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重庆市善学培训中心2015-2016学年高二上学期开学考前复习数学试题(二) Word版含解析


2015-2016 学年重庆市善学培训中心高二(上)开学考前复习数学 试卷(二)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ﹣b = 则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150°
2 2

bc,sinC=2

sinB,

2.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于( A.99 B.66 C.144 D.297



3.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( ) A.30 B.25 C.20 D.15 4.下列程序运行的结果是( )

A.1,2,3 B.2,3,1 C.2,3,2 D.3,2,1

5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 B.5 C.﹣8 D.﹣11

等于(



6.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为(



A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7?

7.若两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An、Bn,且满足 值为( A. ) B. C. D.

,则



8.已知△ ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a=x(x>0) ,b=2,A=60°,若三角形 有两解,则 x 的取值范围是( ) A.x> B.0<x<2 C. <x<2 D. <x≤2 9.如图所示,在两个圆盘中,指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时 落在奇数所在区域的概率是( )

A.

B.

C.

D.

10.若实数 x,y 满足不等式组

目标函数 t=x﹣2y 的最大值为 2,则实数 a 的值

是( ) A.﹣2 B.0

C.1

D.2

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品 的概率是 . 12.已知 a,b 为正数,且满足 2<a+2b<4,那么 3a﹣b 的取值范围是 .

13.函数 为 .

的最小值是

.设 x、y∈R 且 + =1,则 x+y 的最小值

+

14.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大

值为 12,则

的最小值为



15. 等差数列{an}中,

<﹣1, 且其前 n 项和 Sn 有最小值, 以下命题正确的是



①公差 d>0; ②{an}为递减数列; ③S1,S2…S19 都小于零,S20,S21…都大于零;④n=19 时,Sn 最小;⑤n=10 时,Sn 最小.

三.解答题(共-75 分 16 题 13 分,17 题 13 分,18 题 13 分,19 题 12 分,20 题 12 分,21 题 12 分) 16. (13 分) (2014?陆川县校级二模)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项 和为 Sn. (1)求 an 及 Sn;

(2)令 bn=

(n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

17. (13 分) (2012 秋?清河区校级期中)已知 a∈R,解不等式

>a+1.

18. (13 分) (2008?山东)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1, B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成 一个小组. (Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 19. (12 分) (2012 春?荣昌县校级期末)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路 段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 υ(千米/小时)之间的函数关系为: y= (υ>0) .

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 υ 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留 分数形式) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

20. (12 分) (2015 秋?重庆月考) 数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an= (n≥2) . (1)求证:数列{ }是等差数列; 对一切 n∈N 都成立,求 k 的最
×

(2)设存在正数 k,使(1+S1) (1+S2)..(1+Sn) 大值.

21. (12 分) (2015 秋?重庆月考)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上, 其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 ,求数列{bn}的前 n 项 Sn,并证明 .

2

22. (2013 春?綦江县校级期末)已知数列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+..+an) (n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项 an; (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1= bn +bn,求证:bn<1(n≤k) .
2

*

2015-2016 学年重庆市善学培训中心高二(上)开学考前 复习数学试卷(二)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 2 1.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ﹣b = bc,sinC=2 sinB, 则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 考点: 余弦定理的应用. 专题: 综合题. 分析: 先利用正弦定理,将角的关系转化为边的关系,再利用余弦定理,即可求得 A. 解答: 解:∵sinC=2 sinB,∴c=2 b, ∵a ﹣b =
2 2

bc,∴cosA=

=

=

∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选 A. 点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题. 2.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于( ) A.99 B.66 C.144 D.297 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a4=13,a6=9,可得 a4+a6=22,再由等差数列的求和公式和性 质可得 S9= ,代值计算可得.

