2010 届第四次月考理 19)已知正项数列 ? a n ? 满足:
a1 ? 3, ? 2 n ? 1 ? a n ? 2 ? ? 2 n ? 1 ? a n ?1 ? 8 n
? ? ? 是等差数列; ? 2n ? 1? an
2

? n ? 1, n ? N ?
*



(1)求证:数列 ?

(2)求数列 ? a n ? 的通项 a n ;
? 1 1 1 ? (3)求 lim ? ? ?? ? ? 的值. n? ? an ? ? a1 a 2

解:∵ ? 2 n ? 1 ? a n ? 2 ? ? 2 n ? 1 ? a n ?1 ? 8 n

2

∴ ? 2 n ? 1 ? a n ? ? 2 n ? 1 ? a n ?1 ? 8 n ? 2
2



an 2n ? 1 a1 2 ?1 an

?

a n ?1 2n ? 1

? 2 ? n ? 1?



? 1 ,∴ ? a n ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列??????6 分 ? ?
? 2n ? 1?

(2)∵

2n ? 1

? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 1
2

∴ an ? 4n ? 1 (3)∵ 1 ?
an 1 4n ? 1
2

?????????????????? 8 分
? 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 2 n ?1 ?

? 2n ? 1? ?2n ?1?
1 an ?



1 a1

?

1 a2

?? ?

1? 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 ? 1 ? ?1 ? ?? 2n ? 1 ? 2 ?

∴ lim ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? lim n? ? 2 n? ? an ? ? a1 a 2

??????12分

38.(安徽合肥工大附中 2010 届第四次月考文 22)数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn} 中,bn=(3n-2)·an. (1)求数列{an}的通项 an;
25

(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (1)∵Sn=2an-1 ① Sn-1=2an-1-1 (n≥2) ② ①-② 得 an=2an-2an-1 ∴an=2an-1 ∵a1=S1=2a1-1 ∴a1=1 - {an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列 an=2n 1????????6 分 - (2)∵bn=(3n-2)·2n 1 - ∵Tn=1+4·2+7·22+?+(3n-2) n 1 ③ ·2 2Tn=1·2+4·22+?+(3n-2) n ④ ·2 2 n-1 ③-④-Tn=1+3(2+2 +?+2 ) -(3n-2)·2n =-5-(3n-5)·2n ∴Tn=(3n-5)·2n+5?????????14 分 39.(安徽合肥 2010 二检理 19)(本小题满分 12 分) 已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2 理)求
Sn ? an n

的最大值及相应的 n 的值.

(2 文)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值. 解: (1)解? { a n } 为等差数列,? a 2 ? a 5 ? a 3 ? a 4
? a 2 ? a 5 ? 15 ?? ? a 2 ? a 5 ? 54 ?a 2 ? 6 解得 ? ?a5 ? 9

……………………………………………………2 分
?a 2 ? 9 ……………………………4 分 ? ?a5 ? 6

(因 d ? 0 , 舍去 )

?d ? ?1 ………………………………………………………………5 分 ? ? ? a 1 ? 10
? a n ? 11 ? n . ……………………………………………………………6 分

(2)? a 1 ? 10 , a n ? 11 ? n ………………………………………………6 分
? Sn ? ?
Sn ? an n

1 2

n ?
2

21 2

n
21 2 n n ? (11 ? n ) ? ?
22 x
2

? ?

1 2

n ?
2

1 2

(n ?

22 n

)?

23 2

. …………8 分

因 f ( x) ? x ?

22 x

, f ?( x ) ? 1 ?

? 0 ,知 f ( x ) 在 ( 0 ,
26

22 ) 上单减,在 ( 22 , ?? ) 上单增,

又4 ?

22 ? 5 ,

而 f (4) ? 9

1 2

? f (5) ? 9

2 5

. …………………………………………10 分 1 2 47 5 23 2 34 5

∴当 n = 5 时,

Sn ? an n

取最大值为 ?

?

?

?

. ………………12 分

(2 文)? a 1 ? 10 , a n ? 11 ? n
? Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 ? ? 1 2 n ?
2

21 2

n . …………………………………8 分

又?

1 2

? 0 ,对称轴为

21 2

,故当 n = 10 或 11 时,…………………10 分

Sn 取得最大值,其最大值为 55. ………………………………………12 分

⑴是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 ?a n 若不存在,说明理由。 ⑵设 b n
? 1 an ? n ? 2
n ?1

40、22.(14 分)数列 ?a n ? , a 1

? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 3 n ( n ? N )
2

?

? ? n ? ?n
2

? 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的值,
? 2

,S

n

? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n

,证明:当 n

时,

6n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

? Sn ?

5 3

.

⑴解:设 a n ?1 ? 2 a n ? n 2 ? 3 n 可化为 a n ?1 ? ? ( n ? 1) 2 ? ? ( n ? 1) ? 2 ( a n ? ? n 2 ? ? n ) , 即 a n ?1 ? 2 a n ? ? n 2 ? ( ? ? 2 ? ) n ? ? ? ?
?? ? ?1 ? 故 ? ? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?
2

??????????? (2 分) ??????????? (4 分)
2 2

解得

?? ? ?1 ? ?? ? 1

∴ a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 3 n 可 化 为 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 2( a n ? n ? n ) ???(5 分) 又 a 1 ? 1 2 ? 1 ? 0 ??????????????????????????(6 分) 故存在 ? ? ? 1, ? ? 1
使得数列
2

?a

n
2

? ? n ? ?n
2
n ?1

? 是等比数列 ?????(7 分)
∴ a n ? 2 n ?1 ? n 2 ? n ,

⑵证明:由⑴得 a n ? n ? n ? ( a1 ? 1 ? 1) ? 2 故 bn ? ∵ bn ?
1 an ? n ? 2
n ?1

?

1 n
2

?????????????????? (8 分)
? 2 2n ? 1 ? 2

1 n
2

2n ? 1 2 2 2 2 2 2 ∴ n ? 2时 , S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 4n
2 2

?

4

?

4 4n ? 1

?????????? (9 分)

27

? 1?

2 3

?

2 2n ? 1

?

5 3

??????????????(11 分)

现证 S n ?

6n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

(n ? 2) .

当n ? 2 时

S n ? b1 ? b 2 ? 1 ?

1 4

?

5 4

,



6n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 1

?

12 3?5

?

4 5

,

5 4

?

4 5



故 n ? 2 时不等式成立 当n ? 3 时,
由 bn ? 1 n
2

??????????????????(12 分)
? 1 n ( n ? 1) ? 1 n ? n ?1


1 3 ? 1 4 6 2n ? 1 )??? ( 1 n ? 1 n ?1 )

S n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n ? (1 ? ?1? 1 n ?1 ? n n ?1

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?(

,且由 2 n ? 1 ? 6
6n

得1 ?



∴ Sn ?

n n ?1

?

( n ? 1)(2 n ? 1)

?????????????? (14 分)

41 . ( 安 徽 巢 湖 2010 二 模 18) ( 12 分 ) 已 知
a 1 ? f ( x ? 1), a 2 ? ? 3 2 , a 3 ? f ( x) ;

f ( x ? 1) ? x ? 4
2

, 等 差 数 列{ a n} 中 ,

⑴求实数 x 的值; ⑵求数列 a n}的通项公式; { ⑶求 a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a 26 的值; ⑴解:∵ f ( x ? 1) ? x ? 4 ,∴ f (x ) ? ( x ?1) ?4 , f ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ??(2 分)
2 2 2

由 a1 ? a 3 ? 2 a 2 得 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? ? 3 ,化简得 2 x 2 ? 6 x ? 0 , ∴ x ? 0或 x ? 3 . ???????(4 分) ⑵当 x ? 0 时, a n ? ? 3 ( n ? 1) ;当 x ? 3 时, a n ? 3 ( n ? 3) .??????(8 分)
2 2 3 ( n ? 1) 时, a ? a ? a ? ? ? a ? 9 a ? ? 351 ;?????(10 分) ⑶当 a n ? ? 2 5 8 26 14 2 2 3 ( n ? 3) 时, a ? a ? a ? ? ? a ? 297 .?????????(12 分) 当 an ? 2 5 8 26 2 2

42、 (安徽六校 2010 届 4 月联考文 21)已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn, 点(n,
b1 ? 1 3 b2 ? 1 3
2

Sn n

)在直线 y=2x+1

上,数列{bn}满足

?

?? ?

bn ? 1 3
n

? a n (n∈N﹡)。 (1)求数列{an}的通项公式;

? T ?n ? (2)求数列{bn}的前 n 项之和 Tn; (3)是否存在常数 p(p≠-1),使数列 ? nn ?是 ? 3(3 ? p ) ?
28

等比数列?若存在,求出 p 的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)由已知条件得 、
Sn n

=2n+1∴ S n=n(2n+1) .

当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1 符合上式∴an=4n-1; (2)∵
b1 ? 1 3 b1 ? 1 3 bn ? 1 3
n

?

b2 ? 1 3
2

?? ?

bn ? 1 3
n

? an



?

b2 ? 1 3
2

?? ?

b n ?1 ? 1 3
n ?1

? a n ?1



? a n ? a n ?1 ? 4 ∴bn=4×3 +1∴Tn=6(3 -1)+n;

n

n

(3)设 c n ?
2

Tn ? n 3(3 ? p )
n

?

2 ( 3 ? 1)
n

3 ? p
n

, 假设存在常数 p(p≠-1)使数列{ c n }为等比数列,

c 则有 c 2 ? c 1 ?c 3 解得 p=-81 当 p=-81 时, 4 不存在, ∴不存在常数(p≠-1)使数列{ c n }

为等比数列. 43.(皖南八校 2010 届一联 19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? (1)求 f ( ) 和 f ( ) ? f (
2 n 1 1 n ?1 n 1 2 n ?1 n n n ) ? f (1), ( n ? N *) 数列{an} )( n ? N *) 的值; 1 2

(2)数列{an}满足 a n ? f ( 0 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 是等差数列吗?请给予证明; (仅理) (3) b n ? 的大小. (1)解:f(x)对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ?
1
1 4an ? 1 , S n ? 32 ? 16 n

, T n ? b1 ? b 2 ? b1 ? ? ? b n ,试比较 Tn 与 Sn
2 2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 x ? 时有 f ( ) ? f (1 ? ) ? ? f ( ) ? ??????2 分(文 3 分) 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 令 x ? ( n ? N *) 时有 f ( ) ? f (1 ? ) ? n n n 2
29

1 n ?1 1 ? f( )? f( ) ? ??????????????4 分(文 6 分) n n 2

(2)解:数列{an}是等差数列??????????????6 分(文 8 分) f(x)对任意 x∈R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 则令 x ? 0时有 f ( 0 ) ? f (1) ?
1 2
1 2 n ?1 ? a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n ? a n ? f (1) ? f ( n ?1 n )? f( n?2 n 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n

1 2

,

??????????????7 分(文 10 分)

1 n ?1 n ?1 1 ? 2 a n ? [ f ( 0 ) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f (1) ? f ( 0 )] n n n n ? 2a n ? ? an ? n ?1 2 ( n ? N *) ( n ? 1) ? 1 4 ? n ?1 4 ? 1 4 ( n ? N *) 4 ( n ? N *)

n ?1

? a n ?1 ? a n ?

∴{an}是等差数列. (3)解:由(2)有 b n ?
4 4an ? 1 ? 4 n ( n ? N *)

Tn ? b ? b ? b ? ? ? b
2 1 2 2 2 1

2 n

?

4 1

2 2

?

4 2

2 2

?

4 3

2 2

?? ? 1 2

4 n ?

2 2

? 16 ( 1 2 ? 1 3

1 1
2

?

1 2
2

? 1

1 3
2

?? ? 1 n

1 n
2

)

? 16 (1 ? ? 16 ( 2 ?

1 1? 2 1 n

?

1 2?3

?? ? ? Sn

1 n ( n ? 1)

) ? 16 (1 ? 1 ?

?? ?

n ?1

?

) ? 32 ?

16 n

∴Tn≤Sn????????????????????????????12 分 该题也可用数学归纳法做。

44、 (安徽宿州三中 2010 年三模 19) (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数 列的第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
30

(Ⅱ)设 bn=
t

1 n ( a n ? 3)

(n∈N ) Sn=b1+b2+?+bn,是否存在最大的整数 t,使得任 ,

*

意的 n 均有 Sn>

总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由.

36

解: (Ⅰ)由题意得(a1+d) 1+13d)=(a1+4d)2, ????????? 2 分 (a 整理得 2a1d=d2. ∵a1=1,解得(d=0 舍) ,d=2. ???????????????? 4 分 * ∴an=2n-1(n∈N ) . ???????????????????? 6 分 (Ⅱ)bn=
1 n ( a n ? 3)



1 2 n ( n ? 1)



1 2


1 2

1 n



1 n ?1 1 2

) ,
1 3 1 n 1 n ?1

∴Sn=b1+b2+?+bn= =
1 2

1 2

[ (1-
n 2 ( n ? 1)

)+(



)+?+(



) ]

(1-

1 n ?1

)=



?????????????? 10 分

假设存在整数 t 满足 Sn> 又 Sn+1-Sn=
n ?1 2(n ? 2)

t 36

总成立.
n
1 2 ( n ? 2 )( n ? 1)



2 ( n ? 1)



>0,

∴数列{Sn}是单调递增的. ∴S1=
1 4

为 Sn 的最小值,故

t 36



1 4

,即 t<9.

又∵t∈N*, ∴适合条件的 t 的最大值为 8.

???????????????? 12 分

45. (安徽宿州三中 2010 年三模 18) (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 ?a n ? 是 等 差 数 列 , ?b n ? 是 等 比 数 列 , 且 a 1 ? b1 ? 2 , b 4 ? 54 ,
a1 ? a 2 ? a 3 ? b 2 ? b3

(1)求数列 ?b n ? 的通项公式. (2)求数列 ?a n ? 的前 10 项和 S10.

31

解: (1)因为 ?b n ? 是等比数列,且 b1 ? 2 , b 4 ? 54 ,? q ?
3

b4 b1

? 27 ????(3 分)

? q ? 3 ,? b n ? b1 ? q

n ?1

? 2 ?3

n ?1

????(6 分)

(2)因为数列 ?a n ? 是等差数列, a 1 ? a 2 ? a 3 ? b 2 ? b 3 , 又 b 2 ? b 3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 3 a 2 ? 24 ,? a 2 ? 8 从而 d ? a 2 ? a 1 ? 8 ? 2 ? 6
a 10 ? a 1 ? ?10 ? 1?d ? 2 ? 9 ? 6 ? 56 .

????(9 分)

S 10 ?

?a 1

? a 10 ? ? 10 2

?

? 2 ? 56 ? ? 10
2

? 290 .

????(12 分)

46、(2010 年安徽高考仿真二 18)已知数列{log2(an?1)} n∈N *为等差数列,且 a1=3, a3=9 (I)求 an (II)求证
1 a 2 ? a1 ? 1 a3 ? a 2 ?? ? 1 a n ?1 ? a n ?1

解: (I)设等差数列{log2(an?1)}的公差为 d 第一项为 log2(a1?1)=1 第三项为 log2(a3?1)=3 ∴公差 d=1 ∴log2(an?1)=1+(n?1)·1=n ∴an?1=2n ∴an=2n+1 (II)∵ ∴
1 a 2 ? a1 1 a n ?1 ? a n ? 1 a3 ? a2 ? 2 1
n ?1

?2

n

? 1

1 2
n

?? ?

a n ?1 ? a n

?

1 2
1

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

? 1?

1 2
n

?1

47、(2010 年安徽高考仿真二 20)(本题满分 12 分) 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn ( n , S n ) 都 在 函 数
f ( x ) ? x ? 2 x 的图象上,且过点 Pn ( n , S n ) 的切线的斜率为 k n .
2

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? 2 k a n ,求数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ;
n

(Ⅲ)设 Q ? { x | x ? k n , n ? N *} , R ? { x | x ? 2 a n , n ? N *} ,等差数列 { c n } 的任一项
c n ? Q ? R ,其中 c 1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 { c n } 的通项公式.

32

解: (Ⅰ)因为点 Pn ( n , S n ) 都在函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x 的图象上 所以 S n ? n 2 ? 2 n 当 n ? 2 时,
a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 n ? [( n ? 1) ? 2 ( n ? 1)] ? 2 n ? 1 (*)
2 2

n? N *

当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1 ? 2 ? 3

???????????????2 分 ?????3 分

令 n ? 1 , a 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,也满足(*)式 所以,数列 { a n } 的通项公式是 a n ? 2 n ? 1 . (Ⅱ)由 f ( x ) ? x ? 2 x 求导可得
2

?????????????4 分

f ' ( x) ? 2 x ? 2

∵ 过点 Pn ( n , S n ) 的切线的斜率为 k n ∴
k n ? 2n ? 2
kn

??????????????????????5 分

又∵ b n ? 2 ∴ bn ? 2 得

? an
? ( 2 n ? 1) ? 4 ( 2 n ? 1) ? 4
2 3

2n?2

n

???????????6 分
n

∴ T n ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 4 ? 4 ? 7 ? 4 ? ? ? 4 ( 2 n ? 1) ? 4
2 3 4


n ?1

由① ? 4 可 ②

4T n ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 4 ? 4 ? 7 ? 4 ? ? ? 4 ( 2 n ? 1) ? 4 ①-②可得 ? 3T n ? 4 ? [ 3 ? 4 ? 2 ? ( 4 ? 4 ? ? ? 4 ) ? ( 2 n ? 1) ? 4
2 3 n

n ?1

]

? 4 ? [3 ? 4 ? 2 ?
∴ Tn ?
6n ? 1 ?4
n?2

4 (1 ? 4
2

n ?1

)

1? 4
16

? ( 2 n ? 1) ? 4

n ?1

]

?

???????????????????8 分

9 9 (Ⅲ)∵ Q ? { x | x ? 2 n ? 2 , n ? N *} , R ? { x | x ? 4 n ? 2 , n ? N *}

∴ Q ? R ? R --------------------------- 10 分 又∵ c n ? Q ? R ,其中 c 1 是 Q ? R 中的最小数, ∴ c1 ? 6 , --------------------------m?N *

11 分 ( ?c n ? 的公差是 4 的倍数!)

∴ c10 ? 4 m ? 6 又∵ 110 ? c 10 ? 115 ∴?

?110 ? 4 m ? 6 ? 115

?m ? N * ∴ c10 ? 114
c 10 ? c 1

解得 m ? 27

???????????????????????????10 分
114 ? 6

设等差数列 { c n } 的公差为 d 则d ? ∴
? 12 10 ? 1 9 c n ? 6 ? ( n ? 1) ? 12 ? 12 n ? 6 ?

所以, { c n } 的通项公式为 c n ? 12 n ? 6 .
33

???????????12 分

48、21(本题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan ? ? 的首项 a 1 ?
1 2 , a n ?1 ? f ( a n ) .
2 ? 1 ,函数 f ( x ) ? x tan 2? ? x ? sin( 2? ?
2

?
4

) ,数列{an}

⑴ 求函数 f ( x ) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ; ⑶ 求证: 1 ?
1 1 ? a1 ? 1 1 ? a2 ?? ? 1 1 ? an ? 2 (n ? 2 , n ? N ) .
*

解:⑴ tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

2 ( 2 ? 1) 1 ? ( 2 ? 1)
2

?1

又∵ ? 为锐角

∴ 2? ?
2

?
4

∴ sin( 2? ? ∵ a1 ?

?
4 1 2

) ?1

f ( x) ? x ? x
2

????3 分

⑵ a n ?1 ? a n ? a n ∴an ? 0
2

∴ a 2 , a 3 , ? a n 都大于 0 ?????????????7 分
? 1 an ? 1 1 ? an

∴ a n ?1 ? a n
1 ? 1 a n (1 ? a n ) 1 a n ?1



1 a n ?1

? 1

a ? an
2 n



1 ? an

?

