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近七年(2011-2017)高考试题新课标Ⅱ卷理科数学分类汇编(word版,解析版,精校版)


§1. 集合及其运算
1.(2017· 2)设集合 Α ? ?1,2,4? , Β ? x x 2 ? 4 x ? m ? 0 .若 ? I ? ? ?1? ,则 Β ? ( A. ?1, ?3? B. ?1,0? C. ?1,3? D. ?1,5? )

?

?



2.(2016· 2)已知集合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则 A ? B ? ( A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3}

D.{-1,0,1,2,3} )

3.(2015· 1)已知集合 A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B =( A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1}

D.{0,1,2} ) D.{1,2} )

4.(2014· 1)设集合 M={0, 1, 2},N= ?x | x2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 M ? N =( A.{1} B.{2} C.{0,1}

5.(2013· 1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4, x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M ∩ N =( A.{0, 1, 2} B.{-1, 0, 1, 2} C.{-1, 0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}

6.(2012· 1)已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5},B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

§2. 复数计算
1.(2017· 1) A. 1 ? 2i

3?i ?( 1? i

) B. 1 ? 2 i C. 2 ? i D. 2 ? i

2.(2016· 1)已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( ) A. (-3,1) B. (-1,3) C. (1,+∞) ) D.2 ) D. (-∞,-3)

3.(2015· 2)若 a 为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i,则 a =( A.-1 B.0 C .1

4.(2014· 2)设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A.- 5 B.5 C .- 4 + i ) D. 1 ? i ) D.- 4 - i

5.(2013· 2)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z ? ( A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i

6.(2012· 3)下面是关于复数 z ? P1: |z|=2, A. P2,P3 7.(2011· 1)复数 P2: z2=2i,

2 的四个命题中,真命题为( ?1? i
C. P2,P4 ) C. ? i

P3: z 的共轭复数为 1+i,

P4: z 的虚部为-1 . D. P3,P4

B. P1,P2

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i

3 A. ? i 5

3 B. i 5

D. i

· 1 ·

§3. 简易逻辑
1.(2017· 7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优 秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我 还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( A.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 ) B.丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 )

2.(2011· 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题中真命题是(

? 2? ? P 1 : a +b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
A. P1,P4 B.P1,P3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?
C.P2,P3 D.P2,P4

3.(2016· 15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙 的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数 字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是 .

§4. 平面向量
1.(2017· 12)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 PA ? (PB ? PC) 的最小值是 ( A. ?2 ) B. ?

uu r uur uuu r

3 2

C. ?

4 3

D. ?1 ) D.8 ) D.5

2.(2016· 3)已知向量 a ? (1 ,m),b =(3, ? 2) ,且 (a + b ) ? b ,则 m =( A.-8 B.-6 C.6

r r r r r r r r 3.(2014· 3)设向量 a,b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b =(
A.1 B.2 C.3

4.(2015· 13)设向量 a,b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? = ____________. 5.(2013· 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______. 6.(2012· 13)已知向量 a,b 夹角为 45?,且 |a| ? 1 , |2a ? b| ? 10 ,则|b| ? .
开始 输入a S=0,K=1

??? ? ??? ?

§5. 程序框图
1.(2017· 8)执行右面的程序框图,如果输入的 a = -1,则输出的 S =( A.2 B.3 C.4 D.5 )

K ?6 是 S=S+a?K a=-a K=K+1 输出S 开始



· 2 ·

2.(2016· 8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执 行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( A.7 B.12 C.17 D.34 )

开始

输入x, n

k ? 0,s ? 0
输入a

s ? s? x ?a
k ? k ?1
k?n





输出s

结束

3.(2015· 8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”. 执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a =( A.0 ) B.2 C.4 D.14

开始

输入 x,t
M ?1,S ? 3

k ?1

4.(2014· 7)执行右面程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A.4 B.5 C.6 D.7


M?



k ?t

否 输出 S 结束

M x k

S ?M ?S

k ? k ?1

5.(2013· 6)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ? ( A. 1 ? C. 1 ?



1 1 1 ? ? ?? 2 3 10 1 1 1 ? ??? 2 3 11

B. 1 ? D. 1 ?

1 1 1 ? ??? 2! 3! 10! 1 1 1 ? ? ?? 2! 3! 11!

· 3 ·

6.(2012· 6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1, a2,?, aN,输入 A、B,则( ) A. A+B 为 a1, a2,?,aN 的和 B. A ? B 为 a1, a2,?,aN 的算术平均数 2 C. A 和 B 分别是 a1, a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1, a2,?,aN 中最小的数和最大的数

开始

7. (2011· 3) 执行右面的程序框图, 如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 是 ( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040

输入 N k=1, p=1 p=p· k k<N 否 输出 p k=k+1 是

§6. 线性规划

结束

?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 1.(2017· 5)设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ) ?y ?3 ? 0 ?
A.-15 B.-9 C.1 D.9

? x? y?7 ? 0 ? 2.(2014· 9)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2



?x ?1 ? 3.(2013· 9)已知 a ? 0 ,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a=( ) ? y ? a ( x ? 3) ?

A.

1 4

B.

1 2

C .1

D.2

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.(2015· 14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_______. ? x +2 y ? 2 ? 0 ?
? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 5.(2014· 14)设 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

.

· 4 ·

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 6.(2011· 13)若变量 x, y 满足约束条件 ? z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9

.

§7. ※二项式定理
1.(2013· 5)已知 (1 ? ax)(1 ? x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a ? ( A. ?4 B. ? 3 C. ?2 ) D. ?1 )

a 1 2.(2011· 8) ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x x
A.- 40 B.- 20 C.20 D.40

3.(2015· 15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =_______. 4.(2014· 13) ( x ? a)10 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a =________.

§8. 数 列
1.(2017· 3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( A.1 盏 A.21 B.3 盏 B.42 ) C .5 盏 C.63 D.9 盏 ) D.84 )

2.(2015· 4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =(

3.(2013· 3)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? ( A.

1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9

4.(2012· 5)已知{an}为等比数列,a4 + a7 = 2,a5 a6 = -8,则 a1 + a10 =( A. 7 B. 5 C. -5
n

) D. -7

5.(2017· 15)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 3 , S4 ? 10 ,则

?S
k ?1

1
k

?

. .

6.(2015· 16)设 Sn 是数列{an}的前项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=

7.(2013· 16)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为____. 8.(2012· 16)数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为 数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (Ⅰ)求 b1,b11,b101; (Ⅱ)求数列{bn}的前 1 000 项和. .

9.(2016· 17)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28. 记 bn=[lgan],其中[x]表示不超过 x 的最大整

· 5 ·

10.(2014· 17)已知数列{an}满足 a1 =1,an+1 =3an +1. (Ⅰ)证明 {an ? 1} 是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 (Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …? 1 ? 3 .

a1 a2

an

2

11.(2011· 17)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log 3 an ,求数列 { 1 } 的前 n 项和. bn

§9. 三角函数
1.(2016· 7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 A. x ? C. x ?

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( 12
k? ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? ? (k ? Z ) 2 12



k? ? ? (k ? Z ) 2 6
k? ? ? (k ? Z ) 2 12

B. x ? D. x ?

2.(2016· 9)若 cos( A.

?

3 ? ? ) ? ,则 sin 2α =( 4 5
B.

) C. ?

7 25

1 5

1 5

D. ? ) D.1

7 25

3.(2014· 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( 2 A.5
· 6 ·

B. 5

C.2

4.(2012· 9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ? A. [ , ]

?

? ) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是( 4 2
C. (0, ]



1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

1 2

D. (0, 2]

5. (2011· 5) 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos2θ = ( ) A. ? 4 5 B. ? 3 5 C. 3 5 D. 4 5

6.(2011· 11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 则( )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,

A. f ( x ) 在 (0, ) 单调递减 2 C. f ( x ) 在 (0, ) 单调递增 2 7.(2017· 14)函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x ?

?

? 3? B. f ( x ) 在 ( , ) 单调递减 4 4 ? 3? D. f ( x ) 在 ( , ) 单调递增 4 4

?

? 3 ( x ? [0, ] )的最大值是 2 4

. .

8. (2016· 13) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若c o s A?

5 4 ,cos C ? , a = 1, 则b= 13 5

9.(2014· 14)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为_________.

? 1 10.(2013· 15)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? _________. 4 2
11.(2011· 16)在△ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 12.(2017· 17) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin( A ? C ) ? 8sin 2 (1)求 cos B (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b . .

B . 2

13.(2015· 17)在?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 面积是?ADC 面积的 2 倍. sin ?B (Ⅰ)求 ; sin ?C 2 (Ⅱ) 若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2

· 7 ·

14.(2013· 17)在△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

15.(2012· 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

§10. 立体几何
1. (2017· 4) 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( A. 90? B. 63? C. 42? D. 36? )

ΑΒ ? 2 , ΒC ? CC1 ? 1 , ?ΑΒC ? 120o , 2. (2017· 10) 已知直三棱柱 ΑΒC ? Α1Β1C1 中,
则异面直线 ΑΒ1 与 ΒC1 所成角的余弦值为( A. ) D.

3 2


B.

15 5

C.

10 5

3 3

2 3
4 4

3.(2016· 6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积 为(

·
B.24π C.28π D.32π

A.20π

4.(2015· 6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A.
· 8 ·



1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

5.(2015· 9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积 的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π ) C.144π D.256π

6.(2014· 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的 是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切 削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A. 17 27 B. 5 9 C. 10
27



D. 1 3

7.(2014· 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90? ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1 10 B. 2 5 ) C. 30
10

D. 2
2

8.(2013· 4)已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m , l ? n , l ? ? , l ? ? , 则( ) B. ? ? ? 且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l A.α // β 且 l // α C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

9.(2013· 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为( )

A.

B.
) C. 12

C.

D.

10.(2012· 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为( A. 6 B. 9 D. 18

11.(2012· 11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. 2 6 B. ) D.

3 6

C.

2 3

2 2

12.(2011· 6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图 可以为( )

A.

B.

C.

D.

13.(2016· 14)α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m ? α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.
· 9 ·

其中正确的命题有

. (填写所有正确命题的编号.)

14. (2011· 15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为 .

15. ( 2017· 19 ) 如 图, 四棱 锥 P-ABCD 中 , 侧面 PAD 为 等边 三 角 形且 垂 直 于 底 面 三 角 形 BCD ,

AB ? BC ?

1 AD, ?BAD ? ?ABC ? 90?, E 是 PD 的中点. 2

P M A B C E D

(1)证明:直线 CE // 平面 PAB (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45?,求二面 角 M-AB-D 的余弦值.

16.(2016· 19) (满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分 别在 AD,CD 上,AE=CF=

5 ,EF 交 BD 于点 H. 将△DEF 沿 EF 折到△D? EF 的位置, OD? ? 10 . 4
D?

(Ⅰ)证明: D ?H ? 平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

A

E

D

O
B

H

F

C

· 10 ·

17.(2015· 19)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上, A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

18.(2014· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB // 平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60? ,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

· 11 ·

19.(2013· 18)如图,直三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ?
A1

2 AB . 2
C1

(Ⅰ)证明: BC1 //平面 A1CD ;

? E 的正弦值. (Ⅱ)求二面角 D ? AC 1
B1

E A D B

C

20.(2012· 19)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC ? BC ? (Ⅰ)证明:DC1⊥BC; (Ⅱ)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

1 AA1 ,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. 2
C1 A1 D C A B B1

· 12 ·

21.(2011· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

§11. 排列组合、概率统计
1.(2017· 6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方 式共有( A.12 种 ) B.18 种 C.24 种 D.36 种

2.(2016· 5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志 愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
G
? ?



F

?

E

A.24

B.18

C.12

D.9

3. (2016· 10) 从区间[0, 1]随机抽取 2n 个数 x1, x2, ?, xn, y1, y2, ?, yn, 构成 n 个数对 ( x1 , y1 ) , ?, ( x2 , y2 ) ,

( xn , yn ) ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值
为( A. ) B.

4n m


2n m

C.

4m n

D.

2m n

4.(2015· 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论 中不正确的是(

· 13 ·

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效. C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 5.(2014· 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概 率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 )

6.(2012· 2)将 2 名教师,4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 一名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 ) D. 8 种

7.(2011· 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性 相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 8.(2017· 13)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次, Χ 表示 抽到的二等品件数,则 D(Χ ) ? .

9. (2013· 14) 从 n 个正整数 1, 2, ?, n 中任意取出两个不同的数, 若取出的两数之和等于 5 的概率为 则 n=________.

1 , 14

10.(2012· 15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常 工作,则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命(单位:小时) 服从正态分布 N(1000,502),且各元件能否正常工作互相独立,那 么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .
元件 1 元件 3 元件 2

11.(2017· 18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量 对比,收获时各随机抽取 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:
频率/组距

频率/组距 0.068 0.046 0.044

0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012 0 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 旧养殖法

0.020 0.010 0.008 0.004

0

35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 新养殖法

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的
· 14 ·

箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: <50kg ≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01) P(K2≥k) k
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

12.(2016· 18)某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年 度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 0 1 2 上年度出险次数 0.85 a a 1.25 a 保费 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 0 1 2 一年内出险次数 0.30 0.15 0.20 概率 (Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 3 1.5a 3 0.20 4 1.75a 4 0.10

?5
2a

?5 0. 05

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;

· 15 ·

13.(2015· 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用 户对产品的满意度评分如下: A 地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平 均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价 结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率.