解答: 解:由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4,a3+a9=2a6, 又∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27, ∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22, ∴数列{an}前 9 项的和 S9= = = =99

故选:A 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 3.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( )

A.30 B.25 C.20 D.15 考点: 分层抽样方法. 分析: 先计算抽取比例,再计算松树苗抽取的棵数即可. 解答: 解:设样本中松树苗的数量为 x,则 故选 C 点评: 本题考查分层抽样,属基本题. 4.下列程序运行的结果是( )

A.1,2,3 B.2,3,1 C.2,3,2 D.3,2,1 考点: 赋值语句. 专题: 图表型. 分析: 从所给的赋值语句中可以看出 a 是 b 付给的值 2,b 是 c 付给的值等于 3,c 是 a 付给 的值,而 a 又是 b 付给的值 2,得到结果. 解答: 解:从所给的赋值语句中可以看出 a 是 b 付给的值 2, b 是 c 付给的值等于 3, c 是 a 付给的值,而 a 又是 b 付给的值 2, ∴输出的 a,b,c 的值分别是 2,3,2 故选 C. 点评: 本题考查赋值语句,本题解题的关键是在赋值语句中看一个量的值,需要看它是由 谁付给的值,从语句往上看,离它最近的变量的值就是所求的变量的值.

5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 考点: 专题: 分析:

等于(



B.5 C.﹣8 D.﹣11 等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 由题意可得数列的公比 q,代入求和公式化简可得.

解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, (q≠0) 4 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q =0,解得 q=﹣2,



=

=

=

=﹣11

故选 D 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题.

6.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为(



A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为 k>4 故答案选 A. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋 值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程 图的含义而导致错误.

7.若两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An、Bn,且满足 值为( A. ) B. C. D.

,则



考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.

分析:

=

=

,而

=

,代入已知条件即可算出.

解答: 解:由题设知,





=

,所以

= ,

所以

=

=

= ,

故选 D. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式、通项公式及等差数列的性质,在等差数列{{an} * 中,若 m+n=p+q=2k, (k,m,n,p,q∈N ) ,则 am+an=ap+aq=2ak;n 为奇数时,Sn=na 中,a 中 为中间项; 8.已知△ ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a=x(x>0) ,b=2,A=60°,若三角形 有两解,则 x 的取值范围是( ) A.x> B.0<x<2 C. <x<2 D. <x≤2 考点: 解三角形. 专题: 综合题;解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,b,sinA 的值代入表示出 sinB,根据 B 的度数确定 出 B 的范围,要使三角形有两解确定出 B 的具体范围,利用正弦函数的值域求出 x 的范围即 可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=x(x>0) ,b=2,A=60°, ∴由正弦定理得:sinB= ∵A=60°, ∴0<B<120°, 要使三角形有两解,得到 60°<B<120°,且 B≠90°,即 ∴ < <1, <sinB<1, =

解得: <x<2, 故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及正弦函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 9.如图所示,在两个圆盘中,指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时 落在奇数所在区域的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题. 分析: 首先根据题意,由几何概型的计算公式,计算两个转盘中,指针落在奇数所在区域 的概率,进而由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,两个转盘共 6 个区域,其中有 4 个是奇数的区域; 由几何概型的计算公式,可得两个转盘中,指针落在奇数所在区域的概率都为 = ; 由独立事件同时发生的概率,得 P= = .

故选 A. 点评: 本题考查概率的计算公式,注意认真审题,认清事件之间的相互关系.

10.若实数 x,y 满足不等式组

目标函数 t=x﹣2y 的最大值为 2,则实数 a 的值

是( ) A.﹣2 B.0 C.1 D.2 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数 z=x﹣2y 的最大值为 2,确定约束条 件中 a 的值即可. 解答: 解:画出约束条件表示的可行域 由 ?A(2,0)是最优解,

直线 x+2y﹣a=0,过点 A(2,0) , 所以 a=2, 故选 D

点评: 本题考查简单的线性规划,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品 的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 分析: 从六件产品中取出两件产品有 15 种方法,取出的两件产品中恰好是一件正品,一件 次品有 5 种结果,根据古典概型公式得到结果. 2 解答: 解:∵从六件产品中取出两件产品有 C6 =15 种方法, 1 1 取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品有 C5 C1 =5 种结果 古典概型公式得到 P= 故答案为: 点评: 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系, 以科学的态度评价身边的一些随机现象. 12.已知 a,b 为正数,且满足 2<a+2b<4,那么 3a﹣b 的取值范围是 (﹣2,12) . 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: 先求出满足条件的平面区域,得到点 P 在 c 处时取到最小值,在 D 处时取到最大值. 解答: 解:以 a 为横坐标、b 为纵坐标,在 aob 坐标系中作出不等式 2<a+2b<4 表示的平 面区域, 得到如图的四边形 ABCD 内部, (不包括边界) , 其中 A(2,0) ,B(0,1) ,C(0,2) ,D(4,0) , 设 P(a,b)为区域内一个动点, 显然 p 点在 C(0,2)时,a 最小,b 最大,此时 3a﹣b=﹣2, p 点在 D(4,0)处时,a 最大,b 最小,此时 3a﹣b=12, 故答案为: (﹣2,12) . = ,

点评: 本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道中档题.

