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2015年绵阳市高2013级第一次诊断性考试(理数含答案)


绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试

数学 (理工类 )参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADD BACBC 14 . 2 15 .①③ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

10? 12 . 3 13 . a ≥ 2 11 . ?0 ,
16 . 解 :( 1 )∵ m ⊥ n,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. ∴ m· n =(cos α, 1 - sin α ) · ( - cos α , sin α )=0 , 即 - cos 2 α +sin α - sin 2 α =0 . …………………………………………………… 3 分 由 sin 2 α +cos 2 α =1 ,解得 sin α =1 , ∴ ? ? 2k? ?

?
2

, k ∈ Z. ………………………………………………………… 6 分

( 2 ) ∵ m -n =(2cos α , 1 - 2sin α ) , ∴ |m - n |= (2 cos? ) 2 ? (1 ? 2 sin? ) 2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

……………………………………………………… 9 分
1 , 2

∴ 5 - 4sin α =3 ,即得 sin? ? ∴ cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ?

1 .…………………………………………………… 12 分 2

17 . 解: ( 1 )由已知 a n +1 =2 a n + λ ,可得 a n +1 + λ =2(a n + λ ) . ∵ a 1 =1 , 当 a 1 + λ =0 ,即 λ= - 1 时, a n + λ =0 ,此时 { a n+ λ } 不是等比等列. 当 a 1 + λ ≠ 0 ,即 λ ≠ - 1 时, ………… 3 分

an?1 ? ? ? 2 (常数). an ? ?

此时,数列 {an ? ?} 是以 a1 ? ? ? 1 ? ? 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 ,于是 an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 . ( 2 )当 λ =1 时, a n =2 n - 1, ∴ bn ? 分 ∴ Sn ? ……………………… 6 分

n . 2n

…………………………………………………………………… 7

1 2 3 n ? ? ? ?? n , 21 22 23 2

1 1 2 3 n 1 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 2 1 2 n?1 1? 2
两边同乘以

? 1?
∴ Sn ? 2 ?

1 n ? n?1 , n 2 2

1 n ? n .………………………………………………………… 12 分 n?1 2 2 18 . 解 :( 1 )设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an ,捐资总额为 b n .
则 a n =80+( n - 1) a, b n =50+( n - 1) × 10=40+10 n . ∴ 当 a =10 时, a n =10 n+70 , ∴ …………………………… 2 分

bn 40 ? 10n ? ? 0.8 , an 10n ? 70

解得: n>8 . …………………………………………………………………… 5 分 即从第 9 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. ………… 6 分 ( 2 )由题意: 即

bn ?1 bn ? , an ?1 an

40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,……………………………………………… 8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a

整理得 (5+ n )[80+( n - 1) a ]- (4+ n )(80+ na )>0 , 即 400+5 na -5 a + 80 n+ n 2 a -na - 320 - 4 na- 80 n - n 2 a>0 , 化简得 80 - 5 a>0 , 解得 a <16 ,…………………………………………………………………… 11 分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. …………………………………………… 12 分 19 . 解 :( 1 )在 Rt△ ABC 中, AC =AB cos60? = 6? ∵ CD ? CA ? AD , ∴ CD ? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

1 1 ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2× 3 × cos120? =6. ………………………………………………………………… 4 分

( 2 )在△ ACD 中,∠ ADC=180? - ∠ A - ∠ DCA= 120? -θ,

3 3 3 CD AC 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC 3?
…………… ………………………… 5 分 在△ AEC 中,∠ ACE= θ +30? ,∠ AEC=180? - 60? - ( θ+30? )=90? -θ,

3 3 3 CE AC 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos? sin A sin ?AEC 3?
分 ∴ S ?DCE ?

…6

1 1 3 3 3 3 CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
?


27 1 ? , 16 sin(120? ? ? ) ? c o ? s

………………… 7

令 f( θ )=sin(120? - θ )cos θ , 0? ≤ θ ≤ 60? , ∵ f( θ )=(sin120? cos θ - cos120? sin θ )cos θ

?
?

3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2
3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? sin 2? 2 2 2 2

?
?

3 1 3 1 ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2
3 1 ? sin(2? ? 60?) ,……………………………………………… 10 分 4 2

由 0? ≤ θ ≤ 60? ,知 60? ≤ 2 θ +60? ≤ 180? , ∴ 0 ≤ sin(2 θ +60? )≤ 1, ∴

3 3 1 ? , ≤ f(θ)≤ 4 4 2 1 4 3 ≤ , f (? ) 3

∴ 4(2 ? 3 ) ≤ ∴

27 3 27 .…………………………………………… 12 分 (2 ? 3 ) ≤ S ?DCE ≤ 12 4

20 .解:( 1 ) f ?( x) ? 3ax 2 ? bx ? c , 由题意得 3 ax 2 +bx + c≥ 0 的解集为 { x |- 2 ≤ x ≤ 1} ,

∴ a <0,且方程 3 ax 2+ bx+ c =0 的两根为 - 2, 1 .

b c ? ?1 , ? ?2 , 3a 3a 得 b =3 a , c= - 6 a . ……………………………………………………………… 2 分
于是 ? ∵ 3 ax 2 + bx+ c <0 的解集为 { x |x < - 2 或 x >1} , ∴ f( x ) 在 ( - ∞, - 2) 上是减函数,在 [ -2 , 1] 上是增函数,在 (1, +∞ ) 上是减函 数. ∴ 当 x = - 2 时 f( x ) 取极小值,即 - 8 a+2 b -2 c - 1=- 11, 把 b =3 a , c= - 6 a 代入得 -8 a +6 a+12 a - 1= - 11, 解得 a = - 1.……………………………………………………………………… 5 分

1 ( 2 )由方程 f( x ) - ma+1=0 ,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 , 2
即 ax3 ?

