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2010十校联考数学(文科、理科


2010 上海市十校(高三)数学测试(理科)
一、填空题(本大题满分为 56 分)本大题共 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知椭圆方程为 3x2 ? 2 y 2 ? 1 ,则该椭圆的长轴长为___________. 2. 已 知 a ? (?2, ?1), b ? (? , 1) , 若 a 与 b 夹 角 为 钝 角 , 则 实 数 ? 取 值 范 围 是 __________________.

?

?

?

3. 设 A ? ( x, y ) ( x ? y ) x ? 0 , _________________.

?

?

B ? ( x, y ) y ? 1

?

?, 则 A? B 用 列 举 法 可 表 示 为

4.复数 z 满足 z ? 3 ? 3i ? 3 ,设 z max ? m,z min ? n ,则 m ? n ? __________.

3? ? 5.在二项式 ? x ? ? 的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 x? ?
A ? B ? 72 ,则展开式中常数项的值为__________.
6.已知函数 f ( x) ? Acos (?x ? ? ) ?1 ( A ? 0,
2

n

? ? 0) 的最大值为 3, f (x) 的图像与 y 轴

的 交 点 坐 标 为 (0, 2) , 其 相 邻 两 条 对 称 轴 间 的 距 离 为 2 , 则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? ____________.

x
a 7. 已知 a ? b , ? b ? c , 则关于 x 的方程

b?c a?b?c

x a a ? b ? c ? 0 的解集为________. a ?b a ?c a ?b

8. 函数 y ?

2x ? 5 ( x ?A)的值域是 ? ??, 0? ? ? 4, ? ?? ,则集合A=___________. x?3

9. 在 ?ABC 中 , 已 知 b ? 2 2 , a ? 2 , 如 果 三 角 形 有 解 , 则 ? A 的 取 值 范 围 是 ___________________. 10.甲、乙两队比赛,每局甲胜的概率为

1 1 ,乙胜的概率也是 ,则在一次五局三胜制的比 2 2

赛中,甲队以 3 :1 获胜的概率是_______. 11.设函数 f ( x) ?

1 ? ,点 A? 表示原点,点 An (n, f (n)) ( n ? N ) ?n 是向量 a 与向量 , x?2 ?? ????? ????? ????? ? ? ? ??????? ? ? i ? (1,0) 的夹角, an ? A0 A1 ? A1 A2 ? A2 A3 ??? An?1 An ,

1

设 Sn ? tan ?1 ? tan ?2 ? tan ?3 ?? ? tan ?n ,则 lim S n ? _________ .
n ??

12.已知 f ( x) ?
2010

1 a?b abx ? log 3 (3 x ? 1) 为偶函数, g ( x ) ? 2 x ? x 为奇函数,其中 a, b 为 2 2
k

复数,则

? (a
k ?1

? b k ) 的值是_________.
2 2

13.已知实数 x 、 y 满足方程 ? x ? a ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,当 0 ? y ? b ( b ? R )时,由此方 程可以确定一个偶函数 y ? f ( x) , 则抛物线 y ? ? 距离最大值为__________________. 14.有下列四个命题: (1)一定存在直线 l ,使函数 f ( x) ? lg x ? lg 关于直线 l 对称; (2)不等式: arcsin x ? arccos x 的解集为 ?

1 2 x 的焦点 F 到点 ( a, b) 的轨迹上点的 2

1 的图像与函数 g ( x) ? lg(? x) ? 2 的图像 2

? 2 ? ,1? ; 2 ? ?
?

(3)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? (?1)n , n ? N ,则数列 ?an ? 一定是等比数列; (4)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的任意一点 M ( x? , y? ) 的切线方程一定可以表示为
2

y0 y ? p( x ? x0 ) .
则正确命题的序号为_________________. 二、选择题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一 律得零分. 15.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是( sin(192010 )? cos(192010 )?

).

( A ) 双曲线 ( B ) 焦点在 x 轴上的椭圆 ( C ) 焦点在 y 轴上的椭圆 ( D ) 以上答案都不正确 16.长度分别为 2、x、x、x、x、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是 ( ). (A) x?

