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福建省2016年春季高考数学高职单招模拟试题(14)


福建省高考高职单招数学模拟试题
准考证号 (在此卷上答题无效) 姓名

2015 年福建省高等职业教育入学考试 数学适应性试卷 (面向普通高中考生) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 5 页.考试时间 120 分钟,满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己准考证号、姓名.考生要认 真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡上 书写作答.在试卷上作答,答案无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束,考生必须将试卷和答题卡一并 交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,..., xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高 第Ⅰ卷(选择题 共 70 分)

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

一.单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个备选答案 中,选出一个正确答案,并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑) 1.复数 i ? i 2 等于
-1-

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. ? 1 ? i

D. ? 1 ? i

2.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ,则 f (1) 的值为 A. 2 3. 函数 y ? A. ? ?1,0? B. 3 C. 4 D. 6

x ?1 的定义域为 x
B. ? 0, ?? ? C. ? ?1,0? ? ? 0, ??? D. ? ??,0? ? ? 0, ???

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 y 的值为 A.4 B.5 C.8 D.10

5.若 x ∈R,则“ x =1”是“ x =1”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是 A. y ? ? x
3

B. y ? sin x

C. y ? tan x

D. y ? ( )

1 2

x

?1?x 7. 函数 y=? ? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是 ?2?

-2-

? 4 8. 已知 cosα = , ? ? ( ? , 0) ,则 sinα +cosα 等于 5 2
1 A.- 5 B. 1 5 7 C.- 5 7 D. 5

9. 函数 f ?x? ? 3x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

? x ? 2, ? 10.若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? y ? 2, ?
A. 2 B. 4 C.5 D.6

11.若双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其离心率等于 9 16
B.

A.

3 5

4 5

C.

5 4

D.

5 3

12.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是

13.过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是

-3-

A. y ? 3x

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

3 x 3

D. y ?

3 x 3

14. 已知 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? x ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为

(??, ?1) ? (0,1) A.

(?1,0) ? (1, ??) B.

(?1,0) ? (0,1) C.

(??, ?1) ? (1, ??) D.

2015 年福建省高等职业教育入学考试 数学适应性试卷 (面向普通高中考生) 第Ⅱ卷(非选择题 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上) 15.若集合 A ? { 0, m } , B ? { 0, 2} , A ? B ? { 0,1,2} ,则实数 m ? .
-4-

共 80 分)

16.已知已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,若 a ? b ,则 x ? _________. 17.如图,在边长为 5 的正方形中随机撒 1000 粒黄豆,有 200 粒落到阴影部分,据此 估计阴影部分的面积为 . .

18.若 lg x ? lg y ? 2, 则 x ? y 的最小值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 8 分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, b ? 4, C ? 60? . (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)求 c 的值.

20.(本小题满分 8 分) 在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,且 a2 ? a3 ? 12 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 2015 项和 S2015 .

21.(本小题满分 10 分) 某机器零件是如图所示的几何体(实心) ,零件下面是边长为 10cm 的正方体,上面 是底面直径为 4cm,高为 10cm 的圆柱. (Ⅰ)求该零件的表面积; (Ⅱ)若电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌 0.11kg ,问制造 1000 个这样 的零件,需要锌多少千克?(注: ? 取 3.14)

22.(本小题满分 10 分)

题 21 图

-5-

甲乙两台机床同时生产一种零件,5 天中,两台机床每天的次品数分别是: 甲 1 0 2 0 2 乙 1 0 1 0 3

(Ⅰ)从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天,求抽到的 2 天生产的零件次品数均不超过 1 个 的概率; (Ⅱ)哪台机床的性能较好?

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ,a?R . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,判断 f ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 2,求 a 的值.

24.(本小题满分 12 分)

0) 且斜率为 k1 的直线交抛物线于 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2,
2

BF 分别与抛物线交于点 M 、 N. A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) 两点,直线 AF、
(Ⅰ)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关;

y N 0 M B
题 24 图

A

??? ? ??? ?

k (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k2 ,证明 1 为定值. k2

F

P

x

-6-

福建省高考高职单招数学模拟试题 2015 年福建省高等职业教育入学考试 数学适应性试卷答案及评分参考 (面向普通高中考生) 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. C 8. B 2. C 9. C 3. C 10. D 4. C 5. A 6. A 7. A 14. D

11. D 12. B 13. D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15.1 16.1 17.5 18.20

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.解: (Ⅰ)因为 a ? 2, b ? 4, C ? 60? , 所以 S? ABC ?

