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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第9讲 对数与对数函数


理解对数的概念及其运算性质;了解对数 换底公式,能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;了解对数的概念;理解对数函数的性 质,会画对数函数的图象;了解指数函数与对 数函数互为反函数.

1.对数

?1? 一般的,如果a x ? N (a ? 0且a ? 1),那么数x叫做
① _______ ,记作② _____ ,其中a叫做对数的 ③ _____ ,N叫做④ __________ .

? 2 ?以10为底的对数叫做⑤ _______ ,记作⑥ ______. ? 3?以e为底的对数叫做⑦ ________ ,记作⑧ ______. log log ? 4 ? 负数和零没有对数; a 1 ? ⑨ ____ , a a ? ⑩ ____ .

2.对数的运算性质

?1? 如果a ? 0且a ? 1,M
? ? ______ ;② log a

? 0,N ? 0,那么① log a ? M ? N ?

M ? ? ______ ;③ log a M n ? ? ______ . N ? 2 ? 对数的换底公式及恒等式 ① log a b ? log c b (a ? 0且a ? 1,c ? 0且c ? 1,b ? 0); log c a

②a log a N ? N (a ? 0且a ? 1); ③ log a n b m ? log a b( a ? 0且a ? 1,m、n ? N* ).

3.对数函数 一般的,我们把函数? __________ (a ? 0且a ? 1)叫做对数函数,其中x是自变量, 函数的定义域为? _____ .

4.对数函数的图象与性质

5.反函数 指数函数y=a x (a ? 0且a ? 1)与对数函数y=log a x(a ? 0且a ? 1) 互为22 _______ ,它们的图象关于直线23 _______ 对称, 指数函数y=a x (a ? 0且a ? 1)的定义域为{x | x ? R},值 域为? y | y ? 0?,对数函数y=log a x(a ? 0且a ? 1)的定义 域为? x | x ? 0?,值域为{ y | y ? R}.

【要点指南】

1.若 a>0,a≠1,x>y>0,n∈N,则下列各式: ①(logax)n=nlogax; ②(logax)n=logaxn; 1 1 n ③logax=-logax; ④ logax=nlogax; x-y x+y logax n ⑤ n =loga x; ⑥loga =-loga . x+y x-y 其中正确的个数有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 )

【解析】 只有③⑤⑥正确,故选 B.

2.已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m n= 12 .



【解析】因为 loga2=m,loga3=n,所以 am=2,an=3, 所以 a
2m+n

=(am)2·n=22×3=12. a

1 1 3.计算:(lg4-lg25)÷ 100-2= -20 .

1 【解析】原式=-(lg4+lg25)×1002=-lg100×10 =-2×10=-20.

4.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反 函数,且 f(2)=1,则 f(x)= log2x .

【解析】因为 y=ax 的反函数为 y=f(x)=logax, 又 f(2)=1,loga2=1,所以 a=2,所以 f(x)=log2x.

5.已知函数 f(x)=

1 , 则函数 f(x)的定义域是( ) 1 log2?2x+1? 1 B.(-2,0] D.(0,+∞)

1 A.(-2,0) 1 C.(-2,+∞)

1 1 【解析】由 log2(2x+1)>0=log21,得 0<2x+1<1, 1 所以-1<2x<0,所以-2<x<0, 1 所以 f(x)的定义域为(-2,0),故选 A.



有关对数及对数函数的运算问题
?x≥4? ?x<4?

?1x ?? ? 【例 1】 (1)设函数 f(x)=? 2 ?f?x+1? ?
a b

, f(log23)=_______; 则

2 1 (2)设 3 =4 =36,则a+b=__________; (3)计算: 1 lg5(lg8+lg1000)+(lg2 ) +lg6+lg0.06+52log53.
3 2

【解析】(1)因为 1<log23<2, 所以 f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23) 1 13 1 1 1 1 =(2)3+log23=(2) ·2)log23=8×3=24. ( (2)由 3a=4b=36 得 a=log336,b=log436,再根据换 1 1 底公式得 a=log336=log 3,b=log436=log 4. 36 36 2 1 所以a+b=2log363+log364=log36(32×4)=1.

1 6 (3)原式=lg5(3lg2+3)+( 3lg2) +lg(6×100)+5log59
2

=3lg5· lg2+3lg5+3lg22-2+9 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5+7 =3(lg2+lg5)+7=10.

【点评】对数函数的真数与底数应满足的条件是求解 有关对数问题时必须予以重视的,另外研究对数函数时尽 量化为同底.

素材1

2 (1)计算:lg5 +3lg8+lg5· lg20+(lg2)2= 3 ;
2

3a (2)已知 log89=a,2 =5,则 lg3= (用 a,b 2?b+1?
b

表示).

【解析】(1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+(lg5)2+2lg5· lg2+(lg2)2 =2lg10+(lg5+lg2)2 =2+1=3.

2lg3 3 【解析】(2)因为 log89=a,所以 a=3lg2,lg3=2alg2. lg5 1-lg2 1 又 2 =5,所以 b=log25=lg2= lg2 =lg2-1,lg2=
b

1 3a ,所以 lg3= . b+1 2?b+1?



对数函数的图象与性质问题
x2 【例 2】已知 f(x2-1)=loga 2(a>0,且 a≠1). 2-x (1)求 f(x)的解析式,并判断 f(x)的奇偶性; (2)判断函数的单调性; 1 (3)解关于 x 的方程 f(x)=logax.