13.函数

的最小值是

.设 x、y∈R 且 + =1,则 x+y 的最小值为 16 .

+

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: 换元,利用函数的单调性求出函数 等式,求出 x+y 的最小值. 解答: 解:设 =t(t≥2) ,则 y=t+ 在[2,+∞)上是单调增函数, 的最小值;利用“1”的代换,结合基本不

∴当 t=2 时,函数的最小值为 ; ∵ + =1,x、y∈R , ∴x+y=(x+y)?( + )=10+ ∴x+y 的最小值为 16. 故答案为: ;16. 点评: 本题考查函数的最小值,考查函数的单调性,考查基本不等式的运用,选择正确的 方法是关键. ≥10+2 =16(当且仅当 ,x=4,y=12 时取“=”)
+

14.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大

值为 12,则

的最小值为



考点: 简单线性规划的应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 先根据条件画出可行域,设 z=ax+by,再利用几何意义求最值,将最大值转化为 y 轴 上的截距,只需求出直线 z=ax+by,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关 于 a,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可. 解答: 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 = . .

故答案为:

点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何 意义求最值,属于基础题.

15. 等差数列{an}中,

<﹣1, 且其前 n 项和 Sn 有最小值, 以下命题正确的是 ①③⑤ .

①公差 d>0; ②{an}为递减数列; ③S1,S2…S19 都小于零,S20,S21…都大于零;④n=19 时,Sn 最小;⑤n=10 时,Sn 最小. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得数列的前 10 项为负数,从第 11 项开始为正数,且 a10+a11>0,由等差数 列的求和公式和性质逐个选项验证可得. 解答: 解:∵等差数列{an}前 n 项和 Sn 有最小值,∴公差 d>0,①正确,②错误; 又∵ <﹣1,∴a10<0,a11>0,且 a10+a11>0,

∴等差数列{an}的前 10 项为负数,从第 11 项开始为正数, ∴当 n=10 时,Sn 最小,④错误,⑤正确;

∴S19=

=

=19a10<0,

S20=

=10(a10+a11)>0,

∴S1,S2…S19 都小于零,S20,S21…都大于零,③正确. 故答案为:①③⑤ 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,判定出数列项的正负变化是解决问题的关键, 属中档题. 三.解答题(共-75 分 16 题 13 分,17 题 13 分,18 题 13 分,19 题 12 分,20 题 12 分,21 题 12 分) 16. (13 分) (2014?陆川县校级二模)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项 和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据等差数列的两项之和的值,根据等差数列等差中项的性质得到 a6,根据连 续两项得到数列的公差,根据通项写出要求的第四项和数列的前 n 项和. (2)本题需要根据上一问的结果构造新数列,把第一问做出的通项代入,整理出结果,发现 这是一个裂项求和的问题,得到前 n 项和. 解答: 解(1)∵a3=7,a5+a7=26. ∴ ∴ ∴an=2n+1 sn= (2)由第一问可以看出 an=2n+1 ∴ , ,

= ∴Tn= .

点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列的构造,解题的关键是看清新构造的数列是一 个用什么方法来求和的数列,注意选择应用合适的方法.

17. (13 分) (2012 秋?清河区校级期中)已知 a∈R,解不等式

>a+1.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用. 分析: 转化分式不等式,通过 a=0,a>0,a<0 分别求解不等式的解集,即可. 解答: 解:原不等式化为 (1)当 a=0 时,原不等式为 >0① ?x>1.

在①中,分子中 x 的系数含有字母 a,分类讨论就从这里引起. (2)当 a≠0 时,原不等式化为 . ②

对于不等式②,分子中的系数 a 不能随意约去,因为根据不等式的性质,若给不等式两边同 时乘以一个负数,不等式的方向要改变. 当 a>0 时,原不等式等价于 由于 ,可解得 1 . .也可先确定两根 x1,x2 (x1<x2) ,

然后直接写出解集. 当 a<0 时, 由 可解得 x 等价于 或 x>1. .