1 an

?

?????????????8 分
1 1 ? an 1 a1 1 a2 1 a2 1 a3 1 an 1 a n ?1



1 1 ? a1 1 a1 ?

? 1

1 1 ? a2 ? 2?

?? ? 1 a n ?1

?

?

?

?

?? ?

?

?

?????????????10 分

a n ?1

1 2 1 3 3 2 3 ∵ a2 ? ( ) ? ? , a3 ? ( ) ? ? 1 , 2 2 4 4 4

又∵ n ? 2 a n ?1 ? a n

∴ a n ?1 ? a 3 ? 1 ∴1 ?
1 1 ? a1 ? 1 1 ? a2 ?? ?

∴1 ? 2 ?
1 1 ? an
34

1 a n ?1

? 2

? 2

??????????12 分

49.(安徽合肥 2010 年一模文 22) (本小题满分 14 分) - 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且 a1+2a2+22a3+?+2n 1an=4n 对任意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)问是否存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1)?若存在,求出所有的 k;若不存在,说 明理由. - 解: (1)已知 a1+2a2+22a3+?+2n 1an=4n(n∈N*) ① n≥2 时,a1+2a2=22a3+?+2n+2an-1=4(n-1) (n∈N*) ②????2 分 - - ①-②得,2n 3an=4,求得 an=23 n, 在①中令 n=1,可得 a1=4, - 所以 an=23 n, (n∈N*).??????????????????4 分 由题意 b1=4,b2=2,b3=0,所以 b2-b1=-2,b3-b2=-1, ∴数列{bn+1-bn}的公差为 1,首项为-2 的等差数列 ∴bn+1-bn=n-3
b n ? b1 ? ( b 2 ? b1 ) ? ( b 3 ? b 2 ) ? ? ? ( b n ? b n ? 1 ) ? n ? 7 n ? 14
2

2

(n∈N*).

????????????????????????????8 分 (2) b k ? a k ?
k
2

? 7 k ? 14 2

?2

3? k

当 k ? 4时 , f ( x ) ? 且 f (4) ? 1 2

1 2

[( k ? 7 4 ,

7 2

) ?
2

7 4

]? 2

3? k

单调递增 ,

, f (5) ?

所以 k≥5 时,f(k)>1,??????????????????12 分 又 f(1)=f(2)=f(3)=0, 所以,当且仅当 k=4 时,使得 bk-ak∈(0,1).????????14 分 23. (上海市卢湾区 2013 年 4 月高考模拟考试理科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 从数列 { a n } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 { a n } 的一个子 数列.
35

设数列 { a n } 是一个首项为 a1 、公差为 d ( d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a 2 , a 5 成等比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7 d ,从数列 { a n } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项, 试问该数列是否为 { a n } 的无穷等比子数列,请说明理由. (3)若 a1 ? 1 ,从数列 { a n } 中取出第 1 项、第 m ( m ≥ 2) 项(设 a m ? t )作为一个等比数列 的第 1 项、第 2 项,试问当且仅当 t 为何值时,该数列为 { a n } 的无穷等比子数列,请说明理 由. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
2 2 ( a d 解: 由题设, a 2 ? a1 a 5 , ( a1 ?d ) ?a 1 1 ?4 ) (1) 得 即 2 ad , d ?2 1 , d ?0, 得 又 于是 d ? 2 a1 ,

q?

a2 a1

?3

故其公比

. 分) (4
q ? a6 a2 ? 3 2

(2)设等比数列为 {bm } ,其公比 由题设 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? ( n ? 6) d .



bm ? a 2 q

m ?1

3 m ?1 ? 8d ? ( ) 2 , 分) (6

* 假设数列 {bm } 为 { a n } 的无穷等比子数列,则对任意自然数 m ( m ≥ 3) ,都存在 n ? N ,使

a n ? bm



3 m ?1 3 m ?1 ( n ? 6) d ? 8 d ? ( ) n ? 8( ) ?6 2 2 即 ,得 , 分) (8 3 5 ?1 69 * n ? 8( ) ? 6 ? ?N 2 2 当 m ? 5 时, ,与假设矛盾,

故该数列不为 { a n } 的无穷等比子数列. (10 分)
am ? b2 b1 ?t

(3)①设 { a n } 的无穷等比子数列为 {br } ,其公比
36

a1

r ?1 (t ? 1 ) ,得 br ? t ,

由题设,在等差数列 { a n } 中,

d ?

a m ? a1 m ?1

?

t ?1 m ?1 ,

a n ? 1 ? ( n ? 1)

t ?1 m ?1 ,

* 因为数列 {br } 为 { a n } 的无穷等比子数列,所以对任意自然数 r ( r ≥ 3) ,都存在 n ? N ,使

a n ? br


t ?1 m ?1 ?t
r ?1



1 ? ( n ? 1)

n?

t

r ?1

?1

,得

t ?1

( m ? 1) ? 1 ? ( t

r?2

?t

r ?3

? ? t ? 1)( m ? 1) ? 1



由于上式对任意大于等于 3 的正整数 r 都成立,且 n , m ? 1 均为正整数, 可知 t
r?2

?t

r ?3

? ? t ? 1 必为正整数,又 d ? 0 ,故 t 是大于 1 的正整数. (14 分)

②再证明:若 t 是大于 1 的正整数,则数列 { a n } 存在无穷等比子数列. 即证明无穷等比数列 {br } 中的每一项均为数列 { a n } 中的项.
r ?1 在等比数列 {br } 中, br ? t ,

在等差数列 { a n } 中,

d ?

a m ? a1 m ?1

?

t ?1 m ?1 ,

a n ? 1 ? ( n ? 1)

t ?1 m ?1 , t ?1 m ?1 ,



br

为数列
k ? t

{a n }
r ?1

中的第 k 项,则由
( m ? 1) ? 1 ? ( t
r?2

br ? a k

,得

t

r ?1

? 1 ? ( k ? 1)

?1

整理得

t ?1

?t

r ?3

? ? t ? 1)( m ? 1) ? 1



由 t , m ? 1 均为正整数,得 k 也为正整数, 故无穷等比数列 {br } 中的每一项均为数列 { a n } 中的项,得证. 综上,当且仅当 t 是大于 1 的正整数时,数列 { a n } 存在无穷等比子数列. (18 分) 23、 (上海市奉贤区 2013 年 4 月高三质量调研理科) (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分, 第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分)
a n ?1 ? n?2 n a n ? ( n ? 1)( n ? 2 )
37

已知数列

{a n }

满足:

a1 ? 6





dn ?

an n ( n ? 1) ,求数列 { d n } 的通项公式;
3 n?2

(1)若 (2) 若

a n ? kC

, (其中
?2
n ?1

Cn

m

表示组合数) ,求数列
{ 1 bn }

{a n }

的前 n 项和

Sn



bn ?

an (n ? 2)
2

(3)若 23.解:
a n ?1 ?

,记数列

的前 n 项和为

Tn

,求 n ? ??

lim T n



n?2 n

(1)

a n ? ( n ? 1)( n ? 2 )

a n ?1

变为: ( n ? 2)( n ? 1)

?

an n ( n ? 1)

? 1 ?? d n ? 1 ? d n ? 1

(2 分)
?3

所以

{d n }

是等差数列,

d1 ?

a1 1? 2

,所以

d n ? 3 ? ( n ? 1) ? n ? 2

(2 分)

(2)由(1)得 a n ? n ( n ? 1)( n ? 2 )
? k?
n?2

(1 分)

n ( n ? 1)( n ? 2) 6

a n ? kC

3



k ?6

(1 分)
3

6C n ? 2 即: a n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) = (1 分)

所以,

S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n 6 ( C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C n ? 2 ) = (1 分)

3

3

3

3

=
? n ( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4 n ( n ? 1) n?2
n?2 n ( n ? 1) ? 2
n ?1

6C n?3

4

(1 分)

(1 分)
?2
n ?1

(3)
1 bn ?

bn ?

(2 分)
? 1 n?2
n

?

1 ( n ? 1) ? 2
n ?1

(2 分)
38

Tn ?

1 b1

?

1 b2

?

1 b3

?? ?

1 bn

1

?

1 ( n ? 1) ? 2
n ?1

利用裂项法得:
? lim Tn ?
n ? ??

=

2

(2 分)

1 2

(2 分)

23、 (上海市奉贤区 2013 年 4 月高三质量调研文科) (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分, 第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分)
a n ?1 ? n?2 n a n ? ( n ? 1)( n ? 2 )

已知数列

{a n }

满足: a1 ? 6 ,



(1)求 a 2 , a 3 ;
dn ? an n ( n ? 1) ,求数列 { d n } 的通项公式;
3 n?2

(2)若 (3)若

a n ? kC

, (其中 ,

Cn

m

表示组合数) ,求数列 (4 分) ;

{a n }

的前 n 项和

Sn



23.解: (1)
a n ?1 ?

a 2 ? 24

a 3 ? 60

n?2 n

(2)

a n ? ( n ? 1)( n ? 2 )

a n ?1

变为: ( n ? 2)( n ? 1)

?

an n ( n ? 1)

? 1 ?? d n ? 1 ? d n ? 1

(3 分)
?3

所以

{d n }

是等差数列,

d1 ?

a1 1? 2

,所以

d n ? 3 ? ( n ? 1) ? n ? 2

(3 分)

(3)由(1)得 a n ? n ( n ? 1)( n ? 2 )
? k?
n?2

(1 分)

n ( n ? 1)( n ? 2) 6
3

a n ? kC

3



k ?6

(2 分)

6C n ? 2 即: a n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) = (1 分)

所以,

S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n 6 ( C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C n ? 2 ) = (1 分)

3

3

3

3

=

6C n?3

4

(2 分)
39

?

n ( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4

(1 分)

22. (上海市嘉定黄浦 2013 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分.

?a ? 已知数列 n 满足 a 1
(1)求实数 a 的值; (2)求数列

? a



a2 ? 2

S , n 是数列的前 n 项和, 且

Sn ?

n ( a n ? 3a1 ) 2

(n ? N *) .

? a n ? 的通项公式;
{bn }
,若存在常数 M,使
bn ? M

(3)对于数列 列

(n ? N *) ,且 n ? ?

lim b n ? M

,则 M 叫做数

{bn }
tn ?

的“上渐近值” .
S n?2 S n ?1 ? S n ?1 S n?2 ?2



{T } T {t } ( n ? N * ) n 为数列 n 的前 n 项和,求数列 n 的上渐近值. ,

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 6 分.
Q a1 = a , a 2 = 2, S n = n ( a n + 3 a1 ) 2 (n N )
*



(1)



\ S1 =

a1 + 3 a1 2

, a1 = 2 a1, 即 a1 = 0



?????????2 分 ?????????3 分

\ a= 0.
na n 2
*

(2)由(1)可知,

Sn =

, 2 S n = na n ( n

N )

. , ????5 分

\ 2 S n - 1 = ( n - 1) a n - 1(n 砛 2). 2( S n - S n - 1 ) = na n - ( n - 1) a n - 1 2 a n = na n - ( n - 1) a n - 1 , ( n - 2) a n = ( n - 1) a n - 1
an n- 1 a n- 1 n- 2



\

=

( n 澄 3, n

N )

*


40

??????????6 分

an

=

a n- 1 n- 2

= L =

a2 1

因此, n - 1 又
a1 = 0

, a n = 2( n - 1)( n

2)



????8 分


N )
*

\ 数 列 {a n }的 通 项 公 式 a n = 2( n - 1)( n
na n 2



??????10 分

(3)由(2)有,
S n+ 2 S n+ 1

Sn =

= n ( n - 1)( n

N )

*

.于是,

tn =

+

S n+ 1 S n+ 2

- 2

( n + 2)( n + 1)

+

( n + 1) n ( n + 2)( n + 1)

- 2


2 -

( n + 1) n
2 n+ 2

(n

N )

*

=n



??????????????12 分

\ Tn = t1 + t 2 + L + t n
2 2 3 2 n+ 1 2 2 2 n+ 2 2 n+ 1 2 n+ 2 2 4 2 3 2 5 2 n 2 n+ 2

(

-

)+ (

-

)+ (

-

)+ L + (

-

)

= 1
3-

-

< 3( n

N )

*




)= 3

?????14 分



n?

lim T n = lim (3 n?

, ??16 分

\ 数 列 {Tn }

的上渐近值是 3.

20、 (上海市长宁区 2013 年高三第二次模拟理科) (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第 (2)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 设数列

?a n ? 中,若 a n ?1

? a n ? a n?2 , (n ? N )

?

,则称数列

?a n ? 为“凸数列” 。

(1)设数列 之和;

?a n ? 为“凸数列” a 1 ,若

? 1, a 2 ? ? 2

,试写出该数列的前 6 项,并求出该 6 项

41

(2)在“凸数列”

?a n ? 中,求证: a n ? 6

? an , n ? N

?



?a ? S (3)设 a 1 ? a , a 2 ? b ,若数列 n 为“凸数列” ,求数列前 n 项和 n 。
a ? ? 3, a 4 ? ? 1 a 5 ? 2 , a 6 ? 3 20、解: (1) a 1 ? 1, a 2 ? ? 2 , 3 , , ? S6 ? 0



??????????????????????4 分

? a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ? a ? a n ?1 ? a n ? 3 ? a n ? 3 ? ? a n (2)由条件得 ? n ? 2 , ,?????????6 分
? a n?6 ? ? a n?3 ? a n

,即

a n?6 ? a n

。???????????????8 分 。

(3)

a1 ? a , a 2 ? b , a 3 ? b ? a , a 4 ? ? a , a 5 ? ? b , a 6 ? a ? b

? S6 ? 0



??????????????????????10 分
?

由(2)得

S 6 n ? k ? S k , n ? N , k ? 1, ? , 6

。????????????12 分

? Sn

?0 ? a ? ?a ? b ? ? ? ?2b ?2b ? a ? ?b ? a ?

n ? 6k n ? 6k ? 1 n ? 6k ? 2 n ? 6k ? 3 n ? 6k ? 4 n ? 6k ? 5 ,k ? N
?

???????????????14 分

21、 (上海市长宁区 2013 年高三第二次模拟文科) (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第 (2)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 设数列

?a n ? 中,若 a n ?1

? a n ? a n?2 , (n ? N )

?

,则称数列

?a n ? 为“凸数列” 。

(1)设数列 之和;

?a n ? 为“凸数列” a 1 ,若

? 1, a 2 ? ? 2

,试写出该数列的前 6 项,并求出该 6 项

(2)在“凸数列”

?a n ? 中,求证: a n ? 3

? ?an , n ? N

?



?a ? S (3)设 a 1 ? a , a 2 ? b ,若数列 n 为“凸数列” ,求数列前 2013 项和 2010 。
a ? ? 3, a 4 ? ? 1 a 5 ? 2 , a 6 ? 3 21、解: (1) a 1 ? 1, a 2 ? ? 2 , 3 , ,
42

? S6 ? 0



??????????????????????4 分

? a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ? a ? a n ?1 ? a n ? 3 (2)由条件得 ? n ? 2 ,?????????????????7 分
? a n?3 ? ? a n



??????????????????????10 分

? a n?6 ? ? a n?3 ? a n a ? an (3)由(2)的结论, ,即 n ? 6 。??????12 分 a1 ? a , a 2 ? b , a 3 ? b ? a , a 4 ? ? a , a 5 ? ? b , a 6 ? a ? b ? S6 ? 0





??????????????????????14 分
?

由(2)得

S 6 n ? k ? S k , n ? N , k ? 1, ? , 6



? S 2010 ? S 335 ? 6 ? 0

。 ??????????????????????16 分

20. (上海市普陀区 2013 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分) 已知数列

? a n ? 的首项为
.

1,前 n 项和为

Sn

,且满足

a n ?1 ? 3 S n

, n ? N .数列
*

? b n ? 满足

bn ? lo g 4 a n

(1) 求数列

? a n ? 的通项公式;
1
*

(2) 当 n ? N 时,试比较 解: (1) 由
a n ?1 ? 3 S n

b1 ? b2 ? ? ? bn

与2

? n ? 1?

2

的大小,并说明理由.

? (1) , 得
a n?2

a n ? 2 ? 3 S n ?1
? 4

? (2),由 (2)-(1) 得

a n ? 2 ? a n ?1 ? 3 a n ?1

, ,

整理得
a4

a n ?1

,n ? N .
*

所以,数列

a2



a3

,?,

an

,?是以 4 为公比的等比数列.

其中, a 2 ? 3 S 1 ? 3 a 1 ? 3 ,
? 1, an ? ? n?2 ?3 ? 4 , 所以, n ? 1, n ? 2, n ? N
*

.
43

0, ? bn ? ? ? log 4 3 ? ( n ? 2), (2)由题意,

n ? 1, n ? 2, n ? N
*

.

当 n ? 2 时,
b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 ? ? log 4 3 ? 0 ? ? ? log 4 3 ? 1 ? ? ? ? ? log 4 3 ? n ? 2 ?
? ? n ? 1 ? log 4 3 ? ? n ?1 2 1 2

? n ? 2 ? ? n ? 1?

? 2 log 4 3 ? 1 ? ( n ? 1) ?
2

n ?1 ? 9 ? ? n ? 1? ? ? log 4 4 ? ? n ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ?
b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b n ?

? n ? 1?
2
2

2

所以,

.
?0

1

又当 n ? 1 时,

b1 ? 0

,2

? n ? 1?

.

故综上,当 n ? 1 时,

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b n ?

? n ? 1?
2

2

?0



当 n ? 2 时,

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b n ?

? n ? 1?
2

2

.

21. (上海市普陀区 2013 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 14 分, 其中第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下, 每天销售量为 b 件. 经市 场调查后得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量 S (件)与电视广告每天的播放量 n (次)的关系可用如图所示的程序框图 来体现. (1)试写出该产品每天的销售量 S (件)关于电视广告每天的播放量 n
i?n
开始

输 入 b, n

i ? 0, S ? b

i ? i ?1

S ? S?

b 2
i



(次)的函数关系式; (2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加
44


输出 S 结束

第 21 题图

90% ,则每天电视广告的播放量至少需多少次?

21. 解: (1)设电视广告播放量为每天 i 次时,该产品的销售量为
i ? 0, ?b, ? Si ? ? b * ? S i ?1 ? i ,1 ? i ? n , i ? N ? 2 由题意, ,

Si

( 0 ? i ? n , i ? N ).
*

b b ? 1 ? ?b ? Sn ? b ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? b ? 2 ? n ? 2 ? 2 ? , n ? N * ). ?2 2 ? 于是当 i ? n 时, (

所以,该产品每天销售量 S (件)与电视广告播放量 n (次/天)的函数关系式为
1 ? ? * S ? b?2 ? n ?,n? N 2 ? ? . 1 ? ? b ? 2 ? n ? ? 1 .9 b n * 2 ? ? 2 ? 10 ? n ? 4 .( n ? N ) (2)由题意,有 ?

所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加 90% ,则每天广告的播放量至少 需 4 次.
* ?a ,b ? 故等式不可能成立. 所以,对任意的 n ? N , a ? n n 不可能是直线 l 的方向向量.

?