14.(2014· 19)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

?? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

? . ,a ? ? y ? bt

2

· 16 ·

15.(2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产 品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如有图所示.经 销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市 场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表 该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间 中点值的概率 (例如: 若 x∈[100, 110), 则取 x=105, 且 x=105 的概率等于需求量落入[100, 110)的概率),求利润 T 的数学 期望.
O
0.030 0.025
0.020

频率/组距

0.015 0.010

100 110 120 130 140 150

需求量/ t

16.(2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店某天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈ N)的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润 (单位:元), 求 X 的分布列、数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

· 17 ·

17.(2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件 这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8 [98,102) [102,106) [106,110] 42 32 10

B 配方的频数分布表

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2 , (t < 94) ? y ? ? 2 , (94 ? t < 102) ,从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布 ? 4 , (t ? 102) ?
列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率)

§12. 解析几何
1.(2017· 9)若双曲线 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线被圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所截得的弦 2 a b
) C. 2 D.

长为 2,则 C 的离心率为( A.2

B. 3

2 3 3


2.(2016· 4)圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a =( A. ?

4 3

B. ?

3 4

C. 3

D.2

· 18 ·

3. (2016· 11) 已知 F1, F2 是双曲线 E: 2 ? 则 E 的离心率为( A. 2 ) B.

x2 a

y2 1 右焦点, 点 M 在 E 上, M F1 与 x 轴垂直, sin ?MF2 F1 ? , ? 1 的左, 2 3 b
C. 3 D.2 )

3 2

4.(2015· 7)过三点 A(1, 3),B(4, 2),C(1, -7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =( A. 2 6 B.8 C. 4 6 D.10

5.(2015· 11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° , 则 E 的离心率为( A. 5 ) B.2 C. 3 D. 2

6.(2014· 10)设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原 点,则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 ) C. 63 32 D. 9 4 B. 9 3 8

7.(2013· 11)设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, | MF |? 5 ,若以 MF 为直径的园过 点 (0, 2) ,则 C 的方程为( A. y ? 4 x 或 y ? 8 x
2 2

) B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

8.(2013· 12)已知点 A(?1, 0) , B(1,0) ,C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 △ABC 分割为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是( A. (0,1) ) B. (1 ?
2 1 , ) 2 2

C. (1 ?

2 1 , ] 2 3

1 1 D. [ , ) 3 2

9.(2012· 4)设 F1,F2 是椭圆 E:

3a x2 y2 上的一点,△F2 PF ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,P 为直线 x ? 1 2 2 a b


是底角为 30?的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

10. (2012· 8) 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A, B 两点, |AB|= ) 4 3 ,则 C 的实轴长为( A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 11.(2011· 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A, B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3
2

) C .2 D.3

12.(2017· 16)已知 F 是抛物线 C: y ? 8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . .

13. (2014· 6) 设点 M( x0 ,1), 若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N, 使得∠OMN=45? , 则 x0 的取值范围

· 19 ·

14.(2011· 14)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 2 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 15.(2017· 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: 满足 NP ? 2 NM . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 OP ? PQ ? 1 .证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. .

uuu r

uuur

x2 ? y 2 ? 1上,过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 2

uu u r uuu r

16. (2016· 20) 已知椭圆 E:

x2 y 2 A 是 E 的左顶点, 斜率为 k (k>0)的直线交 E 于 A, ? ? 1 的焦点在 x 轴上, t 3 M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.

(Ⅰ)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.

· 20 ·

17.(2015· 20)已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个 交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边形?若能,求此时 3

l 的斜率;若不能,说明理由.

18. (2014· 20) 设 F1, F2 分别是椭圆 x 2 ?
2

a

y2 M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, b2

直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a, b.

· 21 ·

19. (2013· 20) 平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 F 的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M a 2 b2

于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程;

1 . 2

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大值.

20.(2012· 20)设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上的一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (Ⅰ)若∠BFD=90?,△ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点 到 m,n 的距离的比值.

· 22 ·

uuu r uur 21.(2011· 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0, -1),B 点在直线 y =-3 上,M 点满足 MB / /OA , uuu r uu u r uuu r uur MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

§13. 函数与导数
1.(2017· 11)若 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ?1)e
2 x ?1`

的极值点,则 f ( x ) 的极小值为( D.1



A. ?1

B. ?2e ?3

C. 5e?3

2. (2016· 12) 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) , 若函数 y ?

x ?1 与 y ? f ( x) 图像的交点为 ( x1 , y1 ) , x

( x2 , y2 ) ,?, ( xm , ym ) ,则 ? ( xi ? yi ) ? (
i ?1

m

) C.2m D.4m )

A.0

B.m

3.(2015· 5)设函数 f ( x ) ? ? A.3

?1 ? log2 (2 ? x ) ( x ? 1) ?2
x ?1

( x ? 1)

,则 f (?2) ? f (l og2 12) ? ( D.12

B.6

C .9

4.(2015· 10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x. 将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 f(x)的图像大致为 ( )

A.

B.

C.

D.
· 23 ·

5.(2015· 12)设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f ( ?1) ? 0 ,当 x>0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使 得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) U (0,1) C. (??, ?1) U (?1,0) ) B. (?1,0) U (1, ??) D. (0,1) U (1, ??)

6.(2014· 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3

7.(2014· 12)设函数 f ( x) ? 3 sin ? x ,若存在 f ( x) 的极值点 x0 满足 x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范 m 围是( ) B. (??, ?4) U (4, +?) D. (??, ?1) U (4, +?) ) D. a ? b ? c ) A. (??, ?6) U (6, +?) C. (??, ?2) U (2, +?)

8.(2013· 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log7 14 ,则( A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b

9.(2013· 10)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 10.(2012· 10)已知函数 f ( x) ?
y 1 o 1 y 1 o 1

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln(x ? 1) ? x
y 1 o 1 y 1 o 1



x

x

x

x

y
A.

y

y

y

B. C. D. y y y y yy y y1 x y yy yy y y y 11.(2012· 12)设点 P 在曲线 y ? e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为(

2



A. 1 ? ln 2

B.

2 (1 ? ln 2)

C. 1 ? ln 2

D.

2 (1 ? ln 2)

(0, +?) 12.(2011· 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是( )
A . y ? x3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? 2?|x| )

13.(2011· 9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A.

10 3

B.4

C.

16 3

D.6

14. (2011· 12) 函数 y ? A.2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x,(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 ( x ?1
B.4 C.6 D.8



· 24 ·

15. (2016· 16)若直线 y = kx+b 是曲线 y = lnx+2 的切线,也是曲线 y = ln(x+1)的切线,则 b =

.

16.(2014· 15)已知偶函数 f (x)在[0, +∞)单调递减,f (2)=0. 若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围是_________. 17.(2017· 21)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax ? x ln x ,且 f ( x) ? 0 . (1)求 a; (2)证明: f ( x ) 存在唯一的极大值点 x0 ,且 e?2 ? f ( x0 ) ? 2?2 .

18.(2016· 21) (Ⅰ)讨论函数 f ( x) ?

x?2 x e 的单调性,并证明当 x >0 时, ( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0 ; x?2
e x ? ax ? a 求函数 h(a) ( x ? 0) 有最小值.设 g (x)的最小值为 h(a) , x2

(Ⅱ) 证明: 当 a ? [0,1) 时, 函数 g ( x)= 的值域.

· 25 ·

19.(2015· 21)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明:f (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1,,x2∈[-1,1],都有|f (x1)- f (x2)|≤ e-1,求 m 的取值范围.

20.(2014· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ? 2 x . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001).

· 26 ·

21.(2013· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) . (Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

22.(2012· 21)已知函数 f ( x) ? f ?(1)e

x ?1

1 ? f (0) x ? x 2 . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

· 27 ·

23.(2011· 21)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a、b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

§14. 几何证明选讲
1.(2016· 22)如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.
E F

D

G

C

A

B

· 28 ·

2.(2015· 22)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点,与底边上的 高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (Ⅰ)证明:EF∥BC; (Ⅱ)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

3.(2014· 22)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B、C,PC=2PA, D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E. 证明:(Ⅰ)BE = EC; (Ⅱ)AD· DE = 2PB2.

4.(2013· 22)如图, CD 为 △ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D , E , F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF ,B、E、F、C 四点共圆. (Ⅰ)证明: CA 是 △ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ? EA ,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与 △ABC 外 接圆面积的比值.

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5.(2012· 22)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交于△ABC 的外接圆于 F,G 两点, 若 CF // AB,证明: (Ⅰ)CD = BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.
G E D F A

B

C

6.(2011· 22)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合. 已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (Ⅰ)证明:C、B、D、E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=90?,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径.

§15. 坐标系与参数方程
1.(2017· 22)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极 坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 OM ? OP ? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标 方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2, ) ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. 3

?

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2.(2016· 23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为

. ( x + 6)2 + y 2 = 25 (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ?

? x ? tcos? (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点, AB = 10 ,求 l 的斜率. ? y ? tsin?

3.(2015· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos ? (t 为参数,t≠0)其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ?

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

4.(2014· 23)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程 为 ? ? 2 cos ? , ? ?[0, ? ] .

2

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标.

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5. (2013· 23) 已知动点 P, Q 都在曲线 C : ? M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程;

? x ? 2cos t , 对应参数分别为 t=α 与 t=2α(0<α<2π), (t为参数) 上, ? y ? 2sin t ,

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

6.(2012· 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 3sin ?
? 3

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ = 2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) . (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2 的取值范围.

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? x ? 2cos ? 7.(2011· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),M 是 C1 上的动 ? y ? 2 ? 2sin ? uu u v uuuv 点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.
(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

? 与 C1 的异于极点的交点为 A, 3

§16. 不等式选讲
1.(2017· 23)已知 a ? 0,b ? 0,a ? b ? 2 ,证明:
3 3

(1) (a ? b)(a ? b ) ? 4 ; (2) a ? b ? 2 .
5 5

2.(2016· 24)已知函数 f ( x) ?| x ? (Ⅰ)求 M;

1 1 | ? | x ? | ,M 为不等式 f ( x) < 2 的解集. 2 2

(Ⅱ)证明:当 a,b∈M 时, a + b < 1 + ab .

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3.(2015· 24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.

4.(2014· 24)设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) .

a

(Ⅰ)证明:f (x) ≥ 2; (Ⅱ)若 f (3) < 5,求 a 的取值范围.

5.(2013· 24)设 a、b、c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .

a 2 b2 c 2 1 证明:(Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ;(Ⅱ) ? ? ?1. 3 b c a

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6.(2012· 24)已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f (x) ≥ 3 的解集; (Ⅱ)若 f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2],求 a 的取值范围.

7.(2011· 24)设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

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参 考 答 案
§1. 集合及其运算 1. 【答案:C】 解析:由 ? I ? ? ?1? ,得 1 ? B ,所以 m ? 3 , B ? ?1,3? ,故选 C. 2.【答案:C】

1? ,∴ A ? B ? ?0 , 1, 2, 3? ,故选 C. 解析: B ? x ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ,x ? Z ,∴ B ? ?0 ,
3. 【答案:A】 解析:由已知得 B ? ? x ?2 ? x ? 1? ,故 A ? B ? {?1,0} ,故选 A. 4. 【答案:D】 解析:∵ N ={x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} ,∴ M ? N ? {1, 2}. 5. 【答案:A】 解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={-1, 0, 1, 2, 3},所以 M∩N={0, 1, 2}, 故选 A. 6. 【答案:D】
2 解析:要在 1,2,3,4,5 中选出两个,大的是 x,小的是 y,共 C5 ? 10 种选法.

?

?

§2. 复数计算 1. 【答案:D】 解析:

3+i (3 ? i )(1 ? i ) ? ? 2 ? i ,故选 D. 1? i 2

2.【答案:A】 解析:∴ m ? 3 ? 0 , m ? 1 ? 0 ,∴ ?3 ? m ? 1 ,故选 A. 3. 【答案:B】 解析:由已知得 4a + (a2 -4)i = -4i,所以 4a = 0,a2 -4 = -4,解得 a = 0,故选 B. 4. 【答案:A】 解析:∵ z1 ? 2 ? i ,复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,∴ z2 ? ?2 ? i , ∴ z1 z2 ? (2 ? i)(?2 ? i) ? i 2 ? 22 ? ?1 ? 4 ? ?5 . 5. 【答案:A】 解析:由(1-i)· z=2i,得 z = 6. 【答案:C】 解析:经计算 z ?

2i 2i?1 ? i ? ?2 ? 2i ? = =-1+i . 2 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

2 ? ?1 ? i, ? | z |? 2,z 2 ? (?1 ? i ) 2 = 2i ,复数 z 的共轭复数为 ?1 ? i , z 的虚 ?1 ? i

部为 ?1 ,综上可知 P2,P4 正确. 7.【答案:C】 解析:

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) ? i, 共轭复数为 C. = 5 1 ? 2i
§3. 简易逻辑

1. 【答案:D】
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解析:由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道 自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选 D . 2. 【答案:A】 解析:由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ? ? 由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ?

? 1 ? ? ? ( , ? ] ,故选 A. 3 2

2? 1 ? ? ? [0, ) . 3 2

3.【答案:1 和 3】 解析:由题意得:丙不拿(2,3) ,若丙(1,2) ,则乙(2,3) ,甲(1,3)满足; 若丙(1,3) ,则乙(2,3) ,甲(1,2)不满足,故,甲(1,3). §4. 平面向量 1. 【答案:B】 解析:以 BC 为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立坐标系,则 A(0,3),B(?1 ,, 0) 设 P(x, y), 所以 PA ? (?x,3 ? y), 所以 PB ? PC ? (?2x, ?2 y), C (1, 0) , PB ? (?1? x, ? y), PC ? (1? x, ? y) ,

uu r

uur

uuu r

uur uuu r

uur uur uuu r 3 3 3 3 3 PA ? ( PB ? PC ) ? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 2 3 y ? 2 x 2 +2( y ? )2 ? ? ? ,当 P(0, ) 时,所求的最小值为 ? ,故 B. 2 2 2 2 2
2.【答案:D】 r r r r r r r r 解析: a ? b ? (4 , m ? 2) ,∵ (a ? b ) ? b ,∴ (a ? b ) ? b ? 12 ? 2(m ? 2) ? 0 ,解得 m ? 8 ,故选 D. 3. 【答案:A】

解析: 两式相减得: a ?b ?1 . ? | a ? b |? 10 | a ? b |? 6, ?a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? 10,a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? 6, 故选 A. 4. 【答案:

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

1 】 2
? ? ? ?

