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广东省深圳市高级中学2014届高三上学期第一次月考数学理试题


深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题
注:请将答案填在答题卷相应的位置上 ................. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? A.

? ? 1 ?x ? ? ? ? ? 1? , B ? { x | log 3 x ? 0} ,则 A ? ? CU B ? ? ? ?2? ? ? ?
C.

? x x ? 0?
A. a ? 8

B.

? x x ? 1?
2

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x 0 ? x ? 1?

2. 如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是 B. a ? 8
2

C. a ? 4
2

D. a ? ?4

3. 下列函数中,满足 f ( x ) ? [ f ( x)] 的是 A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ?| x ? 1| C. f ( x) ? x
3

D. f ( x) ? e

x

4. 已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

5. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ?

2 ”的充要条件。 2
其中正确的命题的个数是 C. 1 D. 0 cos x ? 2π D. 3 sin x?

④命题 “ ?x0 ? R, e
A. 3 6. 定义行列式运算?

x0

? 0 ”是真命题.
B. 2

?a1 a2?=a a -a a ;将函数 f(x)=? 3 ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1
) π B. 3 5π C. 6

?的图象向左平移 n(n>0)个单位,所得

图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( π A. 6

ex ? x 7. 函数 y ? x 的一段图象是 e ?x
第1页

8. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] =-2, [1.2] =1, [1] =1, ? f ( x ? 1), x ? 0

若直线 y= kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是 A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

.

10. 已知 sin(

?
3

? ?) ?

1 5? ,则 cos( ? ? ) ? _____________. 3 6


11. 曲线 y ? 0, y ?

x , y ? x ? 2 所围成的封闭图形的面积为
2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是___.

1 1 ? ? 2 ,则 m ? _________. a b x 14. 若关于 x 的方程 ? kx 2 有四个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是 x?4
13. 设 2 ? 5 ? m ,且
a b

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

(I)求函数 f (x) 的最小正周期;
第2页

(II)确定函数 f (x) 在 ?0,

? ?? ? 上的单调性并求在此区间上 f (x) 的最小值. ? 2?

16. (本小题满分 12 分) π π 已知函数 f(x)=Asin?3x+φ?,x∈R,A>0,0<φ< ,y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图 ? ? 2 象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A).

(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 17. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ? an ? 中, a2 ? 32 , a8 ? (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,求 Tn 的最大值及相应的 n 值. 18. (本小题满分 14 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足条件: (1) f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ; (2)函数在
2

1 , an ?1 ? an . 2

3 y 轴上的截距为 1,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? . 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t ? 1], f ( x) 的最小值为 h(t ) ,请写出 h(t ) 的表达式; (3)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( )1?tx 在 t ?[?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围.

?

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象如图,直线 y ? 0 在原点 27 数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 . 4 (1)求 f ( x) 的解析式
3 2

处与函

(2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 20. (本小题满分 14 分)
第3页

已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上的最值; e (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数

深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题
注:请将答案填在答题卷相应的位置上 ................. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
要求的.

第4页

1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? A.

? ? 1 ?x ? ? ? ? ? 1? , B ? { x | log 3 x ? 0} 则 A ? ? CU B ? ? C ? ?2? ? ? ?
C.

? x x ? 0?
A. a ? 8

B.
2

? x x ? 1?

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x 0 ? x ? 1?

2.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A ) B. a ? 8
2

C. a ? 4
2

D. a ? ?4

3. 下列函数中,满足 f ( x ) ? [ f ( x)] 的是 C A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ?| x ? 1| C. f ( x) ? x
3

D. f ( x) ? e

x

4. 已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 C .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

5. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ?

2 ”的充要条件。 2
其中正确的命题的个数是( D ) C. 1 D. 0 cos x ? sin x?