22.(上海市松江区 2013 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分, 第(2)小题 8 分,第(3)小题 4 分) 设
{ a n }, b n } {

是两个数列, 点

M (1, 2 ), A n ( 2 , a n ) B n (

n ?1 2 , ) n n

* 为直角坐标平面上的点. n ? N , 对

若三点 M , A n , B n 共线, (1)求数列 { a n } 的通项公式;
log cn ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n a1 ? a 2 ? ? ? a n

(2)若数列{ b n }满足:

2

,其中 {c n } 是第三项为 8,公比为

4 的等比数列.求证:点列 P1 (1, b1 ), P2 ( 2 , b 2 ), ? Pn ( n , b n ) 在同一条直线上; (3)记数列 { a n } 、{ b n }的前 m 项和分别为
Am
45



Bm

,对任意自然数 n ,是否总存在与 n 相

关的自然数 m ,使得

a n B m ? b n Am

?若存在,求出 m 与 n 的关系,若不存在,请说明理由.
2 an ? 2

?2 n ? ? n ?1 2 ?1 ?1 n 解: (1)因三点 M , A n , B n 共线,

????2 分

得 a n ? 2 ? 2 ( n ? 1) 故数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ????4 分
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
a1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n

n(2 ? 2n) 2

(2)由题意 c n ? 8 ? 4 由题意得 c n ? 2
? 2n ? 3 ?

n?3

?2

2n ?3



? n ( n ? 1)

a1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n a1 ? a 2 ? ? ? a n

,? 2

2n?3

?2

a1 ? a 2 ? ? ? a n

????6 分

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n a1 ? a 2 ? ? ? a n

,

? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? a n b n ? n ( n ? 1)( 2 n ? 3)

当 n ? 2 时, a n b n ? n ( n ? 1)( 2 n ? 3) ? ( n ? 1) n ( 2 n ? 5 ) ? n ( 6 n ? 8 ) ????8 分
? a n ? 2 n ? b n ? 3 n ? 4 .当 n=1 时, b1 ? ? 1 ,也适合上式,

? b n ? 3n ? 4 ( n ? N )
*

????10 分
K ? b n ? b1 n ?1 ? ( n ? 1) ? 3 n ?1 ?3

因为两点

P1、 Pn

的斜率

(n ? N )
*

为常数

所以点列 P1 (1, b1 ), P2 ( 2 , b 2 ), ? Pn ( n , b n ) 在同一条直线上. ????12 分
Am ? 2 m ? m ( m ? 1) 2 3 2 5 2 ?2? m ?m
2

(3)由

a n ? 2n




?3 ? m ?
2

bn ? 3n ? 4



Bm ? ?m ?

m ( m ? 1) 2

m

????14 分



a n B m ? b n Am

,则
3 2 m ?
2

a n B m ? bn Am ? 2 n (
? m ?1

5 2

m ) ? ( 3 n ? 4 )( m ? m )
2

? 4m (m ? 1 ? 2n)

∴ m ? 2n ? 1

a B ? b n Am ∴对任意自然数 n ,当 m ? 2 n ? 1 时,总有 n m 成立。????16 分
46

22.(上海市松江区 2013 年 4 月高考模拟文科)(本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分, 第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知在数列

? a n ? 中 a1 ? 1, a 2

?2

, 数列

? a n ? 的奇数项依次组成公差为 1 的等差数列,偶数项
bn ? a 2 n ?1 a2n

依次组成公比为 2 的等比数列,数列 (1)写出数列 (2)求
Sn

? b n ? 满足

,数列

? b n ? 的前 n 项和为 S n ,

? a n ? 的通项公式;


2 ? Sn ? 1 n .

(3)证明:当 n ? 6 时,
?n ?1 , ? an ? ? 2 n ? 2 ? 2 ,
a 2 n ?1 a2n ? n 2
n

n为 奇 数 n为 偶 数

解: (1)

;即

?n ?1 , ? an ? ? 2 n ? 2 ? 2 ,

n ? 2 k ? 1( k ? N ) n ? 2k (k ? N )
?

?

;???4 分

bn ?

(2)
Sn ? 1 2 ? 2 4

,???????????????????????? 5 分
n 2 ,
n

?

3 8

?? ?

1

1 2 3 n ?1 n S n ?? ? ? ?? ? ? n ?1 n 2 4 8 16 2 2 ,??????????????7 分 1 Sn ? 1 1 1 1 1 n 1 n n ?? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? [1 ? ( ) ] ? n ?1 2 4 8 16 2 2 2 2 ,

两式相减,得 2

1 n S n ? 2 ? ( n ? 2)( ) 2 ;????????????????????10 分 所以, 1 n 1 2 n 2 ? S n ? ( n ? 2)( ) ? ? n ? 2 n ? 2 2 n (3) ,????????????? 12 分
2 ? (1 ? 1) ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n 当 n ? 6 时,
n n 0 1 2 n?2

? Cn

n ?1

? Cn

n

47

? 2 ? 2 n ? n ( n ? 1) ?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

? 2 ? 2n ? n ? n ? n ? n ? 2n
2 2



???????15 分
2 ? Sn ? 1 n .?????????????????16 分

所以,当 n ? 6 时,

(用数学归纳法证明,同样给分) 23. (上海市徐汇区 2013 年 4 月高三第二次模拟理科) (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分, 第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设数列

? a n ? ? n ? 1, 2, ? ? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ? a n ? 中任意(不同)两项之和仍

是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. (1)若 (2)设
a1 ? 4, d ? 2 Sn

,判断该数列是否为“封闭数列” ,并说明理由?
? 1, a1 ? 0

是数列

? a n ? 的前 n 项和,若公差 d

,试问:是否存在这样的“封闭数

? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? Sn ? 9 ?a ? ? S1 S 2 列” ,使 ;若存在,求 n 的通项公式,若不存在,说明理由;

(3)试问:数列 23. (1)数列 分

? a n ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.
? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 2

a ? a n ? 是“封闭数列” ,因为: n

,---------------1

对任意的 m , n ? N ,有
a m ? a n ? ? 2 m ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? 2 ? m ? n ? 1? ? 2

?



---------------------------------------------3 分
? m ? n ? 1? N
?









p ? m ? n ?1







a p ? 2 p ? 2 ? ?an ?

-------------------------4 分

(2)解:由

? ? ? a n ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m , n ? N ,必存在 p ? N 使

48

a1 ? ? n ? 1 ? ? a 1 ? ? m ? 1 ? ? a 1 ? ? p ? 1 ?







----------------------------------------------------5 分 于 是 有
a1 ? p ? m ? n ? 1

为 整 数 , 又

? a1 ? 0

? a1

是 正 整 数 。

-------------------------------6 分
Sn ? n ( n ? 1) 2



a1 ? 1









? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ??2? n? ? Sn ? 9 ? S1 S 2



-----------------------7 分
Sn ? n(n ? 2 3 )



a1 ? 2











? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? Sn ? 9 ? S1 S 2



------------------------8 分
Sn ? n (2 a1 ? n ? 1) 2 ? n ? n ? 3? 2


1 Sn

a1 ? 3

,则
2

,于是
? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? Sn ? 9 ? S1 S 2

?

n ( n ? 3)









------------------------------------------9 分 综上所述, 分 (3)结论:数列 分 证明: (必要性)任取等差数列的两项
a s , at ? s ? t ?
a1 ? 2,? a n ? n ? 1 ? n ? N
?

? ,显然,该数列是“封闭数列” ---------------- 10 。

? a n ? 为“封闭数列”的充要条件是存在整数 m ? ? 1 ,使 a1 ? m d .----12

,若存在

ak

使

a s ? at ? a k

,则

2 a1 ? ? s ? t ? 2 ? d ? a 1 ? ? k ? 1 ? d ? a 1 ? ? k ? s ? t ? 1 ? d







m ? k ? s ? t ? 1? Z



使

a1 ?

m



d

---------------------------------------------------------14 分 下面证明 m ? ? 1 。当 d ? 0 时,显然成立。

49

a ? a p ? aq a ,a a 对 d ? 0 ,若 m ? ? 1 ,则取 p ? ? m ? 2 ,对不同的两项 1 p ,存在 q 使 1 ,

即 故

2 m d ? ? ? m ? 1 ? d ? m d ? ? q ? 1 ? d ? qd ? 0

,这与 q ? 0, d ? 0 矛盾, , 使
a1 ? m









m ? ?1



d

--------------------------------------------------------------------16 分
a ,a ?s ? t? a ? md (充分性)若存在整数 m ? ? 1 使 1 ,则任取等差数列的两项 s t ,于是 a s ? a t ? a1 ? ? s ? 1 ? d ? m d ? ? t ? 1 ? d ? a 1 ? ? s ? m ? t ? 2 ? d ? a s ? m ? t ? 1

3 ? 由 于 s? t? , m? 1

? s

? t

? a s ? m ? t ?1 ? ? a n ? ? m 为1 正 ?整 数 ,

证 毕 .--

--------------------18 分 23. (上海市徐汇区 2013 年 4 月高三第二次模拟文科) (本题满分 18 分;第(1)小题 5 分, 第(2)小题 5 分,第(3)小题 8 分) 设数列

? a n ? ? n ? 1, 2, ? ? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ? a n ? 中任意(不同)两项之和仍

是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. (1)若
a1 ? 4, d ? 2

,求证:该数列是“封闭数列” ;
?

(2)试判断数列 (3)设
Sn

an ? 2n ? 7 ? n ? N

? 是否是“封闭数列” ,为什么?
? 1, a1 ? 0

是数列

? a n ? 的前 n 项和,若公差 d

,试问:是否存在这样的“封闭数

? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? Sn ? 9 ?a ? ? S1 S 2 列” ,使 ;若存在,求 n 的通项公式,若不存在,说明理由.

23





1









a n ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 2



-------------------------------------------------1 分 对任意的 m , n ? N ,有
a m ? a n ? ? 2 m ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? 2 ? m ? n ? 1? ? 2
?



---------------------------------------------3 分
? m ? n ? 1? N
?








50

p ? m ? n ?1







a p ? 2 p ? 2 ? ?an ?

-------------------------5 分 )
? a1 ? ? 5, a 2 ? ? 3,? a1 ? a 2 ? ? 8



2



---------------------------------------------------------7 分
a n ? a1 ? a 2 ? ? 8 ? 2 n ? 7 ? ? 8 ? n ? ? 1 2 ?N
?





-----------------------------------------9 分 所 以 数 列
an ? 2n ? 7 ? n ? N
?

?















---------------------------------------------------10 分 (3)解:由
? ? ? a n ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m , n ? N ,必存在 p ? N 使

a1 ? ? n ? 1 ? ? a 1 ? ? m ? 1 ? ? a 1 ? ? p ? 1 ?







----------------------------------------------------11 分 于 是 有
a1 ? p ? m ? n ? 1

为 整 数 , 又

? a1 ? 0

? a1

是 正 整 数 。

-------------------------------13 分
Sn ? n ( n ? 1) 2



a1 ? 1









? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ??2? n? ? Sn ? 9 ? S1 S 2



-----------------------14 分
Sn ? n(n ? 2 3 )



a1 ? 2











? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? Sn ? 9 ? S1 S 2



------------------------16 分
Sn ? n (2 a1 ? n ? 1) 2 ? n ? n ? 3? 2


1 Sn

a1 ? 3

,则
2

,于是
? 1 1 1 ? 11 lim ? ? ?? ? ?? n? ? S1 S 2 Sn ? 9 ?

?

n ( n ? 3)









------------------------------------------17 分 综上所述,
a1 ? 2,? a n ? n ? 1 ? n ? N
?

? ,显然,该数列是“封闭数列” ---------------- 18 。
51

分 20. (上海市闸北区 2013 年 4 月高三第二次模拟理科) (满分 19 分)本题有 3 小题,第 1 小 题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 9 分.
{a } 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 n 满足下列条件:
a1 ? a
? a ? f ( a n ?1 ) f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? k ( a n ? a n ?1 ) , a 2 ? a1 ,当 n ? N 且 n ? 2 时, n 且 .

其中 a 、 k 均为非零常数. (1)若数列 (2)令
{a n }

是等差数列,求 k 的值;

bn ? a n ?1 ? a n ( n ? N ? ) {b } ,若 b1 ? 1 ,求数列 n 的通项公式; {a n }

(3)试研究数列

为等比数列的条件,并证明你的结论.

说明:对于第 3 小题,将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性,给予不同的评分。 20. (1)由已知
a n ? f ( a n ?1 )



f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) ? k ( a n ? a n ? 1 ) ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?) ,得

a n ?1 ? a n ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? k ( a n ? a n ?1 ) ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?)

由数列 所以,

{a n }

是等差数列,得

a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?)

a n ? a n ?1 ? k ( a n ? a n ? 1 )

, ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?) ,得 k ? 1 .?????????5 分

(2)由 b1 ? a 2 ? a1 ? 0 ,可得
b 2 ? a 3 ? a 2 ? f ( a 2 ) ? f ( a1 ) ? k ( a 2 ? a1 ) ? 0 . b ? a n ?1 ? a n ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? k ( a n ? a n ?1 ) ? ? ? ? ? k 且当 n ? 2 时, n
n ?1

( a 2 ? a1 ) ? 0

所以,当 n ? 2 时,
bn bn ?1 ? a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) a n ? a n ?1 ? k ( a n ? a n ?1 ) a n ? a n ?1 ? k

,?????????4 分

因此,数列

{b n }

是一个公比为 k 的等比数列.????????????????1 分

{a } (3)解答一:写出必要条件,如,由(1)知,当 k ? 1 时,数列 n 是等差数列,
52

{a } 所以 k ? 1 是数列 n 为等比数列的必要条件. ????????????3 分

解答二:写出充分条件,如 f ( x ) ? 2 x 或 f ( x ) ? ? 2 x 等,并证明 ?????? 5 分 解答三:
{a n }

是等比数列的充要条件是 f ( x ) ? kx ( k ? 1) ????????2 分

充分性证明:
a ? f ( a n ? 1 ) ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?) 若 f ( x ) ? kx ( k ? 1) ,则由已知 a1 ? a ? 0 , n 得 a n ? ka n ?1 ( n ? 2 ,3, 4 ,? ? ?)

所以,

{a n }

是等比数列.???????????????????????2 分
{a n }

必要性证明:若

是等比数列,由(2)知,

bn ? k

n ?1

( a 2 ? a1 ) ( n ? N ? )

b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 1 ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? ? ? ? ? ( a n ? a n ? 1 ) ? a n ? a1 ( n ? 2 ) , a n ? a1 ? ( b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 1 )

. ????????????????1 分

a ? a1 ? ( a 2 ? a1 )( n ? 1) ( n ? 2 ) 当 k ? 1 时, n . {a } 上式对 n ? 1 也成立,所以,数列 n 的通项公式为: a n ? a ? ( f ( a ) ? a )( n ? 1) ( n ? N ? ) . {a } 所以,当 k ? 1 时,数列 n 是以 a 为首项, f ( a ) ? a 为公差的等差数列.

所以, k ? 1 .??????????????????????????1 分
a n ? a1 ? ( a 2 ? a1 ) 1? k
n ?1

当 k ? 1 时,

1? k

(n ? 2) .

上式对 n ? 1 也成立,所以,
an ? a ? ( f (a ) ? a ) 1? k
n ?1

1? k

?a?

f (a ) ? a 1? k

?

( f (a ) ? a )k 1? k

n ?1

????????1 分

a?

f (a ) ? a 1? k

?0

所以,

? f ( a ) ? ka .

????????????????1 分
53

即,等式 f ( a ) ? ka 对于任意实数 a 均成立. 所以, f ( x ) ? kx ( k ? 1) .???????????????????????1 分 23. (2013 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟) (本题满分 18 分)本题 共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 定义:如果数列

? a n ? 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 ? a n ? 为“三角形”

数列.对于“三角形”数列

? a n ? ,如果函数 y ?

f ( x ) 使得 bn ? f ( a n ) 仍为一个“三角形”

?a ? 数列,则称 y ? f ( x ) 是数列 n 的“保三角形函数” (n ? N*) . ,
(1)已知

? a n ? 是首项为

?a ? 2,公差为 1 的等差数列,若 f ( x ) ? k , ( k ? 1) 是数列 n 的“保
x

三角形函数” ,求 k 的取值范围; (2)已知数列 证明

?c n ? 的首项为 2013, S n 是数列 ?c n ? 的前 n 项和,且满足 4 S n ?1 ? 3 S n

? 8040



?c n ? 是“三角形”数列;

?c ? ?c ? (3) [文科] 若 g ( x ) ? lg x 是(2)中数列 n 的“保三角形函数” ,问数列 n 最多有多少项.
1 [理科] 根据 “保三角形函数” 的定义, 对函数 h ( x ) ? ? x ? 2 x ,x ? [1, A ] , 和数列 1, ? d ,
2

1 ? 2 d , d ? 0 )提出一个正确的命题,并说明理由. (

23. (1)显然 即

an ? n ? 1



a n ? a n ?1 ? a n ? 2

对任意正整数都成立, ?? 2 分

? a n ? 是三角形数列.
f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) ? ? ? ?
1? 2 5

因 为 k>1 , 显 然 有

,由

f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 )



k ?k
n

n ?1

?k

n?2

k ?

,解得
5 2

.

k ? (1,

1?

)

所以当 (2) 由

?a ? 时, f ( x ) ? k 是数列 n 的“保三角形函数”. ?? 5 分
x

4 S n ?1 ? 3 S n ? 8040



4 S n ? 3 S n ?1 ? 8040
54

,两式相减得

4 c n ?1 ? 3 c n ? 0

?3? c n ? 2010 ? ? ?4? 所以,

n ?1


4 S n ?1 ? 3 S n ? 8040
n

经检验,此通项公式满足

??7 分
n ?1

显然 所以

c n ? c n ?1 ? c n ? 2

c n ?1 ? c n ? 2

,因为

?3? ?3? ? 2010 ? ? ? 2010 ? ? ?4? ?4?

?3? ? ? 2010 ? ? 16 ?4? 21

n ?1

? cn



?cn ?

是“三角形”数列.
g (c n )
3 4 4 3 ,解得 n ? 26.4 ,

?? 10 分
lg c n ?1 ? lg c n ? lg c n ? 2
3 4 ??14 分

(3) [文科] 因为
lg 2010 ? ( n ? 2) lg

是单调递减函数,所以,由
3 4



? lg 2010 ? ( n ? 1) lg

? lg 2010 ? ( n ? 3) lg

lg 2010 ? n lg

化简得 即数列

? b n ? 最多有 26 项.
2

??18 分

(3) [理科]

探究过程: 函数 h ( x ) ? ? x ? 2 x ,x ? [1, A ] 是数列 1, 1+d, 1+2d ( d ? 0) 的

“保三角形函数” ,必须满足三个条件: ①1,1+d,1+2d ( d ? 0) 是三角形数列,所以 1 ? 1 ? d ? 1 ? 2 d ,即 0 ? d ? 1 . ②数列中的各项必须在定义域内,即 1 ? 2 d ? A . ③ h (1), h (1 ? d ), h (1 ? 2 d ) 是三角形数列. 由于 h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是单调递减函数,所以 h (1 ? d ) ? h (1 ? 2d ) ? h (1),解得
2

0? d ?

5 5 .

评分建议 原则:从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次.对于非完备性 的探索包括指向有误的探索,应坚持完成评卷. 1.没有写出命题,但有比较完整的探究过程,得分最高不超过 4 分.
55

2.写出“ h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的‘保三角形函数’ 的 ”
2

必要条件之一或者充分条件之一(当??时, h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是数列 1,1+d,
2

1+2d ( d ? 0) 的‘保三角形函数’,并能适当说明理由,得分最高不超过 6 分. ) 3.能正确指出“当??时, h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 不是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的
2

‘保三角形函数’,并能适当说明理由,得分最高不超过 4 分. ” 4.考生解答出现上述 2、3 两条交叉情况的,以较高的得分赋分. 第一层次
2

??????命题 4 分,证明 4 分.

示例 1: h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的“保三角形函数”的充
1 ? 2 d ? A, 0 ? d ? 5 5 .

