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8.空间几何体的表面积和体积练习题


一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分。请把选择答案填在答题卡上。 ) 1.以三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积是原三棱锥表面积的 A.

1 3

B.

1 4

C.

1 9

D.

1 16

2.正六棱锥底面边长为 a,体积为

3 3 a ,则侧棱与底面所成的角等于 2
D.

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

5? 12

3.有棱长为 6 的正四面体 S-ABC, A?, B ?, C ? 分别在棱 SA,SB,SC 上,且 S A? =2,S B ? =3, S C ? =4,则截面 A?B ?C ? 将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.

1 9

B.

1 8

C.

1 4

D.

1 3

4.长方体的全面积是 11,十二条棱长的和是 24,则它的一条对角线长是 A. 2 3 . B. C. 5 D.6 14 5.圆锥的全面积是侧面积的 2 倍,侧面展开图的圆心角为 ? ,则角 ? 的取值范围是 A. ?0?,90?? B ?180?,270?? C ?90?,180?? D? 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程 x ? 9 x ? 18 ? 0 的两根,其侧面积等于两底面 积的和,则其斜高与高分别为
2

A.

5 与2 2

B.2 与

3 2
A.

C.5 与 4

D.2 与 3

7.已知正四面体 A-BCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、G、H,设四面体 E-FGH 的表面积为 T,则

T 等于 S

1 9

B.

4 9

C.

1 4

D.

1 3

8. 三个两两垂直的平面, 它们的三条交线交于一点 O, 点 P 到三个平面的距离比为 1∶2∶ 3,PO=2 14 ,则 P 到这三个平面的距离分别是 A.1,2,3 B.2,4,6 C.1,4,6 D.3,6,9 9.把直径分别为 6cm,8cm,10cm 的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径是 A. 3cm B. 6cm C. 8cm D. 12 cm 9. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方 形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该 多面体的体积为 A. 2 / 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 10.如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的 内切球(与四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别交于 E、F,如果截面将四面 体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的 表面积分别是 S1、S 2 ,则必有 A.S1?S2 B. S1?S2 C. S1=S2 D. S1与S 2 的大小关系不能确定
1
B E C O D F A

11.三角形 ABC 中,AB= 2 3 所得简单组合体的体积为

,BC=4, ?ABC ? 120 ? ,现将三角形 ABC 绕 BC 旋转一周,

A. 4? B. 3(4 ? 3)? C.12 ? D. (4 ? 3)? 12.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分). 13. 一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为 14.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截, 剩下部分母线长的最大值为 a , 最小值为 b , 那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是 15.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,?ACB=90?,AC=6, BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值,为使圆柱侧面积最大,轴截面对角线与底面所成的 角为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 4 个大题,共 20 分). 17.圆锥的底面半径为 5cm ,高为 12 cm ,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的 内接圆柱全面积有最大值?最大值是多少? 18.如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面对角线 A1B 与侧面 ACC1A1 成 45°角,AB=4,求 棱柱的侧面积.

A组
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面 积与侧面积的比是( ). 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? (A) (B) (C ) (D) 2? 4? ? 1 ? 4? 2? 2. 在棱长为 1 的正方体上, 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ). 2 3 4 5 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6 3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是 6cm 和 8cm,高是 5cm,则这个直棱柱的全面积是 。 4. 已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆, 且它们的侧面积 之比为 1:2,则它们的高之比为 。 5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 1cm,2cm,3cm,则 此棱锥的体积_______________。
2

6.矩形两邻边的长为 a、b,当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体 的体积之比为 。 1 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的6,经过这三 点的小圆周长为 4π,则这个球的表面积为 。 B组 1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面 积与四面体 ABCD 的表面积的比值是 。 2.半径为 R 的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半 球的球面上,则该正方体的表面积是 。 3. 如图, 一个棱锥 S-BCD 的侧面积是 Q, 在高 SO 上取一点 A, 1 使 SA= SO,过点 A 作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱 3 台的侧面积.

4. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,边长 AB=a,且 PD=a, PA=PC= 2 a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大半径.

3

题号 答案

1 C

2 B

3 B

4 C

5 D

6 A

7 A

8 B

9 B A

10 C

11 C

12 B

13.3 ? .

