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2013绵阳二诊数学答案


绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCAA BBDAD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.30 12.30 13.-9 14. [
4 5 21 , ] ∪[ , ] 21 5 4 4 4

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2k? ? 解得 k ? ?

? ), 4

?
2

≤2x+

? 3? ≤ 2k? ? 时,f (x)单调递减, 4 2
5? 8

?
8

≤x≤ k? ?



即 f (x)的单调递减区间为[ k ? ? (Ⅱ)f ( ∴
A 4

?
8

, k? ?

5? 8

](k∈Z).

……………………6 分

A 8

)= 2 sin(

A 4

+

? 6 3 A ? )= ,即 sin( + )= , 2 2 4 4 4

+

? ? 2? ? 5? = 或 ,即 A= 或 (舍) . 4 3 3 3 3

??? ???? ? 1 由 AB ? AC =c·b·cosA=12,cosA= ,得 bc=24.①

2

又 cosA=

b2 ? c2 ? a2 2bc

1 2 2 ? ,a ? 2 7 ,得 b +c =52. 2

∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c,解得 b=4,c=6. ………12 分 17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设 DC=1. (Ⅰ)连结 AC,交 BD 于 G,连结 EG.依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,
1 2

P F D A x G B E C

y



1 2

).

∵ 底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(
1 2



1 2

,0),

??? ? ???? 1 1 且 PA ? (1,0,? 1), ? ( ,0,? ) . EG 2 2

∴ PA ? 2 EG ,这表明 PA//EG.而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴ PA//平面 EDB. ……………………………………………………………4 分 ??? ? (Ⅱ)依题意得 B(1,1,0), PB =(1,1,-1).
??? ???? ? ???? 1 1 1 1 又 DE ? (0, , ) , 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 . 2 2 2 2

∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , ∴ PB ? 平面 EFD.…………………………………………………………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ? PB , PB ? DF ,故 ?EFD 是所求二面角的平面角. 设点 F 的坐标为(x0,y0,z0), PF ? k PB , 则(x0,y0,z0-1)=k(1,1,-1),从而 x0=k,y0=k,z0=1-k,
??? ??? ? ? 1 ∵ PB ? FD =0,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=0,解得 k ? ,

??? ?

??? ?

3

??? ? ??? ? 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ∴ 点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 FE ? ( ? , , ? ) , FD ? ( ? ,? , ? ) 3 3 3 3 3 3 3 6 6 ??? ??? ? ? FE ? FD 1 ? ? ∴ cos ? EFD ? ??? ???? ? ,得 ?EFD ? . 3 | FE || FD | 2

∴ 二面角 C-PB-D 的大小为

? .…………………………………………12 分 3

18.解: (Ⅰ)甲投篮三次恰好得三分即 1 次投中 2 次不中, ∵ 甲投篮三次中的次数 x~B(3,
1 4 1 1 ∴ P(x=1)= C3 ? ? (1 ? ) 2 ? , 3 3 9

1 3

),

甲投篮三次恰好得三分的概率为

4 9

.…………………………………………4 分

(Ⅱ)设甲投中的次数为 m,乙投中的次数为 n, ①当 m=0,n=2 时,X=-6,
2 2 1 1 ∴ P(X=-6)= ? C2 ? ( ) 2 ? . 3 4 24

②当 m=1,n=2 或 m=0,n=1 时,X=-3, ∴ P(X=-3)=
1 1 2 1 1 3 13 . ? ( ) 2 ? ? C2 ? ? ? 3 4 3 4 4 48

③当 m=1,n=1 或 m=0,n=0 时,X=0, ∴ P(X=0)=
1 2 0 3 1 1 1 3 ? C2 ? ? ? ? C2 ? ( ) 2 ? . 3 4 4 3 4 2

④当 m=1,n=0 时,X=3,
1 0 3 9 ∴ P(X=3)= ? C2 ? ( ) 2 ? . 3 4 48

∴X 的分布列为 X P -6
1 24

-3
13 48

0
1 2

3
9 48

…………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)由 2an+1an=kan-an+1,可得
1 a n ?1 1 a n ?1

=

kan ? 1 2 an




4 3

?

2 k ?1

=

kan ? 1 2 an

?

1 2 4 2 1 1 2 = ( ? . ? ? ) ,首项为 ? a1 k ? 1 3 k ? 1 k ? 1 k an k ? 1

2



?

2 k ?1 2 k ?1
1 an ?

? 0 ,即 k=

5 2

时,数列 {

1 an

?

2 k ?1

} 为零数列,不成等比数列.



4 3

?

? 0 ,即 k>0,k ? 1 且 k ?
2 k ?1 } 是以

5 2

时,
1 k

数列 {

4 3

?

