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2010年江苏高考数学试题及答案


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷 (数学) 数学)
数学Ⅰ 数学Ⅰ试题

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) 。本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式: 锥体的体积公式 V 锥体=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是高。 是锥体的底面积, 是高。 , 3

小题, 请把答案填写在答题卡相应的位 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 填空题: ....... 置上. .. 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3 ∈B, a+2=3, a=1.

2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. [解析]考查古典概型知识。 p = 3 = 1
6 2

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率 分布直方图如图所示, 则其抽样的 100 根中, 有_▲___
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根在棉花纤维的长度小于 20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ∈R) R)是偶函数,则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。

x2 y2 ? = 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到 4 12

MF 4 MF=4。 = e = = 2 ,d 为点 M 到右准线 x = 1 的距离,d =2, d 2

7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。 1 + 2 + 22 + L + 24 = 31 < 33, 输出 S = 1 + 2 + 2 + L + 2 = 63 。
2 5

8、 函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, 1=16, a 则 a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak = 2ak ( x ? ak ), 当 y = 0 时,解得 x =
2

ak , 2

所以 ak +1 =

ak , a1 + a3 + a5 = 16 + 4 + 1 = 21 。 2

9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 + y 2 = 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 10、定义在区间 ? 0 ,

|c| < 1 , c 的取值范围是(-13,13) 。 13

? ?

π?

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 2?

PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,

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且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3

? 2 2 11、已知函数 f ( x) = ? x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) > f (2 x) 的 x 的范围是__▲___。 x<0 ?1,
2 ? [解析] 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x > 2 x ? x ∈ (?1, 2 ? 1) ? 2

?1 ? x > 0 ?

12、设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤

2

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y





[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

(

x2 2 1 1 1 x3 x2 1 x3 ) ∈ [16,81] , 2 ∈ [ , ] , 4 = ( ) 2 ? 2 ∈ [2, 27] , 4 的最大值是 27。 y y y xy xy 8 3 y

13 、 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

b a + = 6 cos C , 则 a b

tan C tan C + =____▲_____。 tan A tan B
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。

(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 方法一) 、 、 具有轮换性。 时满足题意,此时有: 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C =

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C = = , tan = , tan , 3 2 1 + cos C 2 2 2

tan A = tan B =

1 tan C 2

= 2,

tan C tan C + = 4。 tan A tan B

(方法二) + 方法二)

b a

a a 2 + b2 ? c 2 3c2 = 6 cos C ? 6ab cos C = a 2 + b 2 , ab ? 6 = a2 + b2 , a2 + b2 = b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A + sin B cos A sin C sin( A + B ) 1 sin 2 C + = ? = ? = ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
由正弦定理,得:上式= =

1 c2 c2 c2 ? = = =4 cos C ab 1 (a 2 + b 2 ) 1 3c 2 ? 6 6 2

14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

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S=

2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积

[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 小正三角形的边长为 x ,则: S = 设剪成的小正 小正

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 = ? (0 < x < 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x + 1) ? ? (1 ? x) 2 2

(方法一)利用导数求函数最小值。 方法一)利用导数求函数最小值。

S ( x) =

4 (3 ? x) 2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) ? , S ′( x) = ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3

=

4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3 x ? 1)( x ? 3) ? = ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 2 3 3

1 S ′( x) = 0, 0 < x < 1, x = , 3 1 1 当 x ∈ (0, ] 时, S ′( x ) < 0, 递减;当 x ∈ [ ,1) 时, S ′( x ) > 0, 递增; 3 3
故当 x =

1 32 3 时,S 的最小值是 。 3 3

(方法二)利用函数的方法求最小值。 方法二)利用函数的方法求最小值。 令 3 ? x = t , t ∈ (2,3), ∈ ( , ) ,则: S =

1 t

1 1 3 2

4 t2 4 1 ? 2 = ? 3 ?t + 6t ? 8 3 ? 8 + 6 ?1 t2 t

故当 =

1 t

3 1 32 3 , x = 时,S 的最小值是 。 8 3 3

小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: 字说明、证明或演算步骤 字说明、证明或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) 方法一)由题设知 AB = (3,5), AC = (?1,1) ,则 (方法一)
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uuu r

uuur

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uuu uuur r uuu uuur r AB + AC = (2, 6), AB ? AC = (4, 4).
所以 | AB + AC |= 2 10,| AB ? AC |= 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: 方法二 E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC = (3 + 2t ,5 + t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 + 2t , 5 + t ) ? ( ?2, ?1) = 0 ,

uuu uuur r

uuu uuur r

uuur

uuu r

uuur

11 。 5 uuu uuur r uuu uuur r uuur 2 uuu r AB ? OC 或者: AB·OC = tOC , AB = (3, 5), t = uuur = ? 11 2
从而 5t = ?11, 所以 t = ?
| OC | 5

