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3东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 003

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)A
一、知识梳理: (阅读教材选修 2-1 第 14 页—第 27 页) 1、 简单的逻辑联结词: 常用的简单的逻辑联结词有 ,用符号 来表法; 其含义是: “且”是若干个简单命题都成立; “或”是若干个简单命题中至少有一个成 立; “非”是对一个简单命题的否定。 (只否定结论) 2、 由“或” , “且” , “非”联结的命题及真假 “p 且 q”即 ,含义是 p,q 两个命题 成立; “p 或 q”即 ,含义是 p,q 两个命题 成立; “非 p”即 ,含义是对 p 命题的 。 由“或” , “且” , “非”联结的命题的真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p?q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 假 假 真 真
p

3、 量词 (1) 、短语“对所有的”或“对任意一个” ,在陈述句中表示所述事物的全体,逻辑 中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示,含有全称量词的命题叫做全称命题 。 .... (2) 、短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分,逻辑 学中通常叫做存在量词, 并用符号 “?” 来表示, 含有存在量词的命题叫做特称命题 , .... 或叫存在性命题。 (3) 、全称命题 p:?x∈ M,p(x):它的否定 p : ?x0 ∈ M, p(X 0 ); 特称命题 q:? x0 ∈ M,q( x0 ):它的否定 q :?x∈ M, q (X) 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题。 二、题型探究 探究一:由“或” , “且” , “非”联结的命题及真假 例 1:分别写出下列各组命题的构成的“p 或 q” “p 且 q” “非 p”形式的命题,并判 断它们的真假 (1)p:1 不是质数 q:1 不是合数 p:四个角相等的四边形是正方形

(2)p:四条边都相等的四边形是正方形

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探究二:由“或” , “且” , “非”联结的命题的真假为背景,求解参数 例 2:已知命题 p:关于方程x 2 ? ax + 4 = 0 有实根;命题 q:函数 y=2x 2 + ax + 4在 [3,+∞)是上增函数,若“p 或 q”是真命题, “p 且 q”是假命题,求实数 a 的取值 范围。 探究三:含有量词的命题的否定 例 3:写出下列命题有否定关判断真假 (1) 、 (河南省卢氏二高·09-10 学年高二上期末) 全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定是 ( C ) A.所有被 5 整除的整数都不是奇数; B.所有奇数都不能被 5 整除 C. 存在一个被 5 整除的整数不是奇数; D.存在一个奇数,不能被 5 整除 (2) 、 (福建省厦门理工学院附中·09~10 学年高二 12 月月考(文) ) 命题“? x0 ∈R, sinx0 ≤ ”的否定是 (A) ?x∈ R, sinx >
2 1 1 2

A. ?x∈ R, sinx > 2 C.? x0 ∈R, sinx0 > 三、方法提升
1 2

1

B.?x∈ R, sinx ≤ 2 D.不存在x ∈ R, sinx >
1 2

1

1、 复合命题是简单命题与逻辑联结词构成, 简单命题的真假决定了复合命题的真假, 复合命题的真假用真值表来判断,对于“p 或 q”都假或为假,对于 p 且 q 都真且 为真, 2、 “非”命题最常见的几个正面词语的否定:
正面 否定

?

?

是 不是

都是 不都是

至多有一个 至少有两个

至少有一个 一个也没有

任意的 某个

所有的 某些

?

?

3、全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 四、反思感悟

2

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五、课时作业:简单的逻辑联结词?全称量词与存在量词 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括 号内.) 1.关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的是( )

A.全称命题,对于取值集合中的每一个元素,命题都成立或都不成立 B.特称命题,对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立 C.全称命题的否定一定是特称命题 D.特称命题的否定一定不是全称命题 答案:D 2.命题 p:x=π 是 y=|sinx|的一条对称轴,q:2π 是 y=|sinx|的最小正周期,下列命 题:①p 或 q,②p 且 q,③非 p,④非 q,其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

解析:依题意知 p 真 q 假,所以①?④为真命题,有 2 个.故选 C. 答案:C 3.(2009·山东淄博高三质检)下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( ①所有的素数都是奇数; ②?x∈R,(x-1) +1≥1;
2

)

③有的无理数的平方还是无理数. A.0 B.1 C.2 D.3

解析:命题②是全称命题又是真命题;命题③是特称 命题又是真命题;命题①是 假命题.故选 B. 4.(2011·新课标全国)已知命题 p1:函数 y=2 -2 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2 +2 在 R 上为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(?p1)∨p2 和 q4:p1∧(?p2)中,真命题是 ( )
x -x x -x

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东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 003

A.q1,q3

B.q2,q3

C.q1,q4

D.q2,q4

解析:p1 是真命题,则?p1 为假命题;p2 是假命题,则?p2 为真命题; ∴q1:p1∨p2 是真命题,q2:p1∧p2 是假命题, ∴q3:(?p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(?p2)为真命题. ∴真命题是 q1,q4,故选 C. 5.(2011·辽宁)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要 条件是( A.?x∈R,?ax -bx≥?ax 0-bx0 B.?x∈R,
2 2

