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高一数学函数的单调性试卷(有详细答案)


高一数学函数的单调性试卷 一.选择题 1.函数 A. (﹣∞,﹣1] 的单调递减区间为( B. (﹣∞,1] ) D. (3,+∞)

C. [1,+∞)

考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题。 分析: 要求函数

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的单调递减区间,只要求解函数 t=x ﹣2x﹣3 在定

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义域[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1]上的单调递减区间即可 解答: 解:由题意可得函数的定义域为[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1] 结合二次函数 t=x ﹣2x﹣3 的性质可知,函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]单调递减,在[3, +∞)单调递增 故选:A 点评: 本题主要考查了复合函数的单调区间的求解,解题中要注意函数定义域的考查,本 题解答中容易漏掉考虑定义域而错选为 B 2.函数 A. 的单调递减区间为( D ) B. C. D.
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考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题。

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分析: 本题先要求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性概念,求出内函数的单调 区间,复合函数求单调区间时要对内外函数的增减关系加以注意,即“同增异减”,本 题先求出定义域为 ,而内函数 u=﹣3x +2x+1=﹣3(x﹣ ) + ,从而得
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内函数单调减区间为[ ,+∞) . 解答: 解:由已知:﹣3x2+2x+1≥0, 所以 3x ﹣2x﹣1≤0,得: 所以函数的定义域为 设 u=﹣3x +2x+1=﹣3(x﹣ ) + ,则 因为 是增函数, 所以由 u=﹣3x +2x+1=﹣3 (x﹣ )+ 的单调减区间为[ , +∞) ,所以函数的单调减区间为
2 2 2 2 2

又因为函数的定义域为 故应选:D

点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,二次不等式解集的求法,复合函数单调性的判

断,单调区间的求法.. 3.函数 y=|x﹣3|的单调递减区间为( C ) A. (﹣∞,+∞) B. [3,+∞) C. (﹣∞,3] D. [0,+∞)

考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 数形结合。

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分析: 由图象来求函数的单调区间, 图象上升为增区间, 图象下降为减区间. 要画函数 y=|x ﹣3|的图象, 先画函数 y=x 的图象, 把 y=x 的图象在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方, 就得到函数 y=|x|的图象,再把 y=|x|的图象向右平移 3 个单位长度,就得到函数 y=|x ﹣3|. 解答: 解:函数 y=|x﹣3|的如右图, 从图象可判断单调减区间为(﹣∞,3], 故选 C

点评: 本题考查了函数单调区间的求法,其中运用图象来求,是比较直观的方法,应当掌 握函数图象的做法.

4.函数 A. (﹣∞,﹣1)

的单调增区间是( B. (﹣1,+∞)

) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ (﹣ D. (﹣∞, ﹣1) 和 (﹣ 1,+∞) 1,+∞)

考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题;数形结合。

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分析: 用分离常数法将函数转化为反比例型函数,再作图求解. 解答: 解: 作出图象可得其增区间是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+ω) 故选 D

点评: 本题主要考查把分式函数转化为反比例型函数,利用其图象解题.

5.函数 A.

的递增区间为( D ) B. C. D.

考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题。

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分析: 先求出函数的定义域,然后令 t=﹣x2+3x﹣2,将函数转化为 y= 的同增异减性可求出其递增区间. 解答: 解:∵﹣x2+3x﹣2≥0∴1≤x≤2 令 t=﹣x +3x﹣2,则 y=
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,再根据复合函数

单调递增

∵t=﹣x +3x﹣2 的单调增区间是(﹣∞, ) 根据复合函数 的同增异减性可确定原函数的单调增区间为: (1, ) 故选 D. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性、函数的定义域问题.考查对基础知识的理解和运 用. 6.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( C ) A. f(x)=3﹣x B. f(x)=x2﹣3x C. f(x)=﹣ D. f(x)=﹣|x|