【分析】先用换元法求解解析式,用定义判断奇偶性, 证明单调性;解不等式时,注意函数的单调性.

【解析】(1)令 x2-1=t,则 x2=t+1, 1+t x2 2 所以 f(t)=loga ,又 2>0,所以 0<x <2, 1-t 2-x 所以 0<t+1<2,即-1<t<1, 1+x 故 f(x)=loga (-1<x<1). 1-x 1-x 1+x -1 而 f(-x)=loga =loga( ) 1+x 1-x 1+x =-loga =-f(x), 1-x 故 f(x)是奇函数.

(2)设-1<x1<x2<1,则 1-x1>1-x2>0, 2 2 所以 < , 1-x1 1-x2 1+x1 2 1+x2 2 =-1+ < =-1+ . 1-x1 1-x1 1-x2 1-x2 1+x1 1+x2 (ⅰ)当 a>1 时,loga <loga , 1-x1 1-x2 即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(-1,1)上是增函数;

1+x1 1+x2 (ⅱ)当 0<a<1 时,loga >loga , 1-x1 1-x2 即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在(-1,1)上是减函数.

1+x 1 (3)由(1)可知,loga =logax, 1-x
?1+x 1 ? =x ?1-x 所以? ?-1<x<1 ?x>0 ?
?x2+2x-1=0 ? ?? ?0<x<1 ?

,解得 x= 2-1.

【点评】解决与对数有关问题,首先要看对数函数定义 域,复合函数 y=logaf(x)的单调区间也是 y=f(x)的单调区 间. 研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解 题的突破口.

素材2

1 1 1 (1)已知 log2a<log2b<log2c,则 2a,2b,2c 三个数从 小到大的排列是 2c<2b<2a . (2)若函数 f(x)=loga(2-ax)在(0,1]上是减函数, 则 a 的取值范围是 (1,2) .

1 1 1 1 【解析】(1)因为 log2a<log2b<log2c,又 y=log2x 是减 函数, 所以 a>b>c>0,而 y=2x 为增函数,所以 2a>2b>2c. (2)因为 a>0,且 a≠1,所以 t=2-ax 在(0,1]上为减函 数,且 t>0, 所以 2-a>0,即 a<2, 又 f(x)=loga(2-ax)在(0,1]上是减函数, 所以 y=logat 是增函数,所以 a>1, 故 1<a<2,即 a 的取值范围是(1,2).



有关对数函数的综合问题

1-ax 【例 3】(2011· 长沙模拟)设 f(x)=log 为奇函数,a x-1 2
1

为常数. (1)求 a 的值; 1x (2)若对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)>(2) +m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

【解析】(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x) 1 1+ax 11-ax 1+ax x-1 ?log2 =-log2 ? = >0 -x-1 x-1 -x-1 1-ax ?1-a2x2=1-x2?a=± 1. 经检验,a=-1(a=1 舍去).

1x (2)对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)>(2) +m 恒成 1x 立?f(x)-(2) >m 恒成立. 1x 1 2 1x 令 g(x)=f(x)-(2) =log2(1+ )-(2) , x-1 g(x)在[3,4]上是单调递增函数, 9 9 所以 m<g(3)=-8,即 m 的取值范围是(-∞,-8).

素材3

已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图 象关于直线 y=x 对称,又将 y=g(x)的图象向右平移 1 个单位 长度所得图象的解析式为 y=f(x),且 y=f(x)在[3,+∞)上总 有 f(x)>1. (1)求 f(x)的表达式; (2)求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)由已知,y=g(x)与 y=ax 互为反函数, 所以 g(x)=logax(a>0,且 a≠1), 所以 f(x)=loga(x-1). (2)因为 f(x)=loga(x-1)在[3,+∞)上总有 f(x)>1, 即 loga(x-1)>1.

所以当 a>1 时,a<x-1 在[3,+∞)上恒成立, 所以 1<a<2; 又若 0<a<1,则 loga(x-1)>1 在[3,+∞)上不可能 恒成立. 综上可得,a 的取值范围是(1,2).

备选例题

1 x x 已知 2 ≤256, log2x≥2, 且 求函数 f(x)=log22· 2 2 log
x

的最大值和最小值.

【解析】因为 2x≤256=28,所以 x≤8. 1 又 log2x≥2,所以 x≥ 2,故 x∈[ 2,8]. x x 因为 f(x)=log22· log 2 2 =(log2x-1)(log2x-2) =(log2x)2-3log2x+2.

1 令 log2x=t,因为 x∈[ 2,8],所以 t∈[2,3], 32 1 所以 y=t -3t+2=(t-2) -4,
2

3 3 1 当 t=2时,即 log2x=2,x=2 2时,[f(x)]min=-4; 当 t=3,即 log2x=3,当 x=8 时,[f(x)]max=2.

1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的 对数函数,若底数不相同时,可运用换底公式化 为同底数的对数,还要注意与0比较或与1比较. 2.把原函数作变量代换化归为二次函数,然后用 配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函 数的常见题型. 3.解含对数的函数问题时要首先考虑定义域,去掉 对数符号要注意其限制条件,注意在等价转化的原 则下化简、求解,对含参数问题注意分类讨论.


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