2 k ?1

为首项,
1 an 2

为公比的等比数列.
5 2

∴ 综上所述, k= 当
1 an ? 2 k ?1

5 2

时, 数列 {

?

k ?1

} 不成等比数列; k>0, ? 1 且 k ? 当 k

时,

数列 {

} 是等比数列.……………………………………6 分

(Ⅱ)当 k=3 时,数列 {
1

1 1 ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3
n

1



3 1 1 ? 1 ? ( ) n ,即 an= n =1- n , an 3 3 ?1 3 ?1
3n ? 4 3n ? 5

∴ an-

=1-

1 3n ? 1

-(1-

1 3n ? 5

)=

1 3n ? 5

-

1 3n ? 1

=

3 n ? 3n ? 4 (3n ? 5)(3n ? 1)



令 F(x) =3x-3x-4(x≥1),则 F ?( x ) =3xln3-3≥ F ?(1) >0, ∴ F(x)在 [1, ? ) 上是增函数. ? 而 F(1)=-4<0,F(2)=-1<0,F(3)=14>0, ∴ ①当 n=1 和 n=2 时, an<
3n ? 4 3n ? 5



②当 n≥3 时,3n+1>3n+5,即

1 3n ? 5

>

1 3 ?1
n

,此时 an>

3n ? 4 3n ? 5


3n ? 4 3n ? 5

∴ 综上所述,当 n=1 和 n=2 时,an< 20.解: (Ⅰ)由题意得,
x2 4 y2 3
( x ? 1) 2 ? y 2 x?4

3n ? 4 3n ? 5
1 2

;当 n≥3 时,an>

.…12 分

?



化简得:

?

? 1 ,即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆.

………………5 分

(Ⅱ)设 A(x1,x2),B(x2,y2). ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∵ OA ? OB =( OP ? PA )?( OP ? PB )= OP + OP ? PB + PA ? OP + PA ? PB , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 由题知 OP⊥AB,故 OP ? PB =0, PA ? OP =0. ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ∴ OA ? OB = OP + PA ? PB = OP - AP ? PB =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆
x2 4 ? y2 3 ? 1 ,得 y= ?
6 2



??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=-2- ? 0,这与 OA ? OB =0 矛盾,故此时 m 不存在. 4

②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴ |OP|=
x2 4
b 1? k
2

? 2 ,即 b2=2k2+2.

联立 ∴

?

y2 3

2 2 2 ? 1 与 y=kx+b 得,(3+4k )x +8kbx+4b -12=0,

x1+x2=

?8kb 3 ? 4k 2

,x1x2=

4b 2 ? 12 3 ? 4k 2


3b 2 ? 12 k 2 3 ? 4k 2

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ∴ 7b2-12k2-12=0, 又∵ b2=2k2+2,



??? ??? ? ?

4b 2 ? 12 3 ? 4k 2

+

3b 2 ? 12 k 2 3 ? 4k 2

=0.

∴ 2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.………………………………………13 分 21.解: (Ⅰ)由已知有 g ( x ) ?
f ( x +1) x +1 ? x = ln( x +1) ? x ,

于是 g ?( x ) ?

1 x +1

? 1= ?

x x ?1



故当 x∈(-1,0)时, g ?( x ) >0;当 x∈(0,+∞)时, g ?( x ) <0. 所 以 g(x) 的 单 调递 增 区间 是 (-1 ,0) , 单 调递 减区 间 是 (0 ,+∞) , g(x) 的极 大 值 是 g(0)=0. ……………………………………………………………………4 分
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

(Ⅱ)因为 f ?( x) ? ln x +1 ,所以 ln x0 +1 =
ln x0 ? ln x2 =

,于是

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? ln x2 ? 1 =

x2 ln x2 ? x1 ln x1 x2 ? x1

? ln x2 ? 1

= x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? 1 =
x2 ? x1

ln

x2 x1

x2 ?1 x1

?1 ,



x2 x1

=t (t>1), h (t )=

ln t t ?1

?1 ?

ln t ? t ? 1 t ?1



因为 t ? 1 ? 0 ,只需证明 ln t ? t +1 ? 0 . 令 ? t ) ? ln t ? t +1 ,则 ? ?(t ) ? ? 1 ? 0 , (
t 1

∴ ?(t )在 t ? (1,? ) 递减,所以 ?(t ) ? ?(1)= 0 , + 于是 h(t)<0,即 ln x0 ? ln x2 ,故 x0 ? x2 . 仿此可证 x1 ? x0 ,故 x1 ? x0 ? x2 .……………………………………………10 分 (Ⅲ)因为 a1 ? 1 , an ?1 ? (1 ? 于是 an ?1 ? (1 ?
1 2
n

1 2
n

) an ?

1 n2 1 n

? an ,所以 {an } 单调递增, a n ≥1. an =(1 ? 1 2
n

) an ?

1 n
2

? (1 ? 1 2
n

1 2
n

) an ?

2

?

1 n2

) an ,

所以 ln an ?1 ? ln an ? ln(1 ?

?

1 n2

).

(*)

由(Ⅰ)知当 x>0 时, ln(1+x ) <x. 所以(*)式变为 ln an ?1 ? ln an ? 即 ln ak ? ln ak ?1 ?
1 2
k ?1

1 2
n

?

1 n2



?

1 ( k ? 1) 2

(k∈N,k≥2),

令 k=2,3,…,n,这 n-1 个式子相加得
ln an ? ln a1 ? ( 1 2
1

+

1 2
2

+? +

1 2
n ?1

) ?[

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 ( n ? 1) 2

]

? (1-

1 2
n ?1

) ?[

1 1
2

?

1 2
2

?

1 2?3

?

1 3? 4

?? ?

1 ( n ? 2)( n ? 1)

]

=(1=(1= 11 4

1 2
n ?1

) ? [1 ? ) ?(1 ? ? 1

1

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )] 4 2 3 3 4 n ? 2 n ?1 ? ? 1 2 ? 1 n ?1 )

1 2 n ?1

1 4

1 2
n ?1

11 4

n ?1


11

即 ln an ? ln a1 ?

11 4

?

11 4

,所以 an ? e 4 .……………………………………14 分


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