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山东省鱼台一中10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版【会员独享】


山东省鱼台一中 2010—2011 学年下学期高二期末考试数学(理)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线 ( ) A.平行 A.(x+1) +y =1 C.x +(y+1) =1 3.在复平面内,复数 z ? ( ) A.第一象限 4 . 设 集 合 ( ) B. [0, ??) C. (??,1) D.φ
2 2 2 2

B.垂直
2 2

C.相交

D.异面 ) B.x +y =1 D.x2+(y-1)2=1
2 2

2.已知圆 C 与圆(x-1) +y =1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为(

1 ? 2i 对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A ?{ x |

? y l n? ( x 1R ? 集合 y) ,

}B ?,

2

y R ? y{ 则 x |? x=

,

A} , B

A. [0,1) 5.式子 (

n(n ? 1)(n ? 2) (n ? 100) 可表示为 100!

100 B. Cn ?100 100 C. 101Cn ?100 101 D. 101Cn ?100

100 A. An ?100

2 6 . 已 知 (1? 2 x 7) ? a 0 ?a 1 x? a 2 x ?

?7 a 7x 那么 ,

1

等7 于 a ? 2a ? 3a ? 4a ? 5a ? 6a ? a D.—1



) A.2 B.—2 C .1 7.连续抛掷 3 枚硬币,至少有一枚出现正面的概率是 ( ) A.

3 8

B.

1 2

C.

5 8

D.

7 8

8 .已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) B.若 m / /? , m / / ? , 则? / / ? D.若 ? ? ? , m / /? , n / / ? , 则m ? n

A.若 m / /? , n / / ? , 则 m / / n C.若 m / / n, n / / ? , m ? ? , 则? ? ? 9.设 f ( x) ?

2 x ? 2? x 2x ? 2? x , g ( x) ? ,下列四个结论 2 2
用心 爱心 专心 -1-

(1) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3) f (2 x) ? [ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 ; 中恒成立的个数有 ( ) A.1 个

(2) g (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (4) g (2x) ? [ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2

B.2 个

C.3 个

D.4 个

10.如图是导函数 y ? f ?( x) 的图像,则下列命题错误的是 ( )

A.导函数 y ? f ?( x) 在 x ? x1 处有极小值 B.导函数 y ? f ?( x) 在 x ? x2 处有极大值 C.函数 y ? f ( x)在x ? x3 处有极小值 D.函数 y ? f ( x)在x ? x4 处有极小值 11.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x1 , x2 ? R有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 下列说法一定正确的是 ( )

A. f ( x) ? 1 为奇函数 B. f ( x) ? 1 为偶函数 C. f ( x) ? 1 为奇函数 D. f ( x) ? 1 为偶函数 12.现从甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学中选四位安排参加志愿者服务活动,每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作有一人参加。甲不会开车、乙不会翻译,但 都能从事其他三项工作,而丙丁戌能胜任全部四项工作,则不同安排方案的种数是 ( ) A.108 B.78 C.72 D.60 第Ⅱ卷 非选择题 共 90 分 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷上) 13.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个_________

14、已知点 P(x, y)是圆(x-3)2+(y- 3 )2=6 上的动点,则
用心 爱心 专心

y 的最大值为 x


-2-

15. 设是空间的三条直线,给出以下五个命题: ① 若 a⊥ b,b⊥ c,则 a⊥ c; ② 若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面; ⑤ 若 a∥ b, b∥ c,则 a∥ c; 其中正确的命题的序号是 16. 双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的离心率为 3 ,则 a 的值是 __________ ; a

17. 一飞行的蜻蜓被长为 12 cm 细绳绑在某一房间一角 (仍可飞行) , 则此蜻蜓可活动的三维空 间大小为_________ cm3 。 三、计算证明题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 一个圆锥高 h 为 3 3 ,侧面展开图是个半圆,求: (1)其母线 l 与底面半径 r 之比; (2)锥角 ?BAC ; (3)圆锥的表面积
A

h
r

l
C

B

o

? 2? 19. (本小题满分 12 分)已知:以点 C ?t , ? ?t ? R ,t ? 0 ? 为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, ? t?
与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点。 (Ⅰ ) 求证:⊿ OAB 的面积为定值; (Ⅱ ) 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程。

20. (本小题满分 13 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1) C1O //面 A1B1D1; (2)A1C⊥面 AB1D1;

D1 A1
用心 爱心 专心

C1 B1

D O A B

C

-3-

(3)求 直线AC与平面AB1D1所成角的正切值。

21. (本小题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦 1 点为 F(- 3 ,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A(1,2 ) 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; ABC 面积的最大值。 (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B、C,求△

22. (本小题满分 14 分).如图,ABCD 是梯形,AB//CD, ?BAD ? 90? ,PA⊥ 面 ABCD, 且 AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E 为 PD 的中点 (Ⅰ )求证:AE//面 PBC. (Ⅱ )求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅲ )在面 PAB 内能否找一点 N,使 NE⊥ 面 PAC. 若存在,找出并证明;若不存在, 请说明理由。

_

P

E

D A B

C

用心

爱心

专心

-4-

答案: 一、选择题: (60 分) 1. B 7. D 2. C 8.C 3. B 9. B 4 .A 10. C 5. D 11.A 6. B 12. B

二、填空题: (25 分)

13.

四棱台

14、 2 ? 3

15. ⑤

16.

