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广东省湛江市2012—2013学年高二下学期期末调研考试数学文试题


湛江市 2012—2013 学年度第二学期期末调研考试

高中数学选修 2-2、2-3 试卷
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 三 15 16 17 18 19 20

线

题号 得分





总分

学号

参考数据:
? 回归方程为 y ? bx ? a ,其中 b ?

?? x
n i ?1

i

? x yi ? y xi ? x

??

?

??
n i ?1

?

2

, a ? y ? bx .

设随机变量 K ?
2

n(ad ? bc) 2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2
2

姓名



是由观测样本的 2×2 列联表所得到的随机变量,则 K 的计算值 k 对应的概率 P (K ≥ k ) 如下表所示: P(K2≥k)
k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内.: 题号 选项 密 1 2 3 4 5 6 7 8 得分

班级

1. 设集合 R ? {x | x 是实数 } , 集合 C ? {x | x 是复数} I ? {x | x 是虚数} i 是虚数单位, , , 则下列判断正确的是 (A) 2 ? C
3

学校

(B) i ? I
2

(C) R ? C

(D) C ? I

2.函数 f ( x) ? x 在点 x ? 1处的切线方程是 (A) y ? 3x ? 2 (C) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 3x ? 4 (D) y ? 2 x ? 2

3.推理:“①矩形是平行四边形,②正方形是矩形,③所以正方形是平行四边形.”中的

小前提是 A.① B.② C.③ D.①② 4.由 1 , 2 , 3 , 4 组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为 (A) 6 (B) 12 (C)

24

(D) 36

y

5.如图,阴影区域的边界是直线 y ? 0 , x ? 1, x ? 0 及 曲线 y ? x ,则这个区域的面积是
2

y ? x2
x
1

O (D)
2

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

1 3

2 3

6 . 设 两 个 正 态 分 布 N ( ?1 ? ? 1 )(? 1 ? 0) 和
2 N ( ?2 ? ? 2 )( ? 2 ? 0 )的密度函数图象如图所示,则有

(A) ?1 ? ?2 ? ? 1 ? ? 2 (C) ?1 ? ?2 ? ? 1 ? ? 2

(B) ?1 ? ?2 ? ? 1 ? ? 2 (D) ?1 ? ?2 ? ? 1 ? ? 2

7.已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如图, 则随机变量 X 的方差 DX 等于

2 9 2 (C) 3
(A)

1 9 1 (D) 3
(B)

X

0

1
2m
除,则 a ?

P

m

8.设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 512012 ? a 能被 13 整 (A)0 (B)1 (C)11 (D)12

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 (1 ? i) 的实部是_____________
2

10.已知随机变量 ?~B(n , p) ,若 E? ? 3 , D? ?

3 ,则 n ? _______ ; p ? ______. 2

11.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒中,每个盒内至少有 1 个球,则不同的放法种数为 _____________. 12.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y ①(2,2)

0 1
②(1.5,0)

1 3

2 5
(填写序号) ③(1.5,4)

3 7
④ (1,

则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点

2)

13 . 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 , 所 得 点 数 的 样 本 空 间 为 S ? ?1, 2 , 3, 4 , 5, , 令 事 件 ?6

A ? ?2,3,5? ,事件 B ? ?1, 2, 4,5, 6? ,则 P ? A | B ? 的值为



14.类比平面内直角三角形的勾股定理,在空间四面体 P ? ABC 中,记底面 ?ABC 的面积 为 S 0 ,三个侧面的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 ,若 PA , PB , PC 两两垂直,则有结论______ ____ 15.( 本小题满分 12 分) 已知 n ? N ,且 ( x ?
*

_.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 n ) 展开式中前三项系数成等差数列. 2

(1)求 n ; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)若 ( x ? 值.

1 n 1 1 1 求 ) ? a0 ? a1 ( x ? ) ? a 2 ( x ? )2 ? ? ? a n ( x ? )n , a0 ? a1 ? ? ? an 的 2 2 2 2

16.(本小题满分 12 分). 在数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

2a n 2 ? an

(n ? N * ) .

(1)求 a 2 , a 3 , a 4 ,并归纳 {a n } 的通项公式; (2)证明(1)中的猜想.

17. (本小题满分 14 分) 为了解某市心肺疾病是否与性别有关,某医院随机对入院 50 人进行了问卷调查,得到 如下的列联表.

患心肺疾病


不患心肺疾病
5

合计

女 合计

10 50

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (1)请将上面的列联表补充完整;

3 , 5

(2)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由.

18. (本小题满分 14 分) 甲、乙两名蓝球运动员分别进行一次投蓝,如果两人投进的概率分别是 (1)求两人都投进的概率; (2)求其中恰有一人投进的概率.

2 3 、 . 3 5

19. (本小题满分 14 分) 某小学五年级一次考试中,五名同学的语文、英语成绩如下表所示:
学生 语文( x 分) 英语( y 分)

A1

A2

A3

A4

A5

89 87

91

93 89

95 92

97 93

89

(1)请在下图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名语文成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同 学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E X) ( 的值.
y(英语成绩)

94 92 90 88

O

89

91

93

95

97

x(语文成绩)

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a,a ? 1 .
x 2

(1)求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)对 ?x1 , x2 ? [?1,1], | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

湛江市 2012—2013 学年度第二学期期末调研考试

高中数学选修 2-2、2-3 试题 参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 选项 1 C 2 A 3 B 4 B 5 C 6 A 7 A 8 D 得分

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.0 . 10.6,

1 . 2
0

11.36 .

