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信号与系统知识点概括总结


复习
第二章:
奇异信号:u(t ), ? (t )
d u (t ) ? ? (t ) 两者关系: dt
d u (t ? t0 ) ? ? (t ? t0 ) dt

?
?
t

t

??

? (? )d? ? u (t )

??

? (? ? t0 )d? ? u(t ? t0 )

f (t )? (t ) ? f (0)? (t ) f (t )*? (t ) ? f (t )

?

?

??

? (t ) f (t )dt ? f (0)
?

f (t )? (t ? t0 ) ? f (t0 )? (t ) f (t )*? (t ? t0 ) ? f (t ? t0 )

?

??

? (t ? t0 ) f (t )dt ? f (t0 )

任意信号可分解为偶分量与奇分量之和,即

1 f e (t ) ? [ f (t ) ? f ( ?t )] 2 1 f o (t ) ? [ f (t ) ? f ( ?t )] 2

第三章:
周期信号---傅里叶级数(离散谱):

T1 ? ?

?三角形式:Cn (n?1 )? ? ?单边谱 ? ?指数形式:Fn ( n?1 )? ? ?双边谱

非周期信号---傅里叶变换(连续谱):

E

f (t )

E

f (t )

?

? T1 ? T1 ? ? 2 2

? 2

T1 2

T1

? t

?? / 2

? /2

t

n?1? E? Fn ? Sa( ) T1 2
E? T1

?? F ( j?) ? E? Sa( ) 2
E?

Fn
?1 2?1
2? ? 4? ?
?
? 4? ? ?

F ( j? )

2? ?

2? ?

4? ?

?

对偶性: 若 F [ f (t )] ? F ( j?), 则 F [ F ( jt )] ? 2?

f (??)
F ( j ?)

E

f (t )
E?

?? / 2

? /2
F ( jt )

t

?

4?

?

?

2?

?

2? ?

4? ?

?

E?

2?E
t

2? f (?)

4? ? ?

2? ? ?

2? ?

4? ?

?? / 2

? /2

?

若 F [ f (t )] ? F ( j? )
则 F [ F ( jt )] ? 2? f (?? ) 即

?

1 f (?? ) ? F [ F ( jt )] 2? 1 f (t ) ? F [ F ( jt )] ? ??t 2?

(3.5 ? 14)

时移特性 F [ f (t ? t0 )] ? F ( j?)e? j?t0

1 ? 尺度变换 F [ f (at )] ? F( j ) a a

频移特性(调制定理) 若F

? f (t )? ? F (j? ) ,
0



j? t ??F? ? F ? f ( t )e j( ? ? ? ) 0 ? ? ? ? 1 F ? ? f (t )cos ? 0t ? ?? 2 F? ? j(? ? ? 0 )? ??F? ? j(? ? ? 0 )? ?

?

?
?

j F ? ? f (t )sin ? 0t ? ?? 2 F? ? j(? ? ? 0 )? ??F? ? j(? ? ? 0 )? ?

?

F [e

j?0t

] ? 2?? (? ? ?0 )

F ? ?cos ? 0t ? ? ? ?? ?? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )? ?

F ? ?sin ? 0t ? ? ? j? ? ?? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )? ?

卷积定理:
若F

? f1 (t )? ? F1 (j? ),F ? f2 (t )? ? F2 (j? ) ,则
F

? f1 (t ) ? f2 (t )? ? F1 (j? )F2 (j? )

1 F ? f1 (t ) f 2 (t )? ? F1 (j? ) ? F2 (j? ) 2?
周期信号的傅里叶变换:

? ? 2? ? Fn? (? ? n? 1 ) F ( j? ) ? F ? f ( t ) ? ? n ???
1 其中 Fn ? T1

?

?

T1 / 2 ?T1 / 2

f (t )e

? jn? 1t

dt

1 或 Fn ? F0 ( j?) ?? n? 1 T1

拉普拉斯变换

F (s) ? L [ f (t )] ?

?