2 3 3

(B )

3 ?x?2 3

(C )

3 2 3 ?x? 3 3

(D ) x ?1

17.给定正数 a, b, c, p, q ,其中 p ? q ,若 p, a, q 成等比数列, p, b, c, q 成等差数列,则关 于 x 的一元二次方程 bx ? 2ax ? c ? 0 (
2

).
2

( A ) 有两个相等实根 ( B ) 有两个相异实根 ( C ) 有一个实根和一个虚根 ( D ) 有两个共轭虚根 18.有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任 意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任 意分成两堆, 求出这两堆小球球数的乘积, 直到不能再分为止, 则所有乘积的和为 ( ) . ( A ) n! (B )

n ? n ? 1? 2

(C )

n ? n ? 1? 2

(D ) n

n

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解题时要写出必要的解题过程. 19.(本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) O' 如图, AB 是圆柱体 OO? 的一条母线, BC 过底面圆的圆心 A O , D 是圆 O 上不与点 B 、C 重合的任意一点,已知棱 AB ? 5 , BC ? 5 , CD ? 3 . (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 转动一周,求 ?ACD 的三边在旋 O B 转过程中所围成的几何体的体积.
D

C
a

20.(本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 设全集 U ? R ,关于 x 的不等式 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 ( a ? R )的解集为 A . (1)分别求出当 a ? 1 和 a ? 3 时的集合 A ; (2)设集合 B ? ? x

? ?

? ? ? 3 sin(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 0? ,若 (CU A) ? B 中有且只有三 6 6 ?

个元素,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 10 分) 如图, 已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心, 线段 DE 经过点 G , 并绕点 G 转 动,分别交边 AB 、 AC 于点 D 、 E ;设 AD ? mAB , AE ? nAC ,其中

????

??? ?

??? ?

??? ?

A

0 ? m ? 1, 0 ? n ? 1. 1 1 (1)求表达式 ? 的值,并说明理由; m n (2)求 ?ADE 面积的最大和最小值,并指出相应的 m 、 n 的值.
B

E D F G C

22.(本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分) 己知双曲线的中心在原点,右顶点为 ( m ,0)到直线 AP 的距离为 1.

A (1,0) ,点 P 、Q 在双曲线的右支上,点 M

3

(1)若直线 AP 的斜率为 k 且有 k ? ? (2)当 m ?

? 3 ? , 3 ? ,求实数 m 的取值范围; ? 3 ?

2 ? 1 时, ? APQ 的内心恰好是点 M ,求此双曲线的方程.

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

若数列 ?an ? 满足:a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数) 则称数列 ?an ? 为 , 二阶线性递推数列,且定义方程 x2 ? px ? q 为数列 ?an ? 的特征方程,方程的根称为特 征根; 数列 ?an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得: 中 c1 , c2 是待定常数) ; ②若方程 x2 ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 an ? (c1 ? nc2 )? n , (其中 ; c1 , c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an . 根据上述结论求下列问题: ①若方程 x2 ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其

(1)当 a1 ? 5, a2 ? 13 , an?2 ? 5an?1 ? 6an ( n ? N )时,求数列 ?an ? 的通项公式;
?

(2)当 a1 ? 1, a2 ? 11 , an?2 ? 2an?1 ? 3an ? 4 ( n ? N )时,求数列 ?an ? 的通项公式;
?

1 2 n (3)当 a1 ? 1, a2 ? 1 , an?2 ? an?1 ? an ( n ? N )时,记 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? anCn ,

?

若 Sn 能被数 8 整除,求所有满足条件的正整数 n 的取值集合.

4

2010 上海市十校(高三)数学测试(文科)
一、填空题(本大题满分为 56 分)本大题共 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知椭圆方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 ,则该椭圆的长轴长为___________.
2 2.设集合 A ? ? x, y ? y ? x , x ? R , B ? ? x, y ? y ? 1, x ? R, y ? R ,则 A ? B 用列举法可

?

?

?

?

表示为_____________________. 3.解关于 x 的方程:

x a 1 2 ,其解集为 __________ . ?2 1 2 3 4
?
?

4. 已 知 a ? (?2, ? 1), b ? (?, 1) , 若 a 与 b 夹 角 为 钝 角 , 则 实 数 ? 取 值 范 围 是 __________________. 5.复数 z 满足 z ? 3 ? 3i ? 3 . 设 z max ? m,
n

?

z min ? n ,则 m? n ? __________.