1 ab sin C ?????????????????2 分 2 1 ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 . ??????????????4 分 2
2 2

(Ⅱ)因为 c ? a ? b ? 2ab cos C
2

?????????????????6 分

? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ? cos 60?
? 12 ,

-7-

所以 c ? 2 3 .

?????????????????8 分

20.解:(Ⅰ)因为公比 q ? 2 ,且 a2 ? a3 ? 12 , 所以 2a1 ? 4a1 ? 12 , 解得 a1 ? 2 , 所以 an ? 2n . ?????????????????2 分 ?????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a1 ? 2 , q ? 2 ,

S2015 ?

a1 (1 ? q 2015 ) 2(1 ? 22015 ) ? 1? q 1? 2

?????????????6 分

? 22016 ? 2 .

?????????????8 分 ????????4 分

21.解:(Ⅰ)零件的表面积 S ? 6 ?10 ?10 ? 4 ? 3.14 ? 10

? 725.6 ( cm2 ) ? 0.07256 m 2 .
该零件的表面积 0.07256 m . (Ⅱ)电镀 1000 个这种零件需要用的锌为
2

????????????6 分

题 21 图

0.07256 ? 0.11?1000

????????????8 分 ????????????10 分

? 7.9816 ( kg ).

所以制造 1000 个这样的零件,需要锌 7.9816 千克. 22.解: (Ⅰ)从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天,共有(1,0) , (1,2) , (1,0) , (1,2) , (0,2) ,( 0,0 ),( 0,2 ),( 2,0 ),( 2,2 ), 件, ?????????????..2 分 (0,2) 等 10 个 基 本 事

其 中 所 取 的 两 个 零 件 均 为 合 格 品 的 事 件 有 ( 1,0 ) , ( 1,0 ) , ( 0,0 ) 等 3 个. ????..4 分

记“从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天,抽到 2 天生产的零件次品数均不超过 1 个”为 事件 A ,则

P ( A) ?

3 . 10

????????
-8-

??5 分 (Ⅱ)因为 x甲 ? x乙 =1,

1 2 s甲 ? [(1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ] ? 0.4 , 5 1 2 s乙 ? [(1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ] ? 0.8 , 5
2 2 所以 s甲 ,即甲台机床的性能较好. ? s乙

???7 分 ???9 分 ???10 分

23.解: (Ⅰ)由题意: f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ? 2分

1 a x?a ? ? 2 .?????? x x2 x

? a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调递增函数.???????5 分
(Ⅱ)因为 f ?( x) ?

x?a x2

① 若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上为 增函数, . f ( x)min ? f ?1? ? ?a ? 2 , ? a ? ?2 (舍去) ?????7 分

② 若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上为 减函数,

? f ( x) min ? f ? e ? ? 1 ?

a ?2 e

所以, a ? ?e

????????9 分

③ 若 ?e ? a ? ?1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a , 当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (?a, e) 上为增函数,

f ( x)min ? f ? ?a ? ? ln(?a) ?1 ? 2 , a ? ?e(舍去) ,
综上可知: a ? ?e .

???????11 分 ????????12 分

24.解:证明: (Ⅰ)依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2(m ? 0) . ?????1 分 将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0 .????2 分
2

2

y 2 y 2 64 ? 4 , ??????3 分 从而 y1 y2 ? ?8 ,于是 x1 x2 ? 1 ? 2 ? 4 4 16

y N 0 F M -9B
第 24 题图

A

P

x

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 4 ? 8 ? ?4 与 k1 无关. ??????5 分 (Ⅱ)证明:设 M ( x3, y3 ) , N ( x4, y4 ) .

??? ? ??? ?

y32 y4 2 ? k1 y1 ? y2 x3 ? x4 y1 ? y2 4 4 ? y3 ? y4 .????8 分 则 ? ? ? 2 ? 2 k2 x1 ? x2 y3 ? y4 y1 y y3 ? y4 y1 ? y2 ? 2 4 4
设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1(n ? 0) ,将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x , 整理得 y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 ∴ y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . ??????10 分

?4 ?4 ? k1 y3 ? y4 y1 y2 ?4 故 , ? ? ? k2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 y2
由(Ⅰ)知, y1 y2 ? ?8 ,∴

??????11 分

k1 1 ? 为定值. k2 2

??????12 分

- 10 -


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