)

?ax -bx≤?ax
2 2

2 0

-bx0
2 0

C.?x∈R,

?ax -bx≥?ax
2 2

2

0

-bx0 D.?x∈R,

?ax -bx≤?ax

-bx0
0 0

解析:设函数 f(x)=

?ax -bx,∴f′(x)=ax-b,由已知可得 f′(x )=ax -b=0,又因

为 a>0,所以可知 x0 是函数 f(x)的极小值点,也是最小值点.由最小值定义可知选项 C 正确. 6.已知 p: 范围是(

2x <1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p 是?q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值 x ?1
) B.[1,3] C.[1,+∞) D.[3,+ ∞)

A.(-∞,1) 解析:

2x x ?1 -1<0? <0?(x-1)(x+1)<0?p:-1<x<1;当 a≥3 时,q:x<3 或 x>a, x ?1 x ?1

当 a<3 时,q:x<a 或 x>3.?p 是?q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q 且 q?p,可推出 a 的取值范围是 a≥1.答案:C 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2011·安徽)命题“存在 x∈R,使得 x +2x+5=0”的否定是________. 答案:对任何 x∈R,都有 x +2x+5≠0 8.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是 ? x | x ? ? ? ,命题 q:关于 x 的不等式
2 2

? ?

b? a?

4

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 003

(x-a)(x-b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p 且 q”、“p 或 q”?“非 p”、“非 q”中,是真命题的有________. 解析:依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p 且 q”为假?“p 或 q”为假? “非 p”为真?“非 q”为真. 答案:非 p、非 q 9.已知命题 p:?x∈R,ax +2x+3>0,如果命题?p 是真命题,那么实数 a 的取值范围是
2

________ . 解析:因为命题?p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,就是 不等式 ax +2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立,这时应有 ?
2

?a ? 0 , ?? ? 4 ? 12a ? 0

解得 a>?,因此当命题 p 是假命题,即命题?p 是真命题时实数 a 的取值范围是 a≤?.答案:a≤? 10.设有 2012 个命题 p1,p2,?,p2012 满足:若命题 pi 是真命题,则命题 pi+4 是真命题.已 知 p1∧p2 是真命题,(p1∨p2)∧(p3∨?p4)是假命题,则 p2012 是________(填真或假)命题. 解析:“若命题 pi 是真命题,则命题 pi+4 是真命题”实质是告诉我们一个命题真假 的周期性,即在 p1,p2,?,p2012 中命题的真假每 4 个命题一循环,p2012 的真假性应与 p4 的 相同,所以我们只需判定 p4 的真假性即可. 因为 p1∧p2 是真命题,所以 p1,p2,都是真命题,所以 p1∨p2 是真命题. 又因为(p1∨p2)∧(p3∨?p4)是假命题,所以 p3∨?p4 是假命题, 所以 p3 和?p4 都是假命题,所以 p4 是真命题. 所以 p2012 是真命题. 评析:本题是一个以年份为数据的“与时俱进型”的创新题,近年,这类题比较 “火爆”,请同学们予以重视.本题将函数的周期性迁移到命题的真假问题中,又是一 个创新点.由一个复合命题的真假判定其中简单命题的真假,是对命题真假的逆向考

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查,须仔细分析,谨慎从事. 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知命题 p:?x∈[1,2],x -a≥0,命题 q:“?x0∈R,x 0+2ax0+2-a=0”,若命题“p
2 2

且 q 是真命题,求实数 a 的取值范围.” 解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. 若 q 为真命题,即 x +2ax+2-a=0 有实根,Δ =4a -4(2-a)≥0, 即 a≥1 或 a≤-2, 综上所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 评析:先根 据 p 真?q 真求出参数 a 的取值范围,再取其交集即为所求. 12.已知命题 p:对 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m2 ? 8 恒成立; 命题 q:不等式
2 2 2 2

x +ax+2<0 有解.若 p 是真命题,q 是假命题,求 a 的取值范围 . 解:∵m∈[-1,1],∴ m2 ? 8 ∈[2 2 ,3]. ∵对 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ m2 ? 8 恒成立,可得 a -5a-3≥3,
2 2

2

∴a≥6 或 a≤-1.故命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 又命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解, ∴Δ =a -8>0,∴a>2 2 或 a<-2 2 . 从而命题 q 为假命题时,-2 2 ≤a≤2 2 , ∴命题 p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范 围为-2 2 ≤a≤-1. 13.设命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0, +∞)上单调递增;q:关于 x 的方程
2 2

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x +2x+loga?=0 的解集只有一个子集.若 p∨q 为真,?p∨?q 也为真,求实数 a 的取值范
2

围. 解:当命题 p 是真命题时,应有 a>1;当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x +2x+loga?=0 无解,所以 Δ =4-4loga? <0,解得 1<a<?.
2

由于 p∨q 为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,又?p∨?q 也为真,所以?p 和?q 中 至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一假. p 假 q 真时,a 无解;p 真 q 假时,a≥?. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a≥?

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