3? ? 6.在二项式 ? x ? ? 的展开式中,各项系数之和为 A ,各项二项式系数之和为 B ,且 x? ?
A ? B ? 72 ,则展开式中常数项的值为__________. 2x ? 5 ( x ? A) 的值域是 ?4, ? ?? ,则集合A ? ___________ . 7.函数 y ? x?3
8. 在 ?ABC 中 , 已 知 b ? 2 2 , a ? 2 , 如 果 三 角 形 有 解 , 则 ? A 的 取 值 范 围 是 _____________________. 9.若以连续掷两次骰子,分别得到的点数作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x ? y ? 6 内的
2 2

概率为 ________ . 10.已知函数 f ( x) ? Acos (?x ? ? ) ?1 ( A ? 0,
2

? ? 0) 的最大值为 3 , f (x) 的图像与 y 轴

的 交 点 坐 标 为 (0, 2) , 其 相 邻 两 条 对 称 轴 间 的 距 离 为 2 , 则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? ____________.
11.设函数 f ( x ) ?

1 ? ,点 A0 表示原点,点 An (n, f (n)) ( n ? N ) ?n 是向量 a 与向量 , x ?1 ?? ????? ????? ????? ? ? ? ??????? ? ? 设 a t a a n i ? (1,0) 的夹角,an ? A0 A1 ? A1 A2 ? A2 A3 ??? An?1 An , Sn ? tn ?1?n ?2t? ?3
n ??

?? ? tan ?n ,则 lim S n ? _________ .

5

12.已知 f ( x) ?
2010

1 a?b abx ? log 3 (3 x ? 1) 为偶函数, g ( x ) ? 2 x ? x 为奇函数,其中 a, b 为 2 2
k

复数,则

? (a
k ?1

? b k ) 的值是_________.
2 2

13.已知实数 x 、 y 满足方程 ? x ? a ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,当 0 ? y ? b ( b ? R )时,由此方 程可以确定一个偶函数 y ? f ( x) ,则抛物线 y ? ? 的距离最大值为__________________. 14.有下列四个命题: (1)函数 f ( x) ?

1 2 x 的焦点 F 到点 ( a, b) 的轨迹上点 2

1 在 (0,1) ? ?1, ??? 上是减函数; lg x
? 2 ? ,1? ; ? 2 ?
?

(2)不等式: arcsin x ? arccos x 的解集为 ?

(3)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? (?1)n , n ? N ,则数列 ?an ? 一定是等比数列; (4)过点 M (2, 4) 作抛物线 y 2 ? 8x 的切线,则切线方程可以表示为: y ? x ? 2 . 则正确命题的序号为_________________. 二、选择题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一 律得零分. 15.方程

x2 y2 ? ? ? 1 (0 ? ? ? ) 所表示的曲线是( sin ? cos ? 4

).

( A ) 双曲线 ( C ) 焦点在 y 轴上的椭圆

( B ) 焦点在 x 轴上的椭圆 ( D ) 以上答案都不正确

16.长度分别为 2、x、x、x、x、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是 ( ). (A) x?

2 3 3

(B )

3 ?x?2 3

(C )

3 2 3 ?x? 3 3
) .

(D) x ?1

17.函数 f ( x) ? ( ( A ) 1个

1 x ) 与其反函数的图象的交点个数为( 16 (B ) 3个 (C ) 5 个

( D ) 无法确定

18.给定正数 a, b, c, p, q ,其中 p ? q ,若 p, a, q 成等比数列, p, b, c, q 成等差数列,则关 于 x 的一元二次方程 bx ? 2ax ? c ? 0 (
2

) .
6

( A ) 有两个相等实根 ( C ) 有一个实根和一个虚根

( B ) 有两个相异实根 ( D ) 有两个共轭虚根

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解题时要写出必要的解题过程. 19.(本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如 图 , AB 是 圆 柱 体 OO? 的 一 条 母 线 , BC 过 底 面 圆 的 圆 心 O , D 是圆 O 上不与点 B 、C 重合的任意一点, 已知棱 AB ? 5 ,BC ? 5 , CD ? 3 . O' A (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 转动一周,求 ?ACD 的三边在旋转 过程中所围成的几何体的体积.
O D

B

C
a

20.(本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 设全集 U ? R ,关于 x 不等式 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 ( a ? R )的解集为 A . (1)分别求出当 a ? 1 和 a ? 3 时的集合 A ; (2)设集合 B ? ? x

? ?