要条件是

?1 ? 1 ? d ? 1 ? 2 d 5 ? d ? h (1 ? d ) ? h (1 ? 2 d ) ? 1 5 , 证明:必要性:因为当 x=1 时,h(x)的最大值为 1,则由 ? 得

且1 ? 2 d ? A .
1 ? 2 d ? A, 0 ? d ? 5 5 时, h (1) ? 1, h (1 ? d ) ? 1 ? d , h (1 ? 2 d ) ? 1 ? 4 d ,
2 2 2 2

充分性:当

有 h (1) ? h (1 ? d ) ? h (1 ? 2 d ) ? 0 ,且 h (1 ? d ) ? h (1 ? 2 d ) ? (1 ? d ) ? (1 ? 4 d ) ? 1 ? h (1) , 故函数 h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的“保三角形函数” .
2

1 ? 2 d ? A, 0 ? d ?

5 5 .

综上,充要条件是 第二层次
2

????? 命题 3 分,证明 3 分.

示例 2: h ( x ) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A ] 是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的“保三角形函数”的必
0? d ? 5 5 .

要条件是

解:在 1 ? 2 d ? A 条件下,
56

?1 ? 1 ? d ? 1 ? 2 d 5 ? d ? h (1 ? d ) ? h (1 ? 2 d ) ? 1 5 . 因为当 x=1 时,h(x)的最大值为 1,则由 ? 得

第三层次

????? 命题 2 分,证明 2 分.

示例 3:当 1 ? 2d ? A 时,显然 y ? h ( x ) 不是数列 1,1+d,1+2d ( d ? 0) 的“保三角形函数”. 因为,此时 h (1 ? 2 d ) 不存在. 20、 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? 且 S n ? f (an ) , (n ? N ) . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)是否存在等比数列 ? b n ? ,使得 a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2
n ?1

1 4

x ?
2

1 2

x?

3 4

, 对于正数数列 ? a n ? , 其前 n 项和为 S n ,

?

(2 n ? 1) ? 2 对一切正整数 n

都成立?若存在,请求出数列 ? b n ? 的通项公式;若不存在,请说明理由. 20.解: (1)由 f ( x ) ? 得 Sn ?
1 4 an ?
2

1 4

x ?
2

1 2

x?

3 4

, S n ? f (an ) , (n ? N )
?

?

1 2

an ? 1 2

3 4 3 4 1 4

(n ? N )

① ②

???2 分

S n ?1 ?

1 4

a n ?1 ?
2

a n ?1 ?


( a n ?1 ? a n ) ?
2 2

即 即 即
1 4

a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? ( a n ?1 ? a n ) ?
2 2

1 2

a n ?1 ?

1 2

an ,

???4 分

1 2

( a n ?1 ? a n ) ? 0 ,

( a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? a n ? 2) ? 0

∵ a n > 0 ,∴ a n ?1 ? a n ? 2 ,即数列 ? a n ? 是公差为 2 的等差数列,??7 分 由①得, S 1 ? a1 ?
1 4 a1 ?
2

1 2

a1 ?

3 4

,解得 a1 ? 3 , ???9 分

因此 ,数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 . (2)假设存在等比数列 ? b n ? ,使得对一切正整数 n 都有
a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2
n ?1

(2 n ? 1) ? 2
57



当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n ?1b n ?1 ? 2 (2 n ? 3) ? 2
n



③-④,得

a n b n ? 2 ( 2 ? 1, n )
n
n

由 a n ? 2 n ? 1 得, b n ? 2
1

??????13 分

又 a1b1 ? 6 ? 2 (2 ? 1 ? 1) 满足条件, 因此, 存在等比数列 ? 2 n ? , 使得 a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 2 都成立.
n ?1

(2 n ? 1) ? 2 对一切正整数 n

???????14 分

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? log 3 ( ax ? b ) 的图象经过点 A ( 2 ,1) 和 B ( 5 , 2 ) ,记 a n ? 3 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ?
an 2
n
f (n)

,n? N .
*

, T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ,若 T n ? m ( m ? Z ) ,求 m 的最小值;
1 a1 )( 1 ? 1 a2 ) ? (1 ? 1 an ) ? p 2 n ? 1 对一切 n ? N * 均成立的最大实数

(3)求使不等式 (1 ?
p.

? log 3 ( 2 a ? b ) ? 1 ?a ? 2 21、解: (1)由题意得 ? ,解得 ? ,??????2 分 ?b ? ? 1 ? log 3 ( 5 a ? b ) ? 2
? f ( x ) ? l o g3 ( 2 x ? 1)
an ? 3
l o 3 ( 2 n ?1 ) g

? 2 n ? 1, n ? N

*

??????4 分
2n ? 3
n ?1

(2)由(1)得 b n ?

2n ? 1 2
n

2 2 2 2 2 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 ② ①-②得 Tn ? ? 3 ?? ? ? ? 2 n ?1 n n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 T n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ) ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ,??????6 分 ? ? n ?1 ? n ? 1 . ? T n ? 3 ? n ? 2 ? ? 3? n n 2 2 2 2 2 2

, ? Tn ?

1
1

?

3
2

?

5
3

?? ?

?

2n ? 1
n



58

2n ? 5

设 f (n) ?

2n ? 3 2
n

, n ? N ,则由
*

f ( n ? 1) f (n)

?

n ?1 2n ? 5 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ?1 2n ? 3 2 ( 2 n ? 3) 2 2 n ? 3 2 5

2

n

得 f (n) ?

2n ? 3 2
n

, n ? N 随 n 的增大而减小
*

? 当 n ? ?? 时, T n ? 3 又 T n ? m ( m ? Z ) 恒成立,? m min ? 3 ??????9 分

(3)由题意得 p ?

1 2n ? 1 1 )( 1 ? 1

(1 ?

1 a1

)( 1 ?

1 a2

) ? (1 ?

1 an

) 对 n ? N 恒成立
*

记 F (n) ?

1 2n ? 1

(1 ?

) ? (1 ?

1 an

) ,则

a1

a2

1 F ( n ? 1) F (n) ? 2n ? 3

(1 ? 1

1 a1

)( 1 ? 1 a1

1 a2

) ? (1 ? 1 a2

1 an

)( 1 ? 1 an )

1 a n ?1

) ?

2n ? 2 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

?

2 ( n ? 1) 4 ( n ? 1) ? 1
2

2n ? 1
? 2 ( n ? 1) 2 ( n ? 1)

(1 ?

)( 1 ?

) ? (1 ?

? 1 ??????12 分

? F ( n ) ? 0 ,? F ( n ? 1) ? F ( n ), 即 F ( n ) 是随 n 的增大而增大

F (n ) 的最小值为 F (1) ?

2 3

3 ,? p ?

2 3

3 ,即 p max ?

2 3

3 . ??????14 分

21. (本小题满分 14 分) 把自数按下表排列: (Ⅰ)求 200 在表中的位置(在第几行第几列) ; (Ⅱ)试求自上至下的第 m 行,自左至右的第 n 列上的数; (Ⅲ)求主对角线上的数列:1、3、7、13、21、??的通项公式和前 n 项和的求和公式. 21. (本小题满分 14 分)

59

解:把表中的各数按下列方式分组: (1)(2,3,4)(5,6,7,8,9) , , ,??, ( Ⅰ ) 由 于 第 n 组 含 有 2n - 1 个 数 , 所 以 第 n 组 的 最 后 一 个 数 是 1+3+5+ ? ? ( 2 n ? 1) ? n 2 因为不等式 n 2 ? 200 的最小整数解为 n=15, 这就是说, 在第 15 组中, 200 由于 142=196, 所以第 15 组中的第一个数是 197, 这样 200 就是第 15 组中的第 4 个数. 所以 200 在表 中自上至下的第 4 行,自左至右的第 15 列上; ????4 分

(Ⅱ)如果 m ? n ,则第 m 行上的数自左至右排成的数列是以-1 为公差的等差数列; 这个数列的首项是第 m 行的第 1 个数, 即分组数列的第 m 组最后一个数为是 1+3+5+? +(2m-1)=m2,则自上至下的第 m 行,自左至右的第 n 列上的数为 m2+ ( n ? 1)( ? 1)
? m ? n ? 1 ;??????7 分
2

如果 m<n, 则第 n 列上的数自上向下排成的数列是以 1 为公差的等差数列; 这个数列的 首项是第 n 列的第 1 个数,即分组数列的第 n 组的第一个数为{1+3+5+?+[2(n-1)- 1]}=(n-1)2+1,则自上至下的第 m 行,自左至右的第 n 列上的数为
( n ? 1) ? 1 ? ( m ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? m
2 2

????10 分

(Ⅲ)设表中主对角线上的数列为{an},即 1,3,7,13,21,??,则 易知 a n ?1 ? a n ? 2 n ,即 a n ?1 ? a n ? 2 n ∴ a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1
? [ 2 ( n ? 1) ? 2 ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1] ? 1
? 2? n ( n ? 1) 2 ?1 ? n ? n ?1
2

????12 分

∴ S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n

60

? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n
2 2 2 2

?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6

?

n ( n ? 1) 2

?n

?

1 3

n ?
3

2 3

n

??????14 分

20. (14 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a 1 ? 2 , 4 S n ? a n a n ?1 (1)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)求 a n ;
2 2 2 (3)若 ( C n a 1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n ) b n ? 2 , 求证: b1 ? b 2 ? ? b 2 ?
1 2 n n

7 4

?

1 n

.

20.解: (1) a 2 ? 4 , a 3 ? 6 , a 4 ? 8 (2)由已知:当 n>1 时, a n ?1 ? a n ?1 ? 4 , 当 n 为偶数时, a n ? a 2 ? ( 0 . 5 ? n ? 1) ? 4 ? 2 n , 当 n 为奇数时, a n ? a 1 ? [ 0 . 5 ? ( n ? 1) ? 1] ? 4 ? 2 n , (此处等价于证出数列为等差) 故 a n ? 2 n 对任意正整数 n 都成立,即 a n ? 2 n (3) ? C n a k ? 2 C n k ? 2 nC n ?1 ,? 2 n 2
k k k ?1 n ?1

3分 5分 6分 7分

8分
1 n

b n ? 2 ,? b n ?
n

11 分

所以 b1 ? b 2 ? ? ? b n ?
2 2 2

1 1

?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

?1? ?1?

1 2 1 4
2

?

1 3
2

?? ? ?? ?

1 n
2

?

1 2?3

1 ( n ? 1) n

61

?1? ? 7 4 ?

1 4 1 n

? .

1 2

?

1 3

?? ?

1 n ?1

?

1 n

14 分

18. (本小题满分 14 分)已知数列 { 2 (1) 求数列{ a n }的通项公式; (2)设 bn ? n ? (3 ? log 2
0

n ?1

? a n } 的前 n 项和 S n ? 9 ? 6 n .

an 3

) ,求数列{

1 bn

}的前 n 项和. ??????2 分
?3 2
n?2

18.解:(1) n ? 1 时, 2 ? a1 ? S 1 ? 3,? a1 ? 3 ;

当 n ? 2时 , 2 n ?1 ? a n ? S n ? S n ?1 ? ? 6,? a n ?
? 3 ? ? 通 项 公 式 an ? ? 3 ? ? n?2 ? 2
1 bn

. ??????4 分

n? (

1 )

(n ? 2 )

??????6 分

(2) 设{

}的前 n 项和为 T n ,当 n ? 1 时,
1 b1 ? 1 3

b1 ? 3 ? log 2 1 ? 3,? T1 ?

;??????8 分
1 bn

n ? 2 时, bn ? n ? (3 ? log 2

3 3?2
1 bn
n?2

) ? n ? ( n ? 1) ,?

?

1 n ( n ? 1) 1 n ( n ? 1)

??????10 分

? Tn ?

1 b1

?

1 b2

?? ?

?

1 3

?

1 2?3

?

1 3? 4

?? ?



5 6

?

1 n ?1

? Tn ?

5 6

?

1 n ?1

??????14 分
a a ?1 ( a n ? 1) (a 为常数,

20.(本小题满分 14 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 且 a ? 0, a ? 1 ) (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; . (Ⅱ)设 b n ?
2Sn an ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值;

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 c n ?

1 1 ? an
62

?

1 1 ? a n ?1

,数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn .

求证: Tn ? 2 n ?

1 3



20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? S 1 ?
a a-1 ( a1 ? 1), a a ?1

∴ a1 ? a ,
an ? a a ?1 a n ?1 ,
n ?1

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?
an a n ?1

? a ,即 { a n } 是等比数列. ∴ a n ? a ? a

?a ;
n

????????4 分

2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, b n ?

( a ? 1) n (3 a ? 1) a ? 2 a a ?1 ?1? ,若 {bn } 为等比数列, n n a a ( a ? 1)
n

a

则有 b 2 2 ? b1 b3 , 而 b1 ? 3, b 2 ? 故(
3a ? 2 a ) ? 3?
2

3a ? 2 a

, b3 ?

3a ? 2 a ? 2
2

a

2

,

3a ? 2 a ? 2
2

a

2

,解得 a ?

1 3



????????????7 分

再将 a ? 所以 a ?

1 3 1 3

代入得 b n ? 3 n 成立, . ????????????????????????8 分
1
1 1 n 1? ( ) 3
1 3
n ?1

(III)证明:由(Ⅱ)知 a n ? ( ) n ,所以 c n ?
3
3 ?1?1
n n ?1

?

1 1 n ?1 1? ( ) 3

?

3
n

n

3 ?1

? 3

3

n ?1

n ?1

?1

?

3 ?1
n

?

3

?1?1 ?1

3

n ?1

?1?

1 3 ?1
n

?1?

?1

?2?(

1 3 ?1
n

? 3
n

1
n ?1

?1 1

), ? 3 3 3
n ?1

??????????????????? 9 分
1
n ?1



1 3 ?1
n

?

1 3

, 3
n

n ?1

?1 ?



1 3 ?1
n

? 3
n

1
n ?1

?1

?

1 3
n

? 3

1
n ?1

,

所以 c n ? 2 ? (

1 3 +1

?1

)?2?( 1

1 3 1

? 3

1
n ?1

), 1 3
2

???????? 12 分
? 1 3
3

从而 Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [2 ? ( ?
3 ? 2 n ? [( ? 2n ? ( 1 3 1 3 ? 3 ? 1 3
2

3 1
n

2

)] ? [2 ? ( 1 3
n ?1

)] ? ? [2 ? (

1 3
n

? 3

1
n ?1

)]

)?(

1 3
2

?

1 3 1 3
3

)?? ? (

?

)]

3

1
n ?1

) ? 2n ?

. ??????????14 分
63

即 Tn ? 2 n ?

1 3



20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 y ? f ( x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为
f ( x ) ? 6 x ? 2,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的
'
?

图像上。 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ?
3 a n a n ?1

,T n 是数列 {b n } 的前 n 项和,求使得 T n ?

m 20

对所有 n ? N ? 都成立

的最小正整数 m; 20. 解: (1)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
?

(2 分)

又因为点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图像上,所以 S n =3n2-2n. (3 分) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ?( n ? 1) 2 ? 2 ( n ? 1) ? =6n-5. (5 分) 3 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5, 所以,an=6n-5 ( n ? N ? ) (2)由(Ⅰ)得知 b n ?
3 a n a n ?1

(6 分)

(7 分) =
3 ( 6 n ? 5 ) ?6 ( n ? 1) ? 5 ?



1

2 6n ? 5

(

1

?

1 6n ? 1

(9 ) , 分)

故 Tn= ? b i =
i ?1

n

1 1 1 1 1 1 ? ? ? (1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6 n ? 5 ? 6 n ? 1 ) ? 2 ? ?



1 2

(1-

1 6n ? 1 1 2

).(12 分)
1 6n ? 1

因此,要使

(1-

)<

m 20

( n ? N )成立的 m,必须且仅须满足 (14 分)

?

1 2



m 20



即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

19. (本小题满分 12 分)已知二次函数 y ? f ( x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为
f ( x ) ? 6 x ? 2,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的
'
?

64

图像上。 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
3 a n a n ?1

, T n 是数列 {b n } 的前 n 项和,求使得 T n ?

m 20

对所有 n ? N ? 都成

立的最小正整数 m; 解: (Ⅰ)设这二次函数为 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
?

(2 分)

又因为点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图像上,所以 S n =3n2-2n. (3 分) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ?( n ? 1) 2 ? 2 ( n ? 1) ? =6n-5. (4 分) 3 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5, (5 分) 所以,an=6n-5 ( n ? N ? ) (6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 b n ?
3 a n a n ?1



3 ( 6 n ? 5 ) ?6 ( n ? 1) ? 5 ?



1

2 6n ? 5

(

1

?

1 6n ? 1

(8 ) , 分)

故 Tn= ? b i =
i ?1

n

1 1 1 1 1 1 ? ? ? (1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6 n ? 5 ? 6 n ? 1 ) ? 2 ? ?



1 2

(1-

1 6n ? 1 1 2 1
2

).
1 6n ? 1

(10 分) )<
m 20

因此,要使

(1- ≤
m 20

( n ? N )成立的 m,

?

必须且仅须满足

,即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. (12 分)

21. (本小题满分 14 分) 数列 ? a n ? 满足 a1 ?
1 2 , a n ?1 ?
1 2 ? an



(Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,证明 S n ? n ? ln( 解:(Ⅰ)方法一: a n ?1 ? 1 ?
1 2 ? an ?1? an ? 1 2 ? an

n?2 2

).



65

所以

1 a n ?1 ? 1

?

2 ? an an ? 1

? ?1 ?

1 an ? 1



??3 分

所以 {

1 an ? 1
1

} 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列.

??4 分

所以

an ? 1

? ? n ? 1 ,所以 a n ?

n n ?1 4 5


n n ?1

??6 分

方法二: a 2 ?

2 3

, a3 ?

3 4

, a4 ?

,猜测 a n ?



??2 分

下用数学归纳法进行证明. ①当 n ? 1 时,由题目已知可知 a1 ?
1 2 k k ?1

,命题成立; ,那么

??3 分

②假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N )时成立,即 a k ? 当 n ? k ? 1 , a k ?1 ?
1 2 ? ak ? 2? 1 k k ?1 ?

k ?1 k ?2



也就是说,当 n ? k ? 1 时命题也成立. 综上所述,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? (Ⅱ) 设 F ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0) 则 F ?( x ) ?
1 x ?1 ?1 ? ?x x ?1 ? 0( x ? 0)
n n ?1

??5 分 . ??6 分

??8 分

函数 F ( x ) 为 (0, ?? ) 上的减函数,所以 F ( x ) ? F (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x ( x ? 0) 从而 ln(1 ?
an ? 1 ? 1 n ?1 1 n ?1 )? 1 n ?1 ,1 ? 1 n ?1 ? 1 ? ln(1 ? 1 n ?1 ),

??10 分 ??11 分 ??13 分 ??14 分

? 1 ? ln( n ? 2) ? ln( n ? 1),

S n ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ? ? ? [1 ? ln( n ? 2) ? ln( n ? 1)]
S n ? n ? ln( n?2 2 )

20. (本题满分 14 分) 设 函 数 f ? x ? 的 定义 域为 R ,当 x <0 时 f ? x ? > 1, 且对任 意 的实数 x , y∈R ,有
66

f ?x ? y? ? f ?x? f

? y?

(Ⅰ)求 f ? 0 ? ,判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)数列 ? a n ? 满足 a1 ? f ? 0 ? ,且 f ( a n ? 1 ) ? ①求 ? a n ? 通项公式。 ②当 a ? 1 时,不等式
1 a n ?1 ? 1 a n?2 ? ... ? 1 a 2n ? 12 35 x ? log x ? 1) 对不小于 2 的
1 f (?2 ? a n ) (n ? N )
*

(log

a ?1

a

正整数恒成立,求 x 的取值范围。 .20. 解: (Ⅰ) x , y ? R , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), x ? 0 时,f(x)>1 令 x=-1,y=0 则 f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1 ∴f(0)=1???????????2′ 若 x>0,则 f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故 f ( x ) ? 故 x∈R
1 f (? x) ? ( 0 ,1)

f(x)>0???????????????????4 分
f ( x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) f ( x 2 ? x1 )

任取 x1<x2

? x 2 ? x1 ? 0 ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 )

故 f(x)在 R 上减函数………………………………………..6 分 (Ⅱ)① a 1 ? f ( 0 ) ? 1, f ( a n ? 1 ) ?
1 f (?2 ? a n ) ? f (2 ? a n )

由 f(x)单调性

??????????????????????????????8 分 an+1=an+2 故{an}等差数列 ② bn ?
1 a n ?1 1 a 2 n ?1 ? 1 a n?2 ? 1 a 2n?2 ? ... ? 1 a 2n ?

