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广东省茂名市2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤3},B={x|2x>2},则 A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1<x≤3} C.{x|﹣1≤x<2} D.{x|x>2} 2.若复数 z 满足 z=1﹣ (i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为( A.0 B.1 C. ﹣ D.2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,则此双曲线的离心率为 )

3.已知双曲线 ( A. ) B.

C.

D. )

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.2 )

5.已知 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x=( C.﹣ D.﹣

6.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=lnx B.y=x2 C.y=cosx D.y=2﹣|x| 7.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.命题“?x∈R 使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x2+x+1<0”



8.在约束条件

下,目标函数 z=2x+y 的值(



A.有最大值 2,无最小值 B.有最小值 2,无最大值
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C.有最小值 ,最大值 2 D.既无最小值,也无最大值 9. n 是两条不同直线, α、 β 是两个不同平面, 已知 m、 给出下列命题, 其中正确的是 ( A.若 α∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β B.若 m∥β,n∥β,m、n?α,则 α∥β C.若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β D.若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β 10.已知数列{an}、{bn}满足 bn=log2an,n∈N*,其中{bn}是等差数列,且 a9?a2008= ,则 b1+b2+b3+…+b2016=( ) A.﹣2016 B.2016 C.log22016 D.1008 11.已知函数 f(x)= ,阅读如图所示的程序框图,若输入 a 的值为 f )

(1)的值,则输出的 k 值是(



A.9 B.10 C.11 D.12 12.定义两个平面向量的一种运算 ? =| |?| |sin< , >,则关于平面向量上述运算的 以下结论中, ① ? = ? , ②λ( ? )=(λ )? , ③若 =λ ,则 ? =0, ④若 =λ ,且 λ>0,则( + )? =( ? )+( ? ) . 恒成立的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=21,则 n= 14. 1]时, f =x+1, 设函数 f (x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x∈[0, (x) 则 = .
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15.某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天 卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 13 10 气温(℃) 18 ﹣1 杯 数 24 34 38 64

由表中数据算得线性回归方程 杯. 16.已知函数 f(x)= (c) ,则 abc 的取值范围是

中的 b≈﹣2,预测当气温为﹣5℃时,热茶销售量为

,若 a,b,c 均不相等,且 f(a)=f(b)=f .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.设△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin(A﹣ )=cosA

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,b+c=2,求△ ABC 的面积 S. 18.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现 象.全世界也越来越关注环境保护问题. 当空气污染指数(单位:μg/m3)为 0~50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优; 当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良; 当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染; 当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染; 当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染; 当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染. 2015 年 12 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数(单[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 3 位:μg/m ) 15 40 y 10 监测点个数 1 x y ( )根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 , 的值,并完成频率分布直方图; (2)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良,从中任意 选取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

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19.19、如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=AD=2,CD=4,四边形 ADE1F1 是正方形,且平面 ADE1F1⊥平面 ABCD,M 是 E1C 的中点. (1)证明:BM∥平面 ADE1F1; (2)求三棱锥 D﹣BME1 的体积.

20.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,且 C1 的右焦点与抛物线 C2:

y2=4 x 的焦点相同. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求经过点 P(﹣2,0)分别作斜率为 k1、k2(k1≠k2)的两条直线,两直线分别与椭圆 C1 交于 M、N 两点,当直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1?k2 的值. 21.已知函数 f(x)=x2+alnx 的图象在点 P(1,f(1) )处的切线斜率为 10. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断方程 f(x)=2x 根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点 A(t,f(t) ) ,使得曲线 y=f(x)在该点附近的左、右的两 部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题几份,作答时请 写清楚题号.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)若∠EDO=30°,求∠AOD; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的

正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 为参数)

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)当 m=2 时,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|的值.
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选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤4+|2x﹣1|的解集; (2)若 A={x|x2﹣4x≤0},关于 x 的不等式 f(x)≤a2﹣2 的解集为 B,且 B?A,求实数 a 的取值范围.

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2016 年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤3},B={x|2x>2},则 A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1<x≤3} C.{x|﹣1≤x<2} D.{x|x>2} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 B,再求 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|﹣1≤x≤3}, B={x|2x>2}={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤3}. 故选:B.