? ? ? 3 sin(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 0? ,若 (CU A) ? B 中有且只有三 6 6 ?

个元素,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 10 分) 如图,已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ?ABC 的中心,线段 DE 经过点 G ,并

?? ? ? ?? ? ? 绕点 G 转动, 分别交边 AB 、AC 于点 D 、E ; A ? B 设 D mA
其中 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 。

??? ? ??? ? ,AE ? nAC ,

A

1 1 ? ? 3; m n (2)求 ?ADE 面积的最大和最小值,并指出相应的 m 、 n 的值.
(1)求证:

E D B F G C

22.(本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分, ) 己知双曲线的中心在原点,右顶点为 ( m ,0)到直线 AP 的距离为 1. (1)若直线 AP 的斜率为 k 且有 k ? ? (2)当 m ?

A (1,0) ,点 P 、Q 在双曲线的右支上,点 M

? 3 ? , 3 ? , 求实数 m 的取值范围; ? 3 ?

2 ? 1 时, ? APQ 的内心恰好是点 M ,求此双曲线的方程.

7

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

若数列 ?an ? 满足:a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数) 则称数列 ?an ? ,

为二阶线性递推数列,且定义方程 x2 ? px ? q 为数列 ?an ? 的特征方程,方程的根称为特征 根; 数列 ?an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得: ①若方程 x2 ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其中 ; c1 , c2 是待定常数) 2 ②若方程 x ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 an ? (c1 ? nc2 )? n , (其中 c1 , c2 是待定常数) ; 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an . 根据上述结论求下列问题: (1)当 a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ? 4an?1 ? 4an ( n ? N )时,求数列 ?an ? 的通项公式;
?

(2) a1 ? 5, a2 ? 13 ,an?2 ? 5an?1 ? 6an( n ? N )时,若数列 ?an?1 ? ?an ? 为等比数列, 当
?

求实数 ? 的值;
1 2 n (3)当 a1 ? 1, a2 ? 1 , an?2 ? an?1 ? an ( n ? N )时,求 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? anCn 的
?

值.

8

2010 年高三数学十校联考参考答案(理科)
一、填空题: 14 × 4 = 56 分) ( 1、 2 ;2、 ? ? , 2 ? ? ? 2, ?? ? ;3、 ?1,1? , ? 0,1? , ? 0, ?1? ;4、 9 ;5、 9 ;6、 4019 7、 ?a ? b ? c? ;8、 ? ,3 ? ? ? 3, ? ;9、 ? 0, ? ;10、 ;11、 16 4 ?2 ? ? 2? ? 4?

? 1 ? 2

? ?

?

?

?5

? ? 7?

?

??

3

3

12、 0 ;13、

13 ;14、 (4) (3) 2

二、选择题: 4 × 5 = 20 分) ( 15—18: C A D B 三、解答题: (满分 74 分) 19、解:因为点 D 在以 BC 为直径的圆上,所以 BD ? DC ,……………2 分 因为 AB ? 平面BDC , DC ? 平面BDC ,所以 AB ? DC , 从而有 CD ? 平面ABD ………………………………4 分 所以 ?CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角,在 Rt ?ADC 中, sin ?CAD ?

CD AC

?

3 2 3 3 2 ,所以 ?CAD ? arcsin , ? 10 10 50 3 2 。………………………………6 分 10

即直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 arcsin

(2)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差,

1 1 V ? V圆锥ABC ? V圆锥ABD ? ? ? 52 ? 5 ? ? ? 42 ? 5 3 3 ? 125? 80? ? ? 15? , 3 3

故所求体积为 15? ………………………………12 分 20、解: (1)当 a ? 1 时, A ? ? ??, ?3? ? ? ?1, ??? …………………3 分

9

当 a ? 3 时, A ? R ………………………………………………………6 分 (2)由 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 可以得到: x ? 2 ? 2 ? a . 当 a ? 2 ,解集是 R ; 当

a ? 2 时,解集是 ? x x ? a ? 4或x ? ?a? ………………………………8 分

(i)当 a ? 2 时, CU A ? ? ,不合题意; (ii)当 a ? 2 时, CU A ? x a ? 4 ? x ? ?a ………………………………10 分 因 3 sin(? x ? = 2 sin ?x 由 sin ?x ? 0 ,得 ?x ? k? (k ? Z ) ,即 x ? k ? Z ,所以 B ? Z ……………12 分

?

