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高中数学 第十四章 第3讲 合情推理与演绎推理


第3讲

合情推理与演绎推理

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013· 金陵中学模拟)观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16= 20,?, 这些等式反映了自然数间的某种规律,设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表 示为________. 解析 9-1=(1+2)2-12=4(1+1),16-4=(2+2)2-22=4(2+1),25-9=

(3+2)2-32=4(4+1),36-16=(4+2)2-42=4×(5+1),?,一般地,有(n +2)2-n2=4(n+1)(n∈N*). 答案 (n+2)2-n2=4(n+1)(n∈N*) 2. (2011· 南京模拟)在共有 2 013 项的等差数列{an}中, 有等式(a1+a3+?+a2 013) -(a2+a4+?+a2 012)=a1 007 成立;类比上述性质,在共有 2 011 项的等比数 列{bn}中,相应的有等式________成立. 解析 将等式中加、减换成乘除可得 b1·3·5· b2 011 b b ?· =b . b2·4·6· b2 010 1 006 b b ?· 答案 b1·3·5· b2 011 b b ?· =b b2·4·6· b2 010 1 006 b b ?·

3.(2012· 苏锡镇调研(一))若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和为
?Sn? Sn d Sn,则数列? n ?为等差数列,且通项为 n =a1+(n-1)·.类似地,若各项均为 2 ? ?

n 正数的等比数列{bn}的首项为 b1,公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则数列{ Tn} 为等比数列,通项为________. n 解析 由等差数列与等比数列的运算类比,可得 Tn=b1( q)n-1. 答案 n Tn=b1( q)n-1

4.(2011· 常州七校联考)如果函数 f(x)在区间 D 上是“凸函数”,则对于区间 D 内任意的 x1, 2, x ?, n, x 有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ?成立.已 ≤f? n n ? ?

知函数 y=sin x 在区间[0,π]上是“凸函数”,则在△ABC 中,sin A+sin B +sin C 的最大值是________. 解析 由凸函数定义,知 sin A+sin B+sin C≤ ?A+B+C? 3 ?= 3. 3sin? 3 ? ? 2 3 答案 2 3 5.(2011· 南京外国语调研)将正奇数排列如图形式,其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i ∈N*,j∈N*),例如 a32=9,若 aij=2 009,则 i+j=________. 1 3 7 13 15 ? 解析 根据正奇数排列的正三角图表知,2 009 是第 1 005 个奇数,应排在 i 行(其中 i∈N*),则 1+2+3+?+(i-1)= +i= i?i+1? 2 >1 005②; i?i-1? 2 <1 005①,且 1+2+3+? 9 5 11 17 19

验证 i=45 时,①②式成立,所以 i=45;第 45 行第 1 个奇数是 2×44×452 +1=1 981,而 1 981+2(j-1)=2 009,∴j=15;所以,2 009 在第 45 行第 15 个数,则 i+j=60; 答案 60 6.(2012· 镇江调研一)圆 x2+y2=r2 在点(x0,y0)处的切线方程为 x0x+y0y=r2,类 x2 y2 似地,可以求得椭圆 8 + 2 =1 在(2,1)处的切线方程为________. x0x y0y 解析 由类比结构可知,相应的切线方程为: 8 + 2 =1, x y 代入点坐标,所求切线方程为:4+2=1. x y 答案 4+2=1

二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中: 1 (1)三角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S=2×底×高;(3)三角形 1 的中位线平行于第三边且等于第三边的2;?? 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V=3×底面积×高; 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的4. 8.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一 个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数 列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,(1)求 a18 的值;(2)求该数列的前 n 项和 Sn. 解 (1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2, 公和为 5,易知 a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,?),故 a18=3. (2)当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an)

当 n 为奇数时, 5 5 1 Sn=Sn-1+an= (n-1)+2= n- . 2 2 2

?5n ?2 综上所述:Sn=? 5 1 ?2n-2 ?

?n为偶数?, ?n为奇数?.

分层训练 B 级

创新能力提升

1 4 27 m 1.已知 m>0,不等式 x+ x≥2,x+x2≥3,x+ x3 ≥4,可推广为 x+xn≥n+1, 则 m 的值为________. 解析 4 x x 4 27 x x x 27 x+x2=2+2+x2,x+ x3 =3+3+3+ x3 ,易得其展开后各项之积为定

m x x x m 值 1,所以可猜想出 x+xn=n+n+?+n+xn,也满足各项乘积为定值 1,于 是 m=nn. 答案 nn 2.(2010· 福建)观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测 m-n+p=________. 解析 m=29=512,p=5×10=50. 又 m-1 280+1 120+n+p-1=1,∴n=-400. 答案 962 3.(2011· 苏北调研)如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后 把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方,得到下一行,数表从上到下 与从左到右均为无限项,则这个数表中的第 13 行,第 10 个数为________. 1 3 2 3 4 5 6 7 ? 5 7 9 11 13 ? 8 12 16 20 24 ? ? ? ?

