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立体几何


立体几何
【知识络构建】

高频考点突破
考点一:空间几何体与三视图
例题 1、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是 有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为

【规律总结】 解决三视图问题的技巧 空间几何体的数量关系也体现在三视图中,正视图和侧视图的“高平齐” ,正视图和俯视图 的“长对正” ,侧视图和俯视图的“宽相等” .也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体 的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间 几何体的最大宽度.在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的 轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚” .在三视图的判断与识别中要特别注意 其中的“虚线” .

1

考点二:空间几何体的表面积与体积
例题 2、(1)一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

A.4 m

3

9 3 B. m 2

C.3m

3

D.

9 3 m 4 D.4+4 11

(2)(2012·丰台一模)若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的表面积是 A.4 B.4+4 10 C.8

【规律总结】 组合体的表面积和体积的计算方法 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,而是由柱、锥、台、球或其一部分组 成的组合体,解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解” ,将组合体分解成若 干部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积,然后根据组合体的结构, 将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差. [易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分, 表面积就是全面积, 是一个空间几 何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积” .多面 体的表面积就是其所有面的面积之和, 旋转体的表面积除了球之外, 都是其侧面积和底面面 积之和.对于简单的组合体的表面积,一定要注意其表面积是如何构成的,在计算时不要多 算也不要少算,组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和.

练习题一:
1、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

2、某三棱锥的侧视图和俯视图及部分数据如图所示,则该三棱锥的体积为________.

2

3、某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A.12π B.45π C.57π D.81π

).

4、某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

5、如图所示,三棱锥 P?ABC 的底面 ABC 是直角三角形,直角边长 AB=3,AC=4,过直角顶 点的侧棱 PA⊥平面 ABC,且 PA=5,则该三棱锥的正视图是( ).

6、在一个几何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如右图所示,则相应的侧(左)视图可以 为( ).

7、如图,在长方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A ?BB1D1D 的体 积为________cm .
3

8、如图,在正三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面三角形 BC1D 是面积为 6 的 直角三角形,则此三棱柱的体积为( ).
3

A.16 3

B.8 3
0

C. 4 3 ) C. R
? 3

D.

8 3 3

9、地球半径为 R,则北纬 60 圈的长度是( A. R B. R
? 2

D. ?R

10、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的 侧视图可能是( )

考点三:空间线、面位置关系的判断 例题 3、设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是(
A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?



B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

例题 4、已知平面 ? , ? 和直线,给出条件:① m // ? ; ④? ? ? ; (ii)当满足条件 ⑤ ? // ? .

② m ? ? ; ③ m ?? ; 时,有 m // ? ;

(i)当满足条件

时,有 m ? ? .(填所选条件的序号)

练习题二:
1、有如下三个命题中正确命题的个数为( ) ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线; ③过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂直. A.0 B.1 C .2 m、 n 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 ( 2、已知直线 l 、 A.若 l // m , m // n ,则 l // n . C.若 l ? m , m // n ,则 l ? n .
4

D.3 )

B.若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . D.若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

3、已知 a、b、c 是直线, ? 是平面,给出下列命题中真命题的个数是( ①若 a ? b, b ? c, 则a // c ; ②若 a // b, b ? c, 则a ? c ;

)

③若 a // ? , b ? ? , 则a // b ;④若 a 与 b 异面,且 a // ? , 则b与? 相交; ⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. A.1 B.2 C .3 4、给定下列四个命题中,为真命题的是( )

D.4

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

5、设 m,n 是平面 ? 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分而不必要条件是( A.m // ? 且 l // ) B. m // l 且 n // l 2

?

C. m // ? 且 n // ?

D. m // ? 且 n // l 2

考点四:空间线面平行垂直证明 例题 5、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D、E 分别是棱 BC、 CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

5

例题 6、如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证 AC⊥BC1; (Ⅱ)求证 AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

练习题三:
D 在 B1C1 上, 1、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 、F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中点,点

A1D ? B1C 。
求证: (1)EF∥平面 ABC;

? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD

6

2、在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

3、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , DB 平分 ?ADC ,

E 为的 PC 中点, AD ? CD ? 1, DB ? 2 2
(1)证明: PA // 平面 BDE (2)证明: AC

? 平面 PBD

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值

7

4、如图,四棱锥 S? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , SD ? 底 面 A B C D ,

AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

8



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