?

?

? ? ? ? ?? ? ) ? cos(? x ? ) ? 2 ?sin(? x ? ) cos ? cos(? x ? )sin ? 6 6 6 6 6 6? ?

a?2 ? ? 当 (CU A) ? B 有 3 个元素时, a 就满足 ? ?4 ? a ? 4 ? ?3, ? ?1 ? ? a ? 0 ?
可以得到:

0 ? a ? 1 ………………………………………………14 分

21、解:解: (1)如图延长 AG 交 BC 与 F,? G 为△ABC 的中心

1 1 AB ? AC 2 2 2 ? AD ? m AB , AE ? n AC , AG ? AF 3 3 1 1 1 1 AD ? AE 即 AG ? AD ? AE ………………………………3 分 ? AG ? 2 2m 2n 3m 3n ? D、G、E 三点共线 A 1 1 ? ?1 ? 3m 3n 1 1 ? =3 ………………………………6 分 故 m n G D (2)? △ABC 是边长为 1 的正三角形,

? F 为 BC 的中点,则有 AF ?

E

B

F

C

? AD ? m , AE ? n


? S ?ADE =

3 mn…………………8 分 4

1 1 ? =3,0<m ? 1,0<n ? 1 m n

10

? n=

m 1 ?2 ,1 ? 3m ? 1 m



1 ? m ? 1 。…………………10 分 2

? S ?ADE =
设 t=m-

3 3 m2 mn= 4 4 3m ? 1

1 1 1 2 则 m=t+ ( ? t ? ) 3 3 6 3
1 2 3 3 mn= (t+ + )…………………12 分 9t 3 4 12

? S ?ADE =

易知 f ?t ? ? t ?

1 ?1 1? ?1 2 ? 在 ? , ? 为减函数,在 ? , ? 为增函数。 9t ? 6 3 ? ?3 3 ?

1 2 2 ? t= ,即 m ? n ? ,时, f ?t ? 取得最小值 , 3 3 3
即 S ?ADE 取得最小值

3 …………………14 分 9
5 5 ,? f ?t ? 取得最大值是 , 6 6
1 2 1 3 ,此时 m ? , n ? 或 m ? 1, n ? …………………16 分 2 5 2 8

又 f? ?? f? ??

?1? ?6?

?2? ?3?

则 S ?ADE 取得最大值

22、设直线 AP 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,…………………2 分 由点 M (m, 0) 到直线 AP 的距离为 1 可知:

km ? k k 2 ?1
因为

? 1 得到 m ? 1 ?

k 2 ?1 1 ? 1 ? 2 ,…………………5 分 k k

1 1 1 2 3 1 3 ? k ? 3 ,所以 ? k 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ? 1? 2 ? 2 , 3 3 k 3 3 k

所以

2 3 2 3 2 3 ? m ?1 ? 2 , ? m ? 1 ? 2 或 ?2 ? m ? 1 ? ? 3 3 3 3? 2 3 3? 2 3 ? m ? 3 或 ?1 ? m ? ;…………………8 分 3 3

所以

(2)当 m ?

2 ? 1时, AM ? 2 ,

由于点 M ( 2 ?1,0) 到直线 AP 的距离为 1 ,所以直线 AP 的斜率 k ? ?1 ,……10 分

11

因为点 M ( 2 ? 1, 0) 为 ?APQ 的内心,故 P, Q 是双曲线上关于 x 轴对称的两点,所以

PQ ? x 轴,不妨设直线 PQ 交 x 轴于点 R ,则 MR ? 1 ,
所以点 R 的坐标为

?

2 ? 2, 0 ,…………………12 分

?

所以 P, Q 两点的横坐标均为 2 ? 2 ,把 x p ? 得 yp ?

2 ? 2 代入直线 AP 的方程: y ? x ? 1 ,

2 ? 1 ,所以 P, Q 两点的坐标分别为:
2 ? 2, 2 ? 1 , Q
2

P

?

?

?

2 ? 2, ? 2 ? 1 ,

?

设双曲线方程为: x ?

y2 ? 1 (b ? 0) ,把点 P b2

?

2 ? 2, 2 ? 1 的坐标代入方程得到

?