? 0?

f (t )e? st dt

------ f(t)的单边拉氏变换 典型信号的拉普拉斯变换----表3.7-1 拉普拉斯变换的基本性质
? d n f (t ) ? n n ?1 ? n? 2 ? ? L ? ? s F ( s ) ? s f (0 ) ? s f (0 )? ? n ? dt ? ? f ( n?1) (0? )

? s F ( s ) ? ? s n ? r ?1 f ( r ) (0? )
n r ?0

n ?1

拉普拉斯逆变换------部分分式展开法

第四章: 线性时不变系统:线性、时不变性、微分与积分性
零输入响应: 零状态响应: yzs (t ) ?
n

yzi (t ) ? ? Azik e? k t
k ?1

n

?k t A e ? zsk ? y p (t )
k ?1

y ( k ) (0? )

(k ) y zs (0? ) ? y ( k ) (0? ) ? y ( k ) (0? )

y (t ) ? ? Azik e
k ?1 n

n

?k t

? ? Azsk e
k ?1

n

?k t

? y p (t )

零输入响应

零状态响应

?? (Azik ? Azsk )e? k t ? y p (t )
k ?1 强迫响应 自由响应

h(t ), g (t ) :
卷积:

dg (t ) h(t ) ? dt
? ??

g (t ) ? ? h(? )d?
??

t

x(t ) ? h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d?
h(? ) ? h(?? )

四步曲:反褶、时移、相乘、积分。 反褶:

?t ? 0, 左移 t 时移: h(?? ) ? h(t ? ? ) ? h [?(? ? t )] ? ?t ? 0, 右移 t 相乘: x(? )h(t ? ? )
积分:

x(t ) ? h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d?
??

?

计算卷积的方法:

? x(t ) ? h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ? ?? ? 时域方法: ? dx(t ) t ? x(t ) ? h(t ) ? ? ? h(? )d? ?? dt ?
-1 ? x ( t ) ? h ( t ) ? F X ( j?) H ( j?) ? ? ? 变换域方法: ? -1 x ( t ) ? h ( t ) ? L ? X ( s) H ( s) ? ? ?

卷积的性质: 卷积的代数性质 (1)交换律

f1(t) ? f2 (t) ? f2 (t) ? f1(t)
f1 (t ) ?[ f2 (t) ? f3 (t)] ? f1 (t) ? f2 (t ) ? f1 (t) ? f3 (t)
[ f1(t) ? f2 (t)] ? f3 (t) ? f1(t) ?[ f2 (t) ? f3 (t)]

(2)分配律
(3)结合律

卷积积分的微分与积分

d df 2 (t ) df 1(t ) [ f1 (t ) ? f 2 (t )] ? f1 (t ) ? ? ? f 2 (t ) dt dt dt

?

t

??

[ f1 (? ) ? f 2 (? )]d? ? f1 (t ) ? ? f 2 (? )d? ? ? f1 (? )d? ? f 2 (t )
?? ??

t

t

第五章:
拉氏变换求解微分方程及电路(电路的s域模型) IR(s) +
I L( s ) Ic(s) +

R VR(s)

-

+

sL VL(s) +

-

+ Vc(s)

-

-

系统函数与冲激响应:

Y ( s) H ( s) ? ? L ? h(t ) ? X ( s)
自由响应:由系统函数的极点产生的响应

强迫响应:由激励信号的极点产生的响应

系统频率响应特性: 矢量作图法:

H (s)

零极点图
m

H ( j?)

H (s) ? H 0

? (s ? z ) ? (s ? p )
i ?1 i j ?1 n j

m

H ( j ?) ? H 0

? ( j? ? z ) ? ( j? ? p )
i ?1 i j ?1 n j

N1 N 2 H ( j?) ? H 0 M 1M 2

N m j[(?1 ?? 2 ? e Mn

?? m ) ?(?1 ?? 2 ? ? n )]

极点靠近jΩ 轴 幅频特性出 现峰点,相频特性迅速减小。

极点在jΩ轴上 幅频特性趋 ? 于 ?,相频特性出现 ? 180 跳变。

一般结论:

零点靠近jΩ轴 幅频特性出 现谷点,相频特性迅速上升。 零点在jΩ轴上 相频特性出现

幅频特性趋于0, ? 跳变。 180
零、极

零、极点离jΩ轴远 点影响很小。

系统模拟: 系统稳定性:

直接型、级联型、并联型

对于因果系统,系统稳定的充要条件是: H ( s ) 的所有极点 均在左半s平面


b1s ? b0 H ( s) ? 2 a2 s ? a1s ? a0

ai ? 0, i ? 0,1,2

------系统稳定的充要条件

第六章: 系统的频域分析: Y ( j? ) ? H ( j? ) X ( j? )

Y ( j? ) H ( j? ) ? ? F ? h(t )? -------- 频响特性 X ( j? )
信号的传输与滤波:
无失真传输:

y(t ) ? Kx(t ? t0 ) H ( j?) ? Ke? j?t0

理想低通滤波器:

?c Sa[? c (t ? t0 )] 冲激响应: h(t ) ? ?