解析:因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ?a ? b ? k (a ? 2b ) ,则 ? 5. 【答案:2】

?

?

?

?

?? ? k 1 ,所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k

解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则点 A 的坐标为(0,0),点 B uuu r uuu r uuu r uuu r 的坐标为(2,0), 点 D 的坐标为(0,2), 点 E 的坐标为(1,2), 则 AE =(1,2),BD =(-2, 2), 所以 AE ? BD = 2 . 6. 【答案: 3 2 】 解析: 因 |2a ? b|2 =(2a ? b )2 =4a 2 ? 4a ? b ? b 2 =4|a|2 ? 4|a|| ? b| cos 45o ?|b|2 ? 4 ? 2 2|b|?|b|2 =10 , 即: |b|2 ? 2 2|b| ? 6=0 ,解得 | b |? 3 2 . §5. 程序框图 1. 【答案:B】 解析: S ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 3 ,故选 B . 2.【答案:C】 解析:第一次运算: s ? 0 ? 2 ? 2 ? 2 ,第二次运算: s ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 ,第三次运算: s ? 6 ? 2 ? 5 ? 17 ,故 选 C. 3. 【答案:B】 解析:程序在执行过程中,a,b 的值依次为 a=14,b=18,b=4,a=10,a=6, a=2,b=2,此时 a=b=2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B.
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r

r

r

r

r

r r

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

4. 【答案:D】 解析: 输入的 x ,t 均为 2. 判断 1 ? 2 ?是,M ? ? 2 ? 2 ,S ? 2 ? 3 ? 5 ,k ? 1 ? 1 ? 2 ; 判断 2 ? 2 ? 是, M ?

1 1

2 ? 2 ? 2 , S ? 2 ? 5 ? 7 , k ? 2 ? 1 ? 3 ,判断 3 ? 2 ?否,输出 S ? 7 . 2

5. 【答案:B】 解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1;

1 1 , S =1+ ; 2 2 1 1 1 当 k=3 时, T ? , S ? 1+ ? ; 2?3 2 2?3 1 1 1 1 ? 当 k=4 时, T ? , S ? 1+ ? ; 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4
当 k=2 时, T ? …… 当 k=10 时, T ? …… ;

1 1 1 1 , S ? 1+ ? ? ? ? , 2 ? 3 ? 4 ? ??10 2! 3! 10!

k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S,故选 B. 6. 【答案:C】 解析:由程序框图判断 x>A 得 A 应为 a1,a2,?,aN 中最大的数,由 x<B 得 B 应为 a1,a2,?,aN 中 最小的数. 7. 【答案:B】 解析:框图表示 an ? n ? an?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720,故选 B. §6. 线性规划 1. 【答案:A】 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点 B(-6,-3)处取得最小值 Z=-12-2=-15,故选 A. 2. 【答案:B】

?x ? y ? 7 ? 0 解析: 作出 x , y 满足约束条件 ? ? x ? 3 y ? 1 ? 0 所表示的平面区域为如图 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
阴影部分,做出目标函数 l0:y=2x,∵y=2x-z,∴当 y=2x-z 的截距最小 时,z 取最大值.
2 1

y A o B C
5

l2
x-3y+1=0

2

x
x+y-7=0

x ? 3y ?1 ? 0 当 y=2x-z 经过 C 点时,z 取最大值.由 ? 得 C(5,2),此时 z 取最 ? ?x ? y ? 7 ? 0
大值为 2× 5-2=8. 3. 【答案:B】

l0 l 3x-y-5=0 1

?x ? 1 ? 解析: 由题意作出 ? x ? y ? 3 所表示的区域如图阴影部分所示, 当目标函 ? y ? a( x ? 3) ?
数表示的直线经过点 A 时,取得最小值,而点 A 的坐标为(1, -2a) ,所以
A(1, -2a)

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2-2a=1,解得 a ? 4. 【答案:

1 . 故选 B. 2
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

3 】 2

y

解析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y=-x+z,当 z 取到最 大时,直线 y = -x + z 的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到
1 3 D(1, ) ,则 z=x+y 的最大值为 . 2 2
C

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

5. 【答案: [?3,3] 】 解析: 画出可行域, 易知当直线 Z ? x ? 2 y 经过点 (1, 2) 时, Z 取最小值-3; 当直线 Z ? x ? 2 y 经过点 (3, 0) 时, Z 取最大值 3. 故 Z ? x ? 2 y 的取值范围 为 [?3,3] . 6. 【答案:-6】 解 析 : 画出可行域如 图, 当直线 z ? x ? 2 y 过 ?

A C O B

?2 x ? y ? 3 的 交点 (4,-5) 时 , ?x ? y ? 9

zm i n ? ?6 .
§7. ※二项式定理 1. 【答案:D】
r r 2 2 解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 C5 x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x2 的项为 C5 x +ax· C1 5 x =(10+

5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1. 故选 D. 2. 【答案:D】

1 1 a 1 解析: 由 ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2, 得 a=1 (令 x=1) . 故原式= ( x ? )(2 x ? )5 , x x x x
所以通项 Tr ?1 ? C5r (2x)5?2r ( ?x ?1) r ? C5r ( ?1) r 25?r x5?2r , 由 5-2r=1 得 r=2, 对应的常数项=80, 由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40,故选 D . 3. 【答案:3】 解析:由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ,故 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项分别
4 2 3 4 4
3 3 5 为 4ax , 4ax , x , 6 x , x ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 .

4. 【答案:

1 】 2

r 10?r r 3 7 3 解析:∵ Tr ?1 ? C10 x a ,∴ 10 ? r ? 7 ,即 r ? 3 ,∴ T4 ? C10 x a ? 15x7 ,解得 a ?

1 . 2

§8. 数列 1. 【答案:B】 解析:塔的顶层共有灯 a1 盏,则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比数列,由

a1 (1 ? 27 ) ? 381 ,可得 1? 2

a1 ? 3 ,故选 B.
2. 【答案:B】

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解析:设等比数列公比为 q,则 a1+a1q2+a1q4=21,又因为 a1=3,所以 q4+q2-6=0,解得 q2=2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选 B. 3. 【答案:C】 解析: 由 S3=a2+10a1, 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1, 亦即 a1q2=9a1, 解得 q2=9. ∵a5=a1· q4=9, 即 81a1=9, ∴a1= 1 ,故选 C.
9

4. 【答案:D】 解析: ∵a4 ? a7 ? 2 ,a5a6 ? a4a7 ? ?8 , ? a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 , ∵a1,a4,a7,a10 成等比数列,? a1 ? a10 ? ?7 ,故选 D. 5. 【答案:

2n 】 n ?1

?a1 ? 2d ? 3 ? a1 ? 1 ? 解 析 : 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 所 以 ? ,解得 ? ,所以 4?3 d ? 1 4 a ? d ? 10 ? 1 ? ? 2
an ? n, Sn ?
那么

1 2 1 1 n(1? n ) ,那么 ? ? 2( ? ) , 2 Sn n(n ? 1) n n ?1

?S
k ?1

n

1
k

1 1 1 1 1 1 2n . ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? L L ? ( ? )] ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
1 】 n
?1? 1 1 ? ? ?1,故数列 ? ? Sn ?1 Sn ? Sn ?

6. 【答案: ?

解析:由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn ,得 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 7. 【答案:-49】 解析: 设数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 则 S10= 10a1+ =15a1+105d=25②,联立①②,得 a1=-3, d ?

1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所以 S n ? ? . n Sn
10 ? 9 15 ?14 S15=15a1 ? d =10a1+45d=0①, d 2 2

n(n ? 1) 2 1 2 10 2 ,所以 Sn ? ?3n ? ? ? n ? n . 令 f(n)= 2 3 3 3 3

1 10 20 20 20 20 nSn, 则 f ( n) ? n 3 ? n 2 , 得 n=0 或 n ? . 当n ? 时, f ′(n)>0, 0<n < f ?(n) ? n 2 ? n . 令 f ′(n)=0, 3 3 3 3 3 3
时,f ′(n)<0,所以当 n ? f (n)取最小值-49. 8. 【答案:1830】 解析: 由 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 得 ?

20 时,f (n)取最小值,而 n∈N+,则 f (6)=-48,f (7)=-49,所以当 n=7 时, 3

? ?a2 k ? a2 k ?1 ? 4k ? 3L ① , 由②-①得, a2k ?1 ? a2k ?1 ? 2 ③ 由①得, ? ?a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 1L ②
(1 ? 117) ? 30 ? 1770 .由③得, 2

S偶 ? S奇 ? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a6 ? a5 ) ? L ? (a60 ? a59 ) ? 1 ? 5 ? 9 ? L ? 117 ?

S奇 ? (a3 ? a1 ) ? (a7 ? a5 ) ? (a11 ? a9 ) ? L ? (a59 ? a57 ) ? 2 ?15 ? 30 ,
所以 S60 ? S偶 ? S奇 ? (S偶 ? S奇 ) ? 2S奇 ? 1770 ? 2 ? 30 ? 1830 .
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9. 解析:⑴设数列 ?an ? 的公差为 d , S7 ? 7a4 ? 28 ,∴ a4 ? 4 ,∴ d ?

a4 ? a1 ? 1 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . 3 ∴ b1 ? ?lg a1 ? ? ?lg1? ? 0 , b11 ? ?lg a11 ? ? ?lg11? ? 1 , b101 ? ?lg a101 ? ? ?lg101? ? 2 .

⑵记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b1000 ? ?lg a1 ? ? ?lg a2 ? ? ??? ? ?lg a1000 ? .
11,? ? ? ,99 ; 当 0 ≤ lg an ? 1 时, n ? 1,2 ,???,9 ;当 1≤ lg an ? 2 时, n ? 10 , 101,? ? ? ,999 ;当 lg an ? 3 时, n ? 1000 . 当 2 ≤ lg an ? 3 时, n ? 100 , ∴ T1000 ? 0 ? 9 ? 1? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ? 1 ? 1893 .

1 1 1 2 ? 3 ,又 a ? 1 ? 3 , 10.解析: (Ⅰ)证明:∵ an?1 ? 3an ? 1 ,∴ an ?1 ? ? 3( an ? ) ,即: 1 1 2 2 2 2 an ? 2 an ?1 ?
∴ {an ? } 是以

1 2

3n ? 1 3 1 3 n ?1 为首项,3 为公比的等比数列.∴ an ? ? ? 3 ,即 an ? . 2 2 2 2

3n ? 1 1 2 3 1 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 an ? ,∴ ? n ? n ? n ?1 (n ? N*) , 2 an 3 ? 1 3 3
1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 [1 ? ( 1 ) n ] ? 3 ∴ ? ? ??? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ? 1 a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1? 3 1 1 1 3 故: ? ? ??? ? ? a1 a2 an 2
2 2 2 11. 解析: (Ⅰ) 设数列{an}的公比为 q, 由 a3 , 得 a3 , 所以 q 2 ? ?9 aa ? 9a4 2 6

1 1 . 由条件可知 an>0, 故q ? . 9 3

1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1,得 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ? . 故数列{an}的通项式为 an ? n . 3 3
(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?? ? log3 an = ? (1 ? 2 ? ?? ? n ) ? ? 故

n( n ? 1) , 2

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n , ?? ? ?2( ? ) , ? ? ? ? ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? bn n(n ? 1) n n ?1 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以数列 { } 的前 n 项和为 ?

1 bn

2n . n ?1
§9. 三角函数

1.【答案:B】

π? π? π kπ π ? ? ? ? k ? Z? , 解析: 平移后图像表达式为 y ? 2sin 2 ? x ? ? , 令 2 ? x ? ? ? kπ + , 得对称轴方程:x ? 12 1 2 2 2 6 ? ? ? ? 故选 B. 2.【答案:D】 ? 3 π ? 7 2 π 解析:∵ cos( ? ? ) ? , sin 2? ? cos( ? 2? ) ? cos[2( ? ? )] ? 2cos ( ? ? ) ? 1 ? ,故选 D. 4 5 2 4 4 25 3. 【答案:B】
解析: ∵ S ?ABC ?

1 1 1 2 ? ? | AB | ? | BC | ? sin B , n i B? 即: ? ?1 ? 2 ? sin B , ∴s , 即 B ? 45 或 135 . 2 2 2 2
· 41 ·

又∵ | AC |2 ?| AB |2 ? | BC |2 ?2 | AB | ? | BC | ? cos B ,∴ | AC |2 ? 1 或 5,又∵ ?ABC 为钝角三角形,

∴ | AC |2 ? 5 ,即: | AC |? 5 ,故选 B. 4. 【答案:A】 解析:由

1 5 ? ? ? ? 3? ? 2k? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? 4k ? ? ? ? 2k , k ? Z , 2 4 2 2 4 4 2

1 5 ∵? ? 0, ∴ ? ? ? ,故选 A. 2 4
5. 【答案:B】 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ? 6. 【答案:A】 解析:? f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ? ? ,故选 B. 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

?
4

)(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 π,所以 ? ? 2 ,又 f (? x) ? f ( x) ,

∴ f(x)为偶函数,?? ? = +k? ,即 ? = 7. 【答案:1】 解析: f ? x ? ? 1 ? cos 2 x ? 3 cos x ? 那么 cos x ??0,1? ,当 cos x ? 8.【答案:
21 】 13

? ? 4 2

? ? +k? , k ? Z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ,故选 A. 2 4

? 3 1 3 ? ? cos2 x ? 3 cos x ? ? ?(cos x ? )2 ? 1 ,? x ? [0, ] , 2 4 4 2

3 时,函数取得最大值 1. 2

4 5 3 12 63 解析:∵ cos A ? , cos C ? ,?sin A ? , sin C ? , sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ? , 13 5 13 65 5 b a 21 ? 由正弦定理: ,得 b ? . sin B sin A 13 9. 【答案:1 】

解析:∵ f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? sin[? ? ( x ? ? )] ? 2sin ? cos( x ? ? )

? sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? sin ? cos( x ? ? ) ? sin x ∵ x ? R ,∴ f ( x ) 的最大值为 1.
10. 【答案: ?