1 ? 2 2 ? 1 ,…………………15 分 b2
所以双曲线方程为: x ? 2 2 ? 1 y ? 1 …………………16 分
2 2

?

?

23、解: (1)由 an?2 ? 5an?1 ? 6an 可知特征方程为:

x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , x1 ? 2, x2 ? 3 …………………3 分
所以 设 an ? c1 ? 2n ? c2 ? 3n ,由 ?

? c1 ? 2 ? c2 ? 3 ? 5 得到 c1 ? c2 ? 1 , ?c1 ? 4 ? c2 ? 9 ? 13

所以

an ? 2n ? 3n ; …………………6 分

(2)由 an?2 ? 2an?1 ? 3an ? 4 可以得到 (an?2 ? 1) ? 2(an?1 ? 1) ? 3(an ? 1) 设 bn ? an ? 1 ,则上述等式可以化为: bn?2 ? 2bn?1 ? 3bn …………………8 分

b1 ? a1 ? 1 ? 2, b2 ? a2 ? 1 ? 12 ,所以 bn?2 ? 2bn?1 ? 3bn 对应的特征方程为:
x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , x1 ? ?1, x2 ? 3 …………………10 分

所以令

7 ? ? c1 ? 6 ? bn ? c1 ? 3n ? c2 ? (?1)n ,由 b1 ? 2, b2 ? 12 可以得出 ? ?c ? 3 ? 2 2 ?

12

所以 bn ? 即

7 n 3 n ? 3 ? ? ? ?1? …………………11 分 6 2
7 n 3 n ? 3 ? ? ? ?1? ? 1, n ? N ? …………………12 分 6 2

an ?

n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? (3)同样可以得到通项公式 an ? ………14 分 ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?

1 2 3 n 所以 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ?? anCn
1 1 2 2 3 3 1 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 2 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 3 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? Cn ?? Cn ?? Cn ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? n n 1 n ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ?? ? Cn ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1? 5 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ] ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1? 5 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ] ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?
n n n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ??1 ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? n n 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ?? ? …………………14 分 Sn ? ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?
1 2 3 n

1

2

3

n



Sn ? 2

1 ?? 3 ? 5 ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? ? ?

n?2

? 3? 5 ? ?? ? 2 ? ? ? ?

n?2

? 1 ?? 3 ? 5 ?n?1 ? 3 ? 5 ?n?1 ? ?? ?? ? ? ?? ? 2 ? ?? ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

n n ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

? 3Sn?1 ? Sn


Sn?2 ? 3Sn?1 ? Sn , n ? N ? …………………16 分

因此 Sn?2 除以 8 的余数,完全由 Sn?1 , Sn 除以 8 的余数确定,

13

因为 a1 ? 1, a2 ? 1

所以

1 S1 ? C1 a1 ? 1 ,

1 2 S2 ? C2a1 ? C2 a2 ? 3 , S3 ? 3S2 ? S1 ? 9 ?1 ? 8 ,

S4 ? 3S3 ? S2 ? 24 ? 3 ? 21, S5 ? 3S4 ? S3 ? 63 ? 8 ? 55 , S6 ? 3S5 ? S4 ? 165 ? 21 ? 144 , S7 ? 3S6 ? S5 ? 432 ? 55 ? 377 , S8 ? 3S7 ? S6 ? 1131 ?144 ? 987 , S9 ? 3S8 ? S7 ? 2961 ? 377 ? 2584 ,
由以上计算及 Sn?2 ? 3Sn?1 ? Sn 可知,数列 ?Sn ? 各项除以 8 的余数依次是:

1, 3, 0, 5, 7, 0,1, 3, 0, 5, 7, 0, ??, 它是一个以 6 为周期的数列,从而 Sn 除以 8 的余数等价
于 n 除以 3 的余数,所以 n ? 3k , k ? N ,
? 即所求集合为: n n ? 3k , k ? N …………………18 分

?

?

?

14

2010 年高三数学十校联考参考答案(文科)
一、填空题: 14 × 4 = 56 分) ( 1、 2 ;2、 ?1,1? , ? ?1,1? ;3、 ? ? 2 ? ;4、 ? ? , 2 ? ? ? 2, ?? ? ;5、 9 ;6、 9

?

?

?a ?2

? ?

? 1 ? 2

? ?