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 计算题。

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分析: 由题意知 A 和 D 在(0,+∞)上为减函数;D 在(0,+∞)上先减后增;c 在(0, +∞)上为增函数. 解答: 解:∵f(x)=3﹣x 在(0,+∞)上为减函数,∴A 不正确; ∵f(x)=x ﹣3x 是开口向上对称轴为 x= 的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后 增,∴B 不正确; ∵f(x)=﹣ 在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大,所它为增函数,∴C 正确;
2

∵f(x)=﹣|x|在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小,所以它为减函数,∴D 不正确. 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性,解题时要认真审题,仔细解答. 7.下列结论正确的是( D ) A. 函数 y=kx(k 为常数,k<0)在 R 上是增函数 B. 函数 y=x2 在 R 上是增函数 C. 在定义域内为减函数

D.

在(﹣∞,0)为减函数

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 证明题。

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分析: 本题中四个选项中的函数分别为一次函数、二次函数、反比例函数,利用相关函数 的性质逐一判断其单调性,以判断正确选项即可. 解答: 解:对于选项 A,y=kx(k 为常数,k<0)在 R 上是减函数,故 A 不对 2 对于选项 B,函数 y=x 在 R 上是先减后增的函数,故 B 不对 对于选项 C, 是一个反比例函数,在区间(﹣∞,0)为减函数,在(0,+∞)

为减函数,在 R 上没有单调性,故 C 不对 对于选项 D, 故选 D 点评: 本题考点是函数单调性的判断与证明,分别考查了一次函数、二次函数、反比例函 数的单调性,对于基础函数的单调性应好好掌握其图象形状及图象所表现出来的函 数的性质. 8.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A. y=﹣x+1 B. y=
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在(﹣∞,0)为减函数是正确的

) D. y=

C. y=x ﹣4x+5

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 常规题型。

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分析: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答时, 可以结合选项逐一进行排查,排查时充分考虑所给函数的特性:一次函数性、幂函 数性、二次函数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知: 对 A:y=﹣x+1,为一次函数,易知在区间(0,2)上为减函数; 对 B:y= ,为幂函数,易知在区间(0,2)上为增函数; 2 对 C:y=x ﹣4x+5,为二次函数,开口向上,对称轴为 x=2,所以在区间(0,2)上 为减函数; 对 D:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以 函数在(0,2)上为减函数; 综上可知:y= 在区间(0,2)上为增函数; 故选 B. 点评: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答的 过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力.值得同学 们体会反思. 9.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( )

A.

B. y=x

C. y=x2

D. y=1﹣x

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 计算题。

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分析: 利用函数的导数逐个判断可以得到答案. 解答: 解: 的导数 >0,在区间(0,+∞)上是增函数,故 A 不正确;

y=x 的 导数 y′=1>0,在区间(0,+∞)上是增函数,故 B 不正确; 2 2 y=x 导数 y′=2x,当 x>0 时,y′>0,故 y=x 在区间(0,+∞)上是增函数,故 C 不正确; y=1﹣x 导数 y′=﹣1<0,y=1﹣x 在区间(0,+∞)上是减函数; 故选 D. 点评: 本题考查基本初等函数的单调性,重点考查函数的图象与性质,解决的方法是导数 法,也可以用函数的图象判断. 10.已知函数 f(x)=ax +(a ﹣a)x+1 在(﹣∞,﹣1]上递增,则 a 的取值范围是( D ) A. a B. C. D. 考点: 函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: 函数 f(x)=ax2+(a3﹣a)x+1 在(﹣∞,﹣1]上递增,由二次函数的图象知此函数 一定开口向下,且对称轴在区间的右侧,由此问题解决方法自明. 解答: 解:由题意,本题可以转化为 解得
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当 a=0 时,函数 f(x)=1 不符合题意 综上知,a 的取值范围是 故选 D 点评: 本题考点是函数单调性的性质,考查二次函数的性质与图象,本题由二次函数的图 象转化为关于参数的不等式即可,由于二次项的系数带着字母,所以一般要对二次 系数为 0 进行讨论,以确定一次函数时是否满足题意,此项漏掉讨论是此类题失分 的一个重点,做题时要注意问题解析的完整性,考虑到每一种情况. 11.函数 f(x)=﹣x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4)上是增函数,则 a 的范围是(A A. a≥5 B. a≥3 C. a≤3 D. a≤﹣5 考点: 函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: 先将函数 f(x)=﹣x2+2(a﹣1)x+2 转化为:y=﹣(x﹣a+1)2﹣2a+3+a2 明确其对 称轴,再由函数在(﹣∞,4)上单调递增,则对称轴在区间的右侧求解. 解答: 解:函数 f(x)=﹣x2+2(a﹣1)x+2 ∴其对称轴为:x=a﹣1
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又∵函数在(﹣∞,4)上单调递增 ∴a﹣1≥4 即 a≥5 故选 A 点评: 本题主要考查二次函数的性质,涉及了二次函数的对称性和单调性,在研究二次函 数单调性时,一定要明确开口方向和对称轴.