10 】 5

解析: 由 tan ? ? ? 得

? ?

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 得 tan θ= ? , 即 sin θ= ? cos θ. 将其代入 sin2θ+cos2θ=1, ? , ?? 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2

10 3 10 10 cos 2? ? 1 . 因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ= ? ,sin θ= , 9 10 10

sin θ+cos θ= ? 11.【答案: 2 7 】

10 . 5
BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A , sin A sin B

解析:∵B=60 ?,∴ A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,
· 42 ·

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ,? AB ? 2 BC ? sin C sin B
3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7 .
12.解析: (1)由题设及 A ? B ? C ? ? , 得 sin B ? 8sin 2

?
2

,故 sin B ? 4(1? cosB ),上式两边平方,

整理得 17cos2 B ? 32cos B+15=0 ,解得 cos B =1(舍去), cos B = (2)由 cos B =

15 . 17

17 1 4 15 8 ,由余弦定 ac ,又 S?ABC =2,则ac ? 得 sin B ? ,故 S?ABC ? ac sin B ? 2 2 17 17 17
17 15 ? (1 ? ) ? 4 ,所以 b = 2 . 2 17

2 理及 a ? c ? 6 得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 2ac(1 ? cos B) ? 36 ? 2 ?

13.解析:(Ⅰ) S?ABD ?

1 1 AB ? AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ? AD sin ?CAD ,因为 S?ABD ? 2S?ADC , 2 2 sin ?B AC 1 ? ? . sin ?C AB 2

?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC ,由正弦定理可得
(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ? 2 , DC ?

2 ,所以 BD ? 2 ,在 ?ABD 和 ?ADC 中, 2

由余弦定理知, AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC , 故 AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 ,由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 . 14. 解析: (Ⅰ) 由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B ①, 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C ②,由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B,又 B∈(0,π),所以 B ? (Ⅱ) △ABC 的面积 S ? ac sin B ? 故 ac ?

?.
4

1 2

? 2 ac . 由已知及余弦定理得 4=a 2 +c 2 ? 2ac cos . 又 a2+c2≥2ac, 4 4

4 ? 2(2 ? 2) ,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为 2+1 . 2? 2

15.解析: (Ⅰ)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理可得 sin A cos C ? 3sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 , ∵ sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C ? 0 ,∴ 3sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ? 0 , Q sin C ? 0 ,

? ? 1 ? 3 sin A ? cos A ?1 ? 0 ,即 2sin( A ? ) ? 1 ? 0 ,亦即 sin( A ? ) ? , Q 0 ? A ? ? , 6 6 2 ? ? 5? ? ? ? ?? ? A ? ? ,? A ? ? ,? A ? . 6 6 6 6 6 3
(Ⅱ) Q SV ABC ? 3 ,? bc sin A ?

1 2

? 3 bc ? 3 ,? bc ? 4 , Q a ? 2, A ? , 3 4

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? 4 ,?(b ? c)2 ? 3bc ? 4 ? b ? c ? 8 ,解得 b ? c ? 2 .
§10. 立体几何 1. 【答案:B】 解析:由题意,该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱,故其体积为

V?

1 ? ? ? 32 ? 6 ? ? ? 32 ? 4 ? 63? ,故选 B. 2
· 43 ·

2. 【答案:C】

解析: 不成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D, BD= 22 +1? 2 ? 2 ?1? cos60? ? 3 , Q BC1 = 2 ,

C1D ? AB1 ? 5 ,因此 cos ?BC1D ?

2 10 ,故选 C. = 5 5

3.【答案:C】 解析: 几何体是圆锥与圆柱的组合体, 设圆柱底面圆半径为 r , 周长为 c , 圆锥母线长为 l , 圆柱高为 h . 由 2 1 2 图得 r ? 2 , c ? 2πr ? 4π , 由勾股定理得: l ? 22 ? 2 3 ? 4 , S表 ? πr ? ch ? cl ? 4π ? 16π ? 8π ? 28π , 2 故选 C. 4. 【答案:D】

?

?

解析:由三视图得,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截去四面体 A-A1B1D1,如图 所 示 , 设 正 方 体 棱 长 为 a , 则 VA ? A B D ? ? a 3 ? a 3 , 故 剩 余 几 何 体 体 积 为 1 1 1

D1

C1

1 1 3 2

1 6

A1 D

B1 C

1 5 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选 D. 6 6
5. 【答案:C】 解析:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的 体积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? 1 ? 1 R 2 ? R ? 1 R 3 ? 36,故 3 2 6 R=6,则球 O 的表面积为 S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C. 6. 【答案:C】 解析:原来毛坯体积为 π· 32· 6=54π (cm2),由三视图得,该零件由左侧底面半 径为 2cm,高为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm,高为 2cm 的圆柱构成, 所 以该 零件的 体积 为: π· 32 · 2+π· 2 2· 4=34π (cm2) ,则 切削 掉部分 的体 积为 54π-34π =20π(cm2) , 所 以 切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为
A
A B

C

O B

2 0? 10 . ? 5 4? 27
7. 【答案:C】 解析:取 BC 的中点 P,连结 NP、AP, ∵M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,∴四边形 NMBP 为平行 四边形,∴BM//PN,∴所求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值,不妨 令 BC=CA=CC1=2,则 AN=AP= 5 ,NP=MB= 6 , ∴ cos ?ANP ?

C

P

B

| AN |2 ? | NP |2 ? | AP |2 ( 5)2 ? ( 6)2 ? ( 5) 2 30 . ? ? 10 2? | AN | ? | NP | 2? 5 ? 6

A

【另解】 如图建立坐标系, 令 AC=BC=C1C=2, 则 A(0, 2, 2), B(2, 0, 2), M(1, 1, 0),N(0, 1, 0), ? BM ? (?1,1, ?2), AN ? (0, ?1, ?2),

???? ?

????

C1
N

???? ? ???? BM ? AN 0 ?1 ? 4 30 ? ???? ? cos θ ? ???? ? . 10 | BM | ? | AN | 6 5

B1
M

A1

8. 【答案:D】 解析: 因为 m⊥α, l⊥m, l ? α, 所以 l∥α. 同理可得 l∥β. 又因为 m, n 为异面直线, 所以 α 与 β 相交, 且 l 平行于它们的交线.故选 D. 9. 【答案:A】 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为右图, 则它在平面 zOx 上的投影即正视图为右图,故选 A.
· 44 ·

10. 【答案:B】 解析:由三视图可知,此几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形(俯视图) ,高为 3 的三棱锥,故

1 1 其体积为 V ? ? ? 3 2 ? 3 2 ? 3 ? 9 . 3 2
11. 【答案:A】 解析:易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O-ABC 是棱长为 1 的正四 面体,其高为 12. 【答案:D】 解析: 条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆 锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选 D. 13.【答案:②③④】 14.【答案: 8 3 】 解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= OM= 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ?

1 3 6 2 2 6 ,故 VO ? ABC ? ? , VS ? ABC ? 2VO? ABC ? . ? ? 3 4 3 12 6 3

1 (2 3) 2 ? 62 ? 2 3 , 2

1 ?6?2 3 ?2 ? 8 3 . 3
1 1 又∵ BC / / AD , AD , 2 2

15. 解析: (1) 取 PA 中点 F, 连接 EF、 BF、 EC, ∵E、 F 分别为 PD、 PA 中点, ∴ EF / / ∴ BC / /EF ∴四边形 BCEF 为平行四边形,平面 CE//PAD .

(2)因为 AB ? AD ,则以 A 为坐标原点, AB、AD 所在直线分别为 x、 y 轴建立空间直角坐标系

A ? xyz , 如 图 所 示 . 令 AB ? 1 , 设 CM ? ?CP(0 ? ? ? 1) , 则 得
A(0, 0, 0),B(1 , 0, 0),C (1 , 1 , 0) , P(0, 1 ,3) , 则 CP ? (?1, 0,3) ,

z

P FM E D C

CM ? (??, 0,3?) ,可得点 M (1 ? ?, 1 ,3?) . 1 ,3? ) ,所以 BM ? (??,
取底面 ABCD 的法向量为 n ? (0, 0, 1) , 则

A

cos? BM, n? ?

3?

?2 ? 1 ? 3?2

? sin 45? , 解 得 ? ?

2 2

, 则

x B

y

BM ? (?

? ?m ? AB ? 0 2 6 得 , 0, 0) , 设面 MAB 的法向量为 m ? ( x,y,z) ,由 ? , 1, ) . 因为 AB ? (1 2 2 ? m ? BM ? 0 ?

?x ? 0 m?n 10 ? n? ? ? , 取 z ? 2 得 m ? (0, .故二面角 ? 6, 2) , 则 cos? m, ? 2 6 5 ? x ? y ? z ? 0 m n ? 2 ? 2
M ? AB ? D 的余弦值为

10 . 5

16. 解析:⑴证明:∵ AE ? CF ?

AE CF 5 ,∴ ,∴ EF ∥ AC .∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AC ? BD , ? 4 AD CD ∴ EF ? BD ,∴ EF ? DH ,∴ EF ? D?H .∵ AC ? 6 ,∴ AO ? 3 ; AE 又 AB ? 5 , AO ? OB ,∴ OB ? 4 ,∴ OH ? ? OD ? 1 ,∴ DH ? D ?H ? 3 , AO 2 2 2 ∴ OD? ? OH ? D ' H ,∴ D ' H ? OH .又∵ OH I EF ? H ,∴ D' H ? 面 ABCD .
· 45 ·

0, 0? , C ?1, 3, 0? , ⑵建立如图坐标系 H ? xyz . B ?5 , uu u r uuur D '?0 , 0, 3? ,A ?1,? 3 , 0 ? ,AB ? ? 4 , 3, 0? ,AD ' ? ? ?1, 3, 3? , uuu r u r AC ? ? 0 , 6, 0? ,设面 ABD ' 法向量 n1 ? ? x ,y ,z ? , u r uuu r ?x ? 3 ? ?4 x ? 3 y ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? 由 ?u 得? ,取 ? y ? ?4 , r uuur ? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ?z ? 5 ?n1 ? AD? ? 0 ? ? u r u u r ∴ n1 ? ?3 , ? 4, 5? .同理可得面 AD ' C 的法向量 n2 ? ?3 , 0, 1? , u r u u r n1 ? n2 9?5 2 95 7 5 ∴ cos? ? u ,∴ sin ? ? . ? r u u r ? 25 25 n1 n2 5 2 ? 10
17.解析:(Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M,则 AM ? A , EM ? AA1 ? 8 因为 1E ? 4

EH ? EF ? BC ? 10 , 于 是 ??? ? MH ? EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 ,以 D 为坐标原点, DA 的 方向为 x 轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系 D ? xyz ,则 ??? ? ??? ? ? A(10, 0, 0) x,y,z ) ,H (10,10,0) ,E (10,4,8) ,F (0,4,8) ,FE ? (10,0,0) ,HE ? (0, ?6,8) , 设n ? (
EHGF 为 正 方 形 , 所 以

? ? ??? ???? ? ?10 x ?0 ? ?n ? FE ? 0 是平面 EHGF 的法向量,则 ? ???? ,即 ? ,所以可取 n ? (0,4,3) ,又 AF ? (?10,4,8) , ??6 y ?8 z ?0 ? ? ? HE ? 0 ?n ? ???? 4 15 ? ???? | n ? AF | 4 5 故 | cos ? n, AF ?|? ? ???? ? ,所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 . 15 | n || AF | 15
18. 解析: (Ⅰ) 证明: 连结 BD 交 AC 于点 O , 连结 OE . ∵底面 ABCD 为矩形,∴点 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,∴ OE / / PB , ∵ OE ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,∴ PB //平面 AEC . (Ⅱ)以 A 为原点,直线 AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z 轴建立 空间直角坐标系,设 AB ? a ,则 D(0, 3,0) , A(0, 0, 0) ,

P E A

D

??? ? ???? 3 1 3 1 B C , ) , C(a, 3,0) ,∴ AE ? (0, , ) , AC ? (a, 3,0) , 2 2 2 2 ? a ? ? ??? ? 3 1 x y? z?0 ? ?y ? ? ? n ? AE ? 3 , 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 AEC 的法向量, 则? , 解得: 令x ? 3, 2 2 ? ???? ? ?z ? ? 3y ? n ? AC ? ax ? 3 y ? 0 ? ? ? 得 n ? ( 3, ?a, ? 3a) , ??? ? ??? ?? 3 3a 1 又∵ AB ? (a,0,0) 是平面 AED 的一个法向量,∴ | cos ? AB, n ?|? ? cos60? ? , 解得 a ? , 2 2 a ? 3 ? 4a 2 E (0,
∴ VE ? ACD ? ? ? | AD | ? | CD | ? | AP | ?

1 1 3 2

1 2

1 1 3 1 3 ? ? 3? ? ? . 3 2 2 2 8

19.解析: (Ⅰ)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因 为 DF?平面 A1CD,BC1 ? 平面 A1CD,所以 BC1 // 平面 A1CD.