7、 ? 3, ? ;8、 ? 0, ? ;9、 ;10、 4019 ;11、1 ;12、 0 ;13、 ;14、 (4) (3) 12 2 ? 2? ? 4? 二、选择题: 4 × 5 = 20 分) ( 15—18: CABD 三、解答题: (满分 74 分) 19、解:因为点 D 在以 BC 为直径的圆上,所以 BD ? DC ,……………2 分 因为 AB ? 平面BDC , DC ? 平面BDC ,所以 AB ? DC , 从而有 CD ? 平面ABD ………………………………4 分 所以 ?CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角,在 Rt ?ADC 中, sin ?CAD ?

? 7?

?

??

1

13

CD AC

?

3 2 3 3 2 ,所以 ?CAD ? arcsin , ? 10 10 50 3 2 。………………………………6 分 10

即直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 arcsin

(2)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差,

1 1 V ? V圆锥ABC ? V圆锥ABD ? ? ? 52 ? 5 ? ? ? 42 ? 5 3 3 ? 125? 80? ? ? 15? , 3 3

故所求体积为 15? ………………………………12 分 20、解: (1)当 a ? 1 时, A ? ? ??, ?3? ? ? ?1, ??? …………………3 分 当 a ? 3 时, A ? R ………………………………………………………6 分 (2)由 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 可以得到: x ? 2 ? 2 ? a . 当 a ? 2 ,解集是 R ;
15



a ? 2 时,解集是 ? x x ? a ? 4或x ? ?a? ………………………………8 分

(i)当 a ? 2 时, CU A ? ? ,不合题意; (ii)当 a ? 2 时, CU A ? x a ? 4 ? x ? ?a ………………………………10 分 因 3 sin(? x ? = 2 sin ?x 由 sin ?x ? 0 ,得 ?x ? k? (k ? Z ) ,即 x ? k ? Z ,所以 B ? Z ……………12 分

?

?

?

? ? ? ? ?? ? ) ? cos(? x ? ) ? 2 ?sin(? x ? ) cos ? cos(? x ? )sin ? 6 6 6 6 6 6? ?

a?2 ? ? 当 (CU A) ? B 有 3 个元素时, a 就满足 ? ?4 ? a ? 4 ? ?3, ? ?1 ? ? a ? 0 ?
可以得到:

0 ? a ? 1 ………………………………………………14 分

21、解:解: (1)如图延长 AG 交 BC 与 F,? G 为△ABC 的中心

1 1 AB ? AC 2 2 2 ? AD ? m AB , AE ? n AC , AG ? AF 3 3 1 1 1 1 AD ? AE 即 AG ? AD ? AE ………………………………3 分 ? AG ? 2 2m 2n 3m 3n ? D、G、E 三点共线 A 1 1 ? ?1 ………………………………5 分 ? 3m 3n 1 1 ? =3 ………………………………6 分 故 m n G D (2)? △ABC 是边长为 1 的正三角形

? F 为 BC 的中点,则有 AF ?

E

B

F

C

? AD ? m , AE ? n


? S ?ADE =

3 mn…………………8 分 4

1 1 ? =3,0<m ? 1,0<n ? 1 m n m 1 1 ?2 ,1 ? 即 ? m ? 1 。…………………10 分 ? n= 3m ? 1 m 2

? S ?ADE =
设 t=m-

3 3 m2 mn= 4 4 3m ? 1

1 1 1 2 则 m=t+ ( ? t ? ) 3 3 6 3
16

? S ?ADE =

1 2 3 3 mn= (t+ + )…………………12 分 9t 3 4 12

易知 f ?t ? ? t ?

1 ?1 1? ?1 2 ? 在 ? , ? 为减函数,在 ? , ? 为增函数。 9t ? 6 3 ? ?3 3 ?

1 2 2 ? t= ,即 m ? n ? ,时, f ?t ? 取得最小值 , 3 3 3
即 S ?ADE 取得最小值

3 …………………14 分 9
5 5 ,? f ?t ? 取得最大值是 , 6 6
1 2 1 3 ,此时 m ? , n ? 或 m ? 1, n ? …………………16 分 2 5 2 8

又 f? ?? f? ??

?1? ?6?

?2? ?3?

