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2013年高考江苏卷第13题的高等数学背景


2 0 1 4 年第 1 2 期 

数 学款 学 

l 2 — 2 5  

2 0 1 3 年高考江苏卷第 1 3 题 的高等数 学背景 
2 2 6 5 0 0 江 苏省如皋市教 师进修 学校 徐 道 

2 0 1 3 年全 国高考江 苏卷第 1 3 题是:  

问题与高等数学 中的曲率及 曲率圆有关 .  

在平 面 直角 坐标 系 x O y中 ,设 定 点 A( a ,   。 ) , P是函数 =  (  > 0 ) 图像上一 动点, 若点 
P、   之 间的最 短距 离 为 2   , 则满 足 条件 的  实数 a 的所有值为  有考生声称, 此题可 “ 秒 杀” : a =-1 , 3 . 这 


曲率, 刻划 曲线 在某 一点 的弯 曲程 度. 圆  
上 的 所 有 点,曲 率 均 相 同.即 可 认 为 ,圆 上 任 

点 的弯 曲程 度相 同. 圆的半径 越大 , 曲率越 

小, 反 之 曲率 越 大. 圆的 半径 趋 于无 穷, 其曲  

率 趋于零 . 直 线 的 曲率 为零 , 即直线 一点儿 也 
不“ 曲” .  

些考 生很 快便 知, 这里有 “ 陷阱” , 正确 结果应  是a =一 1 , 、 / / 1 0 . 这道题 未深入 分析 时似 乎很 简 
单, 可 “ 秒杀 ”, 稍加分析不难 发现, 要 获得 正  确 结果, 需 要 考 生 具 备 较 强 的数 学 思 维 品 质 及  较 高的运用 数学 方法 的能力.笔 者认为, 此题  的一个最显著特征是有浓厚 的高等数学背景.   若将 这 道考 题 的条件 “ P、   之 间 的最 短 

当 曲线 Y= f ( x 1 在某 一 点 的一 、二 阶导 
数均存在 时, 其 曲率 计算 公 式 为 

k :I 0 — 

( 1 +   )  I  

1 .  
1  

曲线在这一点的曲率圆的半径定义为R=÷ .  
现 在我们 来求 Y= 二(  >0 ) 的 曲率及 曲  
率 圆半 径 .  
Y  = 一  一2 Y  = 2 x一3
, ,  

距 离” 改为 、 / / 2 , 则可 “ 秒 杀” :a= 0 , 2 . 这就 产 
生 一 个 问题 : 何 时 a的 取 值 能 使 对 应 的两 个 点  关 于( 1 ,1 ) 对 称 ,何 时不 关 于 ( 1 ,1 ) 对 称 ?这 个 

3 . 解 后 反 思 

比较 以上 几种 解 题方 法 , 我们 不 难 看 出,   “ 错解” 是普 遍存在 的, 但有经验 的教师可 以通  过 纠 正错 解, 帮助 学 生得 到 正确 的解题 方 法,  

在 矫枉 过 正 的过 程 中, 提 高 学 生 的解题 能力.  
在我们 的教学 中经常存在 一些看似 “ 正解” , 实  则“ 误解” 的解题方法 , 这样 的解题 往往有很 大  的偶然 性, 也 是解题 教 学的大 忌, 导致 的原 因  
经 常 是 教 师 自身 没 有 透 彻 理 解 , 从 而 学 生 也 是 

囫囵吞枣, 所 以我们教师不应该满足 于“ 误解” ,   而应该在 “ 错解” 和“ 误解” 的基础上进一步挖掘 

题 目, 寻求 问题 的“ 正 解” .“ 真解 ” 往 往揭 示 了  
问题 的本 质, 挖 掘 出 出题 的真 正 出发点, 但 不  可 否 认, 对 很 多题而 言, 要找出“ 真 解” 是很困   难 的, 笔者人认 为找 出“ 真 解” 对于 学生来说太 

难, 但对 教师来 说, 则非 常有 必要, 可 以让 教师  对数 学的本质认识更上一层楼.我们更应该从  通 性通 法上 入手, 通过 “ 通 解” , 让 学生有 法可  依 、有 法可 用, 做 到 以不 变而应 万变 , 遇 不 同  的题 目都 能泰然 处之, 通法 解之 , 这 才 是解题  教 学之道, 因此 高三 复习 时教师 要更注重通 性  通 法.至于 “ 巧解” , 过 于强调 技巧,曲高和 寡,   学生 不 易掌握 , 教学 时如 果 “ 巧解 ” 过 多, 久 而  久 之 可 能会 伤 及 学生 的学 习兴 趣 和 自信 心 .   题 多 解 对 于 思 维 训 练 的 重 要 性 早 已达  成共 识, 并成 为数 学教 学 的学科特 点, 但 教 师  在 教学 时应注 意进行 比较, 而不是为多解 而多  解, 应 该让学 生通 过甄别 比较 各种解题方 法 的   优 劣, 优化 自己的解题思 路, 在 以后 的学习 中,  


逐 步提升 自己的解题 能力, 这 才是一题 多解 的  真 正 意 义 所在 .  

2 — 2  
. 

