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三角函数的应用(教师版)


三角函数专练

三角函数专练
1 1.在△ABC 中,∠A,∠B 都是锐角,且 sinA= 2 ,

3 2 cosB= ,则△ABC 是(



(A)直角三角形 【答案】B

(B)钝角三角形

(C)锐角三角形

(D)不能确定

【解析】∵△ABC 中,∠A、∠B 都是锐角,sinA= ,cosB= ∴∠A=∠B=30°. ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°.



2.在 Rt△ACB 中,∠C = 90°,tanA = 2 6 ,则 sinB 的值为 ( )
1 (A) 5 1 (B) 2 (C) 2

(D) 3

【答案】A 【解析】∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且 tanA= 2 6 ,

BC ?2 6 ∴ AC ;∴BC= 2 6 AC
∴AB=

?2 6 ? ? 1AC ? 5 AC
2

AC AC 1 ? ? ∴sinB= AB 5AC 5 .
3.如图,在锐角△ABC 中,∠BAC=45°,AB=2,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点, 则 BM+MN 的最小值是( )

A .1

B.1.5

C. 2

D. 3

【答案】C. 【解析】如图,作 BH⊥AC,垂足为 H,交 AD 于 M′点,过 M′点作 M′N′⊥AB,垂足为 N′,则 BM′+M′N′ 为所求的最小值. ∵AD 是∠BAC 的平分线,∴M′H=M′N′,∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离(垂线段最短) ,

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2?
∵AB=4,∠BAC=45°,∴BH=AB?sin45°=

2 ? 2 2 .

∵BM+MN 的最小值是 BM′+M′N′=BM′+M′H=BH= 2 .

4.小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况, 他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图,小明边移动边观察,发现站到点 E 处时,可以使自 己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度 CD =1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点 A、E、C 在同一直线上) .已知小明的身高 EF 是 1.7m,请你帮小明求出楼高 AB(结果精确到 0.1m) . (6 分) B

F D

A

E

C

【解析】过点 D 作 DG⊥AB,分别交 AB、EF 于点 G、H, ∵AB∥CD,DG⊥AB,AB⊥AC, ∴四边形 ACDG 是矩形, ∴EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30, ∵EF∥AB, ∴ ,

由题意,知 FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5, ∴ ,解得,BG=18.75,

∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0. ∴楼高 AB 约为 20.0 米.

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5.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为 7062.68 米。某天该深潜器在海面下 1800 米处作业(如图) , 测得正前方海底沉船 C 的俯角为 45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行 2000 米到 B 点,此时测得海底 沉船 C 的俯角为 60°. (1)沉船 C 是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由; (2)由于海流原因, “蛟龙”号需在 B 点处马上上浮,若平均垂直上浮速度为 2000 米/时,求“蛟龙”号上 浮回到海面的时间.(参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)

【解析】解: (1)如答图,过点 C 作 CD 垂直 AB 延长线于点 D, 设 CD=x 米, 在 Rt△ACD 中,∵∠DAC=45°,∴AD=x. 在 Rt△BCD 中,∵∠CBD=60°,∴BD= ∵AB=2000,∴ x ?

3 x. 3

3 x ? 2000 ,解得:x≈4732. 3

∴船 C 距离海平面为 4732+1800=6532 米<7062.68 米, ∴沉船 C 在“蛟龙”号深潜极限范围内. (2)t=1800÷2000=0.9(小时) . ∴“蛟龙”号从 B 处上浮回到海面的时间为 0.9 小时. 6.如图,某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定, CD 与地面成 40°夹角,且 CB=5 米. (1)求钢缆 CD 的长度;(精确到 0.1 米) (2)若 AD=2 米,灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米,且∠EAB=120°,则灯的顶端 E 距

3 离地面多少米? (参考数据:tan40 =0.84, sin40 =0.64, cos40 = 4 )
0 0 0

答案:(1)在 Rt⊿BCD 中

BC ∵cos40°= CD …………1 分]

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BC 3 20 0 ∴CD= cos 40 =5÷ 4 = 3 …………3 分
(2)∵∠EAF=180°-120°=60° 在 Rt⊿AEF 中

AF cos60°= AE
1 ∴AF=AE·cos60°=1.6· 2 =0.8…………5 分
在 Rt⊿BCD 中

BD tan40°= BC
BD=BC·tan40°=5·0.84=4.2…………7 分 BF=4.2+2+0.8=7…………8 分
7. 如图,在一笔直的海岸线 l 上有 A,B 两个观测站,A 在 B 的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船 在点 P 处,从 A 测得小船在北偏西 60°的方向,从 B 测得小船在北偏东 45°的方向.(结果都保留根号) (1)求点 P 到海岸线 l 的距离; (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后,到达点 C 处.此时,从 B 测得小船在北偏西 15°的 方向.求点 C 与点 B 之间的距离.