· 46 ·

(Ⅱ)由 AC=CB=

uur 2 AB 得,AC⊥BC. 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 2
uuu r
uur
uuu r

轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0), E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 =(2,0,2).设 n=(x1,

uuu r ? ? x1 ? y1 ? 0, ?n ? CD ? 0 y1, z1)是平面 A1CD 的法向量, 则 ? uuu , 即? 可取 n=(1, r 2 x1 ? 2 z1 ? 0. ? n ? CA ? 0 ? ? 1 uur ? ?m ? CE ? 0 -1, -1).同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 ? ,可取 m=(2, 1, -2).从而 cos〈n,m〉 uuu r ? ?m ? CA1 ? 0


n· m 3 6 6 ,故 sin〈n,m〉= . 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 . ? 3 3 | n || m | 3
1 AA1 ? a ,? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,? DC1 ? DC ? 2a , 2

20.解析: (Ⅰ) 证明:设 AC ? BC ?

CC1 ? 2a ,? DC12 ? DC 2 ? CC12 ,? DC1 ? DC . 又 Q DC1 ? BD ,DC1 I DC ? D ,? DC1 ? 平
面 BDC . Q BC ? 平面 BDC ,? DC1 ? BC . (Ⅱ) 由 (Ⅰ)知, 又已知 DC1 ? BD , ? BD ? 3a . DC1 ? 2a , BC1 ? 5a , 在 Rt△ABD 中 , B D? 3 a , AD ? a, ?DAB ? 90o , ? AB ?
A1 D C A B C1 B1

2a .

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC . <法一>取 A1B1 的中点 E , 则易证 C1E ? 平面 BDA1 , 连结 DE , 则 C1E ? BD ,

已知 DC1 ? BD ,? BD ? 平面 DC1E ,? BD ? DE ,??C1DE 是二面角 A1 ? BD ? C1 平面角. 在

Rt△C1DE 中, sin ?C1DE ?
为 30 .
?

C1E 2a 2 1 ? ? ,??C1DE ? 30? . 即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小 C1D 2 2a

< 法 二 > 以点 C 为 坐标原点,为

x 轴 , CB 为 y 轴 , CC1 为 z 轴 , 建 立空间直 角坐标系 C ? xyz . 则
uuu r uuur

A1 ? a,0,2a ? , B ? 0, a,0? , D ? a,0, a ? , C1 ?0,0,2a ? . DB ? ? ?a, a, ?a ? , DC1 ? ? ? a, 0, a ? , 设 平 面 r ru ? D B ?? a x a ? y1 a z? 1 ?1 0 r ?n ? 则 ?r u , 不妨令 x1 ? 1 , 得 y1 ? 2, z1 ? 1 , DBC r 1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n ? D C ?? a x a ? z ? 0 ? ? 1 1 1 r r r r ? ,则 故可取 n1 ? (1, 2,1) . 同理 , 可求得平面 DBA 1 的一个法向量 n2 ? (1,1, 0). 设 n1 与 n2 的夹角为 r r n1 ? n2 3 3 ? , ?? ? 30 . 由 图 可 知 , 二 面 角 的 大 小 为 锐 角 , 故 二 面 角 cos? ? r ? r ? | n1 | ? | n2 | 2 6? 2
A1 ? BD ? C1 的大小为 30? .
21. 解析: (Ⅰ) 因为 ?DAB ? 60?,AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD , 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD,又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD,所以 BD ? 平面 PAD,故 PA ? BD. (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的 正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0) , B(0,3,0) ,
· 47 ·

uur uuu r uuu r C(?1, 3,0) , P(0,0,1) . AB ? (?1, 3,0) , PB ? (0, 3, ?1),BC ? (?1,0,0) ,设平面 PAB 的法向量为
uuu r ? n ? AB ? n=(x, y, z),则 ? uur ? 0 ,即 ? ?n ? PB ? 0

? ?? x ? 3 y ? 0 ,因此可取 n ? ( 3,1, 3) ,设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? ? ? 3y ? z ? 0

uur ? m ? PB ? 0 ?4 2 7 2 7 ? ,可取 m ? (0, ?1, ? 3) , cos ? m, n ?? ,故二面角 A-PB-C 的余弦值为 ? . ?? r ? uuu 7 7 2 7 m ? BC ? 0 ? ?
§11. 排列组合、概率统计

1. 【答案】D
2 2 2 解析: C3 C4 A2 ? 36 ,故选 D .

2.【答案:B】 解析: E ? F 有 6 种走法, F ? G 有 3 种走法,由乘法原理知,共 6 ? 3 ? 18 种走法,故选 B. 3.【答案:C】 2, ??? , n ? 在如图所示方格中,而平方和小于 1 解析:由题意得: ? xi ,yi ? ?i ? 1,
π 的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知 4 ? m , 1 n 4m ∴π? ,故选 C. n 4. 【答案:D】

解析:由柱形图可知,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,所以二氧化硫排放量与年份 负相关,故选 D. 5. 【答案:A】 解析:设 A =“某一天的空气质量为优良” ,B =“随后一天的空气质量为优良” ,则

P( B | A)?

P( A B) 0.6 ? ? 0 ..8 P( A ) 0.75

6. 【答案:A】
1 2 解析:只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可,共有 C2 C4 种安排方案.

7. 【答案:A】 解析:每个同学参加的情形都有 3 种,故两个同学参加一组的情形有 9 种,而参加同一组的情形只有 3 种,所求的概率为 P= 8. 【答案:1.96】 解析: X ~ B ?100,0.02? ,所以 D( X ) ? np(1 ? p) ? 100 ? 0.02 ? 0.98 ? 1.96 . 9. 【答案:8】 解析:从 1,2,?,n 中任取两个不同的数共有 C2 n 种取法,两数之和为 5 的有(1,4),(2,3),共 2 种,
2 4 1 所以 2 ? 1 ,即 2 ? ? ,亦即 n -n-56=0,解得 n=8. 2 n? n ? 1? n? n ? 1? 14 Cn 14

3 1 ? ,故选 A. 9 3

2
3 10. 【答案: 】 8

1 解析:由已知可得,三个电子元件使用寿命超过 1000 小时的概率均为 ,所以该部件的使用寿命超过 2
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1000 小时的概率为 [1 ? (1 ? ) 2 ] ?

1 2

1 3 ? . 2 8

11.解析: (1)记:事件“就养殖的箱产量低于 50kg”为事件 B,事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg” 为事件 C,则 P(A)=P(B) · P(C),P(B)=5× (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) =0.62,P(C) =5× (0.068+0.046 +0.010+0.008)=0.66,P(A)=0.4092 . (2) <50kg 旧养殖法 新养殖法 62 34 ≥50kg 38 66

K2 ?

200 ? (62 ? 66 ? 34 ? 38) ? 15.705 ? 10.828 ,有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 100 ?100 ? 96 ?104

(3)第 50 个网箱落入“50:55”这组;取平均值 52.50 即为中位数的估计值。 12. 解析:⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 . P ( AB ) 0.10 ? 0.05 3 ? ? . ⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B , P ( B A) ? P ( A) 0.55 11 ⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X . 0.85 a 1.25a 1.5a 1.75a 2a a X

P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费: EX ? 0.85 ? 0.30 ? 0.15a ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ?0.25 a5? 0 a . 1? 5 a 0 .? 25 a ? 0.3 a0 ?. 1 7 a 5? , 0a .1 1.23 ∴平均保费与基本保费比值为 1.23 . 13.解析:(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下: 通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高 于 B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比 较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。 (Ⅱ)记 C A1 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为满意或非 常满意”; C A 2 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常 满意” ;CB1 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满意” ; 6 6 8 8 6 9 2 8 6 7 5 4 4 5 5 3 2 3 1 2 A 地区 4 5 6 7 8 9 6 1 2 3 3 1 B 地区 8 3 6 4 4 5 5 3 4 6 9 2 1 3

C B 2 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则 C A1 与 CB1 独立,C A 2 与 C B 2 独立,CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 UCB 2CA2 ,
P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB2 )P(CA2 ) ,
由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发生的频率分别为 故 P(C A1 ) ?

16 4 10 8 , , , , 20 20 20 20

16 4 10 8 16 4 10 8 , P (C ) ? , P(C A 2 ) ? , P(CB1 ) ? , P(CB 2 ) ? ? ? ? ? 0.48 20 20 20 20 20 20 20 20

14.解析: (Ⅰ)由题意得: t ? 4 , y ?

2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? 4.3 , 7 ? ? (?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ?1.6 ? 0.5 , ∴b (?3)2 ? (?2)2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 22 ? 32

? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ,故所求线性回归方程为: y ? ? 0.5t ? 2.3 . ? ? y ? bt ∴a
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程的斜率 k ? 0.5 ? 0 可知,2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯 收入逐渐增加.令 t ? 9 得: ? y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为
· 49 ·

6.8 千元。 15.解析: (Ⅰ)当 x∈[100,130)时,T=500x-300(130-x)=800x-39 000,当 x∈[130,150]时,T=500× 130 =65 000. 所以 T ? ?

?800 x ? 39000,100 ? x ? 130 . ?65000,130 ? x ? 150

(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率 为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4

所以 ET=45 000× 0.1+53 000× 0.2+61 000× 0.3+65 000× 0.4=59 400. 16 . 解 析 :( Ⅰ ) 当 n≥16 时 , y=16× (10-5)=80 , 当 n≤15 时 , y=5n-5× (16-n)=10n-80 , 得

n ? 8 0n, ? ( 15) ?1 0 y?? (n ? N ) . (n ? 16) ?80,
(Ⅱ) (ⅰ)X 可能取 60,70,80. P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7, X 的分布列为: X 60 P 0.1 X 的数学期望 E(X) =60× 0.1+70× 0.2+80× 0.7=76, 70 0.2 80 0.7

X 的方差 D(X) =(60-76)2× 0.1+(70-76)2× 0.2+(80-76)2× 0.7=44. (ⅱ)若花店计划一天购进 17 枝玫瑰花,X 的分布列为 X 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 X 的数学期望 E(X) =55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4,因为 76.4 ? 76,所以应购进 17 枝玫瑰花. 17.解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的 100

产 品 的 优 质 品 率 的 估 计 值 为 0.3 . 由 试 验 结 果 知 , 用 B 配 方 生 产 的 产 品 中 优 质 品 的 频 率 为

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 . 100
(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间[90, 94), [94, 102), [102, 110]的频率分别 为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为: X 2 4 -2 P 0.04 0.54 0.42 X 的数学期望值 E(X)=-2× 0.04+2× 0.54+4× 0.42=2.68 . §12. 解析几何 1. 【答案:A】 解析:圆心到渐近线 bx ? ay ? 0 距离为 22 ?1 ? 3 ,所以 2.【答案:A】

2b ? 3 ? c ? 2a ? e ? 2 ,故选 A . c
2 2

4? , 解 析 : 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 化 为 标 准 方 程 为 : ? x ? 1? ? ? y ? 4? ? 4 , 故 圆 心 为 ?1,

4 ? 1 ,解得 a ? ? ,故选 A. 3 a ?1 3.【答案:A】
d?
2

a ? 4 ?1

· 50 ·

2 2 F1 F2 F F sin M 1 2 解析:离心率 e ? ,由正弦定理得 e ? ? ? 3 ? 2 .故选 A. MF2 ? MF1 MF2 ? MF1 sin F1 ? sin F2 1 ? 1 3 4. 【答案:C】

解析:由已知得,,所以 kABkCB=-1,所以 AB⊥CB,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为(1, -2), 半径为 5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令 x=0,得,所以,故选 C. 5. 【答案:D】 解析:设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,如图所示,|AB|=|BM|, a 2 b2

∠ABM=120? ,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N,在 Rt△BMN 中,|BN|=a, 故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) , 代入双曲线方程得 a2 = b2 = c2 -a2, | MN |? 3a , 即 c2 = 2a2,所以 e ? 2 ,故选 D. 6. 【答案:D】

21 9 3 3 ( x ? ) ,代入抛物线方程得: x 2 ? x ? ? 0 , 2 16 3 4 21 9 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , ∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? , 由 弦 长 公 式 得 2 16
解析:∵ F ( , 0) ,∴设直线 AB 的方程为 y ?

3 4

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 12 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 : O 到 直 线 AB 的 距 离

d?

|

3 3 ?0 ?0 ? | 1 3 9 3 4 ? 3 ,∴ S ?12 ? ? . ?OAB ? 2 8 4 8 3 ( ) 2 ? (?1) 2 3
3 3 ( x ? ) 代入抛物线方程得: 4 y2 ?12 3 y ? 9 ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? 3 3 , 3 4 1 3 9 ? ? ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? . 2 4 4

【另解】直线 AB 的方程 y ?

