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(第32讲)数学归纳法的解题应用


题目 高中数学复习专题讲座 数学归纳法的解题应用 高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳 法所体现的比较突出的思想, 抽象与概括, 从特殊到一般是应用的一种主要 思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式 设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设 P(k)成立(k≥n0),可以推出 P(k+1)成立(归纳),则 P(n)对一切 大于等于 n0 的自然数 n 都成立 (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明 恒等式,不等式,数的整除性,几何中计 算问题,数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例 1 试证明 不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n * ∈N 且 a、b、c 互不相等时,均有 an+cn>2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一 般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只 证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (ak-ck)(a-c)>0 恒成立(a、b、c 为 正数),从而 ak+1+ck+1>ak·c+ck·a b 证明 (1)设 a、b、c 为等比数列,a= ,c=bq(q>0 且 q≠1) q
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∴an+cn=

bn n n n 1 +b q =b ( n +qn)>2bn n q q

(2)设 a、b、c 为等差数列,

an ? cn a?c n >( ) (n≥2 且 n∈N*) 2 2 下面用数学归纳法证明
则 2b=a+c 猜想
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①当 n=2 时,由 2(a2+c2)>(a+c)2,∴ ②设 n=k 时成立,即

a 2 ? c2 a?c 2 ?( ) 2 2

ak ? ck a?c k ?( ) , 2 2

a k ?1 ? c k ?1 1 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ? 2 4 1 k+1 k+1 k 1 > (a +c +a ·c+ck·a)= (ak+ck)(a+c) 4 4 a?c k a?c a ? c k+1 >( ) ·( )=( ) 2 2 2 也就是说,等式对 n=k+1 也成立 由①②知,an+cn>2bn 对一切自然数 n 均成立 1 例 2 在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an,Sn,Sn- 成等比数列 2 (1)求 a2,a3,a4,并推出 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论; (3)求数列{an}所有项的和 命题意图 本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识 知识依托 等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤 采用的方法是 归纳、猜想、证明 1 错解分析 (2)中,Sk=- 应舍去,这一点往往容易被忽视 2k ? 3
则当 n=k+1 时,
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技巧与方法

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求通项可证明{

1 1 1 }是以{ }为首项, 为公差的等差 Sn S1 2

数列,进而求得通项公式 解
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1 成等比数列, 2 1 ∴Sn2=an·(Sn- )(n≥2) 2
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∵an,Sn,Sn-

(*)

(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=- 由 a1=1,a2=-

2 3 2 15
( n ? 1) ( n ? 1)

2 1 ,S3= +a3 代入(*)式得 3 3

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a3=-

同理可得

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2 a4=- ,由此可推出 35

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?1 ? an= ? 2 ?? ( 2n ? 3)( 2n ? 1) ?
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(2)①当 n=1,2,3,4 时,由(*)知猜想成立 2 ②假设 n=k(k≥2)时,ak=- 成立 ( 2k ? 3)(2k ? 1)
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2 1 ·(Sk- ) ( 2k ? 3)(2k ? 1) 2 2 ∴(2k-3)(2k-1)Sk +2Sk-1=0 1 1 ∴Sk= (舍) , Sk ? ? 2k ? 1 2k ? 3 1 1 由 Sk+12=ak+1·(Sk+1- ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk- ) 2 2
故 Sk2=-

2a a 1 1 2 2 ? a k ?1 ? k ?1 ? a k ?1 ? k ?1 ? a k ?1 2 2k ? 1 2k ? 1 2 ( 2k ? 1) ?2 ? a k ?1 ? ,即n ? k ? 1命题也成立. [2( k ? 1) ? 3][2( k ? 1) ? 1] ?
?1( n ? 1) ? 由①②知,an= ? 对一切 n∈N 成立 2 ?? ( 2n ? 3)(2n ? 1) ( n ? 2) ?
(3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=

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1 ,∴S= lim Sn=0 n ?? 2n ? 1

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例 3 是否存在 a、 c 使得等式 1·2+2·2+…+n(n+1)2= b、 2 3 解
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n( n ? 1) (an2+bn+c) 12

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假设存在 a、b、c 使题设的等式成立,

1 ? ?4 ? 6 ( a ? b ? c ) ?a ? 3 ? 1 ? ? 这时令 n=1,2,3,有 ?22 ? (4a ? 2b ? c) ? ?b ? 11 2 ? ?c ? 10 ? 70 ? 9a ? 3b ? c ? ? ? 于是,对 n=1,2,3 下面等式成立 n(n ? 1) 1·22+2·32+…+n(n+1)2= (3n 2 ? 11n ? 10) 12 记 Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 k (k ? 1) 设 n=k 时上式成立,即 Sk= (3k2+11k+10) 12 k (k ? 1) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2 (k ? 1)(k ? 2) = (3k2+5k+12k+24) 12

(k ? 1)(k ? 2) [3(k+1)2+11(k+1)+10] 12 也就是说,等式对 n=k+1 也成立 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设对一切自然数 n 均成立 学生巩固练习 1 已知 f(n)=(2n+7)· n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整 3 除 f(n),则最大的 m 的值为( ) A 30 B 26 C 36 D 6 k 3 2 用数学归纳法证明 3 ≥n (n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 1 3 1 1 5 1 1 1 7 3 观察下列式子 1 ? ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? … 2 2 3 4 2 3 2 3 4 则可归纳出________
=
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已知 a1=
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3a n 1 ,an+1= ,则 a2,a3,a4,a5 的值分别为________,由此猜 an ? 3 2

想 an=________ 5 6
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用数学归纳法证明 4 2 n ?1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N* 若 n 为大于 1 的自然数,求证
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1 1 1 13 ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 24 7 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求数列{bn}的通项公式 bn;
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(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an} bn
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的前 n 项和,试比较 Sn 与 8
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1 logabn+1 的大小,并证明你的结论 3 设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足 a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求 an
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表达式,又如果 lim S2n<3,求 q 的取值范围
n ??

