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正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性


Xupeisen110

高中数学

正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性
教材:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 目的:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;掌握正、 余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 过程:一、复习:y=sinx y=cosx (x?R)的图象 二、提出课题:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1.(观察图象) 1?正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx, cos(2k?+x)=cosx 也可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 2.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义 域内的每一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常 数 T 叫做这个函数的周期。 注意:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界; T<0 则定义域无下界; 2? “每一个值” 只要有一个反例, f (x)就不为周期函数 则 (如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中 最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 三、y=sinω x, y=cosω x 的最小正周期的确定 例一 求下列三角函数的周期:1? y=sin(x+ ? ) 2? y=cos2x
3

3? y=3sin( x + ? )
2

5

解:1? 令 z= x+ ? 而 sin(2?+z)=sinz
3

即:f (2?+z)=f (z)

f [(x+2)?+ 2?令 z=2x

?
3

]=f (x+ ? )
3

∴周期 T=2?

∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] ∴T=?
2

即:f (x+?)=f (x)
2

3?令 z= x + ? 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( x + ? +2?)
5 5

=3sin( x ? 4 ?
2

?

?
5

)=f (x+4?)

∴T=4?

小结:形如 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T= 2 ?
?

y=Acos(ω x+φ )也可同法求之
1

Xupeisen110
例二 P54 例 3

高中数学

例三 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ ? )+2cos(3x- ? )
4

6

2? y=|sinx|

3? y=2

3

sinxcosx+2cos2x-1

解:1? y1=sin(2x+ ? ) 最小正周期 T1=?
4

y2=2cos(3x- ? ) 最小正周期 T2= 2 ?
6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图
??

-?

y 1 o 1

?

2?

3?

x

注意小结这两种类型的解题规律 3? y=
3

sin2x+cos2x

∴T=?

四、小结:周期函数的定义,周期,最小正周期 五、作业:P56 练习 5、6 《精编》P86 20、21 补充:求下列函数的最小正周期: 1.y=2cos(
x 4 ?

P58 习题 4.8

3

?
3

)-3sin( x ?

?
4

)

2.y=-cos(3x+ 3.y=|sin(2x+
?

?
2

)+sin(4x- )
3

?

?
6

)|
?
2

4.y=cos sin +1-2sin2
2 2

?

2



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