12.已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是



) B. ﹣3≤a≤﹣2 C. a≤﹣2 D. a<0

A. ﹣3≤a<0

考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质。 专题: 计算题。 分析:

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由函数 f(x)上 R 上的增函数可得函数,设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5,h(x)= ,则可 知函数 g(x)在 x≤1 时单调递增,函数 h(x)在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h (1) ,从而可求

2

解答: 解:∵函数 是 R 上的增函数

设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5(x≤1) ,h(x)= (x>1) 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h (x)= 在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1)
2

2





解可得,﹣3≤a≤﹣2 故选 B 点评: 本题主要考查了二次函数的单调性的应用,反比例函数的单调性的应用,主要分段 函数的单调性应用 中,不要漏掉 g(1)≤h(1) 13. 函数 f (x) =x + (3a+1) x+2a 在 (﹣∞, 4) 上为减函数, 则实数 a 的取值范围是 ( A. a≤﹣3 B. a≤3 C. a≤5 D. a=﹣3
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考点: 函数单调性的性质。 专题: 计算题。

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分析: 由已知中函数 f(x)=x2+(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数,判断出函数图 象的形状,进而根据函数在(﹣∞,4)上为减函数,结合二次函数的性质,可以构 造一个关于 a 的不等式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=x2+(3a+1)x+2a 的图象是开口方向朝上 以直线 x= 为对称轴的抛物线

由二次函数的性质可得 2 若函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在 (﹣∞,4)上为减函数, 则 4≤ 解得:a≤﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,其中熟练掌握二次函数的图象与性质是解 答本题的关键. 14.设 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,且 a+b≤0,则下列各式成立的是( C ) A. f(a)+f(b)≤0 B. f(a)+f(b)≥0 C. f (a) +f (b) ≤f (﹣ D. f (a) +f (b) ≥f (﹣ a)+f(﹣b) a)+f(﹣b) 考点: 函数单调性的性质。 专题: 转化思想。 分析: 观察四个选项,根据题设条件 a+b≤0 得到 a≤﹣b,b≤﹣a,再由 f(x)在(﹣∞,+∞) 上是减函数得到相应的大小关系,比对四个选项得出正确选项 解答: 解:由题意 a+b≤0 得到 a≤﹣b,b≤﹣a, ∵f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数 ∴f(a)≤f(﹣b) ,f(b)≤f(﹣a) ∴f(a)+f(b)≤f(﹣a)+f(﹣b) 比较四个选项发现,就选 C 故选 C 点评: 本题考查函数的单调性的性质,求解的关键是根据题设中的条件得出不等式,其中 对 a+b≤0 的变形很重要,本题考查变形的能力及性质的运用能力. 二.填空题 15.函数 y=﹣(x﹣3)|x|的递增区间是 [0, ] .

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考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 数形结合法。

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分析: 去掉绝对值,转化为分段函数,再作出其图形,由数形结合求解.