2.若复数 z 满足 z=1﹣ (i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为( A.0 B.1 C. D.2



【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:z=1﹣ =1﹣ 则|z|= . 故选:C. =1+i,

3.已知双曲线 ( A. ) B.



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±

x,则此双曲线的离心率为

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的渐近线方程,推出 a,b 的关系,然后求解离心率即可. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

可得 故选:C.

,即:

,解得 =



4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



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A.

B.

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为三棱锥,棱锥的高为 1,底面为直角边为 2 的等腰直角三角形. 【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,棱锥的高为 1,底面为直角边为 2 的等腰直角 三角形, ∴几何体的体积 V= × ×2×2×1= . 故选:B.

5.已知 sin( A. B.

﹣x)= ,则 sin2x=( C.﹣ D.﹣



【考点】二倍角的正弦;三角函数的化简求值. 【分析】由两角和与差的正弦函数公式展开已知,化简可得 cosx﹣sinx= 由二倍角的正弦函数公式即可得解. 【解答】解:∵sin( ∴可得: ﹣x)= , , . ,两边平方,

(cosx﹣sinx)= ,化简可得:cosx﹣sinx= ,从而解得:sin2x=﹣

∴两边平方可得:1﹣sin2x= 故选:C.

6.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=lnx B.y=x2 C.y=cosx D.y=2﹣|x| 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【分析】排除法:根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可. 【解答】解:y=lnx 不是偶函数,排除 A; y=cosx 是周期函数,在区间(0,+∞)上不单调递减,排除 C; y=x2 在区间(0,+∞)上单调递增,排除 B; 故选 D. 7.下列有关命题的说法正确的是( )
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A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.命题“?x∈R 使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x2+x+1<0” 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A.利用否命题的定义即可判断出; B.由 x2﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6,即可判断出; C.利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出; D.利用命题的否定即可判断出. 【解答】解:A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2≠1,则 x≠1”,因此不正确; B.由 x2﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6,因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,不 正确; C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,其逆否命题为真命题,正确; D.命题“?x∈R 使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x2+x+1≥0”,因此不正确. 综上可得:只有 C 正确. 故选:C.

8.在约束条件

下,目标函数 z=2x+y 的值(



A.有最大值 2,无最小值 B.有最小值 2,无最大值 C.有最小值 ,最大值 2 D.既无最小值,也无最大值 【考点】简单线性规划.

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,

再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 2x+y 的最值情况. 【解答】解:由约束条件得如图所示的三角形区域, 令 2x+y=z,y=﹣2x+z, 显然当平行直线过点 B( z 取得最大值为 2; 当平行直线过点 B(0, )时, z 取得最小,但 B 点不在可行域内; 故选 A )时,

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9. n 是两条不同直线, α、 β 是两个不同平面, 已知 m、 给出下列命题, 其中正确的是 ( A.若 α∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β B.若 m∥β,n∥β,m、n?α,则 α∥β C.若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β D.若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β



【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在 A 中,α 与 β 不一定垂直;在 B 中,α 与 β 相交或平行;在 C 中,由面面垂直 的判定定理得 α⊥β;在 D 中,α 与 β 相交或平行. 【解答】解:由 m、n 是两条不同直线,α、β 是两个不同平面,知: 在 A 中:若 α∩β=m,n?α,n⊥m,则 α 与 β 不一定垂直,故 A 错误; 在 B 中:若 m∥β,n∥β,m、n?α,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误; 在 C 中:若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则由面面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 在 D 中:若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 10.已知数列{an}、{bn}满足 bn=log2an,n∈N*,其中{bn}是等差数列,且 a9?a2008= ,则 b1+b2+b3+…+b2016=( ) A.﹣2016 B.2016 C.log22016 D.1008 【考点】数列的求和. 【分析】由已知得 a1?a2016=a2?a2015=…=a9?a2008= ,由此能求出结果. 【解答】解:∵数列{an},{bn}满足 bn=log2an,n∈N*,其中{bn}是等差数列, ∴数列{an}是等比数列, ∴a1?a2016=a2?a2015=…=a9?a2008= , ∴b1+b2+b3+…+b2016=log2(a1?a2…a2016)=log2(a9?a2008)1008= 故选:A. =﹣2016.