④命题 “ ?x0 ? R, e
A. 3 6. 定义行列式运算?

x0

? 0 ”是真命题.
B. 2

?a1 a2?=a a -a a ;将函数 f(x)=? 3 ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1
π B. 3 5π C. 6 2π D. 3

?的图象向左平移 n(n>0)个单位,所得

图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( C) A. π 6

7. 函数 y ?

ex ? x 的一段图象是 B ex ? x

第5页

8. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] =-2, [1.2] =1, [1] =1, ? f ( x ? 1), x ? 0

若直线 y= kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是 D A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

1 4

.

10. 已知 sin(

?
3

??) ?

1 5? 1 ,则 cos( ? ? ) ? ____ ? _________. 3 6 3
10 3 .

11. 曲线 y ? 0, y ?

x , y ? x ? 2 所围成的封闭图形的面积为
2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是 ________.(—∞,-2)

1 1 ? ? 2 ,则 m ? _________ 10 a b x 1 14. 若关于 x 的方程 + ? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围是 ( ,?) x?4 4
13. 设 2 ? 5 ? m ,且
a b

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

(I)求函数 f (x) 的最小正周期;

(II)确定函数 f (x) 在 ?0,

? ?? ? 上的单调性并求在此区间上 f (x) 的最小值. ? 2?

15 解 则 的最小正周期是

,…………3 分

;?????4 分

第6页

(2) ? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z ? k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

? ?? ? 5? ? ? ? 所以函数的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ,k ? Z ; 单调递减区间是 ? k? ? , k? ? ,k ? Z .......8分 6 3? 3 6 ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? 所以函数f ( x)在 ?0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减???10分 ? 3? ?3 2? 3 ? 1 3 ? ?? 又f (0) ? ? , f ( ) ? ? .所以函数f ( x)在 ?0, ? 上的最小值是 ? ????12分 2 2 2 2 ? 2?
16. (本小题满分 12 分) π π 已知函数 f(x)=Asin?3x+φ?,x∈R,A>0,0<φ< ,y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图 ? ? 2 象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A).

(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 2π 解析:(1)由题意得 T= =6………………………….2 分 π 3 π π 因为 P(1,A)在 y=Asin?3x+φ?的图象上,所以 sin?3+φ?=1. ? ? ? ? π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= …………………………6 分 2 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A).

π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4,所以 Q(4,-A).-----------------------8 分 3 6 2 2π 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-(9+4A2) 1 cos ∠PRQ= = =- ,解得 A2=3. 2RP· RQ 2 2A· 9+A2 又 A>0,所以 A= 3.--------------------------------12 分 17. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ? an ? 中, a2 ? 32 , a8 ?

1 , an ?1 ? an . 2
第7页

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,求 Tn 的最大值及相应的 n 值.

1 a8 1 1 6 1.解:(Ⅰ) q ? , an ?1 ? an ,所以: q ? . ? 2 ? a2 32 64 2
以 a1 ?

?(3 分)

a2 32 ?????(5 分) ? ? 64 为首项. 1 q 2 1 所以 通项公式为: an ? 64 ? ( ) n ?1 ? 27 ? n (n ? N ? ) . ??(7 分) 2
(Ⅱ)设 bn ? log 2 an ,则 bn ? log 2 2
7?n

?7?n.

???????(8 分) ??????(10 分)

所以 ?bn ? 是首项为 6,公差为 ?1 的等差数列.

Tn ? 6n ?

n(n ? 1) 1 13 1 13 169 . ????(12 分) (?1) = ? n2 ? n ? ? (n ? )2 ? 2 2 2 2 2 8

因为 n 是自然数,所以 n ? 6 或 n ? 7 时, Tn 最大,其最值是 T6 ? T7 ? 21. ??(14 分) 18. (本小题满分 14 分)

设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足条件: (1) f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ; (2)函数在
2

3 y 轴上的截距为 1,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? . 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ?[t , t ? 1], f ( x) 的最小值为 h(t ) ,请写出 h(t ) 的表达式; (3)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( )1?tx 在 t ?[?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围.