3 2 ax ? 6ax ? ma . 2

3 2 x ? 6 x .………………………………………………………… 7 分 2 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6x , 2
∴ m ? x3 ? ∴ g ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? b ? 3( x ? 2)( x ? 1) . 列表如下: x ( - ∞, - 2) + ↗ -2 0 极大值 ( - 2 , 1) ↘ 1 0 极小值 (1 , + ∞ ) + ↗

g ?( x)
g(x) ∴

g ( x ) 在 [ - 3 , - 2] 是增函数,在 [ - 2, 0] 上是减函数.…………………… 11 分

又∵ g (?3) ?

9 , g ( - 2)=10 , g (0)=0, 2

由题意,知直线 y =m 与曲线 g ( x) ? x3 ? 于是 m =10 或 0<m < 21 . 解 :( 1 ) f ?( x) ?
9 . 2

3 2 x ? 6x 仅有一个交点, 2

……………………………………………………… 13 分

1 x , ?1 ? x ?1 x ?1 ∴当 x ∈ ( - 1 , 0) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f( x ) 在 ( - 1 , 0) 上是增函数,
当 x ∈ (0 , + ∞ ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f( x ) 在 (0 , + ∞ ) 上是减函数. ∴ f( x ) 的单调递增区间为 ( - 1 , 0) ,单调递减函数区间为 (0 , + ∞ ) .……… 3 分

3 3 ( 2 )由 f( x - 1)+ x > k (1 ? ) 变形得 ln x ? ( x ? 1) ? x ? k (1 ? ) , x x

整理得 x ln x + x - kx+3 k>0 , 令 g ( x )= x ln x + x - kx +3 k ,则 g ?( x) ? ln x ? 2 ? k. ∵ x >1, ∴ ln x >0 若 k ≤ 2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,即 g ( x ) 在 (1 , + ∞ ) 上递增, ∴ 由 g (1)>0 即 1+2 k>0 解得 k ? ?

1 , 2

1 ? k ? 2. 2 又∵ k ∈ Z,
∴ ? ∴ k 的最大值为 2. 若 k >2 时,由 ln x +2 - k>0 解得 x > e k ? 2 ,由 ln x +2 - k <0,解得 1< x < e k ? 2 . 即 g ( x ) 在 (1 , e k ? 2 ) 上单调递减,在 ( e k ? 2 , + ∞ ) 上单调递增. ∴ g ( x ) 在 (1 , +∞ ) 上有最小值 g ( e k ? 2 )=3 k - e k ? 2 , 于是转化为 3 k - e k ? 2 >0( k>2) 恒成立,求 k 的最大值. 令 h ( x )=3 x - e x ? 2 ,于是 h?( x) ? 3 ? e x?2 . ∵ 当 x >2+ln3 时, h?( x) ? 0 , h ( x ) 单调递减,当 x<2+ln3 时 h?( x) ? 0 , h ( x ) 单调 递增. ∴ h ( x ) 在 x =2+ln3 处取得最大值. ∵ 1<ln3<2 , ∴ 3<2+ln3<4 , ∵ h(1) ? 3 ? ∴ k≤ 4. ∴ k 的最大取值为 4 . ∴ 综上所述, k 的最大值为 4. ………………………………………………… 9 分 ( 3 )假设存在这样的 x 0 满足题意,则 由 e f ( x0 ) ? 1 ?

1 2 3 ? 0 , h (2+ln3)=3+3ln3>0 , h (4)=12 - e >0 , h (5)=15- e <0 , e

a 2 x ?1 a 2 x0 等价于 x0 ? 0 x0 ? 1 ? 0 ( *). 2 e 2

要找一个 x 0 >0,使 (*) 式成立,只需找到当 x>0 时,函数 h ( x )= 最小值 h ( x ) min 满足 h ( x ) min<0 即可. ∵ h?( x ) ? x ( a ?

a 2 x ?1 x ? x ?1 的 2 e

1 ), ex

令 h?( x) =0 ,得 e x=

1 ,则 x = - ln a,取 x 0 = - ln a , a

在 0< x < x 0 时, h?( x) <0 ,在 x>x 0 时, h?( x) >0 , ∴ h ( x ) min= h ( x 0 )= h ( - ln a )=

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 , 2 a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 <0 成立即可. 2

下面只需证明:在 0< a <1 时, 又令 p ( a )= 则 p?(a) ?

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 , a ∈ (0 , 1), 2

1 (ln a)2 ≥ 0 ,从而 p (a )在 a ∈ (0 , 1)时为增函数. 2 ∴ p ( a )< p (1)=0,因此 x 0= - ln a 符合条件,即存在正数 x 0 满足条件.
………………………………………………… 14 分


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