综上,当 a=0 时原不等式的解集为(1,+∞) . 当 a>0 时,解集为 当 a<0 时,解集为 .

点评: 本题考查分式不等式的解法,考查转化思想分类讨论思想,计算能力. 18. (13 分) (2008?山东)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1, B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成 一个小组. (Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 考点: 等可能事件的概率;互斥事件与对立事件.

分析: (Ⅰ)先用列举法,求出从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,所有一切 可能的结果对应的基本事件总个数,再列出 A1 恰被选中这一事件对应的基本事件个数,然后 代入古典概型公式,即可求解. (Ⅱ)我们可利用对立事件的减法公式进行求解, 即求出“B1, C1 不全被选中”的对立事件“B1, C1 全被选中”的概率,然后代入对立事件概率减法公式,即可得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1) , (A1,B1,C2) , (A1,B2,C1) , (A1,B2,C2) , (A1,B3,C1) , (A1,B3,C2) , (A2,B1,C1) , (A2,B1,C2) , (A2,B2, C1) , (A2,B2,C2) , (A2,B3,C1) , (A2,B3,C2) , (A3,B1,C1) , (A3,B1,C2) , (A3, B2,C1) , (A3,B2,C2) , (A3,B3,C1) , (A3,B3,C2)} 由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1) , (A1,B1,C2) , (A1,B2,C1) , (A1,B2,C2) , (A1,B3,C1) , (A1,B3,C2)} 事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 .

(Ⅱ)用 N 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 ={(A1,B1,C1) , (A2,B1,C1) , (A3,B1,C1)},事件 有 3 个基本事件组成, 所以 ,由对立事件的概率公式得 .

点评: 本题考查的知识点是古典概型,古典概型要求所有结果出现的可能性都相等,强调 所有结果中每一结果出现的概率都相同.弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解 决问题的前提,正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键.解决问题的步骤是:计算 满足条件的基本事件个数,及基本事件的总个数,然后代入古典概型计算公式进行求解. 19. (12 分) (2012 春?荣昌县校级期末)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路 段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 υ(千米/小时)之间的函数关系为: y= (υ>0) .

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 υ 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留 分数形式) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据基本不等式性质可知 y= = ≤ ,进而求

得 y 的最大值.根据等号成立的条件求得此时的平均速度. (2)在该时间段内车流量超过 10 千辆/小时时,解不等式即可求出 v 的范围. 解答: 解: (1)依题意,y= = ≤ ,

当且仅当 v= ∴ymax=

,即 v=40 时,上式等号成立,

(千辆/时) .

∴如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应大于 25km/h 且小于 64km/h.当 v=40km/h 时,车流量最大,最大车流量约为 (2)由条件得
2

千辆/时;

>10,

整理得 v ﹣89v+1600<0, 即(v﹣25) (v﹣64)<0.解得 25<v<64. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.要特别留意等号取得的条件.

20. (12 分) (2015 秋?重庆月考) 数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an= (n≥2) . (1)求证:数列{ }是等差数列; 对一切 n∈N 都成立,求 k 的最
×

(2)设存在正数 k,使(1+S1) (1+S2)..(1+Sn) 大值. 考点: 数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 证明题;转化思想;综合法. 分析: (1) 由数列的性质 an=Sn﹣Sn﹣1 及 an=

(n≥2) 得到关系 Sn﹣Sn﹣1=



对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可. (2)欲证明不等式一切 n∈N 都成立须证明
×

的单调性,

求出其最值由(1)知,此式中的各个因子符号为正,故研究其单调性可以借助作商法来研究, 故先构造函数,F(n)= 解答: 解: (1)证明:∵n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1(1 分) ∴Sn﹣Sn﹣1= ,∴(Sn﹣Sn﹣1) (2Sn﹣1)=2Sn ,
2

,然后再令[F(n)]min≥k 即可.