9 y1 ? y2 ? ? ,∴ S ?OAB 4
7. 【答案:C】

p p =5,则 x0=5- .又点 F 的坐标 2 2 y 2 25 p 5 2 为 ( , 0) , 所 以以 MF 为 直径的 圆 的 方程 为 ( x ? ) ? ( y ? 0 ) ? . 将 x = 0 , y = 2 代入 得 2 2 2 4
解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+

y0 2 p ? 2 y0 ? 4 ? 0 ,所以 y0=4.由 y0 2 =2px0,得 16 ? 2 p(5 ? ) ,解之得 p=2,或 p=8.所以 C 的方 2 4
程为 y2=4x 或 y2=16x. 故选 C. 8. 【答案:B】 解析:由题意知 b∈(0, 1),当直线过点(-1, 0)时,要将△ABC 分割为面积相等的两部分,直线必须过点

1 1 1 1 1 ( , ) ,此时有-a+b=0 且 a ? b ? ,解得 b ? ;当 a=1 时,直线 y=ax+b 平行于直线 AC,要将△ 2 2 2 2 3
ABC 分割为面积相等的两部分,可求此时的 b ? 2 ? 1 . 9. 【答案:C】
· 51 ·

解析:由题意可得, △F2 PF1 是底角为 30?的等腰三角形可得 PF2 ? F1F2 ,即 2(

3a ? c ) ? 2c , 所以 2

e?

c 3 ? . a 4

10. 【答案:C】 解析:抛物线的准线方程是 x=4,所以点 A (?4, 2 3) 在 x2 ? y 2 ? a2 上,将点 A 代入得 a 2 ? 4 ,所以实 轴长为 2a ? 4 . 11. 【答案:B】 解析:通径|AB|= 12. 【答案:6】

2b2 2 2 2 2 2 ? 2a 得 b ? 2a ? a ? c ? 2a ,故选 B. a
2

a a 解析:设 N(0,a),F(2,0),那么 M (1, ) ,点 M 在抛物线上,所以 ? 8 ? a 2 ? 32 ? a ? ?4 2 , 2 4
所以 N (0, ? 4 2) ,那么 | FN |?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 4 2) 2 ? 6 .

1 ? , 1 13. 【答案: []



解析:由图可知点 M 所在直线 y ? 1 与圆 O 相切,又 ON ? 1 ,由正弦定理 得

ON OM 1 OM ,∴ , ? ? sin ?OMN sin ?ONM 2 sin ?ONM 2
2 ?, ∴ OM ? 2 , 即 x0 ?1 ? 2 ,

N M? 即 OM ? 2 sin ?ONM , ∵ 0 ?? O
解得: ?1 ? x0 ? 1.

【另解】 过 OA⊥MN, 垂足为 A, 因为在 Rt△OMA 中, |OA|≤1, ∠OMN=45?, 所以 | OA |?| OM | sin 45o =

2 | OM |? 1 ,解得 | OM |? 2 ,因为点 M (x0, 1),所以 | OM |? x0 2 ? 1 ? 2 ,解得 ?1 ? x0 ? 1, 2

故 x0 的取值范围是 [?1,1] . 14. 【答案: ?

x2 y2 ? ? 1】 16 8

?c 2 x2 y2 ? 解析:由 ? 得 a =4 , c = ,从而 b =8 , ? ? ? 1. 2 2 ?a 2 16 8 ?4a ? 16 ?
15.解析: (1)设 P( x, y) , M ( x?, y?) , N ( x?, 0) , NP ? 2 NM , ( x ? x?, y) ? 2(0, y?) ,即

uuu r

uuur

? x? ? x ? x? 2 ? x ? x? ? 0 ? ? y?2 ? 1 ,得到 x2 ? y 2 ? 2 ,∴点 P 的轨迹方程 ,代入椭圆方程 ? y ? ? ? y ? 2 ? ? y ? 2 y? ? 2 ?

x2 ? y 2 ? 2 .

(2)设 P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为 F(-1,0), OP ? ( x1 , y1 ), PQ ? (?3 ? x1,y2 ? y1 ),

uu u r

uuu r

uu u r uuu r 即 ?3x1 ? x12 ? y1 ? y2 ? y12 ? 1 , ?3x1 +y1 ? y2 ? ( x12 ? y12 ) ? 1 , OP ? PQ ? x1 ? (?3 ? x1 )+y1 ? ( y2 ? y1 ) ? 1,

· 52 ·

?3x1 +y1 ? y2 =3 ① lOQ : y ? ?
x ? ?1 时, y ? y1 ?

y2 3 x, ∴过 P 与直线 OQ 垂直的直线为: y ? y1 ? ? ? x ? x1 ? ,当 3 y2

y ? y ? 3x 3 3 3 3x ? ?1 ? x1 ? ? y1 ? ? 1 ? 1 2 1 ? ,①代入得 y ? 0 ,∴过 P 且垂 y2 y2 y2 y2 y2
x2 y 2 0? ,则直线 AM 的方程为 ? ? 1 ,A 点坐标为 ? ?2 , 4 3

直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F . 16. 解析:⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 y ? k ? x ? 2? .联立 ? 4 3 并整理得, 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

8k ? 6 12 8k 2 ? 6 2 ? 2 ? 1? k2 ? x?? ,则 AM ? 1 ? k ? ,因为 AM ? AN ,所以 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4k 2 3 ? 4k
2

4 AM ? AN , k ? 0 ,所以 ? 1? 3 k ? ,因为 3 ? 4 ? ?1 ? ? k ? k? 12 12 1? k2 ? ? 1? k2 ? 2 4 ,整理得 ? k ? 1? 4k 2 ? k ? 4 ? 0 , 4k 2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ? 1 .所以 3 ? 4k 3k ? k 2 144 1 1? 12 ? 2 △ AMN 的面积为 AM ? ? 1 ? 1 ? ? = 49 . 2 2? 3? 4?
2

? 1? AN ? 1 ? ? ? ? ? ? k?

2

12

? 1? k2 ?

12

?

?

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 3 ⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t , 联立 ? t 并整理得,3 ? tk x ? 2t tk x ? t k ? 3t ? 0 , ?y ? k x ? t ?

?

?

?

?

?

?

解得 x?? t 或 x??

t tk 2 ? 3 t 6 t t tk 2 ? 3 t 2 AM ? 1 ? k ? ? t ? 1? k2 ? , 所 以 ,所以 2 2 3 ? tk 3 ? tk 2 3 ? tk

6 t 6 t 6 t AN? 1 ? 2 k ? 2 ? 1? k2 ? ? 1? k2 ? 2 t ,因为 2 AM ? AN,所以 t ,整理得 3 ? tk 3k ? 3k ? k k 6k 2 ? 3k t? 3 . k ?2 6k 2 ? 3k ? k 2 ? 1? ? k ? 2? ? 0 , ? 3 ,整理得 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴,所以 t ? 3 ,即 3 k ?2 k3 ? 2 解得 3 2 ? k ? 2 .

17.解析:(Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) ,将 y ? kx ? b 代入

9x2 ? y 2 ? m2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0 ,故 xM ?
直线 OM 的斜率 kOM ?

x1 ? x2 ?kb 9b ? 2 , y M ? kxM ? b ? 2 . 于是 2 k ?9 k ?9

yM 9 ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 ,所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. xM k

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的 3 9 充要条件是 k ? 0, k ? 3 ,由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ? x . k
(Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形,因为直线 l 过点 (

· 53 ·

9 ? ? km k 2 m2 m ?y ? ? x 2 设点 P 的横坐标为 xP ,由 ? ,得 xP ? ,即 xP ? ,将点 ( , m ) 的坐 k 2 2 3 9k ? 81 3 k ?9 2 2 2 ? ?9 x ? y ? m
标代入 l 的方程得 b ?

k (k ? 3)m m(3 ? k ) ,因此 xM ? . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 3 3(k 2 ? 9)

AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM ,于是

?km 3 k ?9
2

? 2?

k (k ? 3)m ,解得 3(k 2 ? 9)

k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7 ,因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 ,
所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.

b2 b 3 3 2 2 2 18.解析: (Ⅰ)由题意得: F1 (?c, 0) , M (c, ) ,∵ MN 的斜率为 ,∴ a ? ,又 a ? b ? c , 4 a 2c 4 3 1 c 1 解得 e ? ? 或 ?2 (舍) ,故直线 MN 的斜率为 时,C 的离心率为 . 4 2 a 2
2

b2 b2 (Ⅱ)由题意知,点 M 在第一象限, F1 (?c, 0) , M (c, ) ,∴直线 MN 的斜率为: ,则 MN: a 2ac

b2 b2 y? x ? 2 ;∵ F1 (?c, 0) 在直线 MN 上,∴ 0 ? ? ( ?c) ? 2 , 2ac 2ac ???? ? b2 2 MF ? ( ? 2 c , ? ), 得 b ? 4a ?①,∵ MN ? 5 F ,∴ ,且 N MF ? 4 F N 1 1 1 1 a ???? ? c b2 3c b 2 3c b 2 ) ,∴ N (? , ? ) ,又∵ N (? , ? ) 在椭圆 C 上, ∴ F1 N ? (? , ? 2 4a 2 4a 2 4a
b4 9c 2 16a 2 ? 1 ??②,联立①、②解得: a ? 7 , b ? 2 7 . ∴ 4 ? a2 b2

x12 y12 x2 2 y2 2 y ? y1 19.解析: (Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 2 ? 2 =1 , 2 ? 2 =1 , 2 = ? 1 ,由此 a b a b x2 ? x1
y b2 ? x2 ? x1 ? y ?y 1 可得 2 ? ? 2 1 =1 .因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 ? ,所以 a2=2b2. x0 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1
又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. 所以 M 的方程为

x2 y2 ? =1 . 6 3

? 4 3 ? x ? y ? 3 ? 0, , ?x ? ? 4 6 ? x ? 0, ? 2 ? 3 2 (Ⅱ) 由?x 解析得 或 因此|AB|= .由题意可设直线 CD 的方程 ? ? y 3 ? 1, ? y ? 3. ? ? ?y ? ? 3 , ? 3 ?6 ? 3 ?
? y ? x ? n, 5 3 ? ? n ? 3) ,设 C(x3,y3),D(x4,y4).由 ? x 2 y 2 为 y ? x ? n (? 得 3x2+4nx+2n2-6=0. 3 ?1 ? ? 3 ?6

· 54 ·

?2n ? 2?9 ? n2 ? 4 于是 x3,4= .因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|= 2 | x4 ? x3 |? 9 ? n 2 .由已知,四 3 3
边形 ACBD 的面积 S ? | CD | ? | AB |? ACBD 面积的最大值为

1 2

8 6 8 6 .所以四边形 9 ? n2 .当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 9 3

8 6 . 3

20.解析: (Ⅰ) 由对称性可知,△BFD 为等腰直角三角形,斜边上的高为 p ,斜边长 BD ? 2 p . 点 A 到准线 l 的距离 d ? FB ? FD ?

2 p . 由 S△ABD ? 4 2 得,

1 1 ? BD ? d ? ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2
o

? p ? 2 . 圆 F 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 8 . ?ADB ? 90 , (Ⅱ) 由对称性, 不妨设点 A( xA , yA ) 在第一象限, 由已知得线段 AB 是圆 F 的在直径,
? yA ? ? BD ? 2 p ,
直线

3 p 3 p, 代入抛物线 C : x 2 ? 2 py 得 xA ? 3 p .直线 m 的斜率为 k AF ? . ? 2 3 3p

m 的 方 程 为 x ? 3y ?

x x2 x 3 3p , y? ? . 由 y? ? ? 得, ? 0 . 由 x 2 ? 2 py 得 y ? p 2 2p p 3

x?

3 3p p 3p p .故直线 n 与抛物线 C 的切点坐标为 ( , ) ,直线 n 的方程为 x ? 3 y ? ? 0 . 所以 3 3 6 6 3p 3p : ?3. 4 12

坐标原点到 m , n 的距离的比值为

21.解析:(Ⅰ)设 M(x, y),由已知得 B(x, -3),A(0, -1). 所以 MA ? (? x, ?1 ? y) , MB ? (0, ? 3 ? y) ,

uuu r

uuu r

uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r AB ? ( x, ?2) . 再由题意可知 ( MA ? MB ? MB) ? AB ? 0 ,即 (? x, ?4 ? 2 y ) ? ( x, ?2) ? 0 .

所以曲线 C 的方程式为 y ?

1 2 x ?2. 4

(Ⅱ)设 P(x0, y0)为曲线 C: y ? 方程为 y ? y0 ?

1 1 2 x ? 2 上一点,因为 y ? 1 x ,所以 l 的斜率为 x0 ,因此直线 l 的 2 4 2

2 1 | 2 y0 ? x0 | 2 ,即 . 则 O 点到 l 的距离 . 又 x 0 ( x ? x 0) x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x d? 0 ?0 2 2 x0 ? 4

1 2 x0 ? 4 1 4 1 2 2 2 2 ,所以 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的 y0 ? x0 ? 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2 ,当 x0 2 2 4 x0 ? 4 2 x0 ? 4
最小值为 2. §13. 函数与导数 1. 【答案:A】 解析:题可得 f ?( x) ? (2x ? a)e
2 x ?1 x ?1 ? ( x2 ? ax ? 1)ex?1 ? [ x2 ? (a ? 2) x ? a ? 1]e ,因为 f ?(?2) ? 0 ,

所以 a ? ?1 ,f ( x) ? ( x ? x ? 1)e

x ?1

, 故 f ?( x) ? ( x ? x ? 2)e
2

x ?1

, 令 f ?( x 解得 x ? ?2 或 x ? 1 , ) ? 0 ,
极 小 值

所 以 f ( x ) 在 (??, ?2), (1, ??) 单 调 递 增 , 在 (?2,1)

单 调 递 减 , 所 以 f ( x)

? f (1)

? (1 ?1 ?1)e1?1 ? ?1 ,故选 A.
· 55 ·

2.【答案:B】
x ?1 1 1? 对称,∴对于每一 ? 1 ? 也关于 ? 0 , x x m m m m 组对称点 xi ? xi ' ? 0 , yi ? yi '=2 ,∴ ? ? xi ? yi ? ? ? xi ? ? yi ? 0 ? 2 ? ? m ,故选 B. 2 i ?1 i ?1 i ?1 3. 【答案:C】

1? 对称,而 y ? 解析:由 f ? x ? ? 2 ? f ? x ? 得 f ? x ? 关于 ? 0 ,

解析:由已知得 f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 ,又 log2 12 ? 1 ,所以 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 ,故

f (?2) ? f (log2 12) ? 9 .
4. 【答案:B】 解析:由已知得,当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ? CD 边 上 运 动 时 , 即

? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ;当点 P 在 4

? ? ? 3? 1 1 ? x ? , x ? 时 , PA ? PB ? ( ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 , 当 x ? 时 , 2 2 4 4 tan x tan x
3? ? x ? ? 时, PA ? PB ? 4

PA ? PB ? 2 2 ;当点 P 在 AD 边上运动时,即
P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ? 5. 【答案:A】 解析: 记函数 g ( x ) ?

tan2 x ? 4 ? tan x ,从点

?