?

1 2 解: (1) f ( x) ? x ? x ? 1; ??????????4 分 2
5 ?1 2 ? 2 t ? 2t ? 2 , t ? ?2 ? ?1 (2) h(t ) ? ? , ?2 ? t ? ?1 ----------------10 分 2 ? ?1 2 ? 2 t ? t ? , t ? ?1 ?
(3) (??, ?3 ? 5) ? (?3 ? 5, ??) -----------------14 分 19.(本题满分 14 分)
第8页

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象如图,直线 y ? 0 在原点 27 象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 . 4 (1) 求 f ( x)
3 2

处与函数图

(2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 解析:由 f(0)=0 得 c=0,………………….2 分 f′(x)=3x2+2ax+b. 由 f′(0)=0 得 b=0,………………………4 分 ∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a), 27 -a 由∫0 [-f(x)]dx= 得 a=-3. 4 3 2 ∴f(x)=x -3x ………………………………8 分 (2)由(1)知 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) .
2

x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

x
f ?( x)

(??,0)

0

(0, 2)
?
单调 递减

2

(2, ??)

?
单调 递增

0
极大值 f (0) ? 0

0
极小值 f (2) ? ?4

?
单调 递增

f ( x)
又 f (3) ? 0 ,

①当 0 ? m ? 3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 ;?????11 分 ②当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m ? 3m .
3 2

综上可知 f ( x) max ? ? 20. (本小题满分 14 分)

0?m?3 ? 0, . 3 2 ?m ? 3m , m ? 3

?????????????14 分

已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R .

e (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上的最值;
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数 . 解:(Ⅰ) 若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x x ? 2 ? ln x . 当 x ?[2 ,] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ln x , e
2 f ? ? x ? ? 2x ? 2 ? 1 ? 2x ? 2x ? 1 ? 0 , x x

e 所以函数 f ? x ? 在 ? 2 ,? 上单调递增; 2 当 x ? ?1, ? 时, f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ln x ,
第9页

2 f ? ? x ? ? ?2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . x x

2 所以函数 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上单调递减, 2 所以 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上有最小值 f ? 2 ? ? ? ln 2 ,又因为 f ?1? ? 1 , f ? e ? ? e ? e ? 2 ? ? 1 ,而 e ? e ? 2 ? ? 1 ? 1 , e 所以 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上有最大值 f ?1? ? 1 ………………………………….5 分 ? (Ⅱ) 函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? .
由 f ? x ? ? 0 ,得 x ? a ? ln x .

x

(*)

1 (ⅰ)当 x ? ? 0 ,? 时, x ? a ? 0 , ln x ? 0 ,

x

不等式(*)恒成立,所以 a? R ;……………………………………….7 分 (ⅱ)当 x ? 1 时,

x ? 现令 h ? x ? ? x ? ln x , 则 h?( x) ? x ? 1 2 ln x , x x
2

①当 a ? 1 时,由 x ? a ? ln x 得 x ? a ? ln x ,即 a ? x ? ln x ,

x

x

? 因为 x ? 1 ,所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上单调递增,
从而 h ? x ? 的最小值为 1 ,因为 a ? x ? ln x 恒成立等价于 a ? h ? x ?min ,

x

所以 a ? 1 ;………………………………………………….11 ②当 a ? 1 时, x ? a 的最小值为 0 ,而 ln x ? 0 ? x ? 1? ,显然不满足题意……….13 分

x

1 综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ??,? . …………………………………14 分

第 10 页

深圳市高级中学 2014 届第一次月考 数学(理)答卷
一、选择题: 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分) (共 题 号 选 项 二、填空题: 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分) (共
9. 10. 11.

1

2

3

4

5

6

7

8

12.

13.

14.

三、解答题: 6 小题,共计 80 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) (共
15.

16.

第 11 页

17.

第 12 页

18.

19.

第 13 页

20.

第 14 页


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