? a n ? 2 n ? 1 ???????????9 分
, 则 b n ?1 ? 1 a n?2 ? 1 4n ? 3 ? 1 a n?3 ? 1 2n ? 1 ? ... ? 1 a 2n?2

b n ?1 ? b n ?

1 a n ?1

?

1 4n ? 1
67

?

1 ( 4 n ? 1)( 4 n ? 3 )( 2 n ? 1)

? 0 , {b n } 是递增数列

???????????????????????????11 分 当 n≥2 时, ( b n ) min ? b 2 ?
12 35 12 35
a ?1

1 a3

?

1 a4

?

1 5

?

1 7

?

12 35

?

?

(log

a ?1

x ? log

a

x ? 1) ???????????12 分

即 log

x ? log

a

x ? 1 ? 1 ? log

a ?1

x ? log

a

x

而 a>1,∴x>1 故 x 的取值范围(1,+∞)???????????14 分

20. (本小题满分 14 分) 观察下列三角形数表 1 2 3 4 5 ? ? ? 7 4 7 2 3 4 5 ? ? ?
?

-----------第一行 -----------第二行 -----------第三行 -----------第四行

11 14 11 ? ? ?

假设第 n 行的第二个数为 a n ( n ? 2, n ? N ) , (Ⅰ)依次写出第六行的所有 6 个数字; (Ⅱ)归纳出 a n ?1与 a n 的关系式并求出 a n 的通项公式; (Ⅲ)设 a n bn ? 1, 求证: b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 解: (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; --------------2 分 (2)依题意 a n ? 1 ? a n ? n ( n ? 2 ) , a 2 ? 2 -------------------------------5 分 ------------------------7 分

a n ? a 2 ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 4 ? a 3 ) ? ...... ? ( a n ? a n ?1 )
68

? 2 ? 2 ? 3 ? ...... ? ( n ? 1) ? 2 ?

( n ? 2)( n ? 1) 2



所以 a n ?

1 2

n ?
2

1 2

n ? 1 (n ? 2) ; 2

-------------------------------------9 分
? 2 ? 2( 1 ? 1

(3)因为 a n bn ? 1, 所以 b n ?

) -------------11 分 n ?n?2 n ?n n ?1 n 1 1 1 1 1 1 1 b 2 ? b3 ? b 4 ? ...... ? b n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? 2 (1 ? ) ? 2 ---14 分 1 2 2 3 n ?1 n n
2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 , a 2 ? 3 ,其前 n 项和 S n 满足 . S n ? 1 ? S n ?1 ? 2 S n ? 1 ( n ? 2 , n ? N )
*

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 b n ? 4 ? ( ? 1)
n n ?1

? ? 2 ( ? 为非零整数, n ? N * ) ,试确定 ? 的值,使得对
an

任意 n ? N * ,都有 b n ?1 ? b n 成立.

69

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化的 数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力) 解: (1)由已知, ? S n ?1 ? S n ? ? ? S n ? S n ?1 ? ? 1 ( n ? 2 , n ? N * ) ???????2 分 , 即 a n ?1 ? a n ? 1 ( n ? 2 , n ? N * ) ,且 a 2 ? a1 ? 1 . ∴数列 ?a n ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ a n ? n ? 1 .?????????????????????????????4 分 (2)∵ a n ? n ? 1 ,∴ b n ? 4 ? ( ? 1)
n n ?1

? ?2

n ?1

,要使 b n ?1 ? b n 恒成立,

∴ bn ?1 ? bn ? 4
n

n ?1

? 4 ? ? ? 1? ? ? 2
n n n ?1

n?2

? ? ? 1?

n ?1

? ?2

n ?1

? 0 恒成立,

∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ? 1? ∴ ? ? 1?
n ?1

2

n ?1

? 0 恒成立,

? ?2

n ?1

恒成立.???????????????????????6 分

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2 n ?1 恒成立,????????????????7 分 当且仅当 n ? 1 时, 2
n ?1

有最小值为 1,

∴ ? ? 1 .??????????????????????????????9 分 (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ? 2 当且仅当 n ? 2 时, ? 2
n ?1

n ?1

恒成立,???????????????10 分

有最大值 ? 2 ,

∴ ? ? ? 2 .?????????????????????????????12 分 即 ? 2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ? 1 . 综上所述,存在 ? ? ? 1 ,使得对任意 n ? N * ,都有 bn ?1 ? bn .???????14 分

20. (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项为和 Sn,点 ( n ,
*

Sn n

) 在直线 y ?

1 2

x?

11 2

上.

数列{bn}满足 b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? b n ? 0 ( n ? N ), 且 b 3 ? 11 ,前 9 项和为 153. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;

70

(Ⅱ)设 c n ?

3 ( 2 a n ? 11 )( 2 b n ? 1)

,数列{cn}的前 n 和为 Tn,求使不等式 T n ?

k 57

对一

切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.
? a n ( n ?2 l ? l ? ) * 1 , N ? (Ⅲ) f ( n ) ? ? 设 , 问是否存在 m ? N * , 使得 f ( m ? 15 ) ? 5 f ( m ) * ? bn ( n ? 2 l , l ? N ) ?

成立? 若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 20、解: (Ⅰ)由题意,得
Sn n ? 1 2 n? 11 2 ,即 S n ? 1 2 n ?
2

11 2

n.

1 2 11 1 11 2 故当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( n ? n ) ? [ ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? n ? 5 . 2 2 2 2

当 n = 1 时, a 1 ? S 1 ? 6 ,而当 n = 1 时,n + 5 = 6, 所以, a n ? n ? 5 ( n ? N ). …………………………………………………… 2 分
*

又 b n ? 2 ? 2 b n ?1 ? b n ? 0 , 即 b n ? 2 ? b n ?1 ? b n ?1 ? b n ( n ? N ) ,
*

所以{bn}为等差数列,于是 而 b 3 ? 11 , 故 b 7 ? 23 , d ?

9 (b3 ? b 7 ) 2

? 153 .

23 ? 11 7?3

? 3.
*

因此, b n ? b 3 ? 3 ( n ? 3 ) ? 3 n ? 2 , 即 b n ? 3 n ? 2 ( n ? N ). ………………4 分 (Ⅱ) c n ?
3 ( 2 a n ? 11 )( 2 b n ? 1) ? 3 [ 2 ( n ? 5 ) ? 11 ][ 2 ( 3 n ? 2 ) ? 1]

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

). …………………………6 分

所以, n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? T
? 1 2 (1 ? 1 2n ? 1
?

1

[(1 ?

1 3

)?(

1 3

?

1 5

)?(

1 5

?

1 7

)?? ? (

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)]

)?

2 n

2n ? 1
n ?

. …………………………………………7 分
1

由于 T n ?1 ? T n ?

n ?1 2n ? 3

2n ? 1

( 2 n ? 3 )( 2 n ? 1)

? 0,

因此 Tn 单调递增,故 (T n ) min ?

1 3

. ………………………………………………8 分

71



1 3

?

k 57

, 得 k ? 19 , 所以 K max ? 18 . …………………………………………9 分

* ? ? n ? 5 ( n ? 2 l ? 1, l ? N ), (Ⅲ) f ( n ) ? ? ? 3 n ? 2 ( n ? 2 l , l ? N * ). ?

①当 m 为奇数时,m + 15 为偶数. 此时 f ( m ? 15 ) ? 3( m ? 15 ) ? 2 ? 3 m ? 47 ,5 f ( m ) ? 5 ( m ? 5 ) ? 5 m ? 25 , 所以 3 m ? 47 ? 5 m ? 25 , m ? 11 . ………………………………………………11 分 ②当 m 为偶数时,m + 15 为奇数. 此时 f ( m ? 15 ) ? m ? 15 ? 5 ? m ? 20 ,5 f ( m ) ? 5 ( 3 m ? 2 ) ? 15 m ? 10 , 所以 m ? 20 ? 15 m ? 10 , m ?
5 7 ? N (舍去). ……………………………………13 分
*

综上,存在唯一正整数 m =11,使得 f ( m ? 15 ) ? 5 f ( m ) 成立. ……………………14 分 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 满足
1 an ? a n ? 2 n ,且 a n ? 0 。

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 证明 ? a i ?
i ?1 n

n;

(3)数列 { a n } 是否存在最大项?若存在最大项,求出该项和相应的项数;若不存在, 说明理由。 20.解: (1)由
1 an ? a n ? 2 n 得 a n ? 2 n a n ? 1 ? 0 ----------------------------------------1 分
2

由一元二次方程求根公式得
an ? ?2 n ? 2 4n ? 4 ?? n ? n ?1

---------------------------3 分

∵ an ? 0 ∴ an ? (2) ∵ a n ?
n ?1 ? n ?1 ? n ---------------------------------------------4 分 n

72



?a
i ?1

n

i

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ?

2) ?? ? ( n ?1 ?

n)

= n ? 1 ? 1 ------------------------------------------------------------6 分 ∵ n ?1 ?1?
n ? 1 n ?1 ? n ?1 ? 0

∴ ? ai ?
i ?1

n

n ------------------------------------------------------------------------8 分

(其它证法请参照给分) (3)解法 1:∵
an ?
a n ?1 an ? ( n?2? ( n?2? ?

n ?1 ?
n?2? n ?1 ?

n
n ?1 n n ? 1)( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n) n)



n ? 1)( n ? 2 ? n ? 1)( n ? 1 ?

?

n ?1 ? n?2?

n n ?1

=-------------------------------------------------10 分

∵ n ? N ? ,∴ n ? 1 ? ∴
a n ?1 an ? 1 ,∵ a n ? 0

n ?

n?2?

n ?1

∴ a n ? 1 ? a n , n ? N 即 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ∴数列 { a n } 有最大项,最大项为第一项 a1 ? 〔解法 2:由 a n ?
n ?1 ? 2 ? 1 。---------- -14 分
x ?1 ? x

?

n 知数列 { a n } 各项满足函数 f ( x ) ?
1 ? 1 2 x ? 1 2 x
x ?1 ?

∵ f '( x ) ?

2 x ?1 1

当 x ? 0 时,

2 x ?1

∴当 x ? 0 时 f '( x ) ? 0 ,即函数 f ( x ) ? 即有 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ?

x 在 (0, ?? ) 上为减函数

73

∴数列 { a n } 有最大项,最大项为第一项 a1 ? 19. (本小题满分 14 分)

2 ? 1 。]

数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 S n ? 1 ? n ? 1 ? (I)求{an}的通项公式; (II)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 等比数列,求 Tn 19. (I)由 a n ? 1 分 两式相减得 a n ? 1 ? a n
? 2 a n , a n ?1 ? 3 a n ? n ? 2 ?
? 2Sn ? 1 ? 15

,又 a1 ? b1 , a2 ? b , a ? 3b 成 2 3

可得 a n

? 2 S n ?1 ? 1 ? n ? 2 ?



??????1

??????3

分 又 a2 ∴ an
? 2 S1 ? 1 ? 3

∴ a2

? 3 a1 ,故{an}是首项为

1,公比为 3 得等比数列

??4 分

?3

n ?1

. 6分

?????????????????????

(II)设{bn}的公差为 d,由 T3 8分 故可设 b1 又 a1
? 5 ? d , b3 ? 5 ? d

? 15

得,可得 b1 ? b2

? b3 ? 15

,可得 b2

?5



???

??????9 分

? 1, a 2 ? 3, a 3 ? 9 由题意可得
? 1? ? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ?
2

?5 ? d

解得 d 1 ? 2 , d 2 ? ? 10

????????????

11 分 ∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn
? 3n ? n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n ? 2n
2

??????????12 分

??????????????14 分

17. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) 是 一 次 函 数 , 且 f ( 8 )? 1 5 ,f ( 2 ) , f ( 5 )f,
a n ? f ( n ) ,( n ? N )
?

( 1成 ) 比 数 列 , 设 4等

(1)求 ? a i ;
i ?1

n

74

(2)设 b n ? 2 ,求数列 { a n bn } 的前 n 项和 S n 。
n

17.解: (1)设

( f ( x ) ? ax ? b , a ? 0 )由 f (8) ? 15, f (2), f (5), f (14) 成等比数列得

8 a ? b ? 15 ,----------------①,
2

f (5) ? f (2) ? f (14) 得
2

(5 a ? b ) ? (2 a ? b )(14 a ? b ) ? 3 a ? 6 ab ? 0
2

∵a ? 0

∴ a ? ? 2 b ---------------② ∴ f ( x ) ? 2 x ? 1 -----------------------------4 分

由①②得 a ? 2, b ? ? 1 ,

∴ a n ? 2 n ? 1 ,显然数列 { a n } 是首项 a1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列 ∴ ? a i = a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
i ?1 n n

n (1 ? 2 n ? 1) 2

? n ------------------------------------6 分
2

[或 ? a i ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? n ?
i ?1

2 n (1 ? n ) 2

?n?n ]
2

(2)∵ a n b n ? (2 n ? 1) ? 2

n

∴ S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn = 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2 n ? 1) ? 2 ------------8 分
2 3 n

2 S n = 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2 n ? 3) ? 2 ? (2 n ? 1) ? 2
2 3 4 n

n ?1

- S n = 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2 n ? 1) ? 2
2 3 n

n ?1

= 2 ? 2 ? (2
3

n ?1

? 1) ? (2 n ? 1) ? 2

n ?1

---10 分

∴ S n = (2 n ? 3) ? 2 20.(本题满分 14 分)

n ?1

? 6 。------------------------------------------12 分

已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1, a n ?1 a n ?1 ? a n a n ?1 ? a n (Ⅰ)求证: k ? 1 ; (Ⅱ)设 g ( x ) ?
an x
n ?1

2

? n ? N ? , n ? 2 ? ,且

a n ?1 an

? k n ? 1,

? n ? 1? !

, f ? x ? 是数列 ? g ? x ?? 的前 n 项和,求 f ( x ) 的解析式;
3 n g ? 3 ? 对 n ? N ? 恒成立.

(Ⅲ)求证:不等式 f ? 2 ? ? 20. (本题满分 14 分)

75

.解:?

a n ?1 an

? kn ? 1



a2 a1

? a 2 ? k ? 1 ,.……………………………………1 分

又因为 a1 ? 1, a n ?1 a n ?1 ? a n a n ?1 ? a n 则 a 3 a1 ? a 2 a1 ? a 2 ,即
2

2

?n ? N?,n ? 2?
a3 a2 ? 2 k ? 1,? a 2 ? 2 k .………………………3 分

a3 a2

? a 2 ? 1, 又

所以 k ? 1 ? a 2 ? 2 k ,? k ? 1 , (2)
a n ?1 an an ? a n ?1 ?????? a2 a1
n ?1

……………………………………4

? n ? 1,

an ?

a n ?1 a n ? 2

? a1 = n ? ? n ? 1 ? ? ... ? 2 ? 1 ? n !

……………………………………6

因为 g ? x ? ?

an x

? n ? 1? !

= nx n ?1
n ? n ? 1? 2

所以,当 x ? 1 时, f ? x ? ? f ?1 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 ? 2 x ? 3 x ? ... ? nx
2 n ?1

……………………………7

……….(1)
n ?1

?1 ? ? x 得 xf ? x ? ?

x ? 2 x ? 3 x ? ... ? ? n ? 1 ? x
2 3

? nx ……(2)
n

?1 ? ? ? 2 ? : ?1 ? x ? f ? x ? ? 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ?1 ? nx n
=
1? x
n 2

1? x

n

1? x
? nx
n

? nx

n

? f

?x? ?

?1 ? x ?

1? x

……………………………9

? n ( n ? 1) , x ?1 ? 2 ? 综上所述: f ( x ) ? ? n n ? 1 ? x ? nx , x ? 1 ? (1 ? x ) 2 1 ? x ?

……………………………10

76

(3)因为? f ? 2 ? ?
3 n

1? 2

n 2

?1 ? 2 ?

?

n2

n

1? 2

? ? n ? 1? 2 ? 1
n



g ? 3 ? ? 3 ,易验证当 n ? 1, 2 ,3 时不等式不成立; ……………………………11
n

假设 n ? k ? k ? 3 ? ,不等式成立,即 3 ? ? k ? 1 ? 2 ? 1
k k

两边乘以 3 得: 3

k ?1

? 3 ? k ? 1? 2 ? 3 ? k ? 2
k k ?1

k ?1

? 1 ? 3 ? k ? 1? 2 ? k 2
k

k ?1

?2

又因为 3 ? k ? 1 ? 2 ? k ? 2
k

?2?2
k

k

? 3k ? 3 ? 2 k ? ? 2 ? ? k ? 3 ? 2 k
k ?1

?2?0

所以 3

k ?1

? k ?2

k ?1

? 1 ? 3 ? k ? 1? 2 ? k 2

? 2 ? k ?2

k ?1

?1

即 n ? k ? 1 时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14 19.(本小题满分 14 分) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,其中 a n ? 0 , a1 为常数,且 ? a1 、 S n 、 a n ?1 成等差数列. (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 1 ? S n ,问:是否存在 a1 ,使数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a1 的值; 若不存在,请说明理由.

16. 解: (Ⅰ)依题意,得 2 S n ? a n ?1 ? a1 .于是,当 n ? 2 时,有
? 2 S n ? a n ? 1 ? a1 . ? ? 2 S n ? 1 ? a n ? a1

两式相减,得 a n ?1 ? 3 a n ( n ? 2 ) . 又因为 a 2 ? 2 S1 ? a1 ? 3 a1 , a n ? 0 ,所以数列 { a n } 是首项为 a1 、公比为 3 的等比数列. 因此, a n ? a1 ? 3 n ?1 ( n ? N ? ) ; (Ⅱ)因为 S n ?
a1 (1 ? 3 )
n

1? 3

?

1 2

a1 ? 3 ?
n

1 2

a1 ,所以

bn ? 1 ? S n ? 1 ?

1 2

a1 ?

1 2

a1 ? 3 .
n

要使 {bn } 为等比数列,当且仅当 1 ?

1 2

a1 ? 0 ,即 a1 ? ? 2 .

77

20.(本小题满分 14 分) 如图,P1 ( x1 , y1 ) 、P2 ( x 2 , y 2 ) 、 ?、Pn ( x n , y n )( 0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C :y 2 ? 3 x ( y ? 0 )上的 n 个点,点 Ai ( a i , 0) ( i ? 1 , 2 , 3 , ? , n )在 x 轴的正半轴上,且 ? Ai ?1 Ai Pi 是 正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ)写出 a1 、 a 2 、 a 3 ; (Ⅱ)求出点 An ( a n , 0) ( n ? N ? )的横坐标 a n 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 b n ?
1 6
1 a n ?1 ? 1 an?2 ? 1 an?3 ?? ? 1 a2n

,若对任意的正整数 n ,当 m ? [ ? 1 , 1] 时,不

等式 t 2 ? 2 m t ?

? b n 恒成立,求实数 t 的取值范围.

20.解: (Ⅰ) a1 ? 2 , a 2 ? 6 , a 3 ? 12 ; (Ⅱ)依题意,得 x n ?
a n ?1 ? a n 2
? ? ? 3?

, yn ? 3 ?
2

a n ? a n ?1 2

,由此及 y n2 ? 3 x n 得

a n ? a n ?1 ? 3 ? ? ( a n ?1 ? a n ) , 2 2 ?