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B. 2 4 2

?

?

f ( x) x?f ( x ) ? (f) x , 则 g ?( x ) ? , 因为当 x>0 时, xf ? (x)-f(x)<0, 故当 x>0 时, g?(x)<0, x x2

所以 g(x)在(0, +∞)单调递减;又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞, 0) 单调递增,且 g(-1)=g(1)=0.当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所 述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1),故选 A. 6. 【答案:D】 解析:∵ y ' ? a ? 7. 【答案:C】 解析:∵ f ?( x) ? 3

1 1 ? 2 ,即 a ? 3 . ,且在点 (0, 0) 处的切线的斜率为 2,∴ y ' | x ? 0 ? a ? x ?1 0 ?1

?
m

m 1 |m| 1 πx ∴ x0 ? m( ? k ), k ? Z ,即 |x0 | ? |m( ? k )| ? ,? f ( x) ? 3 sin 的极值为 ? 3 , 2 2 2 m
∴ [ f ( x0 )]2 ? 3 ,? x0 ? [ f ( x0 )] ?
2 2

cos

?x
m

,令 f ?( x) ? 3

?

cos

?x

1 ? 0 得 x ? m( ? k ), k ? Z , m 2

m2 m2 2 ? 3, ? 3 ? m2 , ? x0 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 , ∴ 4 4

即: m ? 4 ,故: m ? ?2 或 m ? 2 .
2

8. 【答案:D】 解析:根据公式变形, a ? 因为 lg 7>lg 5>lg 3,所以 9. 【答案:C】 解析:∵f ? (x)=3x2+2ax+b,∴y=f (x)的图像大致如右图所示,若 x0 是 f (x)的极小值 点,则则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确.
· 56 ·

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? , lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 3 lg 3
lg 2 lg 2 lg 2 ? ? ,即 c<b<a. 故选 D. lg 7 lg 5 lg 3

10. 【答案:B】 解析:易知 y ? ln( x ? 1) ? x ? 0 对 x ? (?1,0) U (0, ??) 恒成立,当且仅当 x ? 0 时,取等号,故的值域是 (-∞, 0). 所以其图像为 B. 11. 【答案:B】 解析:因为 y ?

1 x 1 e 与 y ? ln(2 x) 互为反函数,所以曲线 y ? e x 与曲线 y ? ln(2 x) 关于直线 y=x 对称, 2 2

故要求|PQ|的最小值转化为求与直线 y=x 平行且与曲线相切的直线间的距离,设切点为 A,则 A 点到直 线 y=x 距离的最小值的 2 倍就是|PQ|的最小值. 则 y ? ? ( e )? ?
x

1 2

1 x e ? 1,? e x ? 2 ,即 x ? ln 2 ,故 2

切 点 A 的 坐标 为 (ln 2,1) , 因 此 , 切 点 A 点到 直 线 y=x 距 离 为 d ? . | PQ |? 2d ? 2 (1 ? ln 2) 12. 【答案 B】 解析:由各函数的图像知,故选 B. 13. 【答案:C】 解析:用定积分求解 S ? 14. 【答案:D】 解析: y ?

| ln 2 ? 1| 1 ? ln 2 ? ,所以 2 2

3 2 2 1 16 4 ,故选 C. ( x ? x ? 2) dx ? ( x ? x 2 ? 2 x ) |0 ? ?0 3 2 3 4

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的中心, ?2 ? x ? 4 他们的图像在 x ?1

x=1 的左侧有 4 个交点, 则 x=1 右侧必有 4 个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为 x1, x2, x3, x4, x5,x6,x7,x8,则 x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,故选 D . 15.【答案: 1 ? ln2 】 解析: y ? ln x ? 2 的切线为: y ?
1 ? x ? ln x1 ? 1 (设切点横坐标为 x1 ) l , y ?n x1

? x1? ? 的切线为:
x2 ? ? 1 , 2

1 ?1 ? ? 1 x 1 ? x1 x2 ? 1 y? x ? ln ? x2 ? 1? ? ,∴ ? ,解得 x1 ? x2 ? 1 x2 ? 1 2 ?ln x ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x2 1 2 ? x ? 1 ? 2 b ? ln x ? 1 ? 1 ? ln 2 ∴ . 1 3 ) , 1 16. 【答案: (? 】
2

解析:∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x ? 1) ? 0 ? f (|x ? 1|) ? 0 ? f (2) ,又∵ f ( x ) 在 [0, ??) 单调递减, ∴ |x ? 1| ? 2 ,解得: ?1 ? x ? 3
+? ),设 g(x ) ? ax ?a ?lnx ,则 f (x) = xg ( x, )f ( x) ? 0 等价于 g( x) ? 0 , 17.解析: (1) f ( x) 的定义域为(0,

1 1 因为 g (1)=0 , g ( x) ? 0 ,故 g ?(1)=0 ,而 g ?( x)=a ? , g ?(1) ? a ? 1 得a ? 1 ,若 a=1,则 g ?( x)=1 ? .当 0 x x
<x<1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x>1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增. 所以 x=1 是 g ( x) 的极小 值点,故 g ( x) ? g(1) ? 0 ,综上,a = 1 . (2) 由(1)知 f ( x)=x2 ? x ? x ln x,f ?( x) ? 2x ? 2 ? ln x , 设 h( x) ? 2x ? 2 ? n l x , 则 h?( x ) ? 2 ?

1 1 , 当 x?( 0, ) x 2

1 1 1 时,h?( x) ? 0 ; 当 x?( , 所以在 (0, ) 单调递减, 在( , 又 h(e?2 ) ? 0 , +?) 时,h?( x) ? 0 ; +?) 单调递增, 2 2 2
· 57 ·

1 1 1 所以 h( x) 在 (0, ) 有唯一零点 x0, 在[ + 且当 x ? (0,x0 ) 时, h(1)=0 , h( x ) ? 0 ; h( ) ? 0 , , )? 有唯一零点 1, 2 2 2
当 x ? ( x0, +?) 时, h( x) ? 0 .因为 f ?( x) ? h( x) ,所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值 1) 时, h( x) ? 0 ,当 x ? (1, 点, 由 f ?( x0 ) ? 0 得 ln x0 ? 2( x0 ?1) 故 f ( x0 ) ? x0 (1 ? x0 ) , 由 x0 ? (0, 1) 得 f ?( x0 ) ?

1 , 因为 x=x0 是 f(x)在 (0,1) 4

>f (e-1 ) = e-2 ,所以 e-2<f ( x0 ) 的最大值点,由 e?1 ? (0, <2-2 . 1) f ?(e?1 ) ? 0 得 f(x0 )

? x?2 ? 4 x2ex ?? ? ? 2? ? ? ?2 , ? ? ? 时,f ? ? x ? ? 0 , 18. 证明: ⑴ f ? ? x ? ? ex ? , ∵当 x ? ? ?? , ∴ f ? x? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ?2 ? ? x?2 x ? 2? 和? ?2 , ? ? ? 上单调递增,∴ x ? 0 时, 在 ? ?? , e ? f ? 0? = ? 1 ,∴ ? x ? 2? ex ? x ? 2 ? 0 . x?2 x?2 x e x ? a ? x 2 ? 2 x ? e x ? ax ? a ? x ? xe x ? 2e x ? ax ? 2a ? ( x ? 2)( x ? 2 ? e ? a) ? ? 1? ,由(1) ⑵ g?? x? ? , a ? ?0 , ? x3 x4 x4 x?2 x t ?2 t 知,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? e 的值域为 ? ?1,? ?? ,只有一解.使得 ? e ? ?a , t ? ? 0 ,2? ,当 x?2 t?2 x ? (0,t ) 时 , g ?( x ) ? 0 , g ( x) 单 调 减 ; 当 x ? (t , ??) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 调 增 , t?2 t t et ? t ? 1? et ? a ? t ? 1? e ? ? t ? 1? t ? 2 ? e et et ? h?a? ? ? ? t ? 0 , 2 k t ? ?0, ,记 ,在 时, k t ? ? ? ? ? ?? 2 t2 t2 t?2 t?2 ?t ? 2?
? 1 e2 ? ∴ k ? t ? 单调递增,∴ h ? a ? ? k ? t ? ? ? , ? . ?2 4 ?

19.解析:(Ⅰ) f ?( x) ? m(emx ?1) ? 2 x ,若 m ? 0 ,则当 x ? (??,0) 时, emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;当

x ? (0, ??) 时, emx ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 . 若 m ? 0 ,则当 x ? (??,0) 时, emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, emx ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以, f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m , f ( x ) 在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故 f ( x ) 在 x ? 0 处取 得最小值, 所以对于任意 x1, x2 ?[?1,1] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 的充要条件是 ?

? f (1) ? f (0) ? e ? 1 , ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1

?em ? m ? e ? 1 ? 即 ? ?m ①. 设函数 g (t ) ? et ? t ? e ? 1 ,则 g ?(t ) ? e t ?1 ,当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 ? ?e ? m ? e ? 1

g ?(t ) ? 0 , 时, 故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减, 在 (0, ??) 单调递增.又 g (1) ? 0 , g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 ,
故当 t ? [?1,1] 时,g (t ) ? 0 .当 m ? [?1,1] 时,g (m) ? 0, g (?m) ? 0 , 即①式成立; 当 m ? 1 时, 由 g (t ) 的单调性, g (m) ? 0 ,即 e ? m ? e ? 1 ;当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e
m ?m

? m ? e ? 1,综上, m 的

取值范围是[-1,1].

? f ?( x) ? e ? e ? 2=e ? 20.解析: (Ⅰ)? f ( x) ? e ? e ? 2 x,x ? R,
x ?x x ?x x

1 1 ? 2 ? 2 e x ? x ? 2 ? 0. ∴当且仅当 x=0 x e e
x>0 时 ,

时等号成立,所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递增. ( Ⅱ ) ? g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 4 x ? 4b(e x ? e? x ? 2 x), ∴ 当

e2 x ? e?2 x ? 4x ? 4b(ex ? e? x ? 2x) ? 0, ? g?( x) ? 2[e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(ex ? e? x ? 2)[ex ? e? x ? (2b ? 2)] ,?ex ? e? x ? 2 ex ? e? x ? 2 ,?2(ex ? e? x ? 2) ? 0 ,
(1) 当 b ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,当且仅当 x=0 时等号成立. 所以此时 g(x)在 R 上单调递增,而 g(0)=0,所以
· 58 ·

对任意 x>0,有 g(x)>0. (2) 当 b ? 2 时, 若 x 满足 2 ? e x ? e? x ? 2b ? 2 时, 即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时,g ?( x) ? 0 , 而 g(0)=0, 因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时,g(x)<0. 综上可知,当 b ? 2 时,才对任意的 x>0,有 g(x)>0,因此 b 的最大值为 2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, g (ln 2) ? 当 b=2 时, g (ln 2) ? 当b ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 , 2

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 ; 2 12

3 2 3 ? 1 时, ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 , g (ln 2) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 , 2 4
18 ? 2 ? 0.6934 ,所以 ln2 的近似值为 0.693. 28
x

ln 2 ?

21. 解析: (Ⅰ) f ′(x)= e ?

1 . 由 x=0 是 f(x)的极值点得 f ′(0)=0, 所以 m=1. 于是 f (x)=ex-ln(x+1), x?m 1 1 x x 定义域为(-1,+∞),f ′(x)= e ? .函数 f ′(x)= e ? 在(-1,+∞)单调递增,且 f ′(0)=0.因此当 x ?1 x ?1
x∈(-1,0)时,f ′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0.所以 f (x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (Ⅱ) 当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0.当 m=2 时,函数 f ′(x)=

ex ?

1 在(-2,+∞)单调递增.又 f ′(-1)<0,f ′(0)>0,故 f ′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x?2

x0∈(-1,0). 当 x∈(-2, x0)时, f ′(x)<0; 当 x∈(x0, +∞)时, f ′(x)>0, 从而当 x=x0 时, f (x)取得最小值. 由

? x0 ? 1?2 1 1 f ′(x0)=0 得 e = ,ln(x0+2)=-x0,故 f (x) ≥ f (x0)= +x0= >0. 综上,当 m≤2 时,f (x) x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
x0

>0.

1 22.解析: (Ⅰ) f ?( x) ? f ?(1)ex?1 ? f (0) ? x ,令 x=1 得,f (x)=1,再由 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ,令 x ? 0 2

1 2 x ,∴ f ?(x) ?e x ?1 ? x ,易知 f ?( x) ? ex ?1 ? x 2 是 R 上的增函数,且 f ?(0) ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 , f ?( x) ? 0 ? x ? 0 ,所以函数 f ( x) 的增区
得 f ?(1) ? e . 所以 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

间为 (0, ??) ,减区间为 (??, 0) . ( Ⅱ ) 若 f ( x) ?