1 2

17. 288π cm3

三、解答题(65 分) 18. (本小题满分 12 分) 本题的关键是要搞清楚圆锥的底面半径与母线之间的关系。 (如图) (1)? 圆锥的侧面展开图恰为一个半圆

l ? 2 ? r= ? l ? ?2 r l (2)? ? 2 ? AB=2OB ? ?BAO ? 30? r ? ?BAC ? 60? 即锥角为 60 ?
(3)Rt ? AOB 中,? l 2 =h 2 +r 2 又 l ? 2r, h ? 3 3
B
o

A

h
r

l
C

? r ? 3,l ? 6

? S 表面 ? S侧面 ? S 底面 = ?rl ? ?r 2 =3 ? (6+3)=27 ?

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为圆 C 过原点 O,? OC 2 ? t 2 ?
2

4

t2

.
令 x=0,得 y1 =0, y 2 ?
4

2 ? 2? 4 设圆 C 的方程是 ? x ? t ? ? ? y ? ? ? t 2 ? 2 . t? t ?

t



令 y=0, 得 x1=0,x2=2t .? S 分;

OAB

?

1 1 4 OA ? OB ? ? ? 2t ? 4, 即⊿OAB 的面积为定值。 5 2 2 t

(Ⅱ)方法一: OM ? ON ,CM ? CN ,? OC 垂直平分线段 MN。kMN ? ?2,? kOC ?
用心 爱心 专心

1 .? 直 2
-5-

线 OC 的方程是 y ?

1 2 1 x . ? ? t .解得 t=2 或 t=-2。 2 t 2
5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d ?
1 5 ? 5,

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) , OC ? 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点。 当 t=-2 时, 圆心 C 的坐标为 (-2,-1) ,OC ?

5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d ?

9 5

?

5,此

时圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,所以 t=-2 不符合题意,舍去。所以,圆 C 的方程为

?x

? 2? ? ? y ? 1? ? 5.
2 2

12 分

方法二:可用解方程法,结果相同。过程从略。

20. (本小题满分 13 分) 证明: (1)连结 AC 1 1 1 1 ,设 AC 连结 AO1 ,

B1D1 ? O1
A1

D1 B1

C1

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体
2分

? A1 ACC1 是平行四边形? AC AC 且 AC 1 1 ? AC 1 1
又 O1 , O 分别是 AC 1C1 1 1 , AC 的中点,? O

AO 且 O1C1 ? AO
A
4分

D O B

? AOC1O1 是平行四边形

C

?C1O AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
? C1O 面 AB1D1
(2) 又

CC1 ? 面 A1B1C1D1

?C C 1 ? B 1 D !
6分

AC 1 1 ?B 1D 1, ?B 1 D 1? 面 A 1 C1 C

即AC ? B1D1 1

? AB1 , 同理可证 AC 1
又 D1B1

AB1 ? B1
9分

? AC ? 面 AB1D1 1

(3) 直线 AC 与平面 AB1D1 所成的角实际上就是正四面体 ACB1D1 的一条棱与一个面所成的角, 余弦值为
3 ,从而正切值为 2 。 3

13 分

21. (本小题满分 14 分) 解(1)a=2 C= 3

用心

爱心

专心

-6-

∴椭圆的标准方程为

? y 2 ? 1 ………………4 分 4 (2)设 M(x,y)P(xo,y0)则

x2

x ?

1 ? x0 ,? x 0 ? 2x ? 1 2

1 ? y0 1 y ? 2 ,? y 0 ? 2y ? 2 2

∵P 在椭圆上

?

x 02
4

? y 02 ? 1



(2x-1)2 1 2 4 +(2y - 2) =1…………………………9 分

(3) 2 …………………………14 分

22. 解: (Ⅰ)取 PC 中点为 F,连结 EF,BF

1 DC 2 所以 EF//AB,且 EF=AB,所以 ABFE 为平行四边形
又 E 为 PD 的中点,所以 EF // DC 且 EF ? 所以 AE//BF, 因为 AE ? 面 PBC, 所以 AE//面 PBC (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0,0,0) ,

…2 分 …4 分

B(1,0,0) ,C(2,1,0) ,D(0,1,0) , P(0,0,3) ,E(0,

1 3 , ) …5 分 2 2

从而 AC =(2,1,0) , PB =(1,0, ? 3 ) 设 AC 与 PB 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

?1 5 2

??

2 , …7 分 10
…8 分

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

2 10

(Ⅲ)法 1:由于 N 点在面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,0,z) ,

1 3 则 NE ? ( ? x , , ? z ) 2 2

由 NE⊥面 PAC 可得: ?

? ? NE ? AP ? 0, ? ? NE ? AC ? 0,
专心

…10 分

用心

爱心

-7-

? (? x , ? ? 即? ?( ? x , ? ?

1 2 1 2

3 ? z ) ? (0 , 0 , 3) ? 0, 2 3 , ? z ) ? ( 2 , 1 , 0 ) ? 0, 2 , 1 , 4 3 . 2

3 ? ? z ? ? 0, x? ? ? ? ? 2 ? 化简得 ? ? ? ? 2 x ? 1 ? 0. ? z ? ? ? 2 ? ?
所以在面 PAB 内存在点 N(

即 N 点的坐标为(

1 3 ,0, ) 4 2

1 3 ,0, ) ,使 NE⊥面 PAC. 4 2

…14 分

(Ⅲ)法 2:在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 G,连 PG, 设 N 为 PG 的中点,连 NE,则 NE//DG, ∵DG⊥AC,DG⊥PA,∴DG⊥面 PAC 从而 NE⊥面 PAC …10 分 …14 分

用心

爱心

专心

-8-


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