∴=Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1(3 分) ∴ 数列{ =2(n≥2) , (5 分) }是以 =1 为首项,以 2 为公差的等差数列. (6 分)

(2)由(1)知 ∴ ,∴ (7 分)



设 F(n)=



则 =

=
*

(10 分)

∴F(n)在 n∈N 上递增,要使 F(n)≥k 恒成立,只需[F(n)]min≥k ∵[F(n)]min=F(1)= ,∴0<k≤ ,kmax= . (12 分)

点评: 本小题考查等差数列通项与前 n 项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题.本 题技巧性强, (1)中的变形证明及(2)中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合 能力及较高的观察能力. 21. (12 分) (2015 秋?重庆月考)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上, 其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 ,求数列{bn}的前 n 项 Sn,并证明 .
2

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (1)通过将点(an,an+1)代入函数 f(x)=x +2x 方程,两边加 1、结合完全平方 公式可得 an+1+1= ,两边取对数即可; ﹣1,利用同底指数乘法的性质计算

(2)通过(1)及 a1=2 即 lg(1+a1)=lg3 可得 an= 即可;

(3)①通过对 an+1=an(an+2)取倒数、裂项,整理可得 =2( ﹣ ) ,并项相加即可;②通过 Tn=

=



,进而有

,计算易知

=

,比较即得结论.

解答: (1)证明:∵点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上, ∴an+1= ∴an+1+1= +2an, +2an+1= ,

2

∵a1=2,∴an+1>1, 两边取对数得 lg(1+an+1)=2lg(1+an) , 即 =2,

∴数列{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列; (2)解:∵a1=2,∴lg(1+a1)=lg3, ∴lg(1+an)=2 ∴1+an= ∴an=
n﹣1

?lg3=lg



, ﹣1;

∴Tn=(1+a1) (1+a2)…(1+an) = = ? ? ?…?

= = ; +2an=an(an+2) , = ( ﹣ ) ,

(3)①解:∵an+1= ∴ =

∴ ∴ = +(

=







) ) ,

=2(



∴Sn=b1+b2+…+bn =2( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )

=2( ∵an= ∴an+1=



) , ﹣1,a1=2, ﹣1, = , = ,

∴Sn=2(



)=2( ﹣

)=1﹣2?



∴数列{bn}的前 n 项 Sn=1﹣2?



②证明:∵Tn= ∴ =

, = = ,

又∵Sn=1﹣2?



∴Sn+2?

=1,





点评: 本题是一道关于数列的综合题,考查运算求解能力,熟练掌握利用取对数法把已知 转化为等比数列问题求解、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”法等是解题的关键,注 意解题方法的积累,属于中档题. 22. (2013 春?綦江县校级期末)已知数列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+..+an) (n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项 an; (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1= bn +bn,求证:bn<1(n≤k) .
2 *

考点: 数列递推式;数列与不等式的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)把 n=1,n=2,n=3,n=4 分别代入已知递推公式可求 (2)由已知 nan+1=2(a1+a2+…+an)=2Sn 可得(n﹣1)an=2Sn﹣1,两式相减可得 利用迭代可求 an ,

(3) )由(2)得:b1= ,bn+1= bn +bn>bn>bn﹣1>…>b1>0, 所以{bn}是单调递增数列,故要证:bn<1(n≤k)只需证 bk<1 即可 解答: 解: (1)a2=2,a3=3,a4=4 (2)nan+1=2(a1+a2+…+an)① (n﹣1)an=2(a1+a2+…+an﹣1)②, ①﹣②得:nan+1﹣(n﹣1)an=2an,即:nan+1=(n+1)an, =

2

所以 an=a1?

?



=1? ? …
2

=n(n≥2) ,所以 an=n(n∈N )

*

(3)由(2)得:b1= ,bn+1= bn +bn>bn>bn﹣1>…>b1>0, 所以{bn}是单调递增数列,故要证:bn<1(n≤k)只需证 bk<1 若 k=1,则 b1= <1,显然成立;若 k≥2,则 bn+1= bn +bn< bnbn+1+bn 所以 ﹣ >﹣ ,因此: =( ﹣ )+…+( ﹣ )+ >﹣ +2=
2

所以 bk<

<1,

所以 bn<1(n≤k) 点评: 本题主要考查了利用数列的递推关系实现“项”与“和”之间的转化,利用迭代的方法求 数列的通项公式,数列的单调性的运用.


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