即 ( a n ? a n ?1 ) 2 ? 2( a n ?1 ? a n ) . 由(Ⅰ)可猜想: a n ? n ( n ? 1) ( n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 a n ? k ( k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及
78

( a k ? 1 ? a k ) ? 2( a k ? a k ? 1 )
2

得 [ a k ? 1 ? k ( k ? 1)] 2 ? 2[ k ( k ? 1) ? a k ? 1 ] ,即
( a k ? 1 ) ? 2( k ? k ? 1) a k ? 1 ? [ k ( k ? 1)] ? [( k ? 1)( k ? 2)] ? 0 ,
2 2

解之得 , a k ?1 ? ( k ? 1)( k ? 2) ( a k ?1 ? k ( k ? 1) ? a k 不合题意,舍去) 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)(2)知:命题成立. 、 (Ⅲ) b n ?
1 a n ?1 ? 1 an?2 1 ( n ? 1)( n ? 2)
1 n ?1 ? 1 2n ? 1

?

1 an?3

?? ?

1 a2n

?

?

1 ( n ? 2)( n ? 3)
n 2 n ? 3n ? 1
2

?? ?

1 2 n (2 n ? 1)
1

?

?

?

1? ? ? 2n ? ? ? 3 n? ?



令 f ( x) ? 2 x ?

1 x

(x ?1 ) ,则 f ?( x ) ? 2 ?

1 x
2

? 2 ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [1 , ? ? ) 上是增函 1 6

数,故当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 3 ,即当 n ? 1 时, ( bn ) m ax ?
t ? 2mt ?
2



1 6

? b n ( ? n ? N , ? m ? [ ? 1 , 1] ) 1 6

?

? t ? 2mt ?
2

1 6

? ( b n ) m ax ?

,即 t 2 ? 2 m t ? 0 ( ? m ? [ ? 1 , 1] )

?t 2 ? 2t ? 0 ? .解之得,实数 t 的取值范围为 ( ?? , ? 2) ? (2 , ? ? ) . ? ? 2 ?t ? 2t ? 0 ?

(17)(2012 年 4 月北京海淀区高三一模文)(本小题共 13 分) 已知数列 {a n } 前 n 项的和为 S n ,且满足 S n = 1 - na n ( n = 1,, ? ) . 2 3, (Ⅰ)求 a1 、 a 2 的值; (Ⅱ)求 a n . (17) 解: (I) 当 n = 1 时,? a1 = 1 - a1 .
\ a1 =
1 2

????????????1 分 ????????????2 分 ????????????3 分

.

当 n = 2 时,? a1 + a 2 = 1 - 2 a 2

79

\ a2 =

1 6

????????????5 分

(Ⅱ)? S n = 1 - na n
\ 当 n ? 2 时 S n - 1 = 1 - ( n - 1) a n - 1

a n = ( n - 1) a n - 1 - na n
n- 1 n+ 1

????????????7 分

\ an =

a n- 1

????????????9 分

an =

2 n ( n + 1) 1

a1

????????????10 分

=

????????????11 分
1 2

n ( n + 1)

当 n = 1 时 a1 =
\ an =
1

符合上式

????????????12 分

n ( n + 1)

2 3 ? ( n = 1,,, )

????????????13 分

18.(北京市石景山区 2012 年 4 月高三一模理)(本题满分 13 分) 已知等差数列 { a n } 中, a 1 ? ? 1 ,前 12 项和 S 12 ? 186 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;
1 a (Ⅱ)若数列 {b n } 满足 b n ? ( ) ,记数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ,若不等式 T n ? m 2 对所有 n ? N * 恒成立,求实数 m 的取值范围.
n

18. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差为 d , ∵ a 1 ? ? 1 , S 12 ? 186 , ∴ S 12 ? 12 a 1 ? ∴ d ? 3. 所以数列 { a n } 的通项公式 a n ? ? 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? 3 n ? 4 .
1 a (Ⅱ)∵ b n ? ( ) , a n ? 3 n ? 4 , 2
n

12 ? 11 2

d ,即 186 ? ? 12 ? 66 d .

??????3 分 ??????5 分

80

1 ∴ bn ? ( ) 3n?4 . 2

??????7 分
bn 1 3 1 ?( ) ? , 2 8

∵ 当 n ≥ 2 时,

b n ?1

1 1 ∴ 数列 {b n } 是等比数列,首项 b1 ? ( ) ?1 ? 2 ,公比 q ? . 2 8
1 n 2[1 ? ( ) ] 16 1 n 8 ∴ Tn ? ? ? [1 ? ( ) ] . 1 7 8 1? 8 16 1 n 16 ∵ ? [1 ? ( ) ] ? ( n ? N *) , 7 8 7

??????9 分

??????11 分

又不等式 T n ? m 对 n ? N * 恒成立,
1 n 1 n 而 1 ? ( ) 单调递增,且当 n ? ? 时, 1 ? ( ) ? 1 , 8 8 16 ∴ m≥ . ??????13 分 7 (20) (北京市朝阳区 2012 年 4 月高三一模理)(本小题满分 14 分)
Sn an ? 1 2 a n ? 1 ( n ? N ) ,其中 a1 ? 1, a n ? 0 .
*

已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ? b n ? 满足 (2 a n ? 1)(2
bn *

? 1) ? 1 , T n 为 ? b n ? 的前 n 项和,求证:

2 T n ? log 2 (2 a n ? 1), n ? N ;

(Ⅲ)是否存在正整数 m , d ,使得 lim [( ) ? ( )
m n? ?

1

1

m?d

3

3

1 m?2d 1 m ? ( n ?1) d 1 ?( ) ?? ? ( ) ]? 成 3 3 a8

立?若存在,请求出 m 和 d 的值;若不存在,请说明理由. (20) 解: (Ⅰ)已知式即 S n ?
1 2 a n a n ? 1 ,故 a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ? 1 2 a n ?1 a n ? 2 ? 1 2 a n a n ?1 .

因为 a n ? 0 ,当然 a n ?1 ? 0 ,所以 a n ? 2 ? a n ? 2 ( n ? N * ) . 由于 a1 ? S 1 ? 于是 a 2 m ?1
a1 a 2 ,且 a1 ? 1 ,故 a 2 ? 2 . 2 ? 1 ? 2( m ? 1) ? 2 m ? 1 , a 2 m ? 2 ? 2( m ? 1) ? 2 m ,
*

1

所以 a n ? n ( n ? N ) . (Ⅱ)由 (2 a n ? 1)(2 故 b n ? log 2
2n 2n ? 1
bn

??????4 分
bn

? 1) ? 1 ,得 (2 n ? 1)(2

? 1) ? 1, 2

bn

?

2n 2n ? 1




2n ? ?2 4 6 ? ? ?? ? ?. 2n ? 1 ? ?1 3 5

从而 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? log 2 ?

81

2n ? 2n ? ?2 4 6 ?2 4 6 2 T n ? 2 log 2 ? ? ? ? ? ? ? ? log 2 ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ?1 3 5 ?1 3 5
2

2

因此 2Tn ? log 2 (2 a n ? 1) ? log 2 ?
2

2n ? ?2 4 6 ? ? ?? ? ? ? log 2 (2 n ? 1) 2n ? 1 ? ?1 3 5
2

2n ? 1 2n ? 1 ?2 4 6 ?2 4 6 ? log 2 ? ? ? ? ? ? ? log 2 [ ? ? ? ? ? ? ]. ? ? log 2 ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5 ?1 3 5 2n ? 1 ?2 4 6 设 f ( n ) ? ? ? ? ?? ? , ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5
2

则 f ( n ? 1) ? ?
f ( n ? 1)

2n 2n ? 2 ? 1 ?2 4 6 , ? ? ?? ? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 3 ?1 3 5
2 2

2

4n ? 8n ? 4 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? (2 n ? 2) 故 ? ? 1, ? ?? ? ? 2 f (n) 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? (2 n ? 3)(2 n ? 1) 4n ? 8n ? 3 注意到 f ( n ) ? 0 ,所以 f ( n ? 1) ? f ( n ) .
2

特别地 f ( n ) ? f (1) ?

4 3

? 1 ,从而 2Tn ? log 2 (2 a n ? 1) ? log 2 f ( n ) ? 0 .
*

所以 2 T n ? log 2 (2 a n ? 1), n ? N . (Ⅲ)易得 ( )
3 1
an

??????9 分

1 n ?( ) . 3

1 1 1 注意到 a 8 ? 8 ,则有 lim [( ) m ? ( ) m ? d ? ( ) m ? 2 d n? ? 3 3 3

1 m ( ) 1 m ? ( n ?1) d 1 3 ?? ? ( ) ]? ? , 1 d 3 8 1? ( ) 3

即( ) ?
m

1

1

3

1 d [1 ? ( ) ] , 8 3
*

整理得 3 ? 3
m

m?d

?8.



当 m ? d 时,由① 得 3 m ? d (3 d ? 1) ? 8 . 因为 m , d ? N ,所以 m ? d ? 2 . 当 m ? d 时,由① 得 3 d ? 1 ? 8 ? 3 d ? m . ② 因为 m ? d ,故②式右边必是 3 的倍数,而左边不是 3 的倍数,所以②式不成立, 即当 m ? d 时,不存在 m , d ? N ,使得①式成立. 综上所述,存在正整数 m ? d ? 2 ,使得
*

1 m 1 m?d 1 m?2d 1 m ? ( n ?1) d 1 lim [( ) ? ( ) ?( ) ?? ? ( ) ]? 成立.??????14 分 n? ? 3 3 3 3 a8

20. (北京市西城区 2012 年 4 月高三一模抽样测试理)(本小题满分 14 分) 设 m > 3 ,对于有穷数列 { a n } ( n = 1, 2, L , m ), 令 b k 为 a1 , a 2 , L , a k 中的最大值,称数 列 {b n } 为 { a n } 的“创新数列”. 数列 {b n } 中不相等项的个数称为 { a n } 的“创新阶数”. 例 如数列 2,1, 3, 7, 5 的创新数列为 2,2,3,7,7,创新阶数为 3. 考察自然数 1, 2, L , m ( m > 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 { c n } .

82

(Ⅰ)若 m=5, 写出创新数列为 3,4,4,5,5 的所有数列 { c n } ; (Ⅱ) 是否存在数列 { c n } , 使它的创新数列为等差数列?若存在, 求出所有的数列 { c n } , 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)在创新阶数为 2 的所有数列 { c n } 中,求它们的首项的和. 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,创新数列为 3,4,4,5,5 的数列 { c n } 有两个,即: (1)数列 3,4,1,5,2; (2)数列 3,4,2,5,1. 注:写出一个得 2 分,两个写全得 3 分. (Ⅱ)答:存在数列 { c n } ,它的创新数列为等差数列. 解:设数列 { c n } 的创新数列为 {e n }( n = 1, 2, L , m ) , 因为 e m 为 c1 , c 2 , L , c m 中的最大值. 所以 e m = m . 由题意知: e k 为 c1 , c 2 , L , c k 中最大值, e k + 1 为 c1 , c 2 , L , c k , c k + 1 中最大值, 所以 e k ? e k + 1 ,且 e k ? {1, 2, L , m } . 若 { e n } 为等差数列,设其公差为 d,则 d = e k + 1 - e k 当 d=0 时, { e n } 为常数列,又 e m = m , 所以数列 { e n } 为 m , m , L , m ,此时数列 { c n } 是首项为 m 的任意一个符合条件的数列; 当 d=1 时,因为 e m = m , 所以数列 { e n } 为 1, 2, 3, L , m ,此时数列 { c n } 是 1, 2, 3, L , m ; 当 d ? 2 时,因为 e m = e1 + ( m - 1) d ? e1 又 m > 3, e1 > 0 ,所以 e m > m , 这与 e m = m 矛盾,所以此时 { e n } 不存在, 即不存在 { c n } 使得它的创新数列 为 d ? 2 的等差数列.
83

---------------2 分 --------------------------3 分

0 ,且 d ? N,-----------5 分

--------------------7 分
2 m - 2 + e1 ,

( m - 1) ? 2

综上, 当数列 { c n } 为: 1) ( 首项为 m 的任意符合条件的数列; 2) ( 数列 1, 2, 3, L , m 时,它的创新数列为等差数列. 注:此问仅写出结论(1) (2)者得 2 分. (Ⅲ)解:设 { c n } 的创新数列为 {e n }( n = 1, 2, L , m ) , 由(Ⅱ)知, e m = m , 由题意,得 e1 = c1 , 所以当数列 { c n } 的创新阶数为 2 时, { e n } 必然为 c1 , c1 , L , c1 , m , m , L , m (其中 ,-----------10 分 c1 < m ) 由排列组合知识, 得创新数列为 k , k , L , k , m , m , L , m ( k < m ) 的符合条件的 { c n } 的个 数为 C m - 1 鬃 m A
m- k m- k - 1 k- 1

-----------------9 分

Ak - 1 =

k- 1

1 m- k

Am - 1 ? Ak - 1

m- k

k- 1

1 m- k

( m - 1)! , ----------------12 分

所以,在创新阶数为 2 的所有数列 { c n } 中,它们的首项的和为
m- 1

邋k ?
k= 1

( m - 1) ! m- k

m- 1

( m - 1) !
k= 1

k m- k

.

---------------------------14 分

18. (北京市西城区 2012 年 4 月高三一模抽样测试文)(本小题满分 14 分)
1 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S n ? na n ?a n ? (c 是常数,n ? N*) a 2 = 6 . 且 , c 2

(Ⅰ)求 c 的值及 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明:
1 a1 a 2 1 a2a3 1 a n a n+ 1 1 8

+

+ L +

<

.

18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 S n ?
1 2 na n ? a n ? c , 1 2 a1 ? a1 ? c ,解得 a1 = 2 c ,

所以当 n = 1 时, S 1 ?

---------------------2 分

当 n = 2 时, S 2 ? a 2 ? a 2 ? c ,即 a1 ? a 2 ? 2 a 2 ? c ,解得 a 2 = 3 c , 所以 3 c ? 6 ,解得 c ? 2 ; 则 a1 ? 4 ,数列 { a n } 的公差 d ? a 2 ? a1 ? 2 , -----------------------5 分

84

所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ? 2 . (Ⅱ)因为
1 a1 a 2
= 1 4 创6 + 6

-------------------------8 分

+

1 a2a3
1 8

+ L +

1 a n a n+ 1

+ L +

1 (2 n + 2)(2 n + 4)

--------------------------9 分

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )+ ( - )+ L + ( ) -----------------------12 分 2 4 6 2 6 8 2 2n + 2 2n + 4

=
=
=

1

1 1 1 1 1 1 [( )+ ( - )+ L + ( )] 2 4 6 6 8 2n + 2 2n + 4

1 1 1 ( ) 2 4 2n + 4
1 8 1 4( n + 2)

.

因为 n ? N * , 所以
1 a1 a 2 + 1 a2a3 + L + 1 a n a n+ 1 < 1 8

.

-----------------------14 分

注:为降低难度,此题故意给出多余条件,有多种解法,请相应评分. 20. (北京市崇文区 2012 年 3 月高三统一考试理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 1, g ( x ) ? 2 x , x ? R,数列 { a n } , {b n } , { c n } 满足条件: a1 ? 1,
* , a n ? f ( bn ) ? g ( bn ? 1 ) ( n ? N ) c n ?

1 [ 1 2 f (n) ? 1 2 ][ g ( n ) ? 3 ]



(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 { c n } 的前 n 项和 T n ,并求使得 T n ?
m;
m 150

对任意 n ? N*都成立的最大正整数

(Ⅲ)求证:

a1 a2

?

a2 a3

? ??? ?

an a n ?1

?

n 2

?

1 3



20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 a n ?1 ? 4 b n ?1 ? 1, a n ? 2 b n ?1 , ∴ a n ?1 ? 2 a n ? 1 , ∴ a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) , ∵ a1 ? 1 , --------2 分

85

∴数列 { a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴. a n ? 1 ? 2 ? 2 ∴an ? 2 ? 1 .
n n ?1

---------4 分

---------5 分
? 1 1 ? 1 2n ? 3 ),

(Ⅱ)∵ c n ? ∴Tn ?
?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

2 2n ? 1

(

---------7 分

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 n n . ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? ( 2 n ? 3) 6n ? 9

----------8 分



T n ?1 Tn

?

n ?1 6 n ? 15

?

6n ? 9 n

?

6 n ? 15 n ? 9
2

6 n ? 15 n
2

? 1,

∴ T n ? T n ? 1 , n ? N* . ∴当 n ? 1 时, T n 取得最小值 由题意得
1 15 ? m 150 1 15



-----------10 分

,得 m ? 10 .

∵ m ? Z, ∴由题意得 m ? 9 . (Ⅲ)证明:
ak ? 2 ?1
k k ?1

--------------------11 分

∵ a k ?1

2

?1

?

1 2

? 2(2

1
k ?1

? 1)

?

1 2

?

1 3? 2 ? 2 ? 2
k k

?

1 2

?

1

?

1
k

,

3 2

----12 分

k ? 1, 2 , 3 ,? ? ?, n



a1 a2

?

a2 a3

? ??? ?

an a n ?1

?

n 2

?

1 1 1 1 n 1 1 n 1 ( ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? . 3 2 2 2 3 2 3 2 2



a1 a2

?

a2 a3

? ??? ?

an a n ?1

?

n 2

?

1 3

( n ? N* ) .

---------------14 分

20. (北京市崇文区 2012 年 3 月高三统一考试文) (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? 4 x? 1 ,g (x ?)
* , a n ?1 ? g ( a n ) ? 1( n ? N ) b n ?

2 ? , 数 列 { a n } , { b n } 满 足 条 件 : a1 ? 1 , x xR ,
1

[

1 2

f (n) ?

1 2


][ g ( n ) ? 3 ]

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

86

(Ⅱ)求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ,并求使得 T n ? 数m ; (Ⅲ)求证:
a1 a2 ? a2 a3 ? ??? ? an a n ?1 ? n 2

m 150

对任意 n ? N*都成立的最大正整

( n ? N* ) .

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 a n ?1 ? 2 a n ? 1 , ∴ a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) . ∵ a1 ? 1 , ∴数列 { a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴an ? 1 ? 2 ? 2
n n ?1

--------2 分

---------3 分

, ---------4 分
? 1 1 ? 1 2n ? 3 ),

∴an ? 2 ? 1 . (Ⅱ)∵ b n ? ∴Tn ?
? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

2 2n ? 1

(

---------5 分

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 n n . ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? ( 2 n ? 3) 6n ? 9

----------7 分



T n ?1 Tn

?

n ?1 6 n ? 15

?

6n ? 9 n

?

6 n ? 15 n ? 9
2

6 n ? 15 n
2

? 1,

∴ T n ? T n ? 1 , n ? N* . ∴当 n ? 1 时, T n 取得最小值 由题意得
1 15 ? m 1 15



-----------------8 分

,∴ m ? 10 . ------------10 分
? 2 ?1
k

150 ∵m ? Z , ∴m ? 9 .

(Ⅲ)证明:∵

ak a k ?1

?

2 ?1
k

2

k ?1

?1

2(2 ?
k

1 2

? )

1 2

, k ? 1, 2 ,3 ,? ? ?, n





a1 a2

?

a2 a3

? ??? ?

an a n ?1

?

n 2



----------------13 分

20.(北京市东城区 2012 年 3 月高中示范校高三质量检测文理)(本小题满分 14 分)

87

已 知 数 列 { a n }( n ? N ), 满足 a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a 3 ? 3 , a 4 ? 4 , a 5 ? 5 .当 n ? 5 时 ,
a n ? 1 ? a 1 a 2 ? a n ? 1 .若数列 {b n }( n ? N ) 满足 b n ? a 1 a 2 ? a n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n .
2 2 2 ?

?