则 S ?ADE 取得最大值

22、设直线 AP 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,…………………2 分 由点 M (m, 0) 到直线 AP 的距离为 1 可知:

km ? k k 2 ?1
因为

? 1 得到 m ? 1 ?

k 2 ?1 1 ? 1 ? 2 ,…………………5 分 k k

1 1 1 2 3 1 3 ? k ? 3 ,所以 ? k 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ? 1? 2 ? 2 , 3 3 k 3 3 k

所以

2 3 2 3 2 3 ? m ?1 ? 2 , ? m ? 1 ? 2 或 ?2 ? m ? 1 ? ? 3 3 3 3? 2 3 3? 2 3 ? m ? 3 或 ?1 ? m ? ;…………………8 分 3 3

所以

(2)当 m ?

2 ? 1时, AM ? 2 ,

由于点 M ( 2 ?1,0) 到直线 AP 的距离为 1 ,所以直线 AP 的斜率 k ? ?1 ,……10 分 因为点 M ( 2 ? 1, 0) 为 ?APQ 的内心,故 P, Q 是双曲线上关于 x 轴对称的两点,所以

PQ ? x 轴,不妨设直线 PQ 交 x 轴于点 R ,则 MR ? 1 ,
所以点 R 的坐标为

?

2 ? 2, 0 ,…………………12 分

?

所以 P, Q 两点的横坐标均为 2 ? 2 ,把 x p ?
17

2 ? 2 代入直线 AP 的方程: y ? x ? 1 ,

得 yp ?

2 ? 1 ,所以 P, Q 两点的坐标分别为:
2 ? 2, 2 ? 1 , Q
2

P

?

?

?

2 ? 2, ? 2 ? 1 ,…………………14 分

?

设双曲线方程为: x ?

y2 ? 1 (b ? 0) ,把点 P b2

?

2 ? 2, 2 ? 1 的坐标代入方程得到

?

1 ? 2 2 ? 1 ,…………………15 分 b2
所以双曲线方程为: x ? 2 2 ? 1 y ? 1 …………………16 分
2 2

?

?

23、解: (1) an?2 ? 4an?1 ? 4an 的特征根方程为:

x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 解得两个相等的实根 x1 ? x2 ? 2 ,…………………3 分
所以设通项 an ? (c1 ? c2 n) ? 2n ,

1 ? ? (c1 ? c2 ) ? 2 ? 1 ?c1 ? 由 a1 ? 1, a2 ? 2 可得: ? ?? 2, ?(c1 ? 2c2 ) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ? 2
所以 an ? 2n?1 , n ? N ? …………………6 分 (2)由 an?2 ? 5an?1 ? 6an 可知特征方程为:

x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , x1 ? 2, x2 ? 3 …………………8 分
所以 an ? c1 ? 2n ? c2 ? 3n ,由 ?

? c1 ? 2 ? c2 ? 3 ? 5 得到 c1 ? c2 ? 1 , ?c1 ? 4 ? c2 ? 9 ? 13

所以 an ? 2n ? 3n ,…………………9 分 因为 ?an?1 ? ?an ? 是等比数列,所以有

? a2 ? ? a1 ? ? ? a4 ? ? a3 ? ? ? a3 ? ? a2 ?

2

? ? 2 或 ? ? 3 …………………10 分
当 ? ? 2 时,

an?1 ? 2an 2n?1 ? 3n?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 3n 3n ? ? ?3 an ? 2an?1 2n ? 3n ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? 3n?1 3n?1
18

当 ? ? 3 时,同理可得

an?1 ? 3an 2n?1 ? 3n?1 ? 3 ? 2n ? 3 ? 3n 2n ? n n ? n?1 ? 2 an ? 3an?1 2 ? 3 ? 3 ? 2n?1 ? 3 ? 3n?1 2

所以

? ? 2 或 ? ? 3 …………………12 分

(3)同样可以得到通项公式:
n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ,…………………14 分 an ? ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?

1 2 3 n 所以 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ?? anCn
1 1 2 2 3 3 1 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 2 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 3 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? Cn ?? Cn ?? Cn ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? n n 1 n ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ?? ? Cn ?? ? ?? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1? 5 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ] ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1? 5 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? 2 ? ? Cn ? 2 ? ? Cn ? 2 ? ? ? ? Cn ? 2 ? ] ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?
n n n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ??1 ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ?? ? …………………18 分 Sn ? ? 2 ? ?? 2 ? ?, n? N ? ? ? 5 ?? ? ? ? ? ?
1 2 3 n

1

2

3

n



19


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