解答: 解:y=﹣(x﹣3)|x|=

作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0, ]. 故答案为:[0, ]

点评: 本题主要考查绝对值函数与分段函数的转化及数形结合的应用. 16.函数 y=x|x﹣2|的单调递增区间是 (﹣∞,1) , (2,+∞) . 考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 计算题。 分析: 先分类讨论去掉绝对值,再结合二次函数的图象求出函数 y=x|x﹣2|的单调递增区间 即可. 解答: 解:y=x|x﹣2|= 再结合二次函数图象可知 函数 y=x|x﹣2|的单调递增区间是(﹣∞,1) , (2,+∞) . 故答案为(﹣∞,1) , (2,+∞) . 点评: 本题主要考查了函数的单调性及单调区间,单调性是函数的重要性质,属于基础题. 17.函数 f(x)在[﹣3,3]上是减函数,且 f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0,则 m 的取值范围 是 (0,2] . 考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 计算题。 分析: 先将题中条件:“f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0”移项得:f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,再 结合 f(x)是定义在[﹣3,3]上的减函数,脱去符号:“f”,转化为关于 m 的一元不 等式组,最后解得实数 m 的取值范围,必须注意原函数的定义域范围. 解答: 解:∵f(x)在[﹣3,3]上是减函数 ∴由 f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0,得 f(m﹣1)>f(2m﹣1) ∵函数 f(x)在[﹣3,3]上是减函数,

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解得 0<m≤2, ∴m 的取值范围是(0,2]. 点评: 本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的单调性的反向应用,考查学 生的转化能力,属于基础题. 18.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5],若 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.则 实数 a 的取值范围 (﹣∞,﹣5]∪[5,+∞) . 考点: 函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: 先求出二次函数 f(x)=x +2ax+2 的单调区间;而 y=f(x)在区间[﹣5,5]上也单调, 说明[﹣5,5]是(﹣∞,﹣a] 或[﹣a,+∞)上的一部分,则列不等式解之即可. 解答: 解:函数 f(x)=x2+2ax+2 的对称轴为 x=﹣a, 所以(﹣∞,﹣a]是 f(x)的递减区间,[﹣a,+∞)是 f(x)的递增区间. 又因为 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数, 所以﹣a≥5 或﹣a≤﹣5,即 a≤﹣5 或 a≥5. 故答案为: (﹣∞,﹣5]∪[5,+∞) . 点评: 本题考查二次函数的单调性,要注意对称轴两侧的单调性相反. 19.已知函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的单调递增函数,且 f(2m+1)<f(m﹣3) .则 m 的取值范围是 m<﹣4 . 考点: 函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: 因为函数在(﹣∞,+∞)上的单调递增函数,根据增函数的定义可得:对于两个自 变量 x1、x2,f(x1)<f(x2)等价于 x1<x2.因此由 f(2m+1)<f(m﹣3)可解 出 2m+1<m﹣3,最终得到 m<﹣4. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的单调递增函数 ∴对于两个自变量 x1、x2,f(x1)<f(x2)等价于 x1<x2 又∵f(2m+1)<f(m﹣ 3) ∴2m+1<m﹣3?m<﹣4 故答案为:m<﹣4 点评: 本题以一个抽象函数为载体,考查了函数单调性、不等式的解法等知识点,属于基 础题.对函数单调性定义的充分理解,是解决本题的关键所在. 三;解答题 20.已知函数 f(x)=a﹣ .
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(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 证明题。

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分析: (1)用函数单调性定义证明,先在给定的区间任取两变量,界定其大小,然后作差 变形看符号. (2)将 f(x)<2x 为 a< +2x 在(1,+∞)上恒成立,只要再求得 h(x)最小值 即可. 解答: 证明: (1)当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a﹣ , 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2﹣x1>0. f(x1)﹣f(x2)=(a﹣ )﹣(a﹣ )= = <0.