(Ⅰ)求 b 5 ; (Ⅱ)求证: 当 n ? 5时 , b n ?1 ? b n ? ? 1 ; (Ⅲ)求证:仅存在两个正整数 m ,使得 a 1 a 2 ? a m ? a 1 ? a 2 ? ? ? a m .
2 2 2

20. (本小题满分 14 分) (I)解:b5=1×2×3×4×5-12-22-32-42-52=65.??????????4 分 (II)证明: b n ? 1 ? a 1 a 2 ? a n a n ? 1 ? a 12 ? a 22 ? ? ? a n2 ? a n2?1 = a 1 a 2 ? a n ( a 1 a 2 ? a n ? 1) ? a 12 ? a 22 ? ? ? a n2 ? ( a 1 a 2 ? a n ? 1) 2 = a1 a 2 ? a n
? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ? b n ? 1( n ? 5 )
2 2 2

? b n ?1 ? b n ? ? 1( n ? 5 ) .????????????????9 分

(III)解:易算出 b1=0,b2≠0,b3≠0, b4≠0,????????????????11 分 当 n≥5 时,bn+1=bn-1,这表明{bn}从第 5 项开始,构成一个以 b5=65 为首项,公 差为-1 的等差数列. 由 bm=b5+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出 m=70.??????????13 分 因此,满足 a1a2?am= a 1 ? a 2 ? ? ? a m 的正整数只有两个;
2 2 2

m=70 或 m=1.??????????????????????????14 分 20. (北京市丰台区 2012 年 3 月高三统一检测理)(本小题共 14 分) y ? f ( x) 函 数 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且
f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) , 当 x ? [ ? 2 , ? 1] 时,

f ( x ) ? t ( x ? 2 ) ? t ( x ? 2 ) ( t ? R ) ,记函数 y ? f ( x ) 的图像在 (
3

1

1 , f ( ) ) 处的切线为 l , 2 2

' 1 f ( ) ?1。 2 (Ⅰ) 求 y ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] 上的解析式;

(Ⅱ) 点列 B1 ( b1 , 2 ) , B 2 ( b 2 ,3 ), ? , B n ( b n , n ? 1) 在 l 上,
A1 ( x 1 , 0 ) , A 2 ( x 2 , 0 ), ? , A n ( x n , 0 ) 依次为 x 轴上的点,如图,当

n ? N 时,点 A n , B n , A n ?1 构成以 A n A n ?1 为底边

?

的等腰三角形。若 x 1 ? a ( 0 ? a ? 1) ,求数列 ?x n ? 的通项公式;

88

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下, 是否存在实数 a 使得数列 ?x n ? 是等差数列?如果存在, 写出 a 的一 个值;如果不存在,请说明理由。 解:(Ⅰ) ? 函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x )
? f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) ? f (1 ? x ) ;? y ? f ( x ) 是周期为 ? 当 x ? [ 0 ,1]时 , x ? 2 ? [ ? 2 , ? 1] ? f ( x ) ? f ( x ? 2 ) ? tx
3

2 的函数
? tx

????1 分

由 f ' ( ) ? 1 可知 t =-4
2

1

? f ( x) ? ?4 x

3

? 4 x , x ? [ 0 ,1]

????4 分

(Ⅱ) ? 函数 y ? f ( x ) 的图像在 (
? 切线 l

1 2

1 ' 1 , f ( ) ) 处的切线为 l ,且 f ( ) ? 1 , 2 2

过点 ( , ) 且斜率为 1,? 切线 l 的方程为 y=x+1
2 2

1 3

????6 分 即 bn ? n ①
? x1 ? a ,

? B 1 ( b1 , 2 ) , B 2 ( b 2 ,3 ), ? , B n ( b n , n ? 1) 在 l

上,有 n ? 1 ? b n ? 1

? 点 A n , B n , A n ?1 构成以 A n A n ?1 为底边的等腰三角形? x n ? x n ?1 ? 2 b n ? 2 n ?

同 理 x n ?1 ? x n ? 2 ? 2 n ? 2 ? ②
x2 ? 2 ? a

两 式 相减 得 x n?2 ? x n ? 2

? xn ? ?

? n ? 1 ? a, ? n ? a,

n 为奇数 n 为偶数
? a ?

????11 分
1 2

(Ⅲ) 假设 ?x n ? 是等差数列 ,则 ? a ? ? 1 ? a 故存在实数 a 使得数列 ?x n ? 是等差数列。 得 分 评卷人

????14 分

16. (北京市丰台区 2012 年 3 月高三统一检测理)(本小题共 13 分)

已知数列 { a n } 中, a 1 ?

1 2

,且当 x ?

1 2

时,函数 f ( x ) ?

1 2

an x

2

? a n ? 1 x 取得极值。

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)在数列 ?b n ? 中, b1 ? 1 , b n ?1 ? b n ? log 2 a 2 n ?1 ,求 b 21 的值 解: (Ⅰ) f ' ( x ) ? a n x ? a n ?1 分 又? a 1 ? 分
89

由题意 f ' ( ) ? 0
2
1 2

1



a n ?1 ?

1 2

an ,

????6

1 2

?0

所以 数列 ?a n ? 是公比为

的等比数列

所以

an ?

1 2
n

????8

(Ⅱ) 因为 分 所以 叠加得

b n ? 1 ? b n ? log

2

a 2 n ?1 ? log

1
2

2

2 n ?1

? 1 ? 2n ,

????10

b 21 ? b 20 ? ? 39 , b 20 ? b19 ? ? 37 , b19 ? b18 ? ? 35 ,??, b 2 ? b1 ? ? 1

b 21 ? b1 ? ? 400

把 b1 ? 1 代入得

b 21 = ? 399

????13 分

16. (北京市丰台区 2012 年 3 月高三统一检测文)(本小题共 13 分) 已知数列 { a n } 中, a 1 ?
1 2

,点(1,0)在函数 f ( x ) ?

1 2

an x

2

? a n ? 1 x 的图像上。

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)设 b n ? log 2 a 2 n ?1 ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n 。 解:(Ⅰ)由已知
f (1) ? 0 ? a n ? 1 ? 1 2 an

又? a 1 ? 所以

1 2

?0
1 2
n

????3 分 ????6 分 ????9 分

所以 数列 ?a n ? 是公比为 (Ⅱ) 由 所以
b n ? log
2

1 2

的等比数列

an ?

a 2 n ?1 ? 1 ? 2 n
2

T n ? ( ? 1) ? ( ? 3 ) ? ( ? 5 ) ? ? ? ? (1 ? 2 n ) ? ? n

????13 分

9、 (09 吉安)已知正项数列
(n ? N ) 。
*

{a n }

的前 n 项和为

Sn



a1 ?

2 3 ,且满足 2 S n ?1 ? 2 S n ? 3 a n ?1
2

(1)求数列

{a n }

通项公式

an


? 1 a3
2

1 a (2)求证:当 n ? 2 时, 2
2

?

1 a4
2

?? ?

1 an
2

?

9 4



2 S n ?1 ? 2 S n ? 3 a n ?1 解: (1) n ? 1 时, ?????①

2

n ? 2 时, 2 S n ? 2 S n ?1 ? 3 a n ???????②?????????1 分 n ? 2 时,①-②得: 2 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ( a n ? 1 ? a n )
a n ?1 ? a n ? 2 3 ??????????????????3 分 a2 ? 4 3
2 2

2



an ? 0


2 3

a n ? a n ?1 ? 0
2 3



令n ? 2 ,

2(

? a2 ) ? 2 ?

? 3a 2

2

∵a2 ? 0



90

n ? 2 时,
a1 ? 2 3

an ?

4 3

? (n ? 2) ?

2 3

?

2 3

n

?????????????5 分





an ?

2 3

n(n ? N )
*

?????????????6 分
? 9 ( 1
2

(2)当 n ? 2 时,左边

?

1 3
2

?

1 4
2

?? ?

1 n
2

)

4 2

?

9

4 1? 2

[

1

?

1 2?3

?

1 3? 4

???

1 ( n ? 1) n

]

????????9 分
? 1 ) n ??????11 分

?

9 4

(1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

1 3

?

1 4

???

1 n ?1

?
1 ? 1 a3
2

9 4

(1 ?

1 n

)?
1

9 4

∴当 n ? 2 时, a 2

2

???

an

2

?

9 4

????????????12 分

10、 (09 师大附中)设方程 3tan2πx-4tanπx+ 3=0 在[n-1,n)(n∈N*)内的所有解之和 为 an. (1)求 a1、a2 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足条件:b1=2,bn+1≥abn,求证: 1 1 1 + +?+ <2. 2b1-3 2b2-3 2bn-3 解:方程 3tan2πx-4tanπx+ 3=( 3tanπx-1)(tanπx- 3)=0 3 得 tanπx= 3 或 tanπx= 3 (1)当 n=1 时,x∈[0,1),即 πx∈[0,π) 3 π π 由 tanπx= 3 ,或 tanπx= 3得 πx=6或 πx=3 1 1 1 故 a1=6+3=2;??????2 分 当 n=2 时,x∈[1,2),则 πx∈[π,2π) 3 7π 4π 由 tanπx= 3 或 tanπx= 3,得 πx= 6 或 πx= 6 7 4 5 故 a1=6+3=2??????4 分 当 x∈[n-1,n)时,πx∈[(n-1)π,nπ) 3 π π 由 tanπx= 3 ,或 tanπx= 3得 πx=6+(n-1)π 或 πx=3+(n-1)π

91

1 1 得 x=6+(n-1)或 x=3+(n-1), 1 1 3 故 an=6+(n-1)+3+(n-1)=2n-2???6 分 3 (2)由(1)得 bn+1≥abn=2bn-2????????8 分 3 3 3 3 即 bn+1-2≥abn=2(bn-2)≥22(bn-1-2)≥?≥2n(b1-2)=2n-1>0??10 分 则 1 1 1 3≤2n-1,即2bn+1-3≤2n bn+1-2 1

1 1 1 1 1 1 + +?+ ≤1+2+?+ =2- <2.??12 分 2b1-3 2b2-3 2bn-3 2n-1 2n-1 11、 上高二中) (09 正项数列 (1)求数列
bn ?

{a n }

中, n 项和为 Sn, 前 且

a1 ? 2, 且 a n ? 2 2 S n ?1 ? 2( n ? 2)



{a n }

的通项公式;
, Tn ? b1 ? b 2 ? ? ? bn , 证 明 : 5 2 ? Tn ? 7

an ? 8 2
n ?1

(2)设



解: (1)由

a n ? 2 2 S n ?1 ? 2 ( n ? 2) 得 S n ? S n ?1 ? 2 2 S n ?1 ? 2

? S n ? S n ?1 ? 2 2 ?

S n ?1 ? 2 ? ( S n ?1 ?

2)

2

? (2 分 )

? { S n }是 首 项 为 2 , 且 公 差 为 2 等 差 数 列 即 Sn ? 2n
2

? (3 分 ) ? a n ? 2 2 ? 2( n ? 1) ? 2 ? 4 n ? 2( n ? 2)
2

? Sn ? 2n

当 n ? 1时 a1 ? 2 也 符 合 此 式 ? a n ? 4 n ? 2 (2) b n ? an ? 8 2
n ?1

? (5 分 ) 5 2 ? 7 2
2

?

4n ? 6 2
n ?1

?

2n ? 3 2
n

? T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ?

?

7 2
3

?? ?

2n ? 3 2
n

2Tn ? 5 ?

7 2

?

9 2
2

?? ?

2n ? 3 2
n ?1

两 式 相 减 : Tn ? 5 ?

2 2

?

2 2
2

?? ? 2

2
n ?1

?

2n ? 3 2
n ?1

1? ? 5?

2

n 2 ? 2n ? 3 n 1 2 1? 2

92

? Tn ? 7 ?

2n ? 7 2
n

? (8 分 ) ? n ? N * ? T n ? 7 而证7 ?
n

? (9 分 ) ? 9 2

下 面 证 明 Tn ? 而 2n ? 7 2
n n

5 2

2n ? 7 2
n

?

5 2

亦即证

2n ? 7 2
n

?

9 2

? 9 ? 2 ? 4n ? 4
n

? (10 分 )
1

? 9 ? 2 ? 14 ? 4 n ? 9(1 ? 1) ? 4 n ? 14 ? 9(1 ? C n ) ? 4 n ? 14 ? 5 n ? 5 ? n ? N * ? 5n ? 5 ? 0 亦 即 9 ? 2 ? 4 n ? 14 ? 0
n

? (13 分 )

?

2n ? 7 2
n

?

9 2

即而 ?

5 2

综上所述

5 2

? Tn ? 7

? (14 分 )

12、 (09 南昌二中)已知数列{
1

an

}满足

a1 ?

1
* 2 , a n ?1 a n ? 2 a n ?1 ? 1 ? 0 , n ? N .

(1)求证:数列{
n

an ? 1

}是等差数列;
1 a i ?1 ? 2( 2 ? 1).

(2)求证:

? (1 ? a
i ?1

ai
i ?1

)

a n ?1 ?

1

2 ? a n a n ?1 ? 1

,

1

?

1 1 2 ? an ?1

?

2 ? an an ? 1

? ?1 ?

1 an ? 1

证明: (1)由已知得
? 1 a n ?1 ? 1 ? 1 an ? 1 ? ?1

1

(2)由(1)得
? ai a i ?1 ? (1 ? ai a i ?1
1 ai ? 1 a i ?1

an ? 1
2

? ? 2 ? ( n ? 1) ? ( ? 1) ? ? ( n ? 1), a n ?

n n ?1

.

?

i ( i ? 2) ( i ? 1) 1 a i ?1
2

?

i ? 2i i ? 2i ? 1
2

? 1,

)

?(

1 ai

?

1 a i ?1
1 a i ?1

)

ai a i ?1
ai a i ?1 ?( 1 ai ? 1 a i ?1 ai a i ?1 ? ai a i ?1

(

)(

1 ai

?

)

)(

)

=

? 2(

1 ai

?

1 a i ?1

)

93

? ? (1 ?
i ?1

n

ai a i ?1

)

1 a i ?1

? 2[(

1 a1

?

1 a2

)?(

1 a2

?

1 a3

) ? ??? ? (

1 an

?

1 a n ?1

)]

2(

1 a1

?

1 a n ?1

) ? 2( 2 ?

n?2 n ?1

) ? 2( 2 ? 1).

=

1( (浙江省杭州市 2012 年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷(理科) ) 本题 14 分)数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? cn ( c 是不为零的常数, n ? 1,, ? ) 2 3, ,且
a1, a 2, a 3 成等比数列.

(1)求 c 的值; (2)求 ? a n ? 的通项公式;
an ? c n ?c
n

(3)求数列 {

} 的前 n 项之和 T n .

1 解: (错误!未找到引用源。 a1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c , a 3 ? 2 ? 3 c , ) 因为 a1 , a 2 , a 3 成等比数列, 所以 (2 ? c ) ? 2(2 ? 3 c ) ,
2

--- 2 分 --- 2 分 --- 1 分

解得 c ? 0 或 c ? 2 . ∵c≠0,∴ c ? 2 . (2)当 n ≥ 2 时,由于
a 2 ? a1 ? c , a 3 ? a 2 ? 2 c , ? ? a n ? a n ?1 ? ( n ? 1) c ,

所以 a n ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)]c ?

n ( n ? 1) 2
2

c.

--- 3 分

3? 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 a n ? 2 ? n ( n ? 1) ? n ? n ? 2( n ? 2,, ) .

当 n ? 1 时,上式也成立,
2 ? 所以 a n ? n ? n ? 2( n ? 1,, ) .
2

--- 2 分

(3)令 b n ?

an ? c n ?c
n

1 n ? ( n ? 1)( ) 2

--- 1 分

1 2 1 3 1 4 1 n T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? b n ? 0 ? ( ) ? 2 ( ) ? 3 ( ) ? ? ( n ? 1)( ) ??① 2 2 2 2
94

1 3 1 4 1 n 1 n ?1 T n ? 0 ? ( ) ? 2 ( ) ? ? ? ( n ? 2 )( ) ? ( n ? 1)( ) ??② 2 2 2 2 2 1 n ?1 n ? 1 ①-②得: T n ? 1 ? ( ) ? n 2 2

1

--- 3 分

2. (浙江省杭州市 2012 年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷(理科) ) 2 (本题 15 分)已知二次函数 f ( x ) = x + ax( a ? R ) . (1)若函数 y = f (sinx + 3 cosx) ( x ? R )的最大值为 (2)当 a = 2 时,设 n∈N*, S= (3)当 a > 2 时, 求证: f (sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x) ≧1 – a , 其中 x∈R, x ? k?且 x ? k? ? 2. (本题 15 分) 解:⑴令 t = sinx + 3 cosx=2sin(x + ∵ x ? R ,∴–2≦t≦2, y = t2 + at = (t +
a 2 16 3

,求 f ( x ) 的最小值;
? 3n f (3 n )

n f (n)

?

n ?1 f ( n ? 1)

?? ?

3n ? 1 f ( 3 n ? 1)

, 求证:

3 4

<S<2;

?
2

(k∈Z)

?
3

),

)2–

a

2

,

4

当 a < 0 时, t =–2 时,y 最大= 4–2a =

16 3

, 解得:a = ?

2 3

,

此时, f(x) = (x –

1 3

)2–

1 9

,∴f(x)最小值 = –

1 9

.

当 a ≧0 时, t =2 时,y 最大= 4+2a =

16 3

, 解得:a =

2 3

.

此时, f(x) = (x +

1 3

)2–

1 9

,∴f(x)最小值 = –

1 9

.

综合上述,条件满足时, f ( x ) 的最小值为–
n ?1 f ( n ? 1)

1 9

.

---- 5 分



∵ S=

n f (n)

?

?? ?

3n ? 1 f ( 3 n ? 1)

?

3n f (3n )

=

1 n?2

?

1 n?3

?? ?

1 3n ? 1

?

1 3n ? 2

,

95

设 S(n ) =

1 n?2

? 1

1 n?3 ?

?? ? 1

1 3n ? 1 1

?

1 3n ? 2 ? 1

;

则 S(n+1 ) =

n?3

n?4

??

3n ? 4

3n ? 5

S(n+1 ) –S(n ) =
1 3n ? 3 ? 1 3n ? 4 ? 1 3n ? 5 ? 1 n?2

>

3 (3 n ? 5 )

?

1 n?2

=

1 ( 3 n ? 5 )( n ? 2 )
? 3 4

>0 ;

∴S(n )在 n ? N * 时单调递增,∴S = S(n )≥S(1) = 又
1 n?2 ? 1 n?3 ?? ? 1 3n ? 1 3 n?2 ? 1 3n ? 2 ? 2.

47 60

?

45 60



∴S <

1 n?2
3 4

( 2 n ? 1) ? 2 ?

∴综上有:

< S < 2 成立.
?
2

---- 5 分 (k∈Z), ∴sin2x, cos2x ∈(0,1),

(3) )∵x∈R, x ? k?且 x ? k? ?

又 sin2x+cos2x =1, 故设 t = sin2x, 则有 cos2x= 1 – t , 设 f (t) = t log2t + (1 – t ) log2 (1 – t ) (其中 t∈(0,1)) f′(t ) = log2t + log2e –log2 (1 – t ) – log2e = log
t
2

1? t

.

令 f′(t ) = 0, 得 t =

1 2

,

当0<t<

1 2

时, f′(t ) < 0, 所以 f (t )在(0,

1 2

)单调递减,



1 2

< t <1 时, f′(t ) > 0, 所以 f (t )在(

1 2

,1)单调递增,

∴t =

1 2

时 f (t)取最小值等于 f(

1 2

)=

1 2

log2

1 2

+

1 2

log2

1 2

= log2

1 2

= – 1.