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11.已知函数 f(x)=

,阅读如图所示的程序框图,若输入 a 的值为 f

(1)的值,则输出的 k 值是(



A.9

B.10

C.11

D.12

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图的流程,计算运行 n 次的结果,根据输入 a= 从而求出输出的 k 值. ,判断 n 满足的条件,

【解答】解:∵f(x)=



∴a=f(1)=f(3)=

. ,k=2;

由程序框图知第一次运行 s=0+ 第二次运行 s=0+ … ∴第 n 次运行 s=0+ ) = ×(1﹣ 当输入 a= )= , + +…+ +

,k=3;

= ×(1﹣ + ﹣ +…+



时,由 n>a 得 n>9,程序运行了 10 次,输出的 k 值为 11.
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故选:C. 12.定义两个平面向量的一种运算 ? =| |?| |sin< , >,则关于平面向量上述运算的 以下结论中, ① ? = ? , ②λ( ? )=(λ )? , ③若 =λ ,则 ? =0, ④若 =λ ,且 λ>0,则( + )? =( ? )+( ? ) . 恒成立的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】①由新定义可得 ? =| ②由新定义可得 = ③若 =λ ,可得 ④若 =λ ,且 λ>0,则 由新定义可得 = = 【解答】解:①∵ ②∵ =λ ? =| .即可判断出. = ? ,故,故恒成立; ,而 = ? = =λ = ? ,即可判断出; ,而

,当 λ<0 时,λ( ? )=(λ )? ,不成立; ,故 ? =0,即可判断出; , ,而

,当 λ<0 时,λ( ? )=(λ )? ,不成立; ③若 =λ ,则 ,得到 ? =0,故恒成立;

④若 =λ ,且 λ>0,则 + =(1+λ) , ∴ 而 =|1+λ| + ? = + = . + ,

故( + )? =( ? )+( ? )恒成立. 综上可知:只有①③④恒成立.
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故选 B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=21,则 n= 6 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由已知得数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此求出 Sn= 由 Sn=21,能求出 n. 【解答】解:数列{an}中,∵a1=1,an+1=an+1, ∴数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴Sn=n+ ∵Sn=21,∴ 解得 n=6. 故答案为:6. = =21, , ,再

14. 1]时, f =x+1, 设函数 f (x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x∈[0, (x) 则 = .

【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值. 【分析】利用函数的周期性先把 转化成 f( ) ,再利用函数 f(x)是定义在 R

上的偶函数转化成 f( ) ,代入已知求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, ∴ =f( +2)=f( ) ,

又∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f( )=f( ) ,

又∵当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1, ∴f( )= +1= , 则 = .

故答案为: .

15.某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天 卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 13 10 气温(℃) 18 ﹣1 杯 数 24 34 38
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64

由表中数据算得线性回归方程

中的 b≈﹣2,预测当气温为﹣5℃时,热茶销售量为

70 杯. 【考点】回归分析的初步应用. 【分析】先计算样本中心点,再求出线性回归方程,进而利用方程进行预测. 【解答】解:由题意, = =10, = ,可得 a=60 =40

将 b≈﹣2 及(10,40)代入线性回归方程 ∴x=﹣5 时,y=﹣2×(﹣5)+60=70 故答案为:70

16.已知函数 f(x)=

,若 a,b,c 均不相等,且 f(a)=f(b)=f

(c) ,则 abc 的取值范围是 (10,15) . 【考点】分段函数的应用. 【分析】画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,不妨 a<b<c,根据 f(a)=f(b) =f(c) ,可得﹣lga=lgb=﹣ c+3∈(0,1) ,即可求出 abc 的范围. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图, 不妨设 a<b<c,则 ∵f(a)=f(b)=f(c) , ∴﹣lga=lgb=﹣ c+3∈(0,1) ∴ab=1,c∈(10,15) , ∴abc=c∈(10,15) . 故答案为: (10,15) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.设△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin(A﹣ (1)求角 A 的大小;
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)=cosA