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参考答案 1 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除 证明 n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1 ?-(2k+7)·3k
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=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k - =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k 2 ?(k≥2) ? f(k+1)能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴所求最大的 m 值等于 36 答案 C 2 解析 由题意知 n≥3,∴应验证 n=3 答案 C
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解析

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1?

1 3 1 2 ?1 ? 1 ? 即1 ? ? 2 2 2 1?1 2 (1 ? 1)

1?

1 1 5 1 1 2? 2 ?1 ? 2 ? ,即1 ? ? ? 2 2 2 3 2 ?1 2 3 (1 ? 1) (2 ? 1) 1 1 1 2n ? 1 (n∈N*) ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

归纳为 ? 1

答案 : 1 ?

1 1 1 2n ? 1 (n∈N*) ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

1 3? 3a1 2 ? 3 ? 3 同理, 4.解析 : a 2 ? ? a1 ? 3 1 7 2?5 ?3 2 3a 2 3 3 3 3 3 3 3 a3 ? ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 猜想a n ? a2 ? 3 8 3 ? 5 9 4?5 10 5 ? 5 n?5

3 3 3 3 3 答案 : 、 、 、 7 8 9 10 n?5 2×1+1 5 证明 (1)当 n=1 时,4 +31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时,42k+1+3k+2 能被 13 整除,则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 ?) ∵42k+1·13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除 ∴当 n=k+1 时也成立 由①②知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除 1 1 7 13 6 证明 (1)当 n=2 时, ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12 24 1 1 1 13 (2)假设当 n=k 时成立,即 ? ??? ? k ?1 k ? 2 2k 24
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则当n ? k ? 1时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)(k ? 1) 24
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(1)解

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设数列{bn}的公差为 d,

?b1 ? 1 ?b ? 1 ? 由题意得 ? ,∴bn=3n-2 ?? 1 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 ?
(2)证明
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由 bn=3n-2 知

1 1 )+…+loga(1+ ) 4 3n ? 2 1 1 =loga[(1+1)(1+ )…(1+ )] 4 3n ? 2 1 1 而 logabn+1=loga 3 3n ? 1 ,于是,比较 Sn 与 logabn+1 ?的大小 3 3 1 1 )与 3 3n ? 1 的大小 ? 比较(1+1)(1+ )…(1+ 4 3n ? 2
Sn=loga(1+1)+loga(1+
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取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ?1 ? 1

1 取 n=2,有(1+1)(1+ ) ? 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1 4 1 1 推测 (1+1)(1+ )…(1+ )> 3 3n ? 1 (*) 4 3n ? 2 ①当 n=1 时,已验证(*)式成立
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②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+

1 1 )…(1+ )> 3 3k ? 1 4 3k ? 2

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1

?

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1

?(

3k ? 2 3 3k ? 1) 3 ? (3 3k ? 4 ) 3 3k ? 1 (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
3

?

3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1

1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 , 4 3k ? 2 3k ? 1 即当 n=k+1 时,(*)式成立 由①②知,(*)式对任意正整数 n 都成立 1 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1 ?, 3 1 当 0<a<1 时,Sn< logabn+1 ? 3 8 解 ∵a1·a2=-q,a1=2,a2≠0, 9 ∴q≠0,a2=- , 2 ∵an·an+1=-qn,an+1·an+2=-qn+1 ?
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两式相除,得

an 1 ? ,即 an+2=q·an an? 2 q
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于是,a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想

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a2n+1=-

1 n q (n=1,2,3,…) 2

?2 ? q k ?1 n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? 综合①②,猜想通项公式为 an= ? 1 k ?? q n ? 2k时(k ? N ) ? 2
下证 (1)当 n=1,2 时猜想成立 - (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2·qk 1 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=q·a2k-1 ? ∴a2k+1=2·qk 即 n=2k-1 成立 可推知 n=2k+1 也成立
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设 n=2k 时,a2k=- 所以 a2k+2=-

1 k q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=q·a2k ?, 2
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1 k q +1,这说明 n=2k 成立,可推知 n=2k+2 也成立 2 综上所述,对一切自然数 n,猜想都成立
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?2 ? q k ?1 当n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? 这样所求通项公式为 an= ? 1 k ?? q 当n ? 2k时(k ? N ) ? 2
S2n=(a1+a3…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1 ?)-

1 (q+q2+…+qn) 2

?

2(1 ? q n ) 1 q(1 ? q n ) 1 ? q n 4 ? q ? ? ?( )( ) 1? q 2 (1 ? q) 1? q 2 1? qn 4 ? q )( ) 1? q 2

由于|q|<1,∴ lim q n ? 0, 故 lim S 2 n = (
n ?? n ??

依题意知

4?q <3, 2(1 ? q )

并注意 1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q<

2 5

课前后备注

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