即有 sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x ≧– 1 . 当 a > 2 时, f(x) = x2+ax 的对称轴 x= ?
a 2

< – 1,

96

∴f (x)在(– 1,+?)上单调递增, ∴f(sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x) ≧f (–1 ) = 1 – a . --- 5 分

3(浙江省嘉兴市 2011 年高中学科基础测试(理科) 数学试题卷 2012.1) .(本小题满分 15 分) 已知二次函数 y ? f ? x ? 的图像经过坐标原点,其导函数 f'(x)=2x+2,数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y ? f ? x ? 的图像上. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
1 a n a n ?1

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 T n .

3.解:(1)f(x)=x2+2x 2分 2 所以,Sn=n +2n,当 n=1,a1=S1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an=2n+1(n∈N*) 6分 (2) 因为 bn=
1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 ) ? 1 2 2n ? 1 ( 1 ? 1 2n ? 3 )

10 分

所以 Tn=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ... ? ? )? ( ? )? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9

4. (浙江省嘉兴市 2011 年高中学科基础测试文科) 数学试题卷 2012.1)(本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}中,a2=8,前 9 项和为 153. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)若从数列{an}中,依次取出第二项,第四项,第八项,?,第 2n 项,按原来的 顺序组成一个新的数列{cn},求数列{cn}的前 n 项和. 4.(本小题满分 14 分) 解: (I)设数列{an}的公差为 d,则
? a ? a ? d ? 8, 2 1 ? ? 9?8 d S 9 ? 9 a1 ? ? 153 2 ?

?

a1 ? 5 , d ? 3。

4分 7分 10 分

∴an=3n+2. (Ⅱ)Tn=a2+a4+a8+?+a2n =3(2+4+8+?+2n)+2n =3×
2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? 2n

=3·2n+1+2n-6.
97

14 分

5. (2011 学年金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科) ) (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 中, a1 ? 3, a n ?1 ? 2 a n ? 1( n ? 1) (1)设 bn ? a n ? 1( n ? 1, 2, 3 ? ) ,求证:数列 {b n } 是等比数列; (2)设 c n ?
2
n

a n ? a n ?1

,求证:数列 { c n } 的前 n 项和 S n ?

1 3



5 解: (1)由 a n ?1 ? 2 a n ? 1 ,得 a n ?1 ? 1 ? 2( a n ? 1),
? { a n ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比致列,

(3 分) (6 分)

(2)由(1)知? a n ? 1 ? 2 ? 2
? a n ? 2 ? 1,
n

n ?1

?2

n

(9 分)
2
n n n ?1

? bn ?
? 1

2

n

?
1 2
n ?1

a n a n ?1
?

(2 ? 1)(2

? 1)

2 ?1
n

?1

(11 分)

? Sn ? (

1 2 ?1
1

?

1 2 ?1
2

)?(

1 2 ?1
2

?

1 2 ?1
3

)???(

1 2 ?1
n

? 2

1
n ?1

?1

)?

1 3

? 2

1
n ?1

?1

?

1 3

6. (宁波市 2011 学年度第一学期期末试卷)(本小题满分 14 分) 在等差数列 { a n } 中,
a 10 ? 30 , a 20 ? 50 .

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n ; (Ⅱ)令 b n ? 2
a n ? 10

,证明:数列 {b n } 为等比数列;

(Ⅲ)求数列 { nb n } 的前 n 项和 T n .
? a 1 ? 9 d ? 30 6 (Ⅰ)由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , a 10 ? 30 , a 20 ? 50 ,得方程组 ? , a 1 ? 19 d ? 50 ?

解得 a 1 ? 12 , d ? 2 .
? a n ? 12 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 10 .

??4分

98

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ? 2

a n ? 10

? 2

2 n ? 10 ? 10

? 2

2n

? 4 ,?
n

b n ?1 bn

?

4

n ?1 n

? 4

4

? {b n } 是首项是 4,公比 q ? 4 的等比数列。

??9分

(Ⅲ) 由 nb n ? n ? 4 得:

n

Tn ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? ? ? n ? 4
2

n

4T n ?

1 ? 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 4 ? n ? 4
2 n

n ?1

相减可得: ? 3T n ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? n ? 4
2 n

n ?1

?

4 (1 ? 4 )
n

?3

? n?4

n ?1

Tn ?

( 3 n ? 1) ? 4 9

n ?1

?4

??14 分

7. (台州市 2011 学年第一学期高三年级期末质量评估试题) (本题满分 14 分) 已知 f ( x ) =
3 ? 4 ? 2 x ln 2 ,数列 ?a n ? 满足:
x

?

1 2

? a1 ? 0, 2

1? a n ? 1

? f ?a n ? n ? N

?

*

?

? 1 ? (1)求 f ( x ) 在 ? ? , ? 上的最大值和最小值; 0 ? 2 ?

(2)证明: ?

1 2

? an ? 0 ;
?

(3)判断 a n 与 a n ? 1 ( n ? N ) 的大小,并说明理由. 7. 解:(1) f ?( x ) ? ?1 ? 4 x ? ln 4, 当1 2 ? x ? 0 时, 0 ? 1-4 ?
x

1 2

,

? f ?( x ) ? 0

? f ? x ? ? 3-4

x

? 1 ? ? 2 x ln2 在 ? - , 0 ? 上是增函数 ? 2 ? 5 ? 1? ? f ?- ? ? -ln2 2 ? 2?

??????6 分

? f m ax ? x ? ? f ? 0 ? ? 2;f m in ? x ?

(2) (数学归纳法证明) ①当 n ? 1 时,由已知成立;

99

②假设当 n ? k 时命题成立,即 ?

1 2

? a k ? 0 成立,

那么当 n ? k ? 1 时,由①得 2 1? Q k ?1 ? f ( a ) ? ( ? ln 2, 2)
k

5

2

?

2 ?
1 2 1 2

3 2

?

5 2

? ln 2 ? 2

1? a k ?1

?2

? 1 ? a k ?1 ? 1 ?a k ? 1 ? ,这就是说 n ? k ? 1 时命题成立. 0

? ?

由①、②知,命题对于 n ? N ? 都成立 (3) 由 2
1 ? a n ?1

????9 分

?2

1? a n

? f ? an ? ? 2

1? a n

记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ?1 得 g ' ( x ) ? f ?( x ) ? 2 x ?1 ln 2 ? ?1 ? 2 x ? 4 x ? ln 4 ??10 分 当?
1 2 ? x ? 0 时,
2 2 ? 2 ? 1,
x

1 2

? 4 ? 1. 故 1 ? 2 ? 4 ? 1 ?
x x x

2 2

?

1 2

?0

? 1 ? 所以 g ' ( x ) <0 得 g(x)在 ? - , ? 是减函数, ? ? 12 分 0 ? 2 ?

∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 得 a n ?1 > a n

∴ f ?a n ? ? 2

1? a n

>0,即 2

1? a n ? 1

?2

1? a n

>0 ?????14 分

8. (台州市 2011 学年第一学期高三年级期末质量评估试题文) (本小题满分 14 分)已知函 数 f ( x) ? 3x ? 2 x , 数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , ( n S n ( n ? N ) 均在函数 f ( x ) 的 点 , )
2 *

图象上. (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ? 的 最小正整数 m .
2 8. 解: (1)由 S n ? 3 n ? 2 n ,得 a n ? 6 n ? 5 .

3 a n a n ?1

,T n 是数列 ? b n ? 的前 n 项和,求使得 T n ?

m 20

对所有 n ? N * 都成立

??????6 分

(2)? b n ?

3 a n a n ?1

?

1

2 6n ? 5

(

1

?

1 6n ? 1

)

100

? Tn ?

) ?????10 分 6n ? 1 2 6n ? 1 1 m 1 1 1 要使 (1 ? 对 n ? N * 成立,? (1 ? )? )? 2 6n ? 1 20 2 6n ? 1 2 m 1 ??????14 分 ? ? ,? m ? 10 ,故符合条件的正整数 m ? 10 . 20 2 2 7 1 7 13 6n ? 5

1

[(1 ?

1

)?(

1

?

1

) ?? ? (

1

?

1

)] ?

1

(1 ?

1

9.浙江省金华十校 (本题满分 14 分)

2011—2012 学年高三第一学期期末考试
n ?1

已知数列 { a n }满足 a 1 ? 1, a n ? 3 (I)求 a 2 , a 3 ; (II)求数列 { a n } 的通项公式。

? a n ?1 ( n ? 2 )

9.解: (I)由已知: ( a n ) 满足 a 1 ? 1, a n ? 3
? a 2 ? 3 ? a 1 ? 4 , ????3 分
a 3 ? 3 ? a 2 ? 13 ????6 分
2

n ?1

? a n ?1 ( n ? 2 )

(II)由已知: a n ? 3
a n ? a n ?1 ? 3
n ?1

n ?1

? a n ?1 ( n ? 2 ) 得:

, 由递推关系得:

a n ?1 ? a n ? 2 ? 3

n?2

, ? , a 3 ? a 2 ? 3 , a 2 ? a 1 ? 3 ,????9 分
2 1

叠加得: a n ? a 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
1 2

n ?1

?

3 (1 ? 3

n ?1

)

1? 3

?

3 ?3
n

. ????12 分

2

? an ?

3 ?1
n

. ????14 分

2

1.(2011学年第一学期十校高三期末联考数学试题(文))(14 分)已知{an}是正数组成的数列,a1=1, 且点( a n , a n ? 1 ) ? N*)在函数 y=x2+1 的图象上。 (n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn= 2 解: (Ⅰ)由已知得
n ?1

a n (n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 S n 。

a n ?1 ? a n ? 1
{ a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 ??3 分
101

根据等差数列的定义

所以

an ? n

??6 分
bn ? 2
n ?1

(Ⅱ) 由已知

an ? n2

n ?1

S n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n ?1 ? b n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
0 1 2
1 2 3

n?2

? n?2
n ?1

n ?1

------------①
n

2 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2

? n ? 2 ------------②

①-②得
-Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 2 n?2

?2

n ?1

? n?2

n

=2 ? 1 ? n ? 2
n

n

S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 1
n

??14 分

2. (2012 年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题(文)(本题 15 分)数 ) 列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? cn ( c 是不为零的常数, n ? 1,, ? ) 2 3, ,且 a1, a 2, a 3 成 等比数列. (Ⅰ) 求 c 的值; (Ⅱ)求 ? a n ? 的通项公式;
an ? c n

(Ⅲ)证明数列 {

} 是等差数列.

解: (错误!未找到引用源。 a1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c , a 3 ? 2 ? 3 c ,因为 a1 , a 2 , a 3 成等比 ) 数列, 所以 (2 ? c ) ? 2(2 ? 3 c ) ,解得 c ? 0 (舍)或 c ? 2 .
2

故c ? 2 ;

--- 5 分

(错误!未找到引用源。 )当 n ≥ 2 时,由于
a 2 ? a1 ? c , a 3 ? a 2 ? 2 c , ? ? a n ? a n ?1 ? ( n ? 1 c , )
n ( n ? 1) 2
102

所以 a n ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)]c ?

c.

3? 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 a n ? 2 ? n ( n ? 1) ? n ? n ? 2( n ? 2,, ) .
2

2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 a n ? n ? n ? 2( n ? 1,, ) ;
2

--- 5 分

(Ⅲ) b n ?

an ? c n

? n ? 1 ; b n ?1 ? n .
an ? c n

b n ?1 ? b n ? 1 ,∴数列 {

} 是等差数列.

--- 5 分

3. (2011 学年第一学期期中杭州七校高三联考数学试题) (本题 14 分) 己知数列 { a n } 的前 n 项和 S n , a1 ? 1, S n ? 1 ? 3 S n ? 1( n ? N ) (1)求 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ? (2 n ? 1) a 2 n ?1 ( n ? N ) ,求 {b n } 的前 n 项和 T n 。 解: (1)当 n ? 2 时, S n ?1 ? 3 S n ? 1, S n ? 3 S n ?1 ? 1 两式相减得: a n ?1 ? 3 a n ,由已知得: a1 ? a 2 ? 3 a1 ? 1 ,故 a 2 ? 3 由此可见对一切 n ? N , a n ? 0 ,且
?

?

?

a n ?1 an

?3

? { a n } 是以 3 为公比的等比数列, a n ? 3

n ?1

。 ……………7 分

(2) b n ? (2 n ? 1) ?9

n ?1

T n ? 1 ? 1 ? 3 ? 9 ? 5 ? 9 ? ? ? (2 n ? 1) ?9
2 2 3

n ?1


n

9 T n ? 1 ? 9 ? 3 ? 9 ? 5 ? 9 ? ? ? (2 n ? 1) ?9


n

①-②得: ? 8Tn ? 1 ? 2(9 ? 9 ? ? ? 9
2

n ?1

) ? (2 n ? 2) ?9 ? ? (2 n ?

5 4

) ?9 ?
n

5 4

? Tn ? (

n 4

?

5 32

) ?9 ?
n

5 32

……………………14 分

4. (学军中学 2011-2012 学年上学期高三期中数学试题 (理) ) 分) (16 已知数列{an}中, 1=2, a a2=4, 2 是函数 f(x)=an-1x2 ? 3an+an+1 (n≥2) 的一个零点. (1)证明{a n+1 -a n } 是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Sn;

103

(3)是否存在指数函数 g(x),使得对任意的正整数 n,有 ?

n

g (k) ( a k ? 1)( a k ? 1 ?1)

?

1 3

成立?

k ?1

若存在,求出满足条件一个 g(x);若不存在,说明理由. 解:(1) {a n+1 -a n }是 公 比 为 2的 等 比 数 列 , 由累差法易得 an = 2 ;…………………… 5 分 (2) 由错位相减法易得 Sn =(n-1) 2
x n

n ?1

+2; ……………….9 分

(3)存在,例如 g(x)= 2 ,用裂项法求和易得证。………………16 分 或用放缩法证明: 设 g ( k ) ? a k ,a>0 且 a≠1 ,

? (a
k ?1

n

g (k )
k

? 1)( a k ? 1 ? 1)

?

a 3 ?5

?

a

2

5 ?9

?

a

3

9? 17

? ....

a

n n ?1

?2
n

n

? 1 ? ?? 2

? 1?

?

a 3 ?5

?

a

2

3 ?5

?

a

3

3 ?5

? ....

a

3 ?5

?

a (1 ? a )
n

15(1 ? a )

当a ?

1 2

时,显然有

1? (1) 2 15

n

?

1 15

?

1 3

,故存在这样的指数函数

5. (温州十校 2011 学年度第一学期期中高三数学试题(理)(本小题满分 15 分) ) 已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , na n ?1 ? 2 ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) (Ⅰ)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项 a n ; (Ⅲ)设数列 {b n } 满足 b1 ?
1 2 , b n ?1 ? bn
2 2

( a n ?1 )

? b n , 证明:

(1)

1 b n ?1

?

1 bn

? ?

1 ( n ? 1)
2

,

(2) b n ? 1

解: (I) a 2 ? 2, a 3 ? 3, a 4 ? 4 (Ⅱ) na n ?1 ? 2( a1 ? a 2 ? ... ? a n )
( n ? 1) a n ? 2( a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1 )

……………3分 1 ○ 2 ○

1 2 ○—○得 na

n ?1

? ( n ? 1) a n ? 2 a n
104

即: na n ?1 ? ( n ? 1) a n ,

a n ?1 an

?

n ?1 n

……………6 分

所以 a n ? a1

a 2 a3 a1 a 2

...

an a n ?1

?1

2 3 1 2

...

n n ?1

? n(n ? 2)

所以 a n ? n ( n ? N )
*

……………8 分

(III) ( 1 ) 由(II)得: b1 ?

1 2

, b n ?1 ?

bn

2 2

( n ? 1)

? b n ? b n ? b n ? 1 ? ? ? b1 ? 0 ,

所以数列 {b n } 是正项单调递增数列,
2 2

……………10 分

当 n ? 1 , b n ?1 ?

bn

( n ? 1)

? bn ?

1 ( n ? 1)
2

b n b n ?1 ? b n ,

所以

1 b n ?1

?

1 bn

? ?

1 ( n ? 1)
2

,

……………12 分

( 2 ) ①当 n ? 1 时, b1 ? ②当 n ? 2 时,
1 bn ? ( 1 bn ? 1 b n ?1 )?? ? (

1 2

? 1 显然成立。

1 b2

?

1 b1

)?

1 b1

? ?(

1 n
2

?

1 ( n ? 1)
2

??

1 2
2

) ? 2,

? ?(

1 n ( n ? 1)
1 n

?

1 ( n ? 1)( n ? 2 )
1 n ? n ?1 n

??

1 2 ?1

) ? 2 ? ?(
n n ?1

1 n ?1

?

1 n

?

1 n?2

?

1 n ?1

??

1 1

?

1 2

)?2

? ? (1 ?

) ? 2 ?1?

, 所以 b n ?

? 1,

综上可知, b n ? 1 成立。

……………15 分

105

6. (2011-2012 学年上学期期中高三数学试题(文)(14 分)数列 { a n } 是以 a1 ? 4 为首项 ) 的等比数列,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列. (1)求 { a n } 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 | a n | , T n 为数列 {
1 bn ? bn ?1 } 的前 n 项的和,求 T n .

解:

① q=1时 , 显 然 不 成 立 ; q ? 1时 , 易 得 q=-2 ? a n = ? -2 ?

n+1

……………………8 分

② 易 得 b n =n+1,

1 b n b n+1

=

1 n ?1

?

1 n?2

, Tn ?

1 2

?

1 n?2

……………………14 分

7. (温州十校 2011 学年度第一学期期中考试高三数学试题(文)(14 分)已知数列 { a n } 的前 n ) 项和为 s n ? n ? n . ,
2

(I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)设各项均为正数的等比数列
{b n }的前 n 项和为 T n , 且 T 3 ? 14 , a 2 ? b 2 , a 1 ? b1 , a 5 ? b 3 成等差数列,求 Tn.

解:? S n ? n 2 ? n
? S n ? 1 ? ( n ? 1) ? ( n ? 1 ) ? n ? n ( n ? 2 )
2 2

? a n ? 2n(n ? 2) 又 a 1 ? S 1 ? 2 满足 a n ? 2 n

????2 分

? 数列 { a n }的通项公式为

a n ? 2n(n ? N ? )

????6 分

(II)设 {b n }的公比为 q ( q ? 0 ). 由(I)得 a5=10。
? 2 ( 2 ? b1 ) ? ( 4 ? b1 q ) ? (10 ? b1 q 2 ) ? 由题意得 ? ? b1 ? b1 q ? b1 q 2 ? 14 ?
1 2

????10 分

解得 b1 ? 6 , q ?

1 n 8[1 ? ( ) ] 1 2 ????12 分 ? T n ? ? 16 ? n ? 4 1 2 1? 2

??14 分

8. (宁波市 2011 学年度第一学期高三期末数(文)) (本小题满分 14 分) 在等差数列 { a n } 中,

106

a 10 ? 30 , a 20 ? 50 .

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n ; (Ⅱ)令 b n ? 2
a n ? 10

,证明:数列 {b n } 为等比数列;

(Ⅲ)求数列 { nb n } 的前 n 项和 T n .
? a 1 ? 9 d ? 30 解:(Ⅰ)由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , a 10 ? 30 , a 20 ? 50 ,得方程组 ? , ? a 1 ? 19 d ? 50

解得 a 1 ? 12 , d ? 2 .
? a n ? 12 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 10 .

??4分
2n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ? 2

a n ? 10

? 2

2 n ? 10 ? 10

? 2

? 4 ,?
n

b n ?1 bn

?

4

n ?1 n

? 4

4

? {b n } 是首项是 4,公比 q ? 4 的等比数列。

??9分

(Ⅲ) 由 nb n ? n ? 4 得:

n

Tn ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? ? ? n ? 4
2

n

4T n ?

1 ? 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 4 ? n ? 4
2 n

n ?1

相减可得: ? 3T n ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? n ? 4
2 n

n ?1

?

4 (1 ? 4 )
n

?3

? n?4

n ?1

Tn ?

( 3 n ? 1) ? 4 9

n ?1

?4

??14 分

107


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