16、 (本小题满分 14 分)

如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, ⊥平面 ABCD, PD PD=DC=BC=1, AB=2,
AB∥DC,∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。

由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD I DC=D,PD、DC ? 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2 ) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB, ∥平面 PBC, D、 到平面 PBC 的距离相等。 DE 点 E 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC,

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因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S ?ABC = 1 。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V =

1 1 S ?ABC ? PD = 。 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC =

PD 2 + DC 2 = 2 。
2 。 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S ?PBC = 由 VA? PBC = VP ? ABC ,

1 S 3

PBC

1 ? h = V = ,得 h = 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。

17、 (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: , m)如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= α ,∠ADE= β 。 (1)该小组已经测得一组 α 、 β 的值,tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, α - β 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h = tan β ? AD = , 同理:AB = ,BD = 。 AD tan β tan α tan β H H h h tan α 4 × 1.24 ? = ,解得: H = = = 124 。 tan β tanα tan β tan β ? tan α 1.24 ? 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。

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(2)由题设知 d = AB ,得 tan α =

H H h H ?h , tan β = = = , d AD DB d H H ?h ? tan α ? tan β hd h d d tan(α ? β ) = = = 2 = 1 + tan α ? tan β 1 + H ? H ? h d + H ( H ? h) d + H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d+ ≥ 2 H ( H ? h) ,当且仅当 d = H (H ? h) = 125 ×121 = 55 5 时, ( 取等号) d

故当 d = 55 5 时, tan(α ? β ) 最大。 因为 0 < β < α <

π
2

,则 0 < α ? β <

π
2

,所以当 d = 55 5 时, α - β 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

18、 (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 9 5

F。设过点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 > 0, y 2 < 0 。 (1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 = 4 ,求点 P 的轨迹; (2)设 x1 = 2, x 2 =

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t = 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。 由 PF 2 ? PB 2 = 4 ,得 ( x ? 2) 2 + y 2 ? [( x ? 3) 2 + y 2 ] = 4, 化简得 x = 故所求点 P 的轨迹为直线 x = (2) x1 = 2, x 2 = 将

9 。 2

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 > 0, y 2 < 0 得: (2, ) N M 、 ( ,? ) 3 3 3 9 y?0 x+3 1 直线 MTA 方程为: = ,即 y = x + 1 , 5 3 ?0 2+3 3

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直线 NTB 方程为:

y?0 x ?3 5 5 = ,即 y = x ? 。 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x = 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , ?y = 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y ?0 x+3 m = ,即 y = ( x + 3) , m?0 9+3 12 y ?0 x ?3 m = ,即 y = ( x ? 3) 。 直线 NTB 方程为: m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 + = 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ≠ ?3, x2 ≠ 3 , 9 5

3(80 ? m 2 ) 40m 3(m 2 ? 20) 20m 解得: M ( , )、 N( ,? )。 2 2 2 80 + m 80 + m 20 + m 20 + m 2

20m 3(m 2 ? 20) x? 20 + m 2 20 + m2 (方法一) x1 ≠ x2 时, 当 直线 MN 方程为: = 40m 20m 3(80 ? m 2 ) 3(m 2 ? 20) + ? 80 + m 2 20 + m2 80 + m 2 20 + m 2 y+
令 y = 0 ,解得: x = 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 = x2 时,直线 MN 方程为: x = 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 = x2 ,则由

240 ? 3m 2 3m 2 ? 60 = 及 m > 0 ,得 m = 2 10 , 80 + m 2 20 + m 2

此时直线 MN 的方程为 x = 1 ,过点 D(1,0) 。 若 x1 ≠ x2 ,则 m ≠ 2 10 ,直线 MD 的斜率 k MD

直线 ND 的斜率 k ND

?20m 2 10m = 20 + m = ,得 k MD = k ND ,所以直线 MN 过 D 点。 2 3m ? 60 40 ? m 2 ?1 20 + m 2

40m 2 10m = 80 + m2 = , 240 ? 3m 40 ? m 2 ?1 80 + m 2

。 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0)
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19、 (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 = a1 + a 3 ,数列 的等差数列。 (1)求数列 {a n } 的通项公式(用 n, d 表示) ; (2) c 为实数, 设 对满足 m + n = 3k且m ≠ n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m + S n > cS k 都成立。求证: c 的最大值为

{ S }是公差为 d
n

9 。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d > 0 ,

S n = S1 + (n ? 1)d = a1 + (n ? 1)d

2a2 = a1 + a3 ? 3a2 = S3 ? 3( S 2 ? S1 ) = S3 , 3[( a1 + d ) 2 ? a1 ]2 = ( a1 + 2d ) 2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d + d = 0, a1 = d , a1 = d
2 2