(2)若 a=1,b+c=2,求△ ABC 的面积 S. 【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数. 【分析】 (1)由已知利用两角差的正弦公式展开可求 tanA,结合 0<A<π,可求 A; (2)由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA,结合已知可得 bc 的值,然后利用三角形面积公式即 可得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)由已知有 sinA?cos 故 sinA= cosA,tanA= 又 0<A<π, 所以 A= .… ﹣cosA?sin .… =cosA,…

(2)∵a=1,b+c=2,由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 得,1=b2+c2﹣bc,… 所以 1=(b+c)2﹣3bc,即解得:bc=1,… ∴ = .…

18.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现 象.全世界也越来越关注环境保护问题. 当空气污染指数(单位:μg/m3)为 0~50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优; 当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良; 当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染; 当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染; 当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染; 当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染. 2015 年 12 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数(单[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 3 位:μg/m ) 15 40 y 10 监测点个数 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (2)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良,从中任意 选取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

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【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)由统计表得到[0,50]内的监测点有 15 个,由频率分布直方图得[0,50]内的 频率为 0.15,由此能求出求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图. (Ⅱ)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3,空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5,由此利用列举法能求出事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率. 【解答】解: (Ⅰ)由统计表得到[0,50]内的监测点有 15 个, 由频率分布直方图得[0,50]内的频率为 0.003×50=0.15, ∴ ,解得 x=100.

∴y=100﹣15﹣40﹣10=35. =0.008, , ,

作出频率分布直方图,如右图. (Ⅱ)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3,空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5, 从中任取 2 个基本事件,有 =10 种取法,

其中事件 A“其中至少一个为良”包含的基本事件为: (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) ,共 7 种, ∴事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 p= .

19.19、如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=AD=2,CD=4,四边形 ADE1F1 是正方形,且平面 ADE1F1⊥平面 ABCD,M 是 E1C 的中点. (1)证明:BM∥平面 ADE1F1; (2)求三棱锥 D﹣BME1 的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理进行证明即可. (2)根据条件求出三棱锥的高,利用三棱锥的体积公式进行求解即可. 【解答】 (1)证明:取 E1D 的中点 N,连接 MN,AN,在△ E1DC 中,M,N 分别为 E1C, E1D 的中点, ∴MN∥CD,MN= CD, ∵AB∥CD,AB= CD, ∴MN∥AB,MN=AB. 则四边形 ABMN 是平行四边形,则 BM∥AN, ∵AN?平面 ADE1F1,BM?平面 ADE1F1, ∴BM∥平面 ADE1F1. (2)由平面 ADE1F1⊥平面 ABCD,E1D?平面 ADE1F1,平面 ADE1F1∩平面 ABCD=AD, E1D⊥AD, E1D⊥平面 ABCD, ∵AD?平面 ABCD,E1D∩CD=D, ∴AD⊥平面 E1DC, ∵AB∥CD,CD?平面 E1DC,AB?平面 E1DC, ∴AB∥平面 E1DC, 则 B 到平面 E1DC 的距离就是 A 到平面 E1DC 的距离,即 B 到平面 E1DC 的距离是 AD, 由 则 = = ?AD= , ,

即三棱锥 D﹣BME1 的体积 V= .

20.已知椭圆 C1: y2=4 x 的焦点相同.

+

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,且 C1 的右焦点与抛物线 C2:

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(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求经过点 P(﹣2,0)分别作斜率为 k1、k2(k1≠k2)的两条直线,两直线分别与椭圆 C1 交于 M、N 两点,当直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1?k2 的值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由椭圆的离心率和且 C1 的右焦点与抛物线 C2:y2=4 x 的焦点相同,列出方 程组求出 a,b,由此能求出椭圆 C1 的方程. (2)设直线 PM:y=k1(x+2) ,与椭圆联立,求出 M,同理求出 N,由直线 MN 与 y 轴垂 直,得 ,由此能求出 k1k2 的值. + =1(a>b>0)的离心率为 e= x 的焦点相同,

【解答】解: (1)∵椭圆 C1: 且 C1 的右焦点与抛物线 C2:y2=4 ∴ b2=4﹣3=1, ∴椭圆 C1 的方程为 . ,解得 a=2,c= ,



(2)由题意,当 k1=0 时,M 点的纵坐标为 0,直线 MN 与 y 轴垂直,则点 N 的纵坐标也 为 0, ∴k1=k2=0,与 k1≠k2 矛盾,∴k1≠0, 设直线 PM:y=k1(x+2) , 由 ,得 ,

解得

或 y=0(舍) ,

∴M(



) ,同理 N(



) ,

∵直线 MN 与 y 轴垂直,∴

=



化简,得 ∴(k2﹣k1) (4k1k2﹣1)=0, 又由 k1≠k2,得 4k1k2﹣1=0, ∴k1k2= .



