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高一数学必修1第一章 1.3.2 第1课时


§1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念

内容 索引

01

明目标 知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04

明目标、知重点

1.理解函数的奇偶性及其几何意义.

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤.

填要点·记疑点 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个 x ,

都有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个 x , 都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.

2.奇、偶函数图象的对称性

(1)偶函数的图象关于 y轴 对称,图象关于 y轴 对 称 的 函 数
一定是偶函数. (2)奇函数的图象关于 原点 对称,图象关于 原点 对 称 的 函 数 一定是奇函数. 3.判断函数奇偶性的原则 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域 是否关于 原点 对称.

探要点·究所然 情境导学

美丽的蝴蝶,盛开的鲜花,六角形的雪花晶体,中国的
古建筑,我们学校的综合大楼,它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映.今天,让我

们开启知识的大门,进入函数奇偶性的学习.

探究点一 偶函数的概念

思考1

观察下列函数的图象,你能通过函数的图象,归纳

出三个函数的共同特征吗?并比较f(x)与f(-x)的大小.



三个函数的定义域关于原点对称,三个函数的图象

关于y轴对称,即f(x)=f(-x).

思考 2

如果函数 y =f(x) 的图象关于 y 轴对称,我们就说

这个函数是偶函数,那么如何从代数的角度定义偶函数?



如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)

=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

思考3

通过前面的探究,你能得出偶函数的图象有怎样

的对称性质吗?
答 如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴

为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象是 以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数为偶函数.

例1 判断下列函数哪些是偶函数. (1)f(x)=x2+1;

解 由解析式可知函数的定义域为R,
由于f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), 所以函数为偶函数.

(2)f(x)=x2,x∈[-1,3]; 解 由于函数的定义域不关于原点对称,

故函数不是偶函数.

(3)f(x)=0.

解 函数的定义域为R,
由于f(-x)=0=f(x), 所以函数为偶函数.

反思与感悟

利用定义法判断函数是不是偶函数时,

首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定 义域内的任意一个 x ,则- x 也一定是定义域内的一

个自变量.

跟踪训练1 判断下列函数是否为偶函数.

(1)f(x)=(x+1)(x-1);
解 函数的定义域为R, 因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,

又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数为偶函数.

x3-x2 (2)f(x)= . x-1

x3-x2 解 函数 f(x)= 不是偶函数, x-1
因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}, 并不关于原点对称.

探究点二 奇函数的概念
1 观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象(如图),你能发现两 x 个函数图象有什么共同特征吗?并比较f(x)与f(-x)的大小.

思考1



容易得到两个函数的定义域关于原点对称,图象

关于原点对称,且f(-x)=-f(x).

思考2 类比偶函数的定义,请给奇函数下个定义.



对于定义域内任意的一个 x ,都有 f( - x) =- f(x) ,

则称函数为奇函数.

小结

(1)奇函数的定义:一般地,如果对于函数f(x)的

定义域的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫

做奇函数.
(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说 函数f(x)具有奇偶性.

思考 3

类比偶函数图象的对称性,奇函数的图象有怎

样的对称性质呢?
答 奇函数的图象关于原点对称,图象关于原点对称的

函数一定是奇函数.

例2 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x4;

解 对于函数f(x)=x4,其定义域为R,
因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以,函数f(x)=x4为偶函数.

(2)f(x)=x5; 解 对于函数f(x)=x5,其定义域为R, 因为对定义域内的每一个 x ,都有 f( - x) = ( - x)5 =- x5 =- f(x). 所以,函数f(x)=x5为奇函数.

1 (3)f(x)=x+ ; x

1 解 函数f(x)=x+ 的定义域为{x|x∈R且x≠0}, x
因为对定义域内的每一个x,

都有

? 1? ? ? f(-x)=-x+ =-?x+ ?=-f(x), ? x? -x

1

1 所以,函数 f(x)=x+ 为奇函数. x

1 (4)f(x)= 2; x
1 解 函数f(x)= 2 的定义域为{x|x∈R且x≠0}, x

因为对定义域内的每一个x,
1 都有 f(-x)= = =f(x), 2 x2 ?-x? 1

1 所以,函数 f(x)= 2为偶函数. x

(5)f(x)= x ;
解 对于函数 f(x)= x ,其定义域为{x|x≥0},

因为函数的定义域不关于原点对称,

所以函数 f(x)= x既不是奇函数也不是偶函数.