答案:解: (1)如图,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D.设 PD=xkm. 在 Rt△PBD 中,∠BDP=90°,∠PBD=90°﹣45°=45°, ∴BD=PD=xkm. 在 Rt△PAD 中,∠ADP=90°,∠PAD=90°﹣60°=30°, ∴AD=

PD=

xkm.

∵BD+AD=AB, ∴x+

x=2,
﹣1, ﹣1)km;

x=

∴点 P 到海岸线 l 的距离为(

(2)如图,过点 B 作 BF⊥AC 于点 F.

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在 Rt△ABF 中,∠AFB=90°,∠BAF=30°, ∴BF=AB=1km. 在△ABC 中,∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°. 在 Rt△BCF 中,∠BFC=90°,∠C=45°, ∴BC=

BF=

km, km.

∴点 C 与点 B 之间的距离为

8. 如图,大海中有 A 和 B 两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线 PQ 上点 E 处测得∠AEP=74°,∠BEQ =30°;在点 F 处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°,EF=1km (1)判断线段 AB 与 AE 的数量关系,并说明理由; (2)求两个岛屿 A 和 B 之间的距离(结果精确到 0.1km). 答案:(1)相等. (1 分)

理由如下:∵∠BEQ=30°,∠BFQ=60°, ∴∠EBF=30°,EF=BF. 又∵∠AFP=60°,∴∠BFA=60°.(2 分) 在△AEF 与△ABF 中,

EF=BF,∠AFE=∠AFB,AF=AF,
∴△AEF≌△ABF,(3 分) ∴AB=AE. (4 分)

(2)方法一:作 AH⊥PQ,垂足为 H. 设 AE=x,[来*源:中@^教网&%]则 AH=xsin74°,HE=xcos74°,(5 分)

HF=xcos74°+1. Rt△AHF 中,AH=HF?tan60°,
∴xsin74°=(xcos74°+1)?tan60°,(7 分) 即 0.96x=(0.28x+1)×1.73 解得 x≈3.6,即 AB≈3.6. 答:两个岛屿 A 与 B 之间的距离约为 3.6km. 方法二:设 AF 与 BE 的交点为 G. 在 Rt△EGF 中,∵EF=1,∴EG= (8 分)

(6 分)

3 . 2

(6 分)

在 Rt△AEG 中,∠AEG=76°,AE=EG÷cos76°= ∵AE=AB,

3 ÷0.24≈3.6km,(7 分) 2

∴两个岛屿 A 和 B 之间的距离是 3.6km,(8 分)

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9.如图是某地下商业街的入口,数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点 E 到地 面的距离 EF.经测量,支架的立柱 BC 与地面垂直,即∠BCA=90°,且 BC=1.5m,点 F、A、C 在同一条水平线 上,斜杆 AB 与水平线 AC 的夹角∠BAC=30°,支撑杆 DE⊥AB 于点 D,该支架的边 BE 与 AB 的夹角∠EBD=60°, 又测得 AD=1m.请你求出该支架的边 BE 及顶端 E 到地面的距离 EF 的长度.

[来源^@:中国教育*%&出版网]

[中%*&国@教育出~版网]

答案:解:在 Rt△ABC 中, ∵∠BAC=30°,BC=1.5m, ∴AB=3m, ∴BD=2m, 在 Rt△EDB 中,∵∠EBD=60°, ∴∠BED=90°﹣60°=30°, ∴EB=2BD=2×2=4m, 过 B 作 BH⊥EF 于点 H, ∴四边形 BCFH 为矩形,HF=BC= 1.5m ,∠HBA=∠BAC=30°, 又∵∠HBA=∠BAC=30°, ∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°, ∴EH=EB=2m, ∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5(m). 答:该支架的边 BE 为 4m,顶端 E 到地面的距离 EF 的长度为 3.5m. ∵AD=1m,


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