H ( j?) ? e? j?t0 [u(? ? ?c ) ? u(? ? ?c )]

取样信号的傅里叶变换

f s( t )

f s (t ) ? f (t )?T (t )
? T (t ) ?

n ? ??

? ? (t ? nT )
1

?

?
Ts
?

?
t

1 1 Fs ( j?) ? F ( j?) ? P( j?) ? 2? Ts
F ( j ?)

n ???

? F[ j(? ? n?s )]
Fs ( j?)
?m ? ?c ? ?s ? ?m

1

1/Ts

?s ? 2?m

?
??m ? m ?

?
??s ?s ??c ??m ? m ?c ? s ? ?m
?

幅度调制(常规调幅 ---AM)

g (t ) ? A0 ? f (t ); c(t ) ? cos(?0t ? ?0 )


? 0 ? 0, c(t ) ? cos ?0t

sAM (t ) ? g (t )cos ?0t ? [ A0 ? f (t)]cos ?0t
s AM (t )

t

S AM ( j?) ? F [ s AM (t )] ? ? A0 [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )] 1 ? {F [ j (? ? ?0 )] ? F [ j (? ? ?0 )]} 2
F ( j ?)

1

(?A0 )
?

S AM ( j?)
1/ 2

(?A0 )

??m

?m

??0

?0 ? ?m

?0

? ?0 ? ?m

第七章:
z变换:

X ( z ) ? Z ? x[n]? ?

z变换的收敛域: 1)有限长序列

n ???

?

?

x[n]z ? n

x[n],

n1 ? n ? n2
n 1? 0, n 2 ? 0
n 1? 0, n 2 ? 0

收敛域

0? z ??

z ?0
z ??
收敛域

n 1? 0, n 2? 0
2)右边序列

x[n],

n1 ? n ? ?
n1<0
n1>0

Rx1 ? z ? ?

z ? Rx1

3)左边序列

x[n],

-? ? n ? n2
n2
n2
>0 <0

收敛域

0 ? z ? Rx1

z ? Rx1
收敛域

4)双边序列

x[n],

-? ? n ? ?

Rx1 ? z ? Rx 2
z逆变换:部分分式展开法

第八章:
零输入响应与零状态响应:

y[n] ? yzi [n] ? yzs [n]

yzi [n] :

当激励x[n]=0时,由系统的起始状态y[-1], y[-2], y[-N]所产生的响应。 的激励x[n]所产生的响应。

?

yzs [n] : 当起始状态y[-1]=y[-2]=

? =y[-N] =0时,由系统
(Ck ? Czik ? Czsk )

y[n] ? ? Ck ? ? y p [n]
k ?1 n k 强迫响应
N

N

自由响应

? ? Czik ? kn ? ? Czsk ? kn ? y p [n]
k ?1 k ?1 零输入响应 零状态响应

N

离散线性卷积(卷积和):

y[n] ?

m ???

? x[m]h[n ? m] ? x[n] ? h[n]
m ???

?

x[n] ? u[n] ?

? x[m]u[n ? m] ? ? x[m]
m ???

?

n

反褶、时移、相乘、求和四个步骤:

h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 ? x[m]h[n ? m]
m ???

?

z变换求解差分方程,系统函数H(z):

稳定性: 离散系统稳定的充分必要条件是H(z)的收敛域必须包含单位圆。
因果系统: H(z)的全部极点落在单位圆内 离散系统的频率响应特性: -------频率响应的几何作图法

H ( z) H ( z)
数字滤波器:

z ? e

j?T

z ? e

j?

H (e j?T )

H (e j? )

离散系统频率响应是? 的连续的周期函数,周期为2? 。

----------直接型、级联型和并联型

第九章 系统的状态变量分析 连续系统状态方程的建立:
(1)给定电路------选电容两端电压和流经电感的电流作为状态变量 (2)系统的信号流图------选择积分器、延时器的输出作为状态变量

?H (s)? ? [C ]?s[ I ] ? [ A]?

?1

[ B ] ? [ D]

?1 ? ? ?H ( z)? ? [C ] z[ I ] ? [ A] [ B] ? [ D]

-------- 系统函数矩阵


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