21.已知函数 f(x)=x2+alnx 的图象在点 P(1,f(1) )处的切线斜率为 10.
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(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断方程 f(x)=2x 根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点 A(t,f(t) ) ,使得曲线 y=f(x)在该点附近的左、右的两 部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断. 【分析】解法一: (Ⅰ)对函数 f(x)求导,根据导数的几何意义可求 f(x)的图象在点 P (1,f(1) )处的切线斜率 k,结合已知可求 a (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣2x=x2﹣2x+8lnx,利用函数的导数,判断函数 F(x)在(0,+∞) 上的单调性,结合 F(1)=﹣1<0,F(2)=8ln2>0,可证 (Ⅲ)由导数的几何意义可求曲线 y=f(x)在点 A 处的切线方程 (x>0) ,构造函数 h(x)=x2+8lnx﹣ =x2+8lnx﹣ (x>0) ,对 h(x)

求导,通过讨论 t 的取值范围来判断 h′(x)的符号,进而可判断 h(x)在(0,+∞)上的 单调性,即可判断 解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)由导数的几何意义可求曲线 y=f(x)在点 A 处的切线方程 (x>0) ,构造函数 h(x)=x2+8lnx﹣ =x2+8lnx﹣ (x>0) ,对 h(x)

求导,若存在这样的点 A(t,f(t) ) ,使得曲线 y=f(x)在该点附近的左、右两部分都位于 曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于 t 不是极值点,二次函数的性质可求 【解答】解法一: (Ⅰ)因为 f(x)=x2+alnx,所以 ,

函数 f(x)的图象在点 P(1,f(1) )处的切线斜率 k=f'(1)=2+a. … 由 2+a=10 得:a=8. 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x +8lnx,令 F(x)=f(x)﹣2x=x2﹣2x+8lnx. 因为 F(1)=﹣1<0,F(2)=8ln2>0,所以 F(x)=0 在(0,+∞)至少有一个根. 又因为 ,所以 F(x)在(0,+∞)上递增,

所以函数 F(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程 f(x)=2x 有且只有一 … 个实根. (Ⅲ)证明如下: 由 f(x)=x2+8lnx, 线方程为 即 =x2+8lnx﹣ 记h (x) (x>0) ,
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,可求得曲线 y=f(x)在点 A 处的切 , (x>0) . … =x2+8lnx﹣







(1)当

,即 t=2 时,

对一切 x∈(0.+∞)成立,

所以 h(x)在(0,+∞)上递增. 又 h(t)=0,所以当 x∈(0,2)时 h(x)<0,当 x∈(2,+∞)时 h(x)>0, 即存在点 A(2,4+8ln2) ,使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别位于曲线 … 在该点处切线的两侧. (2)当 ,即 t>2 时, 时,h'(x)>0; 时,h'(x)<

0;x∈(t,+∞)时,h'(x)>0. 故 h(x)在 又 h(t)=0,所以当 上单调递减,在(t,+∞)上单调递增. 时,h(x)>0;当 x∈(t,+∞)时,h(x)>0,

即曲线在点 A(t,f(t) )附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 … 同侧. (3)当 ,即 0<t<2 时,x∈(0,t)时,h'(x)>0; 时,h'(x)>0. 故 h(x)在(0,t)上单调递增,在 上单调递减. 时,h(x)<0, 时,h'(x)<0;

又 h(t)=0,所以当 x∈(0,t)时,h(x)<0;当

即曲线在点 A(t,f(t) )附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧. 综上,存在唯一点 A(2,4+8ln2)使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别 … 位于曲线在该点处切线的两侧. 解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)证明如下: 由 f(x)=x2+8lnx, 线方程为 即 =x2+8lnx﹣ 记h (x) (x>0) , 则 . … (x>0) . ,可求得曲线 y=f(x)在点 A 处的切 , … =x2+8lnx﹣

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若存在这样的点 A(t,f(t) ) ,使得曲线 y=f(x)在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于 t 不是极值点, 由二次函数的性质知,当且仅当 ,即 t=2 时,t 不是极值点,即 h'(x)≥0.

