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等差等比数列的性质及应用


缙云中学 2013 届高三数学二轮小题专题复习
第五节 等差、等比数列的性质及应用(小题) 编者:黄云巧 [考点整合] 1、 等差数列与等比数列的考查主要侧重两种方法: 基本量法(方程思想)与性质法(整体代换思想) 等差数列 定 义 等比数列

an?1 ? an ? d , an ?

an ?1 ? an ?1 2

an ?1 ? q(q ? 0) , an 2 ? an ?1 ? an ?1 (an ? 0) an
an ? a1q n?1 ? am q n?m ( q ? 0 )

通 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d ) ? a m ? (n ? m)d 项 前 n 项 和 中 项

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d ? An 2 ? Bn 2 2
其中 A ?

d d , B ? a1 ? 2 2

?na1 (q ? 1) a a ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? 1 q n 1? q 1? q ? 1? q ? ? A ? Aqn (q ? 1)
a, b, c 成等比的必要不充分条件 b 2 ? ac
1、等积性:首尾等距相乘,则积相等 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? ( a p )
2

a, b, c成等差的充要条件:2b ? a ? c
1、等和性:首尾等距相加,则和相等 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq

主 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p 要 性 2、 S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n 也成等差数列 质 3、等差数列前 n 项和的最值问题 公差 d ? 0 时 S n 有最大值; d ? 0 时 S n 有最小值 2、两种数列有时可以相互转化:

2、当 q ? ?1 时, S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n 也成等比数列 3、奇数项同号,偶数项同号

(1)若数列 {a n } 为等差数列, a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 {a n } 为等比数列
a

(2)若数列 {a n } 为正项等比数列, a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 {log a a n } 为等差数列

1

[典型例题] 例 1、 “基本量运算” (1)等差数列 ?a n ?中: a 2 ? a7 ? a12 ? 24 ,则 S13 =________104 (2)等差数列 ?a n ?中,前 4 项和为 25,后 4 项和为 63,前 n 项和为 286,项数 n=______26 (3)等比数列 ?a n ?中, a1 ? a 2 ? a3 ? 7, a1 a 2 a3 ? 8, .则 a n ? _________2 n?1 或 23?n (4)已知 ?a n ?是递增等比数列, a 2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? .2

. (5)在等比数列 ?a n ?中, a n ? 0, a 2 a 4 ? 2a3 a5 ? a 4 a6 ? 25, 则 a3 ? a5 ? ________ 5
例 2、已知等差数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比 数列 {bn } 的第 2 项、第 3 项、第 4 项 (1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式 (2)设数列 {c n } 对 n ? N * ,均有

a n ? 2n ? 1, bn ? 3 n ?1

c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2011 b1 b2 bn

c1 ? 1, cn ? 2 ? 3n ?1 (n ? 2) ,和为 3 2011
例 3、 “小综合应用” (1)设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 , a 2 , ? a n 的“理 n

想数”.已知 a1 , a 2 ,? a500 的“理想数”为 1002,那么数列 3, a1 , a 2 ,? a500 的“理想数”为 ( ) A.1005 B.1003 C.1002 D.999

(2)已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,集合 A ? {a1 , a2 ,?, a10 } ,从 A 中选出 4 个不同的 数,使这 4 个数成等比数列,这样得到 4 个数的不同的等比数列共有 ____.24

(3)设 a1 , a2 ,?, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 9 ,

, 且 (a1 ? 1) ? (a 2 ? 1) ? ? ? (a50 ? 1) ? 107 ,则 a1 ,a2 , ? a50 中数字 0 的个数为
2 2 2

.11

2

[巩固练习]

班级_________

姓名______________ ( ( ) )

1.等比数列{an}的公比 q=2,a1+a2+a3=21,则 a3+a4+a5 等于 A.42 B.63 C.84 D.168 2.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0

D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 a9+a10 1 3.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 的值为 ( 2 a7+a8 A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2

)

4.在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函 数 y=f(x)的解析式可能为 A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x
2

( C.f(x)=log3x 3 D.f(x)=?4?x ? ?

)

5.首项为-24 的等差数列{an}从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是 ( ) 8 8 8 8 A. ≤d<3 B. <d<3 C. <d≤3 D. ≤d≤3 3 3 3 3 An 7n+45 an 6.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, = ,则使得 为整数的正整数 n 的 Bn n+3 bn 个数是 A.2 B.3 ( )

C.4 D.5 1? n 2 ? 6 n 7. 正项数列{an}的前 n 项乘积 Tn=?4? ,n=log2an, n}的前 n 项和 Sn 中的最大值是 b 则{b ( ? A.S6



B.S5 C.S4 D.S3 π 8. f(x)=2x-cos x, n}是公差为 的等差数列, 1)+f(a2)+?+f(a5)=5π, {a f(a 则[f(a3)]2-a1a5 为( ) 8 1 1 13 A.0 B. π2 C. π2 D. π2 16 8 16 1 9.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=______;|a1|+|a2|+?+|an|=__________. 2 10.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 5 11. 数列{an}中, n=4n- , 1+a2+?+an=an2+bn+c, a a 其中 a, 为常数, ab+c=_______. b 则 2 12. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2 n ?5 ? 2 (n ? 3) ,则当 n ? 1时,
2n

log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? log 2 a2 n?1 ?

______.
3

13.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 1 ≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S 6 的取值范围是



14.数列 ? an ? 是等差数列,a1 ? 19, a26 ? ?1 ,An ?| an ? an ?1 ? ??? ? an ?6 | , An 的最小值为____. 则 15.在数 1 和正实数 a 之间插入 n 个正实数,使得这 n+2 个数构成等比数列,将这 n+2 个数的 乘积记作 bn,且 an=logabn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

16.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm, 求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

17.数列 ?bn ? n ? N

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ? an ? n ? N 求 m 的最大值。

?

?

? 是递增的等比数列,且 b ? b
1

5

? 17, b2b4 ? 16 .

?

?

? 满足 b , b
2

an

, b2 n ? 2 成等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? …… ? am ? a40 ,

4

答案
1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 1 - 9.-2, 2n 1- 10. 3 3 2 12. 6.D 7.D 8.D 11.-1 14.

n2

13.

?? 12,42?

7 5

15.解 (1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列, 其中 t1=1,tn+2=a,则 bn=t1· · tn+1· +2,① t2 ?· tn bn=tn+2· +1· t2· .② tn ?· t1 ①×②并利用 ti· +3-i=t1tn+2=a(1≤i≤n+2),得 tn bn2=(t1tn+2)· 2tn+1)· (tn+1t2)· n+2t1)=an 2, (t ?· (t 又 bn>0,∴bn=a
1
1 ?n ? 2 ? 2


1 ,an= (n+2). 2

bn+1 (2)∵ = bn
3 2

a2 a

?n ?3 ?

1 ?n ? 2 ? 2

1 =a (常数);∴{bn}为等比数列.且 a ? 1 2

n ? ? ?1 ? a 2 ? a ? ? ?Sn= ? 1 ? .

1? a 2
16.解 (1)因为{an}是一个等差数列, 所以 a3+a4+a5=3a4=84,所以 a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1, 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m,则 9m+8<9n<92m+8, 因此 9m 1+1≤n≤92m 1,故得 bm=92m 1-9m 1. 于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m 1)-(1+9+?+9m 1) 9×?1-81m? 1-9m = - 1-81 1-9 = 92m 1-10×9m+1 . 80
5
+ - - - - - -

17. (1) bn ? 2

n ?1

(2) m 的最大值为 7

6


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