∴f(x1)<f(x2) , 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数 (2)由题意 a< +2x 在(1,+∞)上恒成立, 设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1) ,即 a≤3, ∴a 的取值范围为(﹣∞,3]. 点评: 本题主要考查函数单调性的证明以及用单调性求最值问题. 21.已知函数 f(x)对任意的 a、b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且当 x>0 时,f (x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3. 考点: 函数单调性的判断与证明;抽象函数及其应用。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)先任取 x1<x2,x2﹣x1>0.由当 x>0 时,f(x)>1.得到 f(x2﹣x1)>1, 再对 f(x2)按照 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1 变形得到结论. (2)由 f(4)=f(2) 2 2 +f(2)﹣1 求得 f(2)=3,再将 f(3m ﹣m﹣2)<3 转化为 f(3m ﹣m﹣2)<f(2) , 由(1)中的结论,利用单调性求解. 解答: 解: (1)证明:任取 x1<x2, ∴x2﹣x1>0. ∴f(x2﹣x1)>1. ∴f(x2)=f[x1+(x2﹣x1)] =f(x1)+f(x2﹣x1)﹣1>f(x1) , ∴f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2)+f(2)﹣1=5, ∴f(2)=3. 2 ∴f(3m ﹣m﹣2)<3=f(2) .
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又由(1)的结论知,f(x)是 R 上的增函数, ∴3m ﹣m﹣2<2, 2 3m ﹣m﹣4<0, ∴﹣1<m< . 点评: 本题主要考查抽象函数的单调性证明和单调性定义解抽象不等式. 22.已知函数 f(x)=x|x﹣2|. (Ⅰ)写出 f(x)的单调区间; (Ⅱ)解不等式 f(x)<3; (Ⅲ)设 0<a≤2,求 f(x)在[0,a]上的最大值. 考点: 函数的单调性及单调区间;函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法。 专题: 计算题。 分析: (1)取绝对值,化简函数解析式,联系图象写单调区间. (1)分类讨论,去绝对值,转化解为不等式组. (3)分类讨论,分当 0<a1 时,当 1<a≤2 时两种情况,利用函数的单调性,求函 数在闭区间上的最值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=x|x﹣2|= ∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,1]和[2,+∞) ;单调减区间是[1,2]. (2)f(x)<3,即 x|x﹣2|<3,∴ 或 ,
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∴2≤x<3 或 x<2∴不等式 f(x)<3 的解集为{x|2≤x<3 或 x<2 }. (3) 当 0<a1 时,f(x)是[0,a]上的增函数,此时 f(x)在[0,a]上的 上的最大值是 f(a)=a(2﹣a) . .当 1<a≤2 时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,此时, 此时 f(x)在[0,a]上的上的最大值是 f(1)=1. 综上,当 0<a1 时,此时 f(x)在[0,a]上的 上的最大值是 f(a)=a(2﹣a) . 当 1<a≤2 时,f(x)在[0,a]上的 上的最大值是 1. 点评: 本题考查分类讨论的数学思想,和利用单调性求函数最值的方法. 23.设 f(x)定义在 R+上,对于任意 a、b∈R+,有 f(ab)=f(a)+f(b)求证: (1)f(1)=0; (2)f( )=﹣f(x) ; (3)若 x∈(1,+∞)时,f(x)<0,则 f(x)在(1,+∞)上是减函数. 考点: 函数的单调性及单调区间。 专题: 证明题。 分析: (1)由题意令 a=b=1 代入 f(ab)=f(a)+f(b) ,解得(1)=0; (2)由题意令 a=x∈R+,b= 代入 f(ab)=f(a)+f(b) ,再利用(1)的结论,即 证出等式成立;

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(3)利用定义法证明函数单调性,即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论,再利 用(2)的结论和题意进行变形以及判断符号. 解答: 证明: (1)由题意知,任意 a、b∈R+,有 f(ab)=f(a)+f(b) , 令 a=b=1 代入上式得,f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0. (2)令 a=x∈R+,b= 代入 f(ab)=f(a)+f(b) , 得 f(1)=f(x)+f( ) , ∵f(1)=0,∴f(x)=﹣f( ) .