14.

( a ? b) r 2 ? . 2

15.

37 ? 1

16.

45

0

.

360 ? 18.棱柱的侧面积为 24 2 7 A 组 1.解:设展开图的正方形边长为 a,圆柱的底面半径为 r,则 2πr=a, a2 ? a2 2 a a 1 ? 2? r? ,底面圆的面积是 ,于是全面积与侧面积的比是 2? 2 ,. ? 2? 4? a 2? 2 正方体的体积为 1, 过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的 1 1 1 1 1 1 1 5 体积是 ? ( ? ? ) ? ? , 8 个三棱锥的体积是 ,剩余部分的体积是 , 3 2 2 2 2 48 6 6 3.底面菱形中,对角线长分别是 6cm 和 8cm,所以底面边长是 5cm,侧面面 积是 4×5×5=100cm2,两个底面面积是 48cm2,所以棱柱的全面积是 148cm2. 4.解:设圆柱的母线长为 l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且 2? 4? 它们的侧面积之比为 1: 2, 所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 和 , 3 3 2? r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ? ? ,得 r1 ? , r2 ? , l 3 3
17.当 r=30/7cm 时,S 的最大值是

l l 2 ? ( )2 3 ?2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3

5.解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为 1cm, 2cm 的两条)确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积 1 是 1,高为 3, 则它的体积是 ×1×3=1cm3. 3 6.解:矩形绕 a 边旋转,所得几何体的体积是 V1=πb2a,矩形绕 b 边旋转,所 得几何体的体积是 V2=πa2b,所以两个几何体的体积的比是

V1 ? b2 a b ? ? . V2 ? a 2b a
A

7 解:小圆周长为 4π,所以小圆的半径为 2,又这三点 A、B、 C 之间距离相等, 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 ,又 A、B 之间
4

H B F M E C G N D

的大圆劣弧长等于大圆周长的

1 ,所以 A、B 在大圆中的圆心角是 60° , 6

所以大圆的半径 R=2 3 ,于是球的表面积是 4πR2=48π. B 组 解:如图,不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似的。所以关键 是求出它们的相似比, 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N, 由于 F、G 分别是三角形的重心,所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点,且 AF:AM=AG:AN=2:3, A1 所以 FG:MN=2:3,又 MN:BD=1:2, 所以 FG:BD=1:3,即两个四面体的相似比是 1:3, 所以两个四面体的表面积的比是 1:9. O A 2.解:如图,过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的面。 则 OC1=R, CC1=a, OC=
2 2 2 2 a 所以 a 2 ? ( 得 a2= R2, a) ? R 2 , 3 2 2

C1

C

所以正方体的表面积是 6a2=4R2. 3.解:棱锥 S-BCD 的截面为 B’C’D’,过 S 作 SF⊥B’C’,垂足为 F,延长 SF 交 BC 于点 E,连结 AF 和 OE,∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’,平 面 B’C’D’ ∩平面 SOE=AF ,平面 BCD ∩平面 SOE=OE ,∴ AF SA SF 1 1 ? ? ? , 即 S F ? S E, 同 理 可 得 AF//OE , 于 是 OE SO SE 3 3 1 1 1 B ' C ' ? BC , ∴ S ?SB 'C ' ? S ?SBC , S ?SB ' D ' ? S ?SBD , 3 9 9 1 1 8 S ?SC ' D ' ? S ?SCD ,∴ S 棱锥 S-B’C’D’= Q,∴ S 棱台侧= Q. 9 9 9 4.解:设放入的球的半径为 R,球心为 S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相 切时,球的半径最大, 连结 SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱 锥,这些小棱锥的高均为 R,底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系,得 R VP ? ABCD ? ( S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCD ? S ?PAD ? S? ABCD ) 3
? R 2 2 2 2 1 2 1 2 ( a ? a ? a ? a ? a2 ) 3 2 2 2 2
? R ( 2? 3 2a)2

R 1 1 1 (2 ? 2)a 2 ? a 3 , 又 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= a3,∴ 3 3 3 3

解得 R=

2? 2 2? 2 a ,故所放入的球的最大半径为 a. 2 2
5


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