12.③. 13. .

2 5

14. S 0 ? S1 ? S 2 ? S 3 .
2 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (1)由题得 C n ? ( ) C n ? 2( C n ) ?????????????????2 分
2 2 1

解得 n ? 8 . ????????????????????????????????4 分

1 2

1 2

(2)由(1)知,二项式系数最大的值为 C 8 ,为第五项.??????????????6 分

4

1 35 4 T5 ? C84 x 4 ( ) 4 ? x . ??????????????????????????8 分 2 8
(3)

1 8 1 1 1 1 ) ? [( x ? ) ? 1] 8 ? a0 ? a1 ( x ? ) ? a 2 ( x ? )2 ? ? ? a8 ( x ? )8 ???9 分 2 2 2 2 2 3 令 x ? ,????????????????????????????????10 分 2 (x ?
得 a0 ? a1 ? ? ? a8 ? 2 ? 256 . ??????????????????????12 分
8

2 1 2 2 , a3 ? = , a 4 ? .????????????????2 分 3 2 4 5 2 归纳通项公式为 a n ? .?????????????????????????4 分 n ?1
16.解: (1) a 2 ? (2)用数学归纳法证明

2 ? 1 ? a1 ,结论成立.??????????????????6 分 1?1 2 (ii)假设当 n ? k (? 1) 时,结论成立,即 a k ? .??????????????8 分 k ?1 2 2? 2a k 2 k ?1 ? 则 a k ?1 ? , n ? k ? 1 时成立.?????????10 分 即 ? 2 2 ? ak (k ? 1) ? 1 2? k ?1 2 * 由(i)(ii)知,对 n ? N 有 a n ? 成立..?????????????????.12 分 n ?1
(i)当 n ? 1时, 17.解: (1)解:列联表补充如下 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

?????????????????????????????????????6 分 n(ad-bc) 2 50(20×15-5×10)2 25 (2)解:因为 K 2 = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) ,即 K 2 = =3 25×25×30×20 ?????????????????????????????????????.9 分 所以 K 2≈8.333 又 P(k 2≥7.789) = 0.005 = 0.5%.???????????????????????11 分 所以,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. ???????14 分 18.解:(1)设 A 表示“投蓝一次投进” 表示“投蓝一次投进” ???????1 分 ,B , 则“两人都投进”为 A ? B ,由题 A,B 互相独立,所以 ????????????4 分

P( A ? B ) ? P( A )P( B ) ?

2 3 2 ? ? . ????????????????????.6 分 3 5 5

(2) “其中恰有一人投进”表示为“ A ? B) ? ( A ? B) ?????????????9 分 (

( P (A ? B) ? ( A ? B) ) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ?

2 3 2 3 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 3 5 3 5 15

?????????.???????????????????????????13 分 答:两人都投进的概率为

2 7 ;其中恰有一人投进的概率 . ??????????14 分 5 15

19. 解: (1)散点图如右图所示.????????????????????????2 分

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 y= = 90 , 5
5 i ?1 i

y(英语成绩)

94 92 90 88

? ? ?
89 91 93 95

?

? (x

? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2

?

? 2 2 ? 4 2 ? 40,
O

97

x(语文成绩)

图4
5

? (x
i ?1

i

? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ,

b?

30 ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 .????????????6 分 40

? 故这些数据的回归方程是: y ? 0.75 x ? 20.25 .??????????????7 分
(2)随机变量 X 的可能取值为 0 ,1 , 2 .????????????????8 分
2 1 1 2 C2 1 C2 C2 2 C2 1 P (X ? 0 ) = 2 ? ; P (X ? 1)= 2 ? ; P (X ? 2)= 2 ? . ????11 分 C4 6 C4 3 C4 6

故 X 的分布列为:

X
p


0 1 6

1 2 3

2 1 6

???????????????12

1 2 1 ? E (X ) = 0 ? + 1? + 2 ? =1. ???????????????????14 分 6 6 3
20.解: (1) f '( x) ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? (a ? 1) ln a . ??????????2 分
x x

由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0,a x ? 1 ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ,???5 分 故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.??????????????????? 6 分 (2)由(1)可知,当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 , 故函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递减.??????????????????? 7 分 所以, f ( x) 在区间 [?1, 0] 上单调递减,在区间 [0,1] 上单调递增. 所以 f min ? f (0) ? 1, f max ? max ? f (?1), f (1)? .????????????? 9 分

1 ? 1 ? la f , ( 1 a ? ?1 a l n n ?) a 1 f ( 1 ) f ? 1? a ? ? 2 an ? ( ) l a 1 1 2 1 记 g ( x) ? x ? ? 2 ln x , g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2(当x ? 1时取到等号 ) , x x x x 1 1 所以 g ( x) ? x ? ? 2 ln x 递增,故 f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2ln a ? 0 ,???? 11 分 x a 所以 f (1) ? f (?1) ,于是 f max ? f (1) ? a ? 1 ? ln a. ????????????12 分 f (? 1 )?
故对 ?x1 , x2 ? [?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |max ?| f (1) ? f (0) |? a ? ln a. ,所以 1 ? a ? e .????????????????????14 分 a ? l n a ? e ?1

注:以上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分。


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