(3)设 x1>x2>1,由(2)得 f(x2)=﹣f(

) ,

∴f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(

)=f(

) ,

∵x1>x2>1,∴

>1,

又∵x∈(1,+∞)时,f(x)<0,∴f(

)<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(1,+∞)上是减函数. 点评: 本题考查了抽象函数的单调性,反复利用恒等式 f(ab)=f(a)+f(b) ,即根据需要 给 a 和 b 适当的值,并且前两问是第三问的基础,这需要特别注意的地方,考查逻 辑推理能力. 24.判断函数 f(x)=﹣x +1 在(﹣∞,+∞)上的单调性; 考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 证明题。 分析: 用定义法证明单调性,先设 x1,x2 是 R 上任意两个值,且 x1<x2,再对两个函数值 作差,判断 f(x1)﹣f(x2)的符号,做题时,对差进行合理的形式变换有利于函数 值的符号的判断. 解答: 解:设 x1,x2 是 R 上任意两个值,且 x1<x2 3 3 3 3 则 f(x1)﹣f(x2)=﹣x1 +1﹣(﹣x2 +1)=x2 ﹣x1 2 2 =(x2﹣x1) (x2 +x1x2+x1 ) =(x2﹣x1)[(x2 +
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)+

2

)]

∵x1,x2 是 R 上任意两个值,且 x1<x2

∴(x2﹣x1)>0,[(x2 + ∴f(x1)>f(x2) ∴y=f(x)是 R 上的减函数

2

)+

2 \frac{3}{4{x}_{1}^{2}}

)]>0

点评: 本题考查字数的单调性的证明,本题用的定义法证明,作题时要注意做题步骤一取, 二作差整理,三判号,四得出结论,本题为了判断符号的方便对差式进行变形的技 巧很重要. 25.已知函数 .

(1)求 f(f(2) )的值; (2)判断函数在(﹣1,+∞)上单调性,并用定义加以证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)根据函数 ,先用代入法求出 f(2) ,代入可得 f(f(2) )的值;

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(2)任取区间(﹣1,+∞)上两个实数 x1,x2,且 x1<x2,判断 f(x1)﹣f(x2) 的符号,进而根据函数单调性的定义可得答案. 解答: 解: (1)∵函数 ∴f(2)= ∴f(f(2) )=f( )= (2)函数在(﹣1,+∞)上单调递增, 理由如下: 任取区间(﹣1,+∞)上两个实数 x1,x2,且 x1<x2, 则 x1﹣x2<0,x1+1>,x2+1>0 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = <0 .

即 f(x1)<f(x2) 故函数在(﹣1,+∞)上为增函数 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明,函数的值, (1)中要注意嵌套求值 要从内到外去括号, (2)中要注意证明函数单调性的方法和步骤. 26.用函数单调性定义证明,函数 f(x)=x + 在[1,+∞)上是增函数.
3

考点: 函数单调性的判断与证明。 专题: 计算题。

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分析: 利用原始的定义进行证明,在[1,+∞)上任取 x1,x2 且 x1<x2,只要证 f(x2)>f (x1)就可以可,把 x1 和 x2 分别代入函数 f(x)=x + 进行证明. 解答: 证明:在[1,+∞)上任取 x1,x2 且 x1<x2
3

则 f(x2)﹣f(x1)=x2 ﹣x1 +

3

3

=(x2﹣x1) (x1 +x1x2+x2 )+

2

2

∵x1<x2, ∴x2﹣x1>0. 2 2 2 当 x1x2<0 时,有 x1 +x1x2+x2 =(x1+x2) ﹣x1x2>0; 2 2 当 x1x2≥0 时,有 x1 +x1x2+x2 >0; ∴f(x2)﹣f(x1=(x2﹣x1) (x1 +x1x2+x2 )+ 即 f(x2)>f(x1) 所以,函数 f(x)=x + 在[1,+∞)上是减函数. 点评: 此题主要考查函数的单调性,解题的关键是利用原始定义进行证明,是一道基础题.
3 2 2

>0.


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