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杨浦区2015年高三数学文科一模试卷


杨浦区 2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(文科)
2015.1.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分.21 世纪教育网版权所有 1.已知 sin?

?

1 , ? ? ? 0, ? ? ,则 ? =________________. 2

2.设 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R? , A ? B ,则 m 的取值范围是________. 3.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? ________________. 4.已知直线 l 经过点 A ?1, ?2 ? , B ? ?3, 2 ? ,则直线 l 的方程是___________________. 5. 函数 f ?x? ? x 2 ? 1?x ? 0? 的反函数 f
9

?

?

?1

?x ? ?



1? ? 6.二项式 ? x ? ? 的展开式中的第4项是_________________. x? ?
2 7.不等式 log 2 x ? 3 x ? 2 的解是____________________.

?

?

8.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ;条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 9.向量 a ? ? 2,3? , b ? ? ?1, 2? ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 m =_________. 10.一家 5 口春节回老家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票: 6 排 A 座 6 排 B 座 6 排 C 座 走廊 6排D座 窗口



?

?

? ?

?

?

6排E座

窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位,小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位,则座位的安排方式一共有 __________种。21 教育网 11.已知一个铁球的体积为 36? ,则该铁球的表面积为______________. 12.已知集合 A ? { z | z ? 1 ? i ? i 2 ? ? ? i n , n ? N *} ,则集合 A 的子集个数为_______. 13.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________. 14. 如 图 所 示 , 已 知 函 数

y ? log 2 4 x 图 像 上 的 两 点 A , B 和 函 数

y ? log2 x 上的点 C,线段 AC 平行于 y 轴, 三角形 ABC 为正
三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,

则实数

p 的值为

开始
i ? 1, s ? 0

_______________.21cnjy.com 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一 个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选 对得 5 分,否则一律得零分. 21·世纪*教育网 15.程序框图如图所示,若其输出结果是 140,则判断框中填写的 A. i ? 7 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 8

i ? i ?1

s ? s ? i2
是 否 输出 s 结束 第 15 题图 是( )

16.给出下列命题,其中正确的命题是( A.若 x ? C ,则方程 x3 ? 2 只有一个根 B.若 z1 ? C , z2 ? C 且 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立 D.若 z ? C ,且 z 2 ? 0 ,那么一定是纯虚数
2



17.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与 x 轴和抛物线的准线都相切的 一个圆的方程是( ) B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ?
1 ?0 4 1 ?0 4

A. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

D. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ?

18.数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:
* ? bn ? an ? ? 0 , ① ? an ?1 , bn ?1 ? ? ? an , bn ? n ? N ;② lim n ??

?

?

?

则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

?

?



?1? ? 2? A. an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ?3?
C . an ?

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ? 3?
D . an ?

n

n ?1

?1? , bn ? 1 ? ? ? n ?3?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1
A1

D1

C1

B1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题 号的规定区域内写出必要的步骤 . 21*cnjy*com 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题 分 . 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1, 异面直线 AD 与 BC1 大小为 60 ? ,求: (1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; (2)三棱椎 B1 ? ABC1 的体积。
A D C

纸相应编 满 分 6

所成角的

B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . ? 如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R, ?MON ? ,现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿 2 1· c· n· j· y 童乐园使用,其中点 A、B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN2· (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S; (2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?
O D C

M A B

N

21.(本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分. 已知函数 f ? x ? ? 求实数 c 的值; 若 a, b ? N * ,且 f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式; (3) 对于(2)中的 f ? x ? ,若 f ? x ? ? m 有正数解,求实数 m 的取值范围。

ax 2 ? 1 是奇函数( a, b, c 为常数) bx ? c

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题 3 分,第二小题 6 分,第三小题 7 分

如图,曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 和曲线 ? ? 1 a ? b ? 0, y ? 0 C : ? ? 1? y ? 0 ? 组成,其中点 F1 , F2 为 ? ? 2 a 2 b2 a 2 b2

曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点;【来源:21cnj*y.co*m】 (1)若 F2 ? 2,0? , F3 ? ?6,0? ,求曲线 ? 的方程; B, (2) 对于 (1) 中的曲线 ? , 若过点 F4 作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线, 交曲线 C1 于点 A、 求三角形 ABF1 的面积;【出处:21 教育名师】 (3)如图,若直线 l (不一定过 F4 )平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上。【版权所有:21 教育】
y

F3

F1 O

F2 B A

F4

x

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
3 2 数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? Sn

若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; 求证: an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列; 请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014

文科评分参考 填空题

1.

?
6



5? 6

2. ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

3. 10 ? n n ? N 4. x ? y ? 1 ? 0

?

*

?

5. ? x ?1 ? x ? ?1? 6. ?84 x3 7.

? ??, ?1? ?? 4, ???
1 2

8. a ? 1 9. ?

10.24 11. 36? 12.16 13.

2? 3

14. 3 二、选择题 15.B 16.D 17.D 18.C 三、解答题 19.(本题 12 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分) 解:(1)? AD / / BC ,

? ?CBC1 为异面直线 AD 与 BC1 所成角,? ?CBC1 ? 60?

…………2 分

? 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,? A1B1 / /面ABCD,BB1 ? 面ABCD

?线段BB1 的长为线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离,

…………4 分

? RT ?BCC1 中, BC ? 1 , ?CBC1 ? 60? ,? BB1 ? CC1 ? 3
线段 A 1 B 1 到底面 ABCD 的距离为 3 (2) VB1 ? ABC1 ? VA?BB1C1 …………6 分 …………8 分

1 ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 3 ? 3 ?2 ?
? 3 6

…………10 分

…………12 分

20.(本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)解:如图,作 OH ? AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,

??AOB ?

?
6



…………2 分
D

O

C E

? AB ? 24sin

?
12

, OH ? 12 cos

?
12


M N

1 ? OE ? DE ? AB ? 12sin 2 12

H A B

? ? ? ? ? EH ? OH ? OE ? 12 ? cos ? sin ? 12 12 ? ?
S ? AB ? EH ? 24sin

…………4 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ? cos ? sin ? ? 144 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 12 12 12 ? 12 12 12 ? ? ?

?

? ? ?1 4 4 ? s i n? 6 ?
? ?

? ? c o? s ?? 1 6 ?
??
? 2?

?

7? 2

?3

1

…………6 分

(2)设 ?AOB ? ? ? 0 ? ? ?

…………7 分

则? AB ? 24sin

?
2

, OH ? 12 cos

?
2

, OE ?

1 ? AB ? 12sin 2 2
…………9 分

? ? ? EH ? OH ? OE ? 1 2? c o s ? 2 ?

?? si? n 2?

? ? ? S ? A B? E H? 24 sin ? ? 1 2 c o s? 2 2 ?

??

s ?i n? 2?

? ? ? 2 ? 144 2 sin ?cos 2 2 ?

??

? 2 sin 2 ?

? ?? ? ? ? 144 ? sin ? ? cos ? ? 1? ? 144 ? 2 sin ?? ? ? ? 1? 4? ? ? ?

…………11 分

? ? ? 3? ? ? ?? ?? ? ? 0, ? ,?? ? ? ? , ? 4 ?4 4 ? ? 2?
?? ?

…………12 分

?
4

?

?
2

即? ?

? 时, 4

…………13 分

Sm a x? 1 4 4

?

2 ? 1 ,此时 A 在弧 MN 的四等分点处

?

答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时, Smax ? 144

?

2 ?1

?

…………14 分

21.(本题 14 分,第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) (1)? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,?
?? b x ?c ? ? b x ?c

ax2 ?1 ax2 ?1 ?? ?bx ? c bx ? c

…………1 分 …………2 分 www.21-cn-jy.com …………3 分 www-2-1-cnjy-com

?c ? 0

? a ?1 ?2 ? ? b (2)? f ?1? ? 2, f ? 2? ? ?3 , ? ? ? 4a ? 1 ? 3 ? ? 2b
?a ? 1 ? 2b 4a ? 1 ? ? ? 4a ? 1 ? ? 3 ? ?1 ? a ? 2 a ?1 ?3 ? ? 2b

…………4 分

…………5 分

? a ? N* ? a ? 1

…………6 分 2-1-c-n-j-y …………7 分 21 教育名师原创作品

?b ? 1

? f ? x? ?

x2 ? 1 x

…………8 分 21*cnjy*com

(3)? f ? x ? ? m 有正数解, ? x ?

1 ? m ? x ? 0 ? 有解 x

…………10 分

? x ? 0时,x ?
?m ? 2

1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立 x

…………12 分 …………14 分

22.(本题 16 分,第一小题 3 分,第二小题 6 分,第三小题 7 分)
2 2 2 ? ?a ? b ? 36 ? ?a ? 20 ? 解:(1) ? 2 ? 2 2 ? ? ?a ? b ? 4 ?b ? 16

…………2 分

则曲线 ? 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 和 ? ? 1? y ? 0 ? 。 20 16 20 16 2 x 5

…………3 分

(2) F4 ? 6,0? ,曲线 C2 的渐近线 y ? ?

…………4 分

设l : y ?

5 ? x ? 6? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 2

…………5 分

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 20 16 ? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ? x1 ? 2, x2 ? 4 ? ?y ? 5 x ?6 ? ? ? 2 ?
? y1 ? y2 ? 2 4 x1 ? x2 ? 5 5
1 16 5 ? 2 ? 6? ? y1 ? y2 ? 2 5

…………7 分

…………8 分

S?ABF1 ? S?AF1F4 ? S?BF1F4 ?

…………9 分

(3)曲线 C2 的渐近线为 y ? ?

b x a

…………10 分【来源:21·世纪·教育·网】

如图,设直线 l : y ?

b ? x ? m? a

…………11 分

b ? y ? ? x ? m? ? ? a ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 则? 2 2 x y ? ? ?1 ? ? a 2 b2

…………12 分

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a
2

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ? 2a 设点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? ,

…………13 分

? x1 ? x2 ? m ? 则? m2 ? a 2 , ? x1 ? x2 ? 2 ?

…………14 分

? x0 ?

x1 ? x2 m b b m ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? 2 2 a a 2

…………15 分

b b ? y0 ? ? x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x 上。 a a
23.(本题 18 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分,第三小题 6 分)
2 3 2 (1) n ? 1 时, T1 ? S1 ? a1 ? a1 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

…………16 分

……1 分
2

2 3 3 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? a13 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? 2

? a2 ? 2或a2 ? ?1? a2 ? 0舍去?

…………3 分

3 3 n ? 3 时, T3 ? S32 ? a13 +a2 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? 3 当 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ? 2

2

? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?
3 当 a2 ? ?1 时, 1-1+a3 ? 1-1+a3

…………4 分

?

?

2

? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? …………5 分
…………6 分
2

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1
3 3 3 3 (2)? an ? n ,即证 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ,

用数学归纳法证: 1. n ? 1 时, 13 ? 12 成立
2

…………7 分

2.假设 n ? k , 13 ? 23 ? 33 ? ? ? k 3 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? 成立 …………8 分 则 n ? k ? 1 时, 13 ? 23 ? 33 ? ? ? k 3 ? k ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k
? 1? k ? k ? ? 1? k ? ? k ?1 3 ? ? ?? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

?

? ?
3

? ? ? k ? 1?
2

3

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 k 2 ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? ?? ?1? 2 ? 3 ?? ? k ? ? k ? 1?? ? ?

2

等式也成立 综合 12,对于 n ? N * ,都有 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n
? an ? n n ? N

cn· jy· com …………10 分 21·

?

?

2

…………11 分 …………12 分

?

*

? 是满足已知条件的一个数列。
3 ? n ② 1

2 3 3 3 (3)? Sn ? a1 ? a2 ? ?an ① 2 3 3 3 Sn ??? a ?1 ? a1 ? a2 n?

a

2 3 ②-①得 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

2 2 ? an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

…………14 分

n ? 2 时 2S

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 ③-④得 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

…………15 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2 ?
构造: …………16 分

ⅰ) an

? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ?
* *

…………18 分

? n ? ? ? ⅱ) an ? ?n ? 4029 ? ? n ? 4028 ? ?
? n ? ? ? ⅲ) an ? ??2014 ? ? n?2 ? ?

? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? n ? 4029, n ? N ?
* *
*

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2014, n ? N ? ? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

? n ? ? ? -2014 ? ? ⅳ) an ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

(答案不唯一,写出一个即可)


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