1 2 1 x ? ax ? b 恒 成 立 , 即 h( x) ? f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 恒 成 立 , 2 2

Q h?( x) ? ex ? (a ? 1) .
①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 为 R 上的增函数,且当 x ??? 时, h( x) ? ?? ,不合题 意; ②当 a ? 1 ? 0 时, h( x) ? 0 恒成立,则 b ? 0 , (a ? 1)b ? 0 ; ③当 a ? 1 ? 0 时, 由 h?( x) ? 0 得 x ? ln(a ? 1) , 故 f ?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) , h?( x) ? ex ? (a ? 1) 为增函数,

f ?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) ,当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x) 取最小值 h(ln(a ? 1)) ? a ? 1 ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b . 依题
意有 h(ln(a ? 1)) ? a ? 1 ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0 ,即 b ? a ? 1 ? (a ? 1) ln(a ? 1) , Q a ? 1 ? 0 ,

?(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) ,令 u( x) ? x2 ? x2 ln x (x ? 0) ,则 u?( x) ? 2 x ? 2 x ln x ? x ? x(1 ? 2ln x) ,
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u?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e, u?( x) ? 0 ? x ? e ,所以当 x ? e 时, u ( x) 取最大值 u ( e ) ?

e . 故当 2

a ?1 ? e,b ?

e 1 2 e e 时,(a ? 1)b 取最大值 . 综上, 若 f ( x) ? x ? ax ? b , 则 (a ? 1)b 的最大值为 . 2 2 2 2

23 .解析: (Ⅰ) f ?( x ) ?

?(

x ?1 ? ln x ) b 1 x ? 2 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 2 ( x ? 1) x 2

? f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ? ,即 ? ?a 1 1 ,解得 a ? 1 , b ? 1 . ? f (1) ? ? ? b ? ? ? ? ? ?2 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x 1 ln x k 1 (k ?1)( x 2 ?1) ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? ) .考虑函数 x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

h( x ) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x x2

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知, 当 x ? 1 时,h?( x ) ? 0 . 而 h(1) ? 0 , 故当 x ? (0,1) 时, x2 1 1 h( x ) ? 0 ,从而当 x>0,且 x ? h( x) ? 0 ,可得 h( x ) ? 0 ;当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 2 1 ? x2 1? x ln x k ln x k 1 时, f ( x ) ? ? ? 0 ,即 f ( x ) ? ? . x ?1 x x ?1 x
(i)设 k ? 0 , 由 h?( x ) ?

1 1 (ii)设 0<k<1. 由于当 x ? (1, )时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故 h?(x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1, ) 1? k 1? k
时,h(x)>0,可得

1 h(x)<0,与题设矛盾. 1? x2

(iii)设 k ? 1. 此时 h?(x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得 盾. 综上可得,k 的取值范围为(- ? ,0]. §14. 几何证明选讲

1 h(x)<0,与题设矛 1? x2

G C 1. 证明: (Ⅰ)∵ DF ? CE ,∴ Rt△DEF ∽ Rt△CED ,∴ ?GDF ? ?DEF ? ?BCF , D DF CF DF CF ? ? ,∵ DE ? DG , CD ? BC ,∴ ,∴ △GDF ∽△BCF , DG BC DG BC E F ? CFB ? ? DFG ? GFB ? ? GFC ? ? CFB ? ? GFC ? ? DFG ? ? DFC ? 90 ? ∴ ,∴ , ∴ ?GFB ? ?GCB ? 180? .∴B,C,G,F 四点共圆. 1 B GF ? GC , A (Ⅱ) ∵E 为 AD 中点, ∴ DG ? CG ? DE ? , ∴在 Rt△ GFC 中, AB ? 1 , 2 1 1 1 连接 GB , Rt△BCG≌Rt△BFG ,∴ S四边形BCGF ? 2S△BCG =2 ? ?1? = . 2 2 2 2.解析:(Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线,又因为⊙O 分别

与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF ,从而 EF // BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上 . 连 结 O E, O M , 则 O E ? A E, 由 AG 等 于 ⊙ O 的 半 径 得

AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30? ,因此 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形. 因
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为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 . 因为 OM ? OE ? 2, DM ?

1 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 . 于是 AD ? 5, 2

AB ?

10 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 . 所以四边形 EBCF 的面积为 ? ( . ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 3 2 3 2 2 2 3

3.解析: (Ⅰ)∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD 为等腰三角形. 连接 AB, 则∠ PAB= ∠DEB=β ,∠ BCE= ∠BAE=α ,∵∠ PAB+∠ BCE= ∠PAB+ ∠ BAD= ∠ PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE,∴β+α=β+∠DBE,即 α=∠DBE,亦即∠BCE= ∠DBE,所以 BE=EC. (Ⅱ)∵AD· DE=BD· DC,PA2=PB· PC,PD=DC=PA, ∴BD· DC=(PA-PB) · PA=PB· PC-PB· PA=PB· (PC-PA),∴PB· PA=PB· 2PB=2PB2. 4. 解析: (Ⅰ) 因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A, 由题设知

BC DC , 故△CDB∽△AEF, ? FA EA

所以∠DBC=∠EFA.因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90° .所以 ∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径 为 CE, 由 DB=BE, 有 CE=DC, 又 BC2=DB· BA=2DB2, 所以 CA2=4DB2 +BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积 与△ABC 外接圆面积的比值为

1 . 2
A

5. 解析: (Ⅰ) ∵D, E 分别为△ABC 边 AB, AC 的中点, ∴DE//BC. ∵CF//AB, DF//BC, ∴CF//BD 且 CF=BD,∵又 D 为 AB 的中点,∴CF//AD 且 CF=AD,∴CD=AF. ∵CF//AB,∴BC=AF,∴CD=BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC//GF,∴GB=CF=BD,∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC, ∴△BCD∽△GBD. 6. 解析: (Ⅰ) 连结 DE, 根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD× AB=mn=AE× AC, 即 从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以 C、B、D、E 四点 共圆. (Ⅱ)m=4,n=6,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 2,12. 即 AD=2, AB=12,取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G、F 作 AC、AB 的垂线,两垂线交于点 H,连结 D、H,因为 C、B、D、E 四点共 圆, 所以圆心为 H, 半径为 DH. 由于∠A=90?, 故 GH∥AB, HF∥AC. 从而 HF=AG=5,DF=5,故半径为 5 2 . §15. 坐标系与参数方程
B C G D

E

F

AD AE , 又∠DAE=∠CAB, ? AC AB

1.解析: ( 1 ) 设 P 的 极 坐 标 为 ( ?,? ) ( ? ? 0) , M 的 极 坐 标 为 ( ?1,? ) ( ?1 ? 0) , 由 题 设 知

| OP |? ?,|OM |? ?1 ?

4 ,由|OM|· |OP|=16 得 C2 的极坐标方程 ? ? 4cos? ( ? ? 0) ,因此 C2 的 cos ?

直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) . (2)设点 B 的极坐标为 ( ?B,? ) ( ?B ? 0) ,由题设知|OA|=2, ?B ? 4cos? ,于是△OAB 的面积

? 1 ? ? 3 S ? | OA | ?? B ? sin ?AOB ? 4cos ? ? | sin(? ? ) |? 2 | sin(2? ? ) ? | ? 2 ? 3 ,当 ? ? - 时,S 取 12 2 3 3 2
得最大值 2+ 3 ,所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3 .
· 61 ·

? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 2. 解析:⑴整理圆的方程得 x2 ? y 2 ? 12 ? 11 ? 0 ,由 ? ? cos ? ? x 可知,圆 C 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? y ?

? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 .
(2) 记 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 的 方 程 为 k x ? y? 0 , 由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知 :
? 10 ? 15 5 36k 2 90 ,即 ,整理得 k 2 ? ,则 k ? ? . ? 25 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 3 1? k 4 1? k ? ? ?6k
2

3. 解析: (Ⅰ) 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 .

? 2 2 x? ? x ? y ? 2 y ? 0 ?x ? 0 ? ? ? 联立 ? ,解得 ? 或? 2 2 ? ?y ? 0 ?y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? ?

3 2 ,所以 C 与 C 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 2 3 3 2

(

3 3 , ). 2 2
? 3

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? ,因此 A 的极坐标为 (2sin ? , ? ) ,B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) ,所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? ) | , 当? ?

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4. 6

4. 解析: (Ⅰ) 设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点, ∵ ? ? 2cos ? , ∴ x2 ? y 2 ? 2 x , 即:( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , ∴C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ). ? y ? sin ?

(Ⅱ)设点 D(1+cosφ, sinφ),∵C 在 D 处的切线与直线 l: y ? 3x ? 2 垂直,∴直线 CD 和 l 的斜率相

? 3 sin ? ? ? sin ? ? 2 ,∴点 D 的坐标为 ( 3 , 3 ) . ? tan ? ? 3 ,∵ 0 ? ? ? ? ,?? ? ? ,∴ ? 同,∴ 3 cos ? 2 2 ?cos ? ? 1 ? ? 2
5.解析: (Ⅰ)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? (α 为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2?

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离 d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α<2π).当 α=π 时,d=0, 故 M 的轨迹过坐标原点. 6.解析: (Ⅰ)依题意,点 A,B,C,D 的极坐标分别为 (2, ), (2,

?

3

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) .所以点 A,B,C, 6 3 6

D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 (? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) . (Ⅱ) 设 P ? 2cos?,3sin ? ? ,则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 ? (1 ? 2cos ?)2 ? ( 3 ? 3sin ?)2

?(? 3 ? 2cos?)2 ? (1? 3sin ?)2 ? (?1 ? 2cos ?)2 ? (? 3 ? 3sin ?)2 ? ( 3 ? 2cos ?)2 ? (?1 ? 3sin ? )2
? 16cos2 ? ? 36sin2 ? ?16 ? 32 ? 20sin 2 ? ??32,52? .
· 62 ·

所以 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为 ?32,52? .

?x ? 2 ? 2 cos ? x y 7.解析: (I)设 P(x, y),则由条件知 M ( , ) . 由于 M 点在 C1 上,所以 ? , ? 2 2 y ? ? 2 ? 2 sin ? ?2 ?
即?

? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ,从而 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 所以 | AB |?| ?2 ? ?1 |? 2 3 . §16. 不等式选讲 1.解析: (1) (a ? b)(a ? b ) ? a ? ab ? a b ? b ? (a ? b ) ? 2a b ? ab(a ? b )
5 5 6 5 5 6 3 3 2 3 3 4 4

?
3

与 C1

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

.

? 4 ? ab(a2 ? b2 )2 ? 4
3(a ? b) 3(a ? b)2 (2)因为 (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? 2 ? 3ab(a ? b) ? 2+ , ( a ? b) ? 2 ? 4 4
3 3 2 2 3
3

所以 (a ? b)3 ? 8 ,因此 a+b≤2. 2. 解 析 : ⑴ 当 x ? ?

1 1 1 1 1 1 时 , f ? x ? ? ? x ? x ? ? ?2x , 若 ?1 ?x ? ? ; 当 ? ≤ x ≤ 时 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 f ? x ? ? ? x ? x ? ? 1 ? 2 恒成立;当 x ? 时, f ? x ? ? 2x ,若 f ? x ? ? 2 , < x ? 1 . 2 2 2 2 综上可得, M ? ?x | ?1 ? x ? 1? .
b ? ? ?1, 1? 时,有 a2 ? 1 b2 ? 1 ? 0 ,即 a 2 b2 ? 1 ? a 2 ? b2 ,则 a 2 b2 ? ?2 ab ? 1 ? a2 ? 2 ab ? b2 , ⑵当 a ,
则 ? ab ? 1? ? ? a ? b? ,即 a ? b ? ab ? 1 ,证毕.
2 2

?

??

?

3.解析:(Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,因此 a ? b ? c ? d .
(Ⅱ)(i)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 ,即 (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ,因为

a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d .
(ii)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd , 因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是 (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2 , 因此 | a ? b |?| c ? d | ,综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件. 4.解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ?

1 1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| ? a | ,∵ a ? 0 ,∴ f (x) ? ? a ? 2 , a a a a 当且仅当 a ? 1 时,取“ ? ”号. 故 f ( x) ? 2 .
1 1 1 | ? | 3 ? a |? 3 ? ? | a ? 3 |? 5 ,即: ? 3? | a ? 3 |? 5 , a a a

(Ⅱ)∵ f (3) ? 5 , a ? 0 ,∴ f (3) ?| 3 ?

· 63 ·

?a ? 3 ?0 ? a ? 3 ?1 ? 5 5 ? 21 ? ? ∴ ?1 或 ?1 ,解得: . 故 a 的取值范围是 ?a? 2 2 ?3? a ?3 ? 5 ? ?3?3? a ? 5 ? ?a ?a
( ?1 ? 5 5 ? 21 , ). 2 2
1 . 3

5.解析: (Ⅰ)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2 =1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ (Ⅱ)因为

a2 b2 c2 a2 b2 c 2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c ,故 ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c),即 b b c a c a

a2 b2 c 2 a 2 b2 c2 ? ? ≥a+b+c. 所以 ? ? ≥1. b c a b c a
6.解析: (Ⅰ) 当 a ? ?3 时 , 不 等 式 f ( x ) ? 3 ? | x ? 3 ? | x| ?

? ?x ? 2 或 ? 2| ? 3? ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ?

? ? ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? ? 或 x ? 4 . 所以当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 的解集 ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
为 x x ? 1 或 x ? 4? . (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,即 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 对 x ??1, 2? 恒成立, 即 | x ? a |? 2 对 x ??1, 2? 恒成立,即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ??1, 2? 恒成立,所以 ?

?

??2 ? a ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2

?3 ? a ? 0 . 故 a 的取值范围为 ? ?3,0? .
7. 解析: (Ⅰ) 当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 . 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} . (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 | x ? a | ?3x ? 0 ,此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ?x ? a 或? ,即 ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
由题设可得 ? ?,

?x ? a ?x ? a a ? ? 因为 a ? 0 , 所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? a 或? a, 2 x? a?? ? ? ? 4 ? 2

a 故a ? 2. ? ?1 , 2

· 64 ·


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