(6)f(x)= 1-x2+ x2-1.
解 对于函数 f(x)= 1-x2+ x2-1, 其定义域为{-1,1},

因为对定义域内的每一个x, 都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),
故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为偶函数.

又f(-x)=-f(x),

故函数 f(x)= 1-x2+ x2-1为奇函数.
即该函数既是奇函数又是偶函数.

反思与感悟

(1) 对于一个函数来说,它的奇偶性有四种

可能:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数; 既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数. (2) 用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求定义域,看是 否关于原点对称;②再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是 否恒成立.

跟踪训练2 判断下列各函数的奇偶性:

(1)f(x)=(x-2)

2+x

; 2-x

2+x 解 由 ≥0,得定义域为[-2,2), 2-x
关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.

?x+2,x<-1, ? ? (2)f(x)=?0,|x |≤1, ? ? ?-x+2,x>1.

解 x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,
∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x);

x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,
f(-x)=-x+2=f(x).

-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,
f(-x)=0=f(x). ∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x),

因此f(x)是偶函数.

探究点三 函数奇偶性的应用 例3 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象, 试比较f(1)与f(3)的大小. 解 ∵f(-3)>f(-1), 又f(-3)=f(3),f(-1)=f(1).

∴f(3)>f(1).

反思与感悟

本题有两种解法,一种是通过图象观察,

f(-3)>f(-1),选用偶函数定义,得f(3)>f(1);另一种方

法是利用偶函数图象的对称性.

跟踪训练 3

如图,给出了奇函数 y = f(x)的局部图象,

则f(-4)=________. -2

解析 f(-4)=-f(4)=-2.

当堂测·查疑缺

1 2 3 4 5

1.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( D )

A.f(-x)+f(x)=0
C.f(x)· f(-x)≤0

B.f(-x)-f(x)=-2f(x) f?x? D. =-1 f?-x?

解析 ∵f(-x)=-f(x),A、B显然正确, 因为f(x)· f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确.

当x=0时,由题意知f(0)=0,故D错误.

1 2 3 4 5

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的
是( )

A.y=-x2+5(x∈R)
B.y=-x C.y=x3(x∈R) 1 D.y=- (x∈R,x≠0) x

1 2 3 4 5

解析 函数y=-x2+5(x∈R)既有增区间又有减区间;

y=-x是减函数;

1 y=- (x∈R,x≠0)不是定义域内的增函数; x
只有y=x3(x∈R)满足条件. 答案 C

1 2 3 4 5

3. 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f(x) = 2x2 - x , 则f(1)等于( A )

A.-3
C.1

B.-1
D.3

解析 ∵f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.

1 2 3 4 5

4.偶函数f(x)的定义域为[t-4,t],则t=________. 2

解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,
所以(t-4)+t=0,即t=2.

? ?x?1-x?,x<0 5.函数 f(x)=? ? ?x?1+x?,x>0

1 2 3 4 5

为________(填“奇函数”或“偶函数”).

解析 因为定义域关于原点对称,且
?-x?1+x?,-x<0 ? f(-x)=? ? ?-x?1-x?,-x>0

1 2 3 4 5

?-x?1+x?,x>0 ? =? ? ?-x?1-x?,x<0

=-f(x),所以是奇函数. 答案 奇函数

呈重点、现规律
1.两个定义:对于 f(x) 定义域内的任意一个 x,如果都有f(-x) = - f(x)?f( - x) + f(x) = 0?f(x) 为 奇 函 数 ; 如 果 都 有 f( - x) = f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数?它的图象关于原点对称;函数为偶 函数?它的图象关于y轴对称. 3.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称;函数 y= f(x) 与函数 y =- f(x) 的图象关于 x 轴对称;函数 y = f(x) 与函数 y =- f(-x)的图象关于原点对称.


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