解析

观察数表可知,每行数分别构成公差为 20,21,22,23,?的等差数列,

所以第 13 行的公差为 212. 又每行第一个数分别为 1,3=2+1×20,8=22 +2×2,20=23 +3×22,48=24 + 4×23,256=25+5×24,?故第 13 行第一个数为 212+12×211=7×212,第 10

个数为 7×212+9×212=16×212=216. 答案 216(或 65 536) 4.(2011· 苏锡常镇扬五市调研)已知结论:“在三边长都相等的△ABC 中,若 D AG 是 BC 的中点,点 G 是△ABC 外接圆的圆心,则GD=2”.若把该结论推广 到空间, 则有结论: “在六条棱长都相等的四面体 ABCD 中, 若点 M 是△BCD AO 的三边中线交点,O 为四面体 ABCD 外接球的球心,则OM=________”. 解析 如图,设四面体 ABCD 的棱长为 a,则由 M 是 3 6 △BCD 的重心,得 BM= 3 a,AM= 3 a,设 OA=R, 6 ? 3 ? 则 OB=R,OM= 3 a-R,于是由 R2=? a?2+ ?3 ? 6 ? 6 ? ? a-R?2,解得 R= a, 4 ?3 ? AO 所以OM= =3. 6 6 3 a- 4 a 答案 3 Sn S2n S3n 5.在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项的和,则 n , 2n , 3n 成等差数列.在等比 数列{bn}中写出类似的结论,并给出证明. 解 设各项为正数的等比数列中,Tn 是其前 n 项的积,则(Tn)n,(T2n)2n,(T3n)3n 成等比数列. 此结论是正确的,证明如下: 因为{bn}成等比数列,所以有性质: 若 m+n=p+q,则 bm·n=bp·q. b b 从而有 T3n=b1b2?bn+1bn+2?b2nb2n+1?b3n =[(b1b2?bn)(b2n+1b2n+2?b3n)](bn+1bn+2?b2n) =[(b1b2n+1)(b2b2n+2)?(bnb3n)](bn+1bn+2?b2n) =(b2+1·n+2?b2 )(bn+1·n+2?b2n)=(bn+1bn+2?b2n)3, b2 b n 2n
1 1 1

6 4a

又 bn>0,所以(T3n)3n=(bn+1bn+2?b2n)n, 因此有(Tn)n· 3n)3n=(b1b2?bn)n(bn+1bn+2?b2n)n (T
1 1 =(T2n)n=[(T2n)2n]2, 1 1 1 1

1

1

所以(Tn)n,(T2n)2n,(T3n)3n成等比数列. 6. (2011· 湖南卷改编)对于 n∈N*, n 表示为 n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+? 将 +ak-1×21+ak×20,当 i=0 时,ai=1,当 1≤i≤k 时,ai 为 0 或 1.记 I(n)为 上述表示中 ai 为 0 的个数(例如:1=1×20,4=1×22+0×21+0×20,故 I(1) =0,I(4)=2),求 (1)I(12)的值;(2) ?2I(n)的值.
n=1 127

1

1

1

解 (1)12=1×23+1×22+0×21+0×20.∴I(12)=2. (2)I(1)=0,I(2)=1,I(3)=0,I(4)=2,I(5)=1,I(6)=1,I(7)=0,I(8)=3, I(9)=2,I(10)=2,I(11)=1,I(12)=2,I(13)=1,I(14)=1,I(15)=0,?, 又 2I(1)=20=1=30,2I(2)+2I(3)=21+20=3,2I(4)+2I(5)+2I(6)+2I(7)=22+2×21+ 20=(2+1)2=33,2I(8)+2I(9)+2I(10)+?+2I(15)=23+3×22+3×21+20=(2+1)3 =33,2I(16)+2I(17)+?+2I(31)=34,2I(32)+2I(33)+?+2I(63) =35,2I(64)+2I(65)+?+ 2I(127)=36, ∴ ?2
n=1 127 I(n)

1×?1-37? =3 +3 +?+3 = =1 093. 1-3
0 1 6

特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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