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第3讲 导数的应用(二)


第3讲 【2013 年高考会这样考】 1.利用导数求函数的极值. 导数的应用(二) 2.利用导数求函数闭区间上的最值. 3.利用导数解决某些实际问题. 【复习指导】 本讲复习时, 应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用,会将一些实际 问题抽象为数学模型,从而用导数去解决.复习中要注意等价转化、分类讨论等 数学思想的应用. 基础梳理 1.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值,如果左右 两侧符号一样,那么这个根不是极值点. 2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值; 若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最 小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值. 3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题 中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小, 最大(小)者为最大(小) 值; (4)回归实际问题作答. 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义 判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能 下结论;另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条件. 如①y=|x|在 x=0 处取得极小值,但在 x=0 处不可导; ②f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x3 的极值点. (3)若 y=f(x)可导,则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要条件. 双基自测 1.(2011· 福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 ). D.9 解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x)在 x =1 处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实 ?a+b?2 ?6?2 ? =? ? =9,当且仅当 a=b=3 时取到等号. 数,所以 ab≤? ? 2 ? ?2? 答案 D


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