所以 h(x)在(0,+∞)上递增. 又 h(t)=0,所以当 x∈(0,2)时,h(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,h(x)>0, 即存在唯一点 A(2,4+8ln2) ,使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别 … 位于曲线在该点处切线的两侧. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题几份,作答时请 写清楚题号.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)若∠EDO=30°,求∠AOD; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

【考点】与圆有关的比例线段. OE, ∠A=∠A, 【分析】 (1) 连接 BE, 由已知得∠ABC=90°=∠AEB, 从而△ AEB∽△ABC, 进而∠ABE=∠C, 进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°, 由此能证明 DE 是圆 O 的切线, 利用∠EDO=30°,求∠AOD; (2)DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) ,从而 DM?AC+DM?AB= (AC﹣AB)?(AC+AB) = BC2,由此能证明 DE?BC=DM?AC+DM?AB. 【解答】 (1)解:连接 BE,OE. ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°, ∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC, ∴∠ABE=∠C, ∵BE⊥AC,D 为 BC 的中点,∴DE=BD=DC, ∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB, ∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. ∵∠EDO=30°, ∴∠DBE=∠DEB=∠A=60°, ∴∠AOD=120°; (2)证明:∵O、D 分别为 AB、BC 的中点, ∴DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , ∴DM?AC+DM?AB
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=DM?(AC+AB) = (AC﹣AB)?(AC+AB) = (AC2﹣AB2) = BC2 =DE?BC. ∴DE?BC=DM?AC+DM?AB.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的

正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 为参数)

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)当 m=2 时,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,能求出曲线 C 的直角坐标方程;直线 l 消去参数能求 出直线 l 的普通方程. (2)当 m=2 时,直线 l 为: ﹣2=0,曲线 C:x2+y2﹣2x=0 是以(1,0)为圆心, 以 r=1 为半径的圆,求出圆心(1,0)到直线 l 的距离 d,由勾股定理能求出|AB|. 【解答】解: (1)∵曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ, ∴曲线 C 的直角坐标方程是 x2+y2﹣2x=0.

∵直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,

∴消去参数得直线 l 的普通方程是 x﹣ y﹣m=0. (2)当 m=2 时,直线 l 为: ﹣2=0, ∵直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点, 曲线 C:x2+y2﹣2x=0 是以(1,0)为圆心,以 r=1 为半径的圆. 圆心(1,0)到直线 l 的距离 d= = ,

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∴|AB|=2

=2

=



选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤4+|2x﹣1|的解集; (2)若 A={x|x2﹣4x≤0},关于 x 的不等式 f(x)≤a2﹣2 的解集为 B,且 B?A,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)方法一:将 a=2 代入 f(x) ,问题转化为解不等式|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4≤0 即可; 方法二:令 g(x)=|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4,结合函数的单调性求出不等式的解集即可; (2)通过讨论 a 的范围结合集合的包含关系,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)解法 1:a=2 时,f(x)≤4+|2x﹣1|即为|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4≤0 可化为: …

解得



所以不等式 f(x)≤4+|2x﹣1|的解集为 R.…5 分 解法 2:令 g(x)=|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4,



…,

, 所以 …

所以不等式 f(x)≤4+|2x﹣1|的解集为 R.… (2)A={x|x(x﹣4)≤0}={x|0≤x≤4}… ① 时 a2﹣2<0,这时 f(x)≤a2﹣2 的解集为 φ, … 满足 B?A,所以 2 ②当 时 a ﹣2≥0,B≠φ 2 这时 f(x)≤a ﹣2 即|x﹣a|≤a2﹣2 可化为 2+a﹣a2≤x≤a2+a﹣2 所以 B={x|2+a﹣a2≤x≤a2+a﹣2}… 因为 B?A 所以 即 即

所以﹣1≤a≤2… 又因为 所以 综合①②得实数 a 的取值范围为



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2016 年 4 月 12 日

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