数 学教 学 
I   2  —   I   2  

2 0 1 4 年第 1 2 期  

( 1 + - x 一   )   ) ; 0  
一  

( 1 +x 4 ) ~  
2  
一 —

(  
— — —

2 =   ( ~  )  
一 一

一  
=  

2 x3  

2  

b 2 ( b   2 x   2 +   a 2 y 2 )y l l = 一— b 2 (   b 2 x 2   +   a 2 y 2 )


向 

( 1 +   4 ) 量   (  +   。 ) 毒   ( 2 、 /  ?   x - 2 )  ̄一   X-

= ,

一 

≤  

” 成立 当且 仅 当“ X= 1 ” 时 成 立 .这 表 

、 / 2  

2 — — y — 3 — ‘   a



明, 曲线 Y= 二( X>0 ) 的曲率在 X= 1 时最大 ,  
曲率 圆的 半径  在 X= l时最 小 .  

所 以椭圆  X 2 +   y 2


1 上任一点的 曲率 为  

本文 仅讨 论 曲率在 曲线 上取 最大 值之 情 
形.  

b 4  
。  

如何 确 定 曲率 圆的 圆心 昵 ?对椭 圆、双  曲线 、抛 物 线 而 言,曲率 圆 的圆 心 总是 在 它  们 的 内部, 且在 曲线这一 点 的法线上 , 与这一 

I 齑
显 然,  



  。 I :  a b   4?  
a b 4  
≤ a b 4


点 的距 离 等于 曲率 圆半径 .因 而 Y= . 1 ( x>  
0 ) 在 X= 1时 的 曲率 圆半 径 为 R =   , 圆 心 为 

N( 2 , 2 ) , 曲率 圆的方程为 ( X 一2 )   +( Y 一2 )   =2 .   这个 圆的特征 是:与 Y= 二( X> 0 ) 在 M( 1 , 1 )  
山  _

[ 6 4 +( n   _6   )  1 ;   6 。   ” 成 立 当且 仅 当 “ Y= 0 ” 时成 立 .   这 表 明, 椭 圆  X 2+   y 2


= = = 西

b,  

1 ( n> 6> O ) 的 

1  

处相切, 整个 圆在 Y =二 ( z >0 ) 内部, 在 MN 上 
任取… 点 P, 以点 P为圆心, PM 为半径作 圆,  

曲率在 ( 土 n , 0 ) 处最大, 为  a 曲率 圆 半 径 最 小 ,  


为  .  

这个 圆也在 Y= 二(  >0 ) 内部, 也 与 Y= 二   (   >0 ) 在 M( 1 , 1 ) 处相切. 但在 M N 的延长线 
上取一点P   ,以 点 P  为 圆 心 ,P  M 为 半 径 作 

也易知, 椭 圆  +   y 2

=1 ( n> 6> 0 ) 的 


曲率在 ( 0 , 蛐) 处最小, 为一 b 百 曲率 圆 半 径最 大 ,  

圆, 这个 圆不全在 Y= 二 ( X>0 ) 内部, 即P   M 
1  

不是P   到 Y= 二 ( X> 0 ) 上任一点的最短距 离.  

为 譬 .   于 是 有如 下 结 论 .  
结论 1 设定 点 M ( m, 0 ) ( m >0 ) , P是椭 
y2 圆  x 2+ 


高考 题 中 的最 短 距 离 为 2 、 / / 2 ,大 于 Y =  
二( X>0 ) 在( 1 , 1 ) 的 曲率 圆半径, 故 a的取值  所对 应 的两 个 点不可 能关于 ( 1 , 1 ) 对 称.若高 

1 ( 。>6 >0 ) 上一动点, 若 P、M 


之 间 的最 短 距 离 为 d ≤ 一 5 2

考题 中的最短距离小于等于 、 / / 2 , a 的取值所对 
应 的两个 点关 于 f 1 , 1 ) 对 称, 可 “ 秒 杀 ” 出正  确 结果 .  

则 M 可 取 两 个 

点( a -d , 0 ) 及( a +d , 0 ) , 这 两个 点关于 ( a , 0 ) 对 
称;若 P、M 之 间 的 最 短 距 离 为 d >   ,  
则 m 的取值 比较复杂, 需具体情况具体分析.  

现 在 我们 来 讨 论椭 圆  +  
b> 0 ) 中 与 高考 题 相 似 的 问题 .  

=l ( a>  

对 于抛物线 Y  = 2 p x ( p> 0 ) , 可进行类 似 
讨论, 有如下结论.  

显然椭 圆  +   y =l ( a>b>0 ) 上任一 
a  o  

点的一 阶导数 、二阶导数都存在( 包括取 ∞) .  

结论 2 设 定 点 M ( m, 0 ) ,P是 抛 物 线 Y  


对  +   =1 两端取一阶导数, 得 
n  D。  

2 p x ( p> 0 ) 上一动 点, 若 P、M 之 间的最短 

2 x


2 y y  
+ 



,  

b 2 x  
,  

距离为d≤P , 则 M 可取两个 点( 一 d , 0 ) 及( d ,  
0 ) , 这 两个 点关于 原点对称 ; 若 P、M 之 间的 

u, Y = = =一 

即a 2 y   Y = 一b 2 x ,再 对 此 式 两 端 取 一 阶 导 数 

最短 距离 为 d >P , M 也可 取两 个 点 ( 一 d , 0 ) 及 

得,a 2 [   Y+ (   ]= 一 b 。 ,所 以,n   Y Y  :  

(   +   p 2 , 。 ) , 不 关 于 原 点 对 称 .  


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