S n = d + (n ? 1)d = nd , S n = n 2 d 2 ,
当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = n d ? ( n ? 1) d = (2n ? 1) d ,适合 n = 1 情形。
2 2 2 2 2

故所求 an = (2n ? 1) d (2) (方法一)

2

m2 + n2 S m + S n > cS k ? m d + n d > c ? k d ? m + n > c ? k , c < 恒成立。 k2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又 m + n = 3k且m ≠ n , 2( m + n ) > ( m + n) = 9k ?
2 2 2 2

m2 + n2 9 > , k2 2

故c ≤

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 = d 及 S n =

a1 + (n ? 1)d ,得 d > 0 , S n = n 2 d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ≠ n ,有

Sm + Sn = (m 2 + n 2 )d 2 >

( m + n) 2 2 9 2 2 9 d = d k = Sk 。 2 2 2

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9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a > 。设 k 为偶数,令 m = k + 1, n = k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m + S n = ( m + n ) d = d [( k + 1) + ( k ? 1) ] = d (9k + 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ≥ 于是,只要 9k + 4 < 2ak ,即当 k >
2 2

2 1 2 2 时, S m + S n < d ? 2ak = aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ≤ 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ≤ 。 2 2

9 。 2

20、 (本小题满分 16 分) 设 f (x) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) 。如果存在实数 a 和函数

h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) = h( x)( x 2 ? ax + 1) ,则称
函数 f (x) 具有性质 P (a ) 。 (1)设函数 f (x) = ln x +

b+2 ( x > 1) ,其中 b 为实数。 x +1

(i)求证:函数 f (x) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)已知函数 g (x) 具有性质 P ( 2) 。给定 x1 , x2 ∈ (1, +∞ ), x1 < x2 , 设 m 为实数,

α = mx1 + (1 ? m) x 2 , β = (1 ? m) x1 + mx 2 ,且 α > 1, β > 1 ,
若| g (α ) ? g ( β ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结 合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 (1)(i) f '( x) =

1 b+2 1 ? = ( x 2 ? bx + 1) x ( x + 1) 2 x( x + 1) 2
1 > 0 恒成立, x( x + 1)2

∵ x > 1 时, h( x) =

∴函数 f (x) 具有性质 P (b) ;

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b b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) = x 2 ? bx + 1 = ( x ? ) 2 + 1 ? , ? ( x ) 与 f ' ( x ) 的符号相同。 2 4 b2 > 0, ?2 < b < 2 时, ? ( x) > 0 , f ' ( x) > 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,+∞) 上递增; 当1 ? 4
当 b = ±2 时,对于 x > 1 ,有 f ' ( x ) > 0 ,所以此时 f (x ) 在区间 (1,+∞) 上递增; 当 b < ?2 时, ? ( x ) 图像开口向上,对称轴 x =

b < ?1 ,而 ? (0) = 1 , 2

对于 x > 1 ,总有 ? ( x ) > 0 , f ' ( x ) > 0 ,故此时 f (x ) 在区间 (1,+∞) 上递增; (方法二)当 b ≤ 2 时,对于 x > 1 , ? ( x) = x 2 ? bx + 1 ≥ x 2 ? 2 x + 1 = ( x ? 1) 2 > 0 所以 f ' ( x ) > 0 ,故此时 f (x ) 在区间 (1,+∞) 上递增; 当 b > 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴 x =

b > 1 , 方 程 ? ( x) = 0 的 两 根 为 : 2

b + b2 ? 4 b ? b2 ? 4 b + b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 , ,而 > 1, = ∈ (0,1) 2 2 2 2 b + b2 ? 4
当 x ∈ (1,

b + b2 ? 4 b + b2 ? 4 ) 时, ? ( x) < 0 , f ' ( x) < 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1, ) 2 2

b + b2 ? 4 上递减;同理得: f (x ) 在区间 [ , +∞) 上递增。 2
综上所述,当 b ≤ 2 时, f (x ) 在区间 (1,+∞) 上递增;
2 2 当 b > 2 时, f (x ) 在 (1, b + b ? 4 ) 上递减; f (x ) 在 [ b + b ? 4 , +∞) 上递增。

2

2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) = h( x)( x 2 ? 2 x + 1) = h( x)( x ? 1) 2 又 h(x) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h(x) >0, 所以对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 g ′( x) > 0 , g ( x) 在 (1, +∞) 上递增。 又 α + β = x1 + x2 , α ? β = (2m ? 1)( x1 ? x2 ) 。 当m >

1 , m ≠ 1 时, α < β ,且 α ? x1 = (m ? 1) x1 + (1 ? m) x2 , β ? x2 = (1 ? m) x1 + (m ?1) x2 , 2

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综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。 (方法二)由题设知, g ( x ) 的导函数 g '( x) = h( x)( x 2 ? 2 x + 1) ,其中函数 h( x) > 0 对于任 意的 x ∈ (1,+∞) 都成立。所以,当 x > 1 时, g '( x ) = h( x )( x ? 1) 2 > 0 ,从而 g ( x ) 在区间

(1,+∞) 上单调递增。
①当 m ∈ (0,1) 时,有 α = mx1 + (1 ? m) x2 > mx1 + (1 ? m) x1 = x1 ,

α = mx1 + (1 ? m) x2 < mx2 + (1 ? m) x2 = x2 ,得 α ∈ ( x1 , x2 ) ,同理可得 β ∈ ( x1 , x2 ) ,所以
由 g ( x ) 的单调性知 g (α ) 、 g ( β ) ∈ ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (α ) ? g ( β ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,符合题设。 ②当 m ≤ 0 时, α = mx1 + (1 ? m) x2 ≥ mx2 + (1 ? m) x2 = x2 ,

β = (1 ? m) x1 + mx2 ≤ (1 ? m) x1 + mx1 = x1 , 于 是 由 α > 1, β > 1 及 g ( x) 的 单 调 性 知
g ( β ) ≤ g ( x1 ) < g ( x2 ) ≤ g (α ) ,所以| g (α ) ? g ( β ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,与题设不符。
③当 m ≥ 1 时,同理可得 α ≤ x1 , β ≥ x2 ,进而得| g (α ) ? g ( β ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,与题设 不符。 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题 选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。 选做题 请 ...... 并在 .......... . ..
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若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A. 选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证 能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。
A O B C D

B. 选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

? k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1, ? 0 1? ? ?

△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点, 考查运算求解能力。 满分 10 分。 解:由题设得 MN = ?

? k 0 ? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ?=? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

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由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2 ? ?0 0 k ? 、B 、C 。 ?? ?=? ? ,可知 A1(0,0) 1(0,-2) 1( k ,-2) ? 1 0 ? ? 0 0 1 ? ? 0 ?2 ?2 ?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |= 2 × 1 = 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: ρ 2 = 2ρ cosθ ,圆ρ=2cosθ的普通方程为: x 2 + y 2 = 2x, ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 , 直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为: 3 x + 4 y + a = 0 , 又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 + 4 ? 0 + a | 32 + 42

= 1, 解得: a = 2 ,或 a = ?8 。

D. 选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a 3 + b3 ≥

ab (a 2 + b 2 ) 。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a 3 + b3 ? ab ( a 2 + b 2 ) = a 2 a ( a ? b ) + b 2 b ( b ? a )

= ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] = ( a ? b )2 [( a )4 + ( a )3 ( b ) + ( a ) 2 ( b )2 + ( a )( b )3 + ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( a ? b)2 ≥ 0,[( a )4 + ( a )3 ( b ) + ( a )2 ( b)2 + ( a )( b )3 + ( b)4 ] ≥ 0 所以上式≥0。即有 a 3 + b3 ≥

ab (a 2 + b 2 ) 。

(方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a 3 + b3 ? ab (a 2 + b 2 ) = a 2 a ( a ? b ) + b 2 b ( b ? a ) = ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
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当 a ≥ b 时, a ≥ 当 a < b 时, a < 所以 a + b ≥
3 3

b ,从而 ( a )5 ≥ ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ≥ 0 ;
b ,从而 ( a )5 < ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] < 0 ;

ab (a 2 + b 2 ) 。

[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时 答题卡指定 .. ..... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、(本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等 品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二 等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, 由此得 X 的分布列为: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4n ? (4 ? n) ≥ 10 ,解得 n ≥ 又 n ∈ N ,得 n = 3 ,或 n = 4 。
3 所求概率为 P = C4 × 0.83 × 0.2 + 0.84 = 0.8192

14 , 5

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

23、(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。
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[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a, b, c , cos A =

b2 + c 2 ? a 2 ,∵ a, b, c 是有理数, 2bc

b 2 + c 2 ? a 2 是有理数, 分母 2bc 为正有理数, 又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 + c 2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n = 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n = 2 时,∵ cos 2 A = 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2A 也是有理数; ②假设当 n ≤ k (k ≥ 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n = k + 1 时, cos( k + 1) A = cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos( k + 1) A = cos kA cos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA + A)] , 2 1 1 cos( k + 1) A = cos kA cos A ? cos(k ? 1) A + cos(k + 1) A , 2 2 解得: cos(k + 1) A = 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A
∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k + 1) A 是有理数。 即当 n = k + 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知

cos A =

AB 2 + AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。 ①当 n = 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A = 1 ? cos A 也是有理数。
2

②假设当 n = k (k ≥ 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n = k + 1 时,由 cos( k + 1) A = cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k + 1) A = sin A ? (sin A ? cos kA + cos A ? sin kA) = (sin A ? sin A) ? cos kA + (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos( k + 1) A 和 sin A ? sin( k + 1) A 都是有理数。 即当 n = k + 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

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