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第六讲 直线与圆的位置关系


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2.已知圆 C:x +y -4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能
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)

第六讲
一【新课讲解】

直线与圆的位置关系

知识点一:直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r)
相离 相切 相交

3.直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 4.圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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图形

知识点二:直线与圆相切
量 化 代数观点 几何观点 Δ <0 Δ =0 Δ >0 例 3.(1)求过点 M(6,3)向圆 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3)2 ? 61 所引切线方程; (2)求过点 M(2,4)向圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 所引切线方程;
2 2

d>r

d=r

d<r

【即时练习】 例 1.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共点,求实数 a 的取值范围.

(3)过点 M(2,4)向圆引两条切线,切点为 P、Q,求 P、Q 所在直线方程(简称切点弦) .

例 2.若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 的距离等于 1, 则半径 r 的取 值范围是( A. (4,6) ) B. [4,6) C. (4,6] D.[4,6] 例 4.(1)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°, 求点 P 的坐标; (2)已知 P 是直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,A,B ☆基础练习☆ 2 2 1.圆(x-1) +(y+2) =6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离 ) 是切点,C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值.
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☆基础练习☆ 5.(1)过点 ? 2 , 2 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程为 (2)过点 ?0,2? 向圆 x ? y ? 4 所引的切线方程为
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8.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x +y =2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是

?

?

; ; ; ; ;

(

) A.(-2 2,2 2) C.?-
2

B.(- 2, 2)

(3)过点 ?? 2,0? 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程为 (4)过点 ?3,3? 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程为

? ?

2 2? , ? 4 4?
2

? 1 1? D.?- , ? ? 8 8?

9.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 .

6.(1)自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为
2 2

10.在圆 x2 ? y 2 ? 5x 内过点 P( , ) 有 n 条弦,其长度成等差数列,过 P 点的最小弦长为数列的 首项 a1 ,最大弦长为数列的末项 an ,若公差 d ?[ , ] ,则 n 可能的取值为

5 3 2 2

(2)在直线 2x+y+3=0 上求一点 P,使由 P 向圆 x +y -4x=0 引得的切线长长度为最小.

1 1 6 3



知识点四:直线与圆位置关系的综合运用
例 6.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ,求

知识点三:直线与圆相交
例 5.(1)直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,求 k 的 取值范围。 (2)已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0,a1,a2,…,a11 是该圆过点(3,5)的 11 条弦的长,若 数列 a1,a2,…,a11 成等差数列,求该等差数列公差的最大值。 (3)
2 2 2 2

(1) x ? y 的最大值,最小值;
2 2

(2)

y 的最大值,最小值; x

2x ? y

的最大值,最小值;

(4)点?x, y ?到直线3x ? 4 y ? 17 ? 0的距离的最大值、最小 值.

☆基础练习☆ 7.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1
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例 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2),且斜率 为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说 明理由.

二【课后巩固习题】
1.对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的 位置关系是_________ 2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的 长等于( A.3 3 ) B.2 3
2 2 2 2

C. 3

D.1 )

3.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x +y -6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为( A. 7
2 2

B.2 2

C.3

D. 2

4.过圆 x +y =1 上一点作圆的切线与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 ( A. 2 ) B. 3 C.2 D.3
2 2

5.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y -2y=0 的两条 ☆基础练习☆ 11.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 . 切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A. 2 B. 21 2 C.2 2
2 2

)

D.2

? 2? 12.已知以点 C?t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O ?
t?
为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

6.设直线 x-my-1=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,则实 数 m 的值是________. 7.圆 x 2 ? y 2 ? 4 上与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为
2 2 2



8.若圆 x +y =r (r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值范围为

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9.已知 C: (x-1) +(y-2) =25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). 求证:不论 m 取什么实数时,直线 l 与圆恒交于两点; 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及这时直线 l 的方程.
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? x ? 0, y ? 0 